XỬ LÝ SỐ LIỆU VÀ QUY HOẠCH HOÁ SỐ LIỆU
STATISTICS FOR CHEMISTS
MỤC ĐÍCH:
Khi tiến hành các thí nghiệm ta thu được nhiều số liệu gọi là tập số liệu thực nghiệm (SLTN) (Data set).
Các vấn đề đặt ra đối với KQTN trên là:
Độ tin cậy của các giá trị trên như thế nào? (sai số, %...)
Yếu tố ảnh hưởng đến KQTN như: pH; C; t0;… ảnh hưởng đến hiệu suất phản ứng?
Có thể biểu diễn các ảnh hưởng bằng phương trình toán học được không (mô hình hoá thí nghiệm)?
Điều kiện tối ưu để thu được KQTN tốt nhất (tối ưu hoá thí nghiệm – Experimental Optimization)?
• Tất cả những câu hỏi trên đề có thể giải quyết được bằng phương pháp thống kê.


Chương I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

KQTN và sai số đi kèm là đại lượng ngẫu nhiên (nhận giá trị bất kỳ trong khoảng xác định) Mỗi đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) có hai đặc trưng cơ bản đó là “Tâm” của nó (giá trị trung bình) và độ phân tán của các kết quả của nó.
Vậy, các đại lượng mô tả tâm / độ phân tán là gì?

I.1. Giá trị trung bình: Mô tả “tâm” của ĐLNN/ tập SLTN.
1. Trung bình số học (Mean):
Đây là đại lượng thường được dùng nhất trong thống kê.
Ta tiến hành n thí nghiệm thu được các kết quả: x1, x2,…, xn. Thì trung bình số học được tính theo công thức:

Tính chất: Tổng các độ lệch bằng 0: .
2. Trung bình bình phương:

3. Trung bình nhân:

4. Trung vị / số giữa (Median): là giá trị đứng gữa.
Nếu n chẵn thì: Trung vị =
Nếu n lẻ thì: Trung vị = số giữa (sắp xếp cấcgí trị từ thấp đến cao)
Lưu ý: Arerage: Mô tả chung cho 4 giá trị trên mà không nói rõ giá trị nào.

I.2. Các đại lượng đặc trưng cho độ phân tán của ĐLNN hay tập SLTN.
1. Khoảng biến động/ khoảng dao động (Range):
R = xmax - xmin
2. Phương sai (Variance): Được ký hiệu là:
; với n là số thí nghiệm n > 30
hay ; với n là số thí nghiệm n < 30
Phương sai là đại lượng mô tả sự lặp lại hoặc sự phân tán các số liệu thực nghiệm. Với n – 1 là bậc tự do (Freedom degree) (nếu biết được n -1 độ lệch thì ta tìm được độ lệch còn lại; bậc tự do là n -1 với ý nghĩa là có n -1 số liệu tự do nhưng số liệu còn lại chịu ràng buộc để tổng độ lệch bằng không ()).
(Phương sai khó hình dung vì nó có thứ nguyên bình phương)
Tính chất của phương sai: ()
D(c) = 0 với c = const;
D(cx) = C2D(x) với x là biến số;
D(c+x) = D(c) + D(x) = D(x);
D(xy) = D(x)  D(y) với x,y là biến số;
Hệ quả: một KQTN thường mắc sai số do nhiều nguyên nhân khác nhau như: - Bản thân phương pháp đo:
- Kỹ thuật lấy mẫu (mẫu có đại diện không?).
- Thời gian lấy mẫu, không gian,……….: ,….
Như vậy sai số tổng cộng bằng tổng các sai số: .
Nếu các giá trị đo cho hàm số y = f(x1, x2,…, xi,.., xn) thì .

3. Độ lệch chuẩn (SD: Standard Deviatim):
Ký hiệu là  (nếu n > 30) hoặc S (nếu n < 30)

, S mô tả tốt nhất độ lặp lại / độ phân tán KQTN (ĐLNN) vì có thứ nguyên trùng với thứ nguyên của đại lượng đo (Đo – Measurement; Phân tích – Analysis; Tính,….).
Thí dụ: [PbII] = (1,0  0,5)g/l (1ppb = g/l)
( ppm: Parst Per Million: phần triệu (10 -6)
(ppb: Parst Per Billion : phần tỷ(10 -9)
(ppt: Parst Per trillion : phần nghìn tỷ(10 -12)
Vd: 0,033% = 330 ppm.
4. Độ lệch chuẩn tương đối (RSD: Relative Standard Deriation; CV: Coefficient of Variation).

