Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

HÌNH THOI
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
 Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng
nhau.
 Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi
.
 Nhận xét: hình thoi là một hình bình hành
đặc biệc.
2. Tính chất
 Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.
Trong hình thoi:
 Hai đường chéo vuông góc với nhau.
 Mỗi đường chéo là đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi mà nó đi
qua.
3. Dấu hiệu nhận biết
 Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
 Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
 Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
 Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh mà
nó đi qua là hình thoi.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình thoi
 Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thoi.
Ví dụ 1. Cho góc xOy và tia phân giác Ot. Từ điểm M
thuộc Oz kẻ MA // Oy và MB // Ox ( với
). Chứng minh tứ giác OAMB là hình
thoi.
Chứng minh:
Ta có MA // Oy suy ra MA // OB (1)
MB // Ox suy ra MB // OA (2)
Từ (1) và (2) suy ra OAMB là hình bình hành . (*)
Mà OM là phân giác của góc AOB (**)
1

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

Từ (*);(**) suy ra OAMB là hình thoi .
(theo dấu hiệu nhận biết hình thoi).
Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có 2 đường cao AH = AK . Chứng minh ABCD
là hình thoi.

A

B

D

O
H

K
C

Chứng minh:
Xét hai tam giác vuông AHB và AKD ta có :
AK = AH (gt).
^
D = ^B (ABCD là hình bình hành).

ABCD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi ).
Dạng 2: Vận dụng tính chất của hình thoi để chứng minh các tính chất khác
 Vận dụng các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình thoi.
Ví dụ 3. Cho hình thoi
a)

có

. Kẻ

;

,

b) Tam giác

Lời giải
a) Vì
nên

là phân giác của
cách đều hai cạnh

Hay

(do
và

là hình thoi)
.

.

b) Hình thoi

có

và

nên

đều.
Do đó đường cao
ra

cũng là đường phân giác, suy

.

2

. Chứng minh
đều.

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được
Suy ra

, vậy

.

đều.

Dạng 3: Tính độ dài cạnh, góc, diện tích hình thoi.
 Vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết bài toán liên quan.
Ví dụ 4.
Hai đường chéo của hình thoi có độ dài 16cm và 12cm. Tính :
a/ Diện tích hình thoi
thoi.

b/ Cạnh hình thoi

Lời giải
a/ AC = 16cm; BD = 12cm.

b/ OA = 8cm; OD = 6cm.
Áp dụng định lý Py ta go vào tam giác vuông OAD, ta có :

c/ Kẻ đường cao DH. Ta cũng có :

3

c/ Độ dài đường cao hình

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác
, phân giác
. Qua
kẻ đường thẳng song song với
cắt
tại , qua
kẻ đường thẳng song song với
cắt
tại . Chứng minh
là phân giác của

.

Lời giải
Tứ giác

có

và

nên là hình bình hành.
Mặc khác đường chéo
nên

là phân giác của

là hình thoi.

Do đó đường chéo

là phân giác của

.

Bài 2.
a) Cạnh của một hình thoi bằng
, một đường chéo
bằng . Tính độ dài đường chéo còn lại.
b) Cho hình thoi

như hình vẽ bên. Tính .

Lời giải
a) Hình thoi

có

và

.

Áp dụng các tính chất của hình thoi, ta có

Suy ra
b) Vì
Hơn nữa,

.
là hình thoi và
là phân giác của

nên

.

(hình thoi

4

). Do đó

.

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

Bài 3. Cho hình bình hành
là trung điểm của các cạnh

có
vuông góc với
. Chứng minh tứ giác

,

. Gọi ,
theo thứ tự
là hình thoi.

Lời giải
Hình bình hành
Suy ra

có

và

.

.
vuông tại

có

là đường trung

tuyến,
nên

.
vuông tại

nên

có

là đường trung tuyến,

.

Lại có

(do

Vậỵ

là hình bình hành),
, hay

Bài 4. Cho hình thoi
hình thoi.

là hình thoi.
tâm

. Độ dài

cm,

cm. Tính độ dài cạnh

Lời giải
Theo tính chất của hình thoi:

Và

vuông tại

nên áp dụng Định lí Pytago ta có

Bài 5. Cho hình thoi

, gọi

là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh

,
,
lấy theo thứ tự các điểm
Chứng minh:
a)

,

,

b) Tứ giác

thẳng hàng và

,

,

,

,

thẳng hàng;

là hình chữ nhật.

5

,

sao cho

,
.

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

Lời giải
a) Tứ giác
(hình thoi

có

) nên là hình bình hành.

Mà là trung điểm
là trung điểm
.
Tứ giác
thoi
Mà
Vậy

và

(hình thoi

) nên

và

(hình

có

) nên là hình bình hành.
là trung điểm
,

b) Tứ giác
hành.
Hình thoi

,

(vì hình thoi

thẳng hàng và
có

,

cắt

có

,

) nên

là trung điểm

.

thẳng hàng.

tại trung điểm

là phân giác của

của mỗi đường nên là hình bình

và

và

.

Do đó

hay

Bài 6. Cho tam giác
song với
và
, cắt

, qua điểm
thuộc cạnh
, kẻ các đường thẳng song
và
theo lần lượt ở và .

a) Tứ giác
b) Điểm

, hay

, suy ra
là hình chữ nhật.

là hình gì?
ở vị trí nào trên

thì

là hình thoi.

Lời giải
a) Tứ giác

có

và

b) Để hình bình hành

nên là hình bình hành.

là hình thoi thì

a)

là phân giác của góc

b)
--- HẾT --6

.

Toán 8

G/v : Lê Đức Nguyên

7