Chương I

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa
Trên đường tròn lượng giác gốc
Thế thì tung độ của điểm

là

nếu

,

nếu

.

, cho cung AM có sđ

, hoành độ điểm

.

là

Các giá trị
được

gọi là giá trị

lượng giác của cung
* Chú ý:
a) Ta gọi trục tung là
hoành là trục côsin.
b)

trục sin, trục

xác định với mọi
chỉ xác định với
chỉ xác định với

c) Với mọi góc lượng giác

,
,

,
và số nguyên k
5

2. Công thức lượng giác cơ bản:
Đối với các GTLG, ta có các hằng đẳng thức sau:
.
.
.
.
Chú ý: nhắc lại ở định nghĩa

(

)

(
)
3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:
a) Cung đối nhau:

và

b) Cung bù nhau:

và

.

.
6

c) Cung hơn kém :

d) Cung phụ nhau:

và

và

.

.

B. CÁC DẠNG TOÁN.
DẠNG 1:

BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
Phương pháp:

Góc và góc
tròn lượng giác.

có cùng điểm biểu diễn trên đường
7

Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng

( với

là số nguyên và

là số nguyên dương) là

biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần lượt cho
diễn các góc đó.
Ví dụ 1. Cho đường tròn lượng giác gốc

Điểm biểu diễn cung có số đo
A. Điểm

.

B. Điểm

từ

Từ đó để

tới

rồi biểu

như hình vẽ.

là điểm
.

C. Điểm

.

D. Điểm

.

Lời giải: Chọn C
Ta có:

Do đó, điểm biểu diễn của cung có số đo

biểu diễn của cung có số đo

đó là điểm

Ví dụ 2. Cung lượng giác  có điểm đầu là
của cung
là

là điểm

.
và điểm cuối là

thì số đo

8

y

B

O
A'

A

x

M
B'

A.

.

C.

B.
.

.

D.

Lời giải: Chọn D
Cung  có điểm đầu là
đo là

theo chiều dương có số

và điểm cuối là

theo chiều âm có số đo

.
Cung  có điểm đầu là

là

và điểm cuối là

.

DẠNG 2:
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC
KHÔNG PHỤ THUỘC GÓC X, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC
Phương pháp:

Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ
và sử dụng tính chất của giá trị lượng giác để biến đổi

Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia,
biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác.

9

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc hay đơn giản biểu thức
ta cố gắng làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm
xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau
Ví dụ 1. Cho

. Tính biểu thức:

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

.

Lời giải: Chọn B

Ta có:

.
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức

.
A.
.
Lời giải: Chọn B

B.

. C.

.

D.

.

Ta có

.
Vậy

.

10

Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức

, được kết quả là
A.

.

C.

B.

.

.

D.

.

Lời giải: Chọn C
Ta có:

Ví dụ 4. Biểu thức A có kết quả thu gọn bằng

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải: Chọn C

.
Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức

được:
11

A.

.

B.

C.

.

D.

.
.

Lời giải: Chọn A
Ta có

.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, điểm
thì nằm ở góc phần tư thứ
A. I.
B. II.
C. III.
Câu 2: Chọn điểm

thỏa mãn
D. IV.

làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường

tròn lượng giác. Tìm điểm cuối
của cung lượng giác có số đo
A.
là điểm chính giữa của cung phần tư thứ .
B.

là điểm chính giữa của cung phần tư thứ

.

C.

là điểm chính giữa của cung phần tư thứ

.

D.

là điểm chính giữa của cung phần tư thứ

.

Câu 3: Có bao nhiêu điểm

.

trên đường tròn định hướng gốc

thỏa mãn

sđ
A.

.

B.

.

Câu 4: Lục giác đều

C. .

lượng giác có tia đầu

C.

, tia cuối
.

.

.

nội tiếp đường tròn lượng giác có gốc là

các đỉnh lấy theo thứ tự đó và các điểm
A.

D.

,

,

có tung độ dương. Khi đó góc

bằng
B.
D.

.
.

12

Câu 5: Cho góc lượng giác
đây đúng?
A.