Chú ý:
+ , S2, S, RSD, CV mô tả sai số của đại lượng đo và mô tả sai số ngẫu nhiên.
+ Trong phân tích và đo lường, khi xác định các giá trị càng nhỏ thì sai số (RSD) càng lớn.
Vấn đề đặt ra là khi xác định nồng độ thì RSD bằng bao nhiêu thì chấp nhận được. (Trace Analysis: phân tích vết  C  ppm; Ultra Trace Analysis: phân tích siêu vết  C  ppb).
Để trả lời câu hỏi trên, người ta thấy giữa C và RSD có mối quan hệ theo hàm Horwitz.

Khi C = 1ppb = 10-9  RSD = 25,5 = 45,25 (%) – RSDHorwitz của các kết quả giữa các phòngthí nghiệm trên thế giới.
Trong nội bộ một phòng thí nghiệm thì RSD = ½ RSDHorwitz là chấp nhận được.
RSDHorwitz được xác định trong hệ thống kiểm tra nội nghiệm – Collaborative Testing (phân tích mẫu bằng 1 phương pháp)
Hệ thống kiểm tra liên phòng thí nghiệm – Interlaborative Testing (phân tích bằng nhiều phương pháp khác nhau trên cùng một mẫu)  RSD gần với RSDHorwitz.

I.3. Sai số (Erorr):
Là độ lệch giữa đại lượng đo và giá trị thực của nó:
Sai số = x - 
Trong thực tế thường ta không biết được giá trị thực  của đại lượng đo. Do vậy, để mô tả sai số người ta dùng S, RSD, CV,  (biên giới tin cậy), U (Uncertrainty: độ bất ổn định / độ không đảm bảo đo/ độ không chắc chắn/ độ không xác định / sai số mở rộng của đại lượng đo)
Để xác định giá trị thực  của đại lượng đo, theo quy định quốc tế ta phải phân tích mẫu chuẩn hay mẫu vật liệu so sánh được cấp chứng chỉ (mẫu CRMs: Certified Refference Materials). (Mẫu CRMs được một số hãng trên thế giới sản suất).
Độ đúng/ độ chính xác/ mức chính xác – Accuracy:


Chỉ xác định được độ đúng khi phân tích mẫu chuẩn CRMs.
Các loại sai số:
(1) Sai số ngẫu nhiên (SSNN) – Random Erorr/ Indeterminate Erorr): là những sai số luôn bắt gặp trong cácthí nghiệm; nó có thể âm hoặc dương.
Thông thường, để giảm SSNN người ta thường tăng số thí nghiêm lên.
(2) Sai số hệ thống (SSHT) – Systematic Erorr/ Determinate Erorr: là những sai số nằm về một phía của giá trị thực  (hay giá trị trung bình ); nó có thể âm hoặc dương.
Nguyên nhân: - Do hoá chất bẩn.
- Do thiết bị không chính xác.
- Do bản thân phương pháp.
- D kỹ năng theo tác ….
Để giảm SSHT cần kiểm soát các nguyên nhân trên.
(3) Sai số thô – Outlier.
Chú ý:
+ S, RSD, CV,  chỉ mô tả sai số ngẫu nhiên (hay độ lặp lại/ độ phân tán) của KQTN.
U (sai số tổng cộng): bao hàm cả SSNN và SSHT.
Trong thực tế người ta thường biểu diễn KQTN dạng: S (n=?) hoặc  RSD (n=?).
+ S, U, : biểu diễn sai số tuyệt đối (chúng có cùng thứ nguyên với đại lượng đo); RSD, CV: biểu diễn sai số tương đối (thứ nguyên là %)
Thí dụ: [CuII] = (0,10,2)ppb
[PbII] = (5,00,5)ppb
So sánh xem phép xác định nào chính xác hơn?

