CÁC PHÉP TÍNH VỚI ĐA THỨC
NHIỀU BIẾN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1/ Cộng hai đa thức nhiều biến.
Để cộng hai đa thức theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

 Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang ;
 Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau;
 Thực hiện phép tính theo trong từng nhóm , ta được tổng cần tìm.
2/ Trừ hai đa thức nhiều biến.
Để trừ đa thức P cho đa thức Q theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

 Viết hiệu P - Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc;
 Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu một đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức đồng
dạng với nhau;
Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.
3/ Nhân hai đa thức nhiều biến.
a/ Nhân hai đơn thức:
Tương tự như đối với đơn thức một biến, để nhân hai đơn thức nhiều biến ta có thể làm như sau:

 Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau;
 Thu gon đơn thức nhận được ở tích .
b/ Nhân đơn thức với đa thức:
Tương tự như trường hợp một biến, ta có quy tắc sau:
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi
cộng các kết quả với nhau.
c/ Nhân hai đa thức:
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn
thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

1

4/ Nhân hai đa thức nhiều biến.
a/ Phép chia hết một đơn thức cho một đơn thức
Đơn thức A chia hết cho đơn thức B (
không lớn hơn số mũ của nó trong A.

) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ

Quy tắc : Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta có thể làm
như sau :
-

Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B
Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.
Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

b/ Phép chia hết một đa thức cho một đơn thức
Đa thức A chia hết cho đơn thức (

) khi mỗi đơn thức của A chia hết cho B.

Quy tắc : Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ( trường hợp A chia hết cho B), ta chia mỗi đơn
thức của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
--------------------------------------------

2

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
Dạng 1: Tính tổng (hay hiệu) đa thức nhiều biến.
Ví dụ 1. Tính tổng
a)

và hiệu

và

d)

,

.

b)
c)

của hai đa thức

và

.

và

.
và

.

Bài giải
a)

b)

c)

3

trong các trường hợp sau:

d)

Ví dụ 2. Thực hiện phép tính sau:
.

.
Bài giải

Ví dụ 3.
Cho các đa thức
a)

.

;
b)

.

và
c)

4

.

. Tính:
d)

.

Bài giải
a/

b/

c/

d/

Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước
Ví dụ 4. Tìm đa thức
a)

,

biết:
.

b)

Bài giải
a/

b/

5

.

Ví dụ 5. Cho các đa thức
a)

;

.

b)

. Tìm đa thức
.

Bài giải
a/

b/

Dạng 3: Thực hiện phép tính nhân đơn thức với đa thức
 Quy tắc:
Ví dụ 6. Làm tính nhân

a)

(với A, B, C là các đơn thức).

b)

c)

Bài giải
a/

b/

c/

6

sao cho:

Ví dụ 7. Nhân đơn thức

với đa thức

biết rằng

và

.

Bài giải

Dạng 4: Thực hiện phép tính nhân đa thức với đa thức
 Sử dụng quy tắc:
Ví dụ 8. Thực hiện phép nhân
a)

;

b)

;

Bài giải
a/

b/
Ví dụ 9. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

a)

tại

và
tại

b)

và

Bài giải:
a/

Thay

và

vào

ta được :

b/
7

.

c)

.

Thay

và

vào

ta được :

Dạng 5: Thực hiện phép tính chia đơn thức với đa thức
Ví dụ 10: Làm phép tính chia:
a)

.

b)

c)

.

e)
Bài giải:

.

a)

.

d)

.

.

b)

c)

.

e)

.

d)

.
.

Dạng 6: Thực hiện phép tính chia đa thức với đa thức
Ví dụ 11: Làm phép tính chia:
a)

b)
Bài giải:

a)
b)
c)

8

c)

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính tổng các đa thức
a)
b)
Bài giải:

và
và

a)

b)

Bài 2: Cho hai đa thức:

và

Tính
Bài giải:

9

Bài 3: Cho các đa thức :

;

Hãy tính:
a)

b)

c)

Bài giải:
a)

b)

c)

Bài 4: Cho đa thức

Khi

(

thì

là biến). Tìm

. Khi

thì

biết:

Khi

thì

Bài giải:
Khi

thì:

Khi

thì:

Khi

thì:

.