.

B.

thỏa mãn
.

C.

. Khẳng định nào sau
.

D.

.

Câu 6: Trên đường tròn lượng giác cho hai điểm
và . Khẳng định nào
sau đây đúng?
A. Chỉ có một cung lượng giác có điểm đầu là
và điểm cuối là .
B. Có đúng

cung lượng giác có điểm đầu là

C. Có vô số cung lượng giác có điểm đầu là
D. Có đúng

cung lượng giác có điểm đầu là

Câu 7: Cung lượng giác có điểm đầu
bằng:

A.

.

B.

và điểm cuối là
và điểm cuối là
và điểm cuối là

, điểm cuối

.
.
.

trên hình vẽ có số đo

.
13

C.

.

D.

.

Câu 8: Với điều kiện xác định của các biểu thức, khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng?
A.

.

B.

C.

.

D.

Câu 9: Với
đúng

.

thỏa mãn điều kiện có nghĩa của biểu thức. Chọn khẳng định

A.

.

B.

C.

.

D.

Câu 10: Cho
A.

.

.
.

. Giá trị của biểu thức

.

B.

.

C.

là
.

D.

Câu 11: Rút gọn biểu thức
A.

.

C.

B.

.
. Tìm
bằng

C.

.

.
sao cho giá trị của biểu thức

.
B.

.

.

.

D.

Câu 12: Cho

A.

với

D.

.
.

14

Câu 13: Đơn giản biểu thức

ta có

A.

B.

C.

D.

Câu 14: Biểu thức A có biểu thức rút gọn là

A.
C.

.

B.
D.

.

.
.

Câu 15: Tính giá trị của biểu thức
.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 16: Đơn giản biểu thức
, ta có:
A.

.

B.

Câu 17: Cho
A.

.

C.

.

. Tính giá trị biểu thức

.

B.

Câu 18: Cho

.

C.

.

. Tính giá trị biểu thức

D.

.
.

D.

.
.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

15

Câu 19: Rút gọn biểu thức A ta được

A.

.

B.

C.

.

D.

Câu 20: Giả sử
A. .

.
.

thì
B.

Câu 21: Biểu thức
A. .
B.

.

.

có giá trị bằng

C. .

C.

D.
có giá trị bằng:
D. .

.

3sin   2 cos 
B
12sin 3   4 cos 3  .
Câu 22: Cho cot  3 . Tính giá trị biểu thức
1
5
3
1


A. 4 .
B. 4 .
C. 4 .
D. 4 .
Câu 23: Tính giá trị của biểu thức

biết

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 24: Giả sử
Khi đó có giá trị bằng
A.

.

B.

.

.
C.

.

D. .

Câu 25: Rút gọn biểu thức
A.

.

B.

với
. C.

.

D.

.
.

16

Câu 26: Cho

. Khi đó biểu thức
là

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 27: Giá trị của biểu thức
A.

.

C.

là
B.

.

.

D.

.

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Góc

bằng:

A.

B.

C.

Câu 2: Trên đường tròn lượng giác gốc
I.

II.

D.

cho các cung có số đo:
III.

IV.

Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
A. Chỉ I và II

B. Chỉ I, II và III

C. Chỉ II,III và IV

D. Chỉ I, II và IV

Câu 3: Một đường tròn có bán kính 15 cm. Tìm độ dài cung tròn có góc ở
tâm bằng
A.

.

là :
B.

.

C.

.

D.

.

Câu 4: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ
dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán
kính bánh xe gắn máy bằng

(lấy

)
17

A.

B.

C.

D.

Câu 5: Xét góc lượng giác
, trong đó
là điểm không
làm trên các trục tọa độ Ox và Oy. Khi đó
thuộc góc phần tư nào để
cùng dấu
A. I và II.

B. II và III.

C. I và IV.

D. II và IV.

Câu 6: Cho đường tròn có bán kính 6 cm. Tìm số đo (rad) của cung có độ
dài là 3cm:
A. 0,5.

B. 3.

C. 2.

Câu 7: Góc có số đo
A. 330 45'

được đổi sang số đo độ là :

B. - 29030'

Câu 8: Số đo radian của góc
A.