Như vậy phép xác định PbII chính xác hơn. Mặc dù SCu(II) < SPb(II).
+ Độ lặp lại – Precision: có 2 trường hợp:
• Thí nghiệm trong điều kiện đồng nhất (cùng thời gian, thiết bị, hoá chất, 1 người làm)  Độ lặp lại – Repeatability
• Thí nghiệm trong điều kiện không đồng nhất  Độ thu hồi/ độ phục hồi – Reproducility (khác với độ thu hồi - Recovery: thường dùng để đánh giá phép đo).
Thí dụ: Khi đo mẫu PbII: Lần 1 mẫu PbII  ta đo được [PbII]= 1,0 ppb
Lần 2 mẫu PbII + 0,5ppb  ta đo được [PbII]= 1,3 ppb
 Độ thu hồi của phép đo: .
(Spike: thêm ít; Addition: thêm nhiều)
Kết luận:
Để đánh giá độ đúng (accuracy), người ta có thể tiến hành 1 trong 3 hoặc cả 3 cách sau:
+ Phân tích mẫu chuẩn CRMs.
+ Thêm chất phân tích vào mẫu (Spike) rồi xác định độ thu hồi.
+ Phân tích bằng phương pháp chuẩn để so sánh kết quả đo được với kết quả đo của phương pháp chuẩn.
Cách lấy con số có nghĩa:
Trong Hoá học, kết quả thí nghiệm thu được luôn mắc sai số. Vì vậy, việc lấy giữ lại những con số có nghĩa hết sức quan trọng.
Con số có nghĩa là con số được biểu diễn sao cho chỉ có con số cuối cùng là sai, nghã là các số đứng trước đó là những con số đúng.
Để giữ lại con số có nghĩa, chúng ta phải dựa vào độ lệch chuẩn S hay RSD.
Nếu không có S, RSD thì ta dựa vào hàm Horwitz:

Thí dụ 1: %TiO2 = 0,352 %  0,4 %; C = 4.10-3.

(như vậy ta lấy 2 con số sau dấy phảy).
Thí dụ 2: y = 3,2 (ml) . 2,252 (mg/ml) = 7,2064 (mg)
Ta có sai số của thể tích là:
Ta có sai số của nồng độ là:
Ta có sai số của y là:
Như vậy sai số của kết quả đo phải sao cho bằng với sai số lớn nhất của các con số, nghĩa là kết quả y = 7,2 hay nói cách khác là sai số của V quyết định sai số của phép đo. Khi đó Sy = 1/72.

Độ tin cậy của một phép đo được đánh giá qua các thông số sau:
+ Độ lặp lại: S, RSD/ CV.
+ Độ nhạy (Sensitivity)  Độ dốc của đường chuẩn = . Nếu hệ số góc b càng lớn thì độ nhạy càng cao và ngược lại.
+ Giới hạn phát hiện (DL: Detection Limit): mô tả khả năng định tính của phương pháp.
DL là nồng độ nhỏ nhất của chất phân tích mà ta có thể phát hiện được một cách tin cậy.
Thực tế ta nên xác định ở giới hạn định lượng (QL: Quantitation Limit).
QL = 3 ÷ 4 DL

I.4. Phân bố.
1. Phân bố thực nghiệm.
Thực hiện thí nghiệm thu được KQTN: x1, x2, …, x­n.
Vấn đề đặt ra là các kết quả phân bố như thế nào?
Để xác định sự phân bố của các KQTN người ta tiến hành như sau:
Chia các SLTN thành các khoảng d tương đương nhau:

Xác định tần xuất của SLTN trong khoảng di xác định.
; ni: là số lần xuất hiện kết quả xi trong khoảng di.
Biểu diễn kết quả lên hệ toạ độ: ni = f(xi).


• Nếu xi gần với thì có tần xuất max.
• Phân bố các KQTN thông thường là đối xứng  KQTN tốt; nhưng đôi khi các KQTN cũng phân bố lệch. Để trở về đối xứng ta xây dựng ni = f(lgxi).
2. Phân bố lý thuyết.
a. Phân bố chuẩn/ phân bố Gauss – Normal Distribution / Gauss Distribution:
Các SLTN và các sai số trong Hoá học tuân theo phân bố chuẩn.
Hàm phân bố chuẩn:


Trong đó: x: KQTN
: Độ lệch chuẩn (n lớn)
: Giá trị thực của đại lượng đo x.
Dạng đồ thị:
Nhận xét:
Xác xuất P (Probality) thu được nằm trong miền {- ÷ +}

P(-2 < x < +2) = 95%
P(-3 < x < +3) = 99,7%
P: được gọi là xác xuất tin cậy (Confidence Prob)
 = 68%; 95%;… được gọi là độ tin cậy/ mức tin cậy (Confidence Level)
 Ở P hay  càng cao thì sai số càng lớn. Thông thường người ta hay chấp nhận ở  = 95%; P = 0,95. Người ta lấy biên giới 3 để phân biệt SSHT và SSNN (ngoài miền là SSHT không chấp nhận được; trong miền là SSNN).
Hàm y chính là hàm xác xuất phụ thuộc vào hai biến  và  ( p = f(,).
Để lập được bảng tra cứu người ta chuẩn hoá hàm Gauss:
Đặt 
()

Tiến hành lập bảng:
Biết u  P; Biết P  u.