10

Vậy

Bài 5: Tìm đa thức M biết:
a)
Bài giải:
a/

b)

b/

Bài 6: Thực hiện phép tính

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài giải:
a/

b/

c/

d/
11

.
.

e/

f/

Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau
a)
b)

Bài giải:
a/

b/

Bài 8: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức
a)
b)

tại

và

;

tại

và

Bài giải:
12

.

a/

Thay

và

vào P ta được :

b/

Thay

và

vào Q ta được :

Bài 9: Chứng tỏ rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
a)

b)

;

.

Bài giải:
a/

Vậy giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

.

b/

Vậy giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
13

.

Bài 10: Nhân các đa thức sau

a)

;

b)

; c)

.

Bài giải:
a)

b)

Bài 11: Chứng minh rằng với mọi

ta luôn có
.

Bài giải:

Bài 12: Cho biểu thức
cho với mọi số nguyên

. Chứng minh
.

Bài giải:

Bài 13: Làm tính chia:
a)

;

14

luôn chia hết

b)

;
.

c)

Bài giải:
a)

b)

c)

Bài 14: Tính giá trị biểu thức:
a)

tại

b)
c)

d)
e)

tại
tại

tại
tại

.
15

f)

tại

.

Bài giải:
a)

Thay

vào (*) ta được :

b)

Thay

vào (*) ta được :

c)

Thay

vào (*) ta được :

d)

Thay

vào (*) ta được :

16

e)

Thay

vào (*) ta được :

f)

Thay

vào (*) ta được :

17

Bài 15:
Hình ảnh bên dưới mô tả cách có thể làm để có một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là x; y; z.
(cm). Các kích thước và tỉ lệ của hộp phụ thuộc vào các giá trị của x; y; z. Tính diện tích của các
mặt của hình hộp chữ nhật được thể hiện qua hình đó.
z
x

x
z

y

x

x

Lời giải
Diện tích của các mặt của hình hộp chữ nhật là :
(cm )
Bài 16:
Bác Nam có một mảnh vườn hình chữ nhật. Bác chia
mảnh vườn này ra làm hai khu đất hình chữ nhật: Khu
thứ nhất dùng để trồng cỏ. Khu thứ hai dùng để trồng
hoa. (Với các kích thước có trong hình vẽ).
a/ Tính diện tích khu đất dùng để trồng hoa theo x,y.
b/ Tính diện tích khu đất dùng để trồng cỏ theo x,y.
c/ Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật của bác
Nam với x = 4 và y = 4.
Lời giải
a/ Diện tích khu đất dùng để trồng hoa là :
(m )
b/
Chiều dài khu đất dùng để trồng cỏ là :
(m)
Diện tích khu đất dùng để trồng cỏ là :
(m )
18

c/ Học sinh có thể trình bày hai cách như sau :
Cách 1:
Diện tích mãnh vườn hình chữ nhật theo x,y là :
(m )
Thay x = 4 và y = 4 vào

ta được : 4.4.4 + 24.4 = 160 (m )

Vậy với x = 4 và y = 4 thì diện tích mảnh vườn hình chữ nhật đó là 160 (m )
Cách 2:
Diện tích mãnh vườn hình chữ nhật theo x,y là :
(m )
Thay x = 4 và y = 4 vào

ta được : 4.4.4 + 24.4 = 160 (m )

Vậy với x = 4 và y = 4 thì diện tích mảnh vườn hình chữ nhật đó là 160 (m ).
Bài 17:
Khu vườn trồng mía của nhà bác Minh ban đầu có dạng một
hình vuông biết chu vi hình vuông là 20 (m) sau đó được mở
rộng bên phải thêm y (m), phía dưới thêm 10x (m) nên mảnh
vườn trở thành một hình chữ nhật (hình vẽ bên)
a/ Tính diện tích khu vườn bác Minh sau khi được mở rộng
theo x, y.
b/ Tính diện tích khu vườn bác Minh sau khi được mở rộng khi
x=1;y=2
Lời giải
a/
Cạnh của mảnh vườn hình vuông ban đầu là 20 : 4 = 5 (m)
Chiều rộng của khu vườn sau khi được mở rộng là : y + 5 (m)
Chiều dài của khu vườn sau khi được mở rộng là : 8x + 5 (m)
Diện tích của khu vườn bác Minh sau khi được mở rộng là :
(y +5).(8x + 5) = y.8x + y.5 + 5.8x + 5.5 = 8xy + 5y + 40x + 25 (m )
b/ Khi x = 1 ; y = 2 thì diện tích khu vườn bác Minh sau khi được mở rộng là :
8.1.2 + 5.2 + 40.1 + 25 = 91 (m )