.

D. 1.

B.

.

C. -33045'

D. -32055'

C.

D.

là :
.

.

Câu 9: Góc có số đo 1200 được đổi sang số đo rad là :
A.

B.

C.

Câu 10: Có bao nhiêu điểm
mãn sđ
A. 6

D.

trên đường tròn định hướng gốc

thoả

?
B. 4

C. 3

D. 12

Câu 11: Góc lượng giác có số đo (rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia
đầu và tia cuối với nó có số đo dạng :
A.

(k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).

B.

(k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).

C.

(k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).
18

D.

(k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).

Câu 12: Sau khoảng thời gian từ
quay được một góc có số đo bằng:
A.

giờ đến

giờ thì kim giây đồng hồ sẽ

B.

C.

D.
Câu 13: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài

và kim phút dài

.Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là:
A.
D.

.

B.

.

C.

.

.

Câu 14: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào
trong các cung lượng giác có số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung
lượng giác có số đo
A.

B.

C.

Câu 15: Cung tròn bán kính bằng
A.

B.

Câu 16:
A.

D.
có số đo

có độ dài là:

C.

D.

bằng:
B.

C.

D.

Câu 17: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A.

B.

C.

D.

Câu 18: Tính các giá trị lượng giác của góc

A.
19

B.
C.

D.
Câu 19: Tính

A.

B.

C.

D.

Câu 20: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây?
A.

B.

C.

D.

Câu 21: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là đúng?
A.

B.

C.

D.

Câu 22: Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho sđ
Xác định vị trí của

khi

A.

thuộc góc phần tư thứ I

B.

thuộc góc phần tư thứ I hoặc thứ II

C.

thuộc góc phần tư thứ II

D.

thuộc góc phần tư thứ I hoặc thứ IV

Câu 23: Cho

.

là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
20

A.

B.

C.

Câu 24:
thứ

khi và chỉ khi điểm cuối của cung

A. I và IV

B. II

Câu 25:
thứ

khi và chỉ khi điểm cuối của cung

A. I và II

B. II và IV

C. I và II

C. I và IV

D.
thuộc góc phần tư
D. I
thuộc góc phần tư
D. I và III

Câu 26: Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

B.

C.

D.

Câu 27: Cho
và
là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng
thức sau đây, đẳng thức nào sai?
A.

B.

C.

D.

Câu 28: Cho góc
sai?
A.

thoả
B.

Câu 29: Cho
A.

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào
C.

D.

. Khẳng định nào sau đây đúng?
B.

C.

D.

Câu 30: Cho số nguyên k bất kì. Đẳng thức nào sau đây sai?
A.

B.

C.

D.
21

Câu 31: Cho

. Khi đó

A.

B.

C.

Câu 32: Cho

A.

B.

.

Câu 33: Cho

A.

.

B.

.

.
.

và

C.

D.
. Khi đó
.

B.

Câu 36: Nếu tan =

B.

D.

.

Tính giá trị của biểu thức :

D.

, khẳng định nào sau đây đúng ?
B.

Câu 35: Cho

có giá trị bằng :

C. .

A.

A.

C.

với

Câu 34: Cho

A.

D.

thì

.

bằng:

. C.

bằng:
. D.

.

thì sin bằng:

C.

D.
22

Câu 37: Cho

A.

với

.

B.

Câu 38: Cho

A.

.

B.

.

.

.

B.

C.

B.

C.

.

Câu 42: Cho
A.

.

bằng

D.

.

C.

.

.

.

C.

.

B.

.

D.

bằng

.
bằng:

.

D.

.

. Khi đó

bằng:

B.

D.

bằng

, khi đó giá trị của

. Khi đó

.

.

, khi đó giá trị của

Câu 41: Cho

A.

D.

.

với

.

bằng

, khi đó giá trị của

với

Câu 40: Cho

A.

C.

với

Câu 39: Cho

A.

.

, khi đó giá trị của

.

23

C.

.

D.

.