Lưu ý:
+ Đại lượng u trong thực tế kiểm tra nội nghiệm và kiểm tra liên nghiệm thì đại lượng này được gọi là “Zscore”  Z  2 là tốt nhất (chất lượng phòng thí nghiệm là tốt); còn nếu phòng thí nghiệm có  Z > 2 là PTN có chất lượng tồi.
+ Trong thực tế rất ít khi số phòng thí nghiệm tham gia phân tích > 30 (n > 30) nên phân bố chuẩn có ý nghĩa lý thuyết  ít dùng trong đánh giá số liệu.
Khi biết các giá trị riêng lẻ của đại lượng đo (ĐLNN) ta tính được độ lệch chuẩn   (ĐLNN) có
Khi đo cùng một mẫu: n =3 
n =7 
n =10 
……………

Trong thực tế, khi biểu diễn KQTN người ta thường ghi kèm độ lệch chuẩn  và số thí nghiệm n.
Thí dụ: Điểm trung bình của lớp với 50 HS là 7,2 1,0 (n = 50) 
Từ phân bố chuẩn ta có thể xác định được biên giới tin cậy :

 Khi biểu diễn KQTN người ta thường ghi xác xuất tin cậy.
Thí dụ:
Đối với giá trị trung bình:
Thường trong thực tế người ta biểu diễn:

b. Phân bố Student (phân bố t):
Trong thực tế người ta thường tiến hành với số thí nghiệm n nhỏ nên không thể dùng phân bố chuẩn để đánh giá KQTN (vì sai lệch nhiều). Trong trường hợp này, người ta đề nghị dùng phân bố Student để đánh giá KQTN (bù lại sai lệch khi đánh giá qua phân bố chuẩn).
Hàm phân bố phức tạp chứa biến t (chuẩn t/ chuẩn Student) và biến f (bậc tự do).
Dạng phân bố t tương tự phân bố chuẩn nhưng phụ thuộc vào f. f lớn (n lớn)  phân bố t tiến tới phân bố chuẩn.
Chuẩn t:

;
t = f(p,f = n-1)  người ta lập bảng tra cứu.
Nếu P = const  f tăng  t giảm
Nếu f = const  P tăng  t tăng.
Lưu ý: S và t phải cùng bậc từ do.
Nếu số thí nghiệm n rất lớn thì t(P=0,95; f) = 1,96  2 khí đó .
c. Phân bố Fischer (phân bố F):
Tiến hành thí nghiệm với: n1 
n2 
Để so sánh độ lặp lại (,)của hai dãy thí nghiệm trên, người ta dùng chuẩn Fischer.
Dạng hàm phân bố:
Dạng phân bố F cũng giống dạng phân bố t nhưng luôn nằm ở góc dương của trục toạ độ Decacter.
Khi f1 & f2   thì phân bố F tiến đến phân bố chuẩn.
Tính F: . Vì F  1 nên khi tính ta đặt phương sai lớn trên tử số.
d. Phân bố “khi bình phương” (2).
Vấn đề: Có quần thể  phương sai 2. Nếu lấy mẫu trong quần thể đó để đo (với n nhỏ)  S2. Vấn đề đặt ra là độ lặp lại 2 và S2 có giống nhau không?
Để trả lời câu hỏi này người ta sử dụng phân bố 2.
Dạng hàm:
Khi f   thì phân bố 2 tiến đến phân bố chuẩn.
Dạng đồ thị tương tự phân bố F.
Tính 2:





Chương II. XỬ LÝ VÀ KIỂM TRA SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM

II.1. Xử lý số liệu thực nghiệm:
1. Bài toán 1: Xác định khoảng tin cậy/biên giới tin cậy ()
Chưa biết độ lệch chuẩn S:
Bài toán: Tiến hành thí nghiệm n lần thu được kết n quả x1, x2, ..., xn.
Giải: - Tính trung bình số học (Mean):
- Tính độ lệch chuẩn:
- Biên giới tin cậy: ; tra bảng tìm giá trị t ở p=0,95 và f =n –1 (nếu n > 30 thì chấp nhận t = 2, khi đó )
Từ đó ta có:

Biết RSD/CV:
; .
; Khi RSD/CV cho trước thì thường người ta chấp nhận n → ∞ do vậy chấp nhận t = 2 → .
Lưu ý: việc xác định hay S ở đây, S là của phép đo (Method) và chấp nhận phép đo chỉ mắc sai số ngẫu nhiên.
Trong thực tế để đo một đại lượng nào đó cần phải làm nhiều công đoạn:
- Lấy mẫu (mắc sai số do lấy mẫu (Sspl: Sampling))
- Xử lý mẫu, đo, xử lý số liệu, báo cáo kết quả (mắc sai số phép đo – measurement SMeas .
Như vậy sai số phương pháp sẽ là: S2=S2spl+S2meas. Tuy nhiên, khi lấy sai số S, của phép đo đã giả thiết bỏ qua Sspl.
Thực tế nhiều trường hợp sai số lấy mẫu rất lớn do đó nó quyết định đến sai số của phép đo (Procedure: quy trình, thủ tục) dẫn đến:
Hệ quả: Nếu sai số lấy mẫu rất lớn quyết định sai số phương pháp thì không cần phải sử dụng phép đo chính xác và ngược lại.
Một vấn đề dặt ra là các mẫu khác nhau có ảnh hưởng đến kết quả đo hay không? Để trả lời câu hỏi này ta phải dùng phương pháp phân tích phương sai (ANOVA: Analysis Of Variance)

2. Bài toán 2: Xác định số thí nghiệm (n) để khi dùng phương pháp nào đó có S (hoặc RSD) không mắc sai số vượt quá giới hạn cho phép.
Cụ thể: Giả sử cần đo đại lượng bằng phương pháp có S/RSD. Yêu cầu sai số đo (sai số tuyệt đối/tương đối) nào đó.
Giải:
Chú ý: Nếu cho trước RSD, thì ta có thể tính được ; n là số thí nghiệm nên phải được làm tròn.
Thí dụ: Xác định % Fe2O3 trong ddaats cowx 1% ÷ 5% bằng phương pháp chuẩn độ Complexom (dùng Complexom II/ trilon B Na2H2Y) có RSD(%) = 2,0%. Hỏi phảp tiến hành bao nhiêu thí nghiệm để sai số không quá 5% (chấp nhận không măc sai số khi lấy mẫu).
Giải: - Tính :
- Tính :
- Tính n:


Bài toán 3: Chọn phương pháp đo/ phân tích
Nội dung: Chon phương pháp nào trong các phương pháp A, B, C, D,… để đo nào đó sao cho với n thí nghiệm thì đạt được sai số mong muốn. ( ) (tương đối, tuyệt đối).
Giải:
Các phương pháp A, B, C, D,… có CVi (Si) tương ứng (cho trước).
Cần tính độ lệch chuẩn S* (CV*) rồi so sánh với các Si (CVi).
 Chọn phương pháp có Si (CVi) < S* (CV*).
Biết .
Hiểu rằng đã tiến hành số thí nghiệm rất lớn. CVi/Si ứng với n  

+ So sánh CVA, CVB, CVC, CVD, … với CV* chọn được phương pháp có CVi< CV*. (hoặc so sánh Si với S*  chọn phương pháp có Si < S*).
* Thực tế, trong các tài liệu về các phương pháp đo  công bố S (hoặc CV) ứng với nào đó.  Thực tế dao động trong khoảng rộng  người đo/ phân tích phải xác định lại S (CV) ứng với khoảng cần đo.  Phức tạp, khó so sánh kết quả đo.  Do vậy, người ta đề nghị chọn phương pháp có hiệu lực (VAM: Valiđate Analysis Measurement).  Tính pháp lý cao.
Lưu ý:
+ Trong GLP (Good Laboratory Practice ) bắt buộc dùng phương pháp VAM.
+ Để có một phương pháp VAM phải trải qua 3 giai đoạn.
• GĐ1: Nghiên cứu trong nội bộ PTN  đưa ra phương pháp mới.
• GĐ2: Áp dụng phương pháp mới đó cho nhiều PTN để xem phương pháp này có tốt không (độ lặp lại, độ đúng, độ hồi phục,…)  Phân tích một hoặc một vài kiểu mẫu.
• GĐ3: Áp dụng phương pháp mới cho nhiều PTN nhưng phân tích nhiều kiểu mẫu khác nhau trong một khoảng thời gian, không gian xác định (vài tháng, 1 năm) xem có tốt không.
 Nếu tốt thừa nhận là VAM.
II.2. Kiểm tra số liệu thực nghiệm.
Nguyên tắc chung: Nhiều khi ta cần phải so sánh hai kết quả đo:
+ (của một phương pháp nào đó) với (mẫu CRMs)
+ (của người này/ phương pháp/PTN /ngày….) với (của người khác/ phương pháp/PTN /ngày…khác).
+ So sánh độ lặp lại của hai tập SLTN ()
Để giải quyết vấn đề: Tiến hành “KIỂM TRA GIẢ THIẾT THỐNG KÊ (Significance)”  làm thế nào để KTGTTK
Chấp nhận giả thiết H0.
Đánh giá độ đúng của giả thiết H0.
 Tính được (áp dụng thống kê xác suất) xác suất loại bỏ H0/ bác bỏ H0.
 Xác suất này gọi là mức ý nghĩa P hoặc  (%).
(t) = f (t;f) từ t,f .
 So sánh P với “chuẩn” nào đó  để đánh giá giả thiết H0.
Trong thực tế, người ta đi tính chuẩn thống kê (t, F, 2) từ các số liệu thực nghiệm (SLTN) đã thu được ta được các giá trị ttính, Ftính, 2tính,… sau đó tra bảng để xác định các chuẩn thống kê ở mức ý nghĩa nào đó t(p; f); F(p; f1; f2;..); … sau đó so sánh giá trị các chuẩn thống kê tính được với chuẩn thống kê tra bảng trên rồi đi đến nhận xét/ kết luận.
Nếu ttính < t(p;f) thì ta chấp nhận giả thiết H0 – hai đại lượng so sánh không khác nhau / không khác nhau có ý nghĩa về mặt thống kê; hay nói cách khác là chỉ mắc sai số ngẫu nhiên chứ không mắc sai số hệ thống.
Ngược lại, nếu ttính > t(p;f) thì ta bác bỏ giả thiết H0; chấp nhận giả thiết thay thế Ha (Alternative). Kết luận hai đại lượng đo khác nhau hay mắc sai số hệ thống.
Chú ý:
Trong thống kê, khi đúng mà kết luận là sai; khi có mà kết luận là không ta gọi là sai số loại 1. Ngược lại, khi sai mà kết luận là đúng, khi không mà kết luận là có ta gọi là sai số loại 2.
Trong nghiên cứu, người ta mong cả ss loại 1 và ss loại 2 luôn nhỏ; nhưng nhỏ đến mức nào thì tuỳ thuộc vào người nghiên cứu. (thí dụ: ở Mỹ chấp nhận 7%  p=0,07; ở châu Á, EU: 5%  p=0,05)
Nhiều báo cáo kết quả người ta ghi mức ý nghĩa p đi kèm.
Thí dụ:
STT
KQ đo
p
1
2
.
.
x1
x2
.
.
0,001
0,09
.
.
Khi chấp nhận H0 tức là không có cơ sở để bác bỏ H0 chứ chưa chắc đã là đúng.




II.3. ÁP DỤNG:
1. Trường hợp đo trên cùng một mẫu.
Bài toán 1: So sánh .
Thí dụ: So sánh kết quả phân tích mẫu chuẩn CRMs () với giá trị được thông báo trong chứng chỉ của mẫu CRMs ().
So sánh kết quả đo bằng phương pháp mới () với kết quả đo bằng phương pháp chuẩn ().
Nghiên cứu ảnh hưởng của yếu tố đến đại lượng đo.
(TD: khi mẫu chứa CuII; đo CuII thu được ; khi mẫu chứa CuII và PbII; đo CuII thu được . So sánh PbII có ảnh hưởng đến phép đo CuII không?)