19

Bài 18:
Một cửa hàng buổi sáng bán được
tiền là

bao gạo thì cửa hàng đó thu được số

nghìn đồng.

a/ Tính số tiền mỗi bao gạo mà của cửa hàng đó đã bán theo x,y.
b/ Tính số tiền mỗi bao gạo mà của cửa hàng đó đã bán khi x = 2; y = 2.
Lời giải
a/ Số tiền mỗi bao gạo mà của cửa hàng đó đã bán theo x,y là :
(nghìn đồng).
b/ Số tiền mỗi bao gạo mà của cửa hàng đó đã bán khi x = 2; y = 2 là :
(nghìn đồng)
Bài 19:
Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có chiều dài là x + 43 (cm) và chiều rộng là x + 30 (cm). Người
ta cắt ở mỗi góc của tấm bìa một hình vuông cạnh
thành một cái hộp không nắp.

(cm) ( phần tô màu) và xếp phần còn lại

a/ Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật trên theo x; y.
b/ Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật trên với x = 16 ; y = 4.

Lời giải
a/ Chiều cao của hình hộp chữ nhật bằng cạnh của hình vuông cắt đi và bằng
Chiều dài của hình hộp chữ nhật là :

(cm).
(cm).

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật là:

(cm).
20

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật trên theo x, y là :

b/ Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật trên với x = 16 ; y = 4 là :

21

D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1. Tính tổng của hai đa thức
a)

và

.

b)

và

.

Bài 2. Tính tổng và hiệu của hai đa thức
a)

và

với:

.

b)

và

Bài 3: Tính tổng

và hiệu

a)

và

và

.
của hai đa thức

,

trong các trường hợp sau:

.

b)

và

c)

.

và

.

d)

và

.

Bài 4: Thực hiện phép tính sau:
a)

.

b)

.

Bài 5: Cho các đa thức
Tính:

;

a)

.

b)

.

c)

Bài 6: Cho các đa thức
a)

.

Bài 7: Tìm đa thức

.

d)
và

c)

.

.
.

. Tính
d)

.

biết

a)
Bài 8: Tìm đa thức

.

;

b)
,

và

.

b)

biết:
22

.

a)

.

b)

c)

.

Bài 9: Cho các đa thức

.

d)

.

;

. Tìm đa thức

sao cho:

.
.
Bài 10: Tính giá trị của các đa thức sau:
a)

tại

b)

tại

c)

tại

,

.

,

.

,

.

Bài 11: Thực hiện phép tính

a)

;

b)

c)
Bài 12: Nhân đa thức

.

;

d)

với đơn thức

biết rằng

và

.

Bài 13: Rút gọn các biểu thức sau
a)

; ĐS:

b)

. ĐS:

Bài 14: Tính giá trị của biểu thức
a)

tại

b)
Bài 15: Cho biểu thức
phụ thuộc vào giá trị của

; ĐS:
tại

và

. ĐS:
. Chứng tỏ giá trị của

không

.

Bài 16: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến:
23

Bài 17: Cho biểu thức
này luôn luôn không đổi.

. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức

Bài 18: Chứng tỏ rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
a)

:

;

b)

.

c)
Bài 19: Tính giá trị của biểu thức
a)

tại

b)

tại

;

và

c)

tại

.
và

.

Bài 20: Chứng minh đẳng thức

.

Bài 21: Chứng minh đẳng thức

.

Bài 22: Chứng minh đẳng thức
Bài 23: Chứng minh đẳng thức
Bài 24: Cho

. Chứng minh đẳng thức

Bài 25: Làm tính nhân:

a)

.
;

b)

c)

;

;

d)

.

Bài 26: Thực hiện phép tính:

a)

;

b)

;

d)
24

c)

.

Bài 27: Làm tính chia:
a)

;

ĐS:
;

b)

ĐS:

;

c)

ĐS:
.

d)

ĐS:

Bài 28: Làm tính chia:
a)
b)

c)
d)

;

ĐS:
;

ĐS:

;

ĐS:
.

ĐS:

25