Câu 43: Kết quả rút gọn của biểu thức
A. 2

B. 1 + tan

Câu 44: Cho
A.

.

bằng:

C.

D.

. Khi đó
B.

.

có giá trị bằng :
C.

.

D.

.

Câu 45: Biểu thức thu gọn của biểu thức
A.

.

B.

.

C.

là
.

D.

.

Câu 46: Đơn giản biểu thức
A.

B.

C. cosx

D.

C. cosx

D.

Câu 47: Đơn giản biểu thức
A.

B. sinx

Câu 48: Biểu thức (cot + tan)2 bằng:

A. cot2 – tan2+2

B.

C. cot2 + tan2–2

D.

24

Câu 49: Cho

. Tính

A.

B.

Câu 50: Cho
A.

C.

D.

. Khi đó

.

B.

.

có giá trị bằng :
C.

.

D.

.

Câu 51: Rút gọn biểu thức sau
A.

B.

Câu 52: Cho

C.

D.

C.

D.

C. cosx

D. sinx

. Tính

A.

B.

Câu 53: Đơn giản biểu thức
A.

B.

Câu 54: Cho

. Khi đó

A.

B.

có giá trị bằng :

C.

D.

Câu 55: Biểu thức
có biểu thức rút gọn là:
A.

.

B.

C.

.

D.

.
25

Câu 56: Cho

. Tính theo m giá trị.của

A.

B.

:

C.

D.

Câu 57: Rút gọn biểu thức

A.

B.

C.

D.

C.

D.

Câu 58: Rút gọn biểu thức sau
A.

B.

Câu 59: Biểu thức
thuộc vào và có giá trị bằng :
A. 6.

B. 5.

không phụ
C. 3.

D. 4.

Câu 60: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A. (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx
B. (sinx – cosx)2 = 1 – 2sinxcosx
C. sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x
D. sin6x + cos6x = 1 – sin2xcos2x
E. HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1:Trên đường tròn lượng giác, điểm
thỏa mãn
nằm ở góc phần tư thứ
A. I.
B. II.
C. III.

thì
D. IV.

Lời giải: Chọn B
Ta có:
Vậy điểm

.
nằm ở góc phần tư thứ II.

Câu 2:Chọn điểm

làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường
26

tròn lượng giác. Tìm điểm cuối
của cung lượng giác có số đo
là điểm chính giữa của cung phần tư thứ .

A.
B.

là điểm chính giữa của cung phần tư thứ

.

.

C.

là điểm chính giữa của cung phần tư thứ

.

D.

là điểm chính giữa của cung phần tư thứ

.

Lời giải: Chọn A
Theo giả thiết cung lượng giác đã cho có số đo bằng

, nên điểm

là

điểm chính giữa của cung phần tư thứ .
Câu 3:Có bao nhiêu điểm

trên đường tròn định hướng gốc

thỏa mãn

sđ
A.

.

B.

.

C. .

D.

.

Lời giải: Chọn A
Số điểm cuối của cung
lượng giác.

là

Câu 4:Lục giác đều

nội tiếp đường tròn lượng giác có gốc là

các đỉnh lấy theo thứ tự đó và các điểm
Khi đó góc lượng giác có tia đầu
A.
C.

điểm trên đường tròn

.
.

B.

,

, tia cuối

,

có tung độ dương.
bằng

.

D.

.

Lời giải: Chọn D
Theo bài ra ta có
có số đo bằng

nên góc lượng giác có tia đầu

, tia cuối

.
27

Câu 5:Cho góc lượng giác
đây đúng?
A.

.

B.

thỏa mãn
.

. Khẳng định nào sau
C.

.

D.

.

Lời giải: Chọn D
Câu 6:Trên đường tròn lượng giác cho hai điểm
và . Khẳng định nào
sau đây đúng?
A. Chỉ có một cung lượng giác có điểm đầu là
và điểm cuối là .
B. Có đúng cung lượng giác có điểm đầu là
và điểm cuối là .
C. Có vô số cung lượng giác có điểm đầu là
và điểm cuối là .
D. Có đúng cung lượng giác có điểm đầu là
và điểm cuối là .
Lời giải: Chọn C
Câu 7:Cung lượng giác có điểm đầu , điểm cuối
trên hình vẽ có số đo
bằng:

28

A.