Giải:
Tiến hành n thí nghiệm thu được kết quả: x1; x2; ...; xn. từ đó tính được .
Tính .
Tính .
Tra bảng xác định t(p=0,05; f=n-1).
So sánh nếu ttính < t(p;f) thì chấp nhận H0 tức là =(giống nhau).
(ở mức ý nghĩa 0,05 PbII không ảnh hưởng đến phép xácđịnh CuII…)
Nếu ttính­ > t(p;f) thì bác bỏ H0 (hay chấp nhận Ha) tức là 
(ở mức ý nghĩa 0,05 PbII có ảnh hưởng đến phép xácđịnh CuII…)

Bài toán 2: So sánh hai giá trị trung bình .
Giải:
Tiến hành n1 thí nghiệm thu được
Tiến hành n2 thí nghiệm thu được
Giả thiết (hay độ lặp lại như nhau)
Tính phương sai mới cho cả hai tập SLTN:

.
Tính ; nếu n1 = n2 = n thì
So sánh ttính với t(p; f=n1+n2-2) ; (thí dụ ở p=0,05).
Kết luận nếu ttính < t(p; f=n1+n2-2) thì chấp nhận H0 hay
nếu ttính > t(p; f=n1+n2-2) thì bác bỏ H0 hay
Chú ý: Nếu (độ lặp lại khác nhau) thì đề nghị áp dụng phương pháp gần đúng để so sánh . ;
(làm tròn f)
Tiếp theo tương tự.

2. Đo trên nhiều mẫu khác nhau.
Bài toán 3: Tiến hành đo một đại lượng nào đó trên nhiều mẫu có hàm lượng hay nồng độ khác nhau bằng hai phương pháp khác nhau, hai thiết bị khác nhau, hai người làm thí nghiệm.
Hai phương pháp khác nhau, hai thiết bị khác nhau, hai người làm thí nghiệm có cho kết quả thí nghiệm khác nhau không?
Mục đích của bài toán là kiểm tra xem giữa Hai phương pháp khác nhau, hai thiết bị khác nhau, hai người làm thí nghiệm có mắc sai số hệ thống không?
Giải:
Tiến hành đo bằng phương pháp 1 thu được các kết quả x1; x2; ...; xn.
Tiến hành đo bằng phương pháp 2 thu được các kết quả y1; y2; ...; yn.
Đánh giá xem xi – yi bằng hay khác không?
Ta tiến hành xác định
Tính .
Tính .
So sánh ttính với t(p=0,95;f=n-1).
Nếu ttính < t(p=0,95;f=n-1) thì chấp nhận giả thiết H0 (d0)  kết luận là kết quả của hai phương pháp là như nhau; phương pháp 2 không mắc sai số hệ thống so với phương pháp 1 (phương pháp chuẩn).
Nếu ttính > t(p=0,95;f=n-1) thì bác bỏ giả thiết H0 (d0)  kết luận là kết quả của hai phương pháp là khác nhau; phương pháp 2 mắc sai số hệ thống so với phương pháp 1 (phương pháp chuẩn).
Chú ý:
Phương pháp này chỉ áp dụng trong trường hợp những hàm lượng hay nồng độ không lớn hơn nhau 10n lần.
TD: Xác định hàm lượng PbII trong 4 mẫu phân tích bằng hai phương pháp khác nhau.
Mẫu 1 2 3 4
pp oxh ướt: 71 61 50 60
pp chiết trực tiếp: 76 68 48 57
(phân tích bằng phương pháp AAS).
Hàm lượng PbII trong hai phương pháp có khác nhau hay không?
Ta có: di = -5 ; -7 ; 2 ; 3 và
ttính = 0,7 < t(p=0,05; f=3) = 3,18. chấp nhận giả thiết H0 (d0)  kết luận là kết quả của hai phương pháp là như nhau; phương pháp 2 không mắc sai số hệ thống so với phương pháp 1 (phương pháp chuẩn).
Khái niệm về kiểm tra (Test) hai phía và một phía (2 tails ; 1 tails – 2 đuôi và 1 đuôi).
Kiểm tra hai phía khi so sánh hai đại lượng voái nhau: ; bắt buộc phải tra chuẩn t, F, 2 (ở mứ ý nghĩa p = 0,05 ở hai phía)
Kiểm tra một phía khi biết chắc chắn một đại lượng luôn nằm về một phía của đại lượng kia. TD: chuẩn độ axit bằng bazơ có thể dùng chỉ thị: phenolftalein (pT = 9)  CA lớn; Metyl da cam (pT = 5)  CA nhỏ.
Một phương pháp chuẩn phải cho kết quả tốt hơn về ; Một phương pháp mới phải cho kết quả tốt hơn về . (>).
Phương pháp chuẩn phải có độ lặp lại tốt; phương pháp mới có độ lặp lại tốt hơn. (<).
Thídụ (tr 59 – 60 / Miller): Người ta nghi ngờ rằng phương pháp chuẩn độ axit – bazơ có thể bị mắc sai số hệ thống dương (systematic error hay bias). Để kiểm tra, người ta chuẩn độ 25,00 ml dung dịch NaOH 0,1M bằng dung dịch chuẩn axit 0,1M được kết quả như sau:
25,06 25,18 24,87 25,51 25,34 25,41 (n = 6)
Giải:
>
Kết luận: phương pháp chuẩn độ mắc sai số hệ thống.