.

B.

C.

.

D.

.
.

Lời giải: Chọn B

Ta có biểu diễn góc lượng giác
có số đo bằng
hình. Vậy điểm
nằm ở góc phần tư thứ .
Cách khác: Ta có

như trên

. Suy ra góc lượng giác
nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Câu 8: Với điều kiện xác định của các biểu thức, khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng?
A.

.

B.

C.

.

D.

.
.

Lời giải: Chọn C

29

Ta có
Câu 9: Với
đúng

.

thỏa mãn điều kiện có nghĩa của biểu thức. Chọn khẳng định

A.

.

B.

C.
Lời giải: Chọn B

.

D.

Câu 10: Cho
A.
C.

.
.

. Giá trị của biểu thức

.

B.
.

là
.

D.

Lời giải: Chọn B

Có:

.
.

Câu 11: Rút gọn biểu thức
A.
C.

.
.

với
B.
D.

.

.
.
30

Lời giải: Chọn D

.
(do
Câu 12: Cho

. Tìm
bằng

A.

.

B.

, ta có

).

sao cho giá trị của biểu thức

.

.

C.

.

D.

.

cho

ta có:

Lời giải: Chọn D
Điều kiện:

, chia cả tử và mẫu của
.

,
.

Câu 13: Đơn giản biểu thức

ta có

A.

B.

C.

D.

Lời giải: Chọn D
Ta có

31

Câu 14: Biểu thức A có biểu thức rút gọn là

A.
.
B.
Lời giải : Chọn B

.

C.

.

D.

.

.
.
Câu 15: Tính giá trị của biểu thức
.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải: Chọn B
Ta có

.
Câu 16: Đơn giản biểu thức
, ta có:
A.
C.

.

B.
.

D.

.
.

Lời giải: Chọn B
32

Vì

Câu 17: Cho

. Tính giá trị biểu thức

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

.

Lời giải: Chọn B
Ta có
.
Câu 18: Cho

. Tính giá trị biểu thức

.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.
Lời giải

Chọn D
Chia cả tử và mẫu của

cho

, ta được:

.
Vậy

.
33

Câu 19: Rút gọn biểu thức A ta được

A.

.

B.

C.

.

D.

.
.

Lời giải: Chọn B

.
Câu 20: Giả sử
A. .

thì
B.

.

có giá trị bằng

C. .

D.

Lời giải: Chọn A
Ta có

Vậy
Câu 21: Biểu thức
A. .
B.

.

.

C.

.

có giá trị bằng:
D. .

Lời giải: Chọn D
Ta có

34

3sin   2 cos 
B
12sin 3   4 cos 3  .
Câu 22: Cho cot  3 . Tính giá trị biểu thức
1
5
3
1


A. 4 .
B. 4 .
C. 4 .
D. 4 .
Lời giải : Chọn A
Ta có:

sin 
cos 
2 3
3
sin  
B  sin 3
2
2
12sin 
cos3  3 1  cot    2 cot  1  cot  
4 3
12  4 cot 3 
sin 3 
sin 
3 1  32   2.3 1  32 
1


3
12  4.3
4.
3

Câu 23: Tính giá trị của biểu thức

biết

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải: Chọn C
Vì

nên
cho

, chia cả tử và mẫu của biểu thức

, ta được:

.

Câu 24: Giả sử
Khi đó có giá trị bằng
A. .
B.
Lời giải: Chọn D

.

.
C.

.

D. .

35

Ta có
.
Câu 25: Rút gọn biểu thức
A.

.

B.

với
. C.

.

.

D.

.

Lời giải: Chọn C
Ta có

Vì

nên

.

Suy ra

.

Câu 26: Cho

. Khi đó biểu thức
là

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải: Chọn D

.
Câu 27: Giá trị của biểu thức
A.
C.

.

là
B.

.

D.

.
.
36

Lời giải: Chọn C

37