3. So sánh độ lặp lại của hai tập SLTN.
Mục đích: so sánh hai phương sai: đo trên cùng một mấu hoặc đo trên hai mẫu khác nhau.
Bài toán 4:
Tiến hành n1 thí nghiệm thu được
Tiến hành n2 thí nghiệm thu được
Vấn đề? Độ lặp lại của hai thí nghiệm có như nhau không?
Giả thiết (hay độ lặp lại như nhau).
Giải:
Tính chuẩn F: giả sử (vì F > 0).
Tra bảng F(p=0,05; f1=n1-1; f2=n2-1).
So sánh nếu Ftính < F(p;f1;f2) thì chấp nhận giả thiết H0 hay độ lặp lại của hai thí nghiệm là như nhau.
nếu Ftính > F(p;f1;f2) thì bác bỏ giả thiết H0 hay độ lặp lại của hai thí nghiệm là khác nhau.
Chú ý: Có hai trường hợp:
+ Nếu biết chắc (phương pháp 2 là phương pháp chuẩn) thì sử dụng Test một phía. (tra P một phía).
+ So sánh  tra bảng P hai phía.
Phạm vi ứng dụng của bài toán:
+ Nghiên cứu ảnh hưởng của một yếu tố.
+ Nghiên cứu sự phát triển của phương pháp (Method Development): so sánh của phương pháp chuẩn và phương pháp mới.
+ Hỗ trợ cho bài toán so sánh hai giá trị trung bình (bài toán 2).  Khí làm bài toán 2, trước hết phải so sánh:  So sánh hai giá trị trung bình. Nếu  sử dụng phương pháp gần đúng.
Thí dụ: So sánh phương pháp mới xác định COD (nhu cầu oxi hoá học) với phương pháp chuẩn (dùng muối HgII) khi phân tích mẫu nước thải người ta thu được kết quả sau:
(mg/l) S (mg/l); n =8
Phương pháp mới: 72 1,51
Phương pháp chuẩn: 72 3,31
Độ lặp lại của phương pháp mới có hiệu quả hơn phương pháp chuẩn hay không?
Giải:   Phương pháp mới có độ lặp lại cao hơn.

4. So sánh phương sai mẫu với phương sai cụ thể.
Áp dụng chuẩn 2.
Chú ý:
+ Chuẩn F nhạy trong trường hợp phương sai có tính cộng tính.
+ Chuẩn 2 nhạy trong trường hợp phương sai không có tính cộng tính.
+ Nếu cần so sánh nhiều phương sai  Áp dụng phương pháp ANOVA.

5. Loại trừ các giá trị mắc sai số thô (Outlier):
Vấn đề đặt ra là khi ta tiến hành thí nghiệm thu được các kết quả x1, x2,…., xn. Nếu có một vài giá trị xi quá lớn hoặc quá nhỏ thì khi tính trung bình số học sẽ không đại diện cho tập SLTN đó. Vậy, có thể loại bỏ được các giá trị đó không?
Để giải bái toán này người ta áp dụng chuẩn Bixon (Q) (với n < 10).
Giải: + x1, x2,…., xn. (với n < 10).
+ Sắp xếp các giá trị xi theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
+ Tính chuẩn Q:
Trong đó xNV: là giá trị nghi vấn nhất; xLC là giá trị đứng cạnh giá trị nghi vấn.
+ So sánh Qtính với Q (P=0,95; n).
Nếu Qtính < Q (P=0,95; n)  không bỏ được giá trị nghi vấn đó.
Nếu Qtính > Q (P=0,95; n)  bỏ được giá trị nghi vấn đó.
Xét đến khi nào không bỏ được xNV nào thì tính trung bình.
Thí dụ:
KQTN: 0,403; 0,410; 0,401; 0,380; 0,400; 0,413; 0,411
Giá trị 0,380 có loại bỏ được không?
Chú ý: Trong trường hợp chỉ có 3 giá trị và các giá trị này khác nhau nhiều thì không nên áp dụng chuẩn Q để loại bỏ giá trị nghi vấn mà sắp xếp theo giá trị tăng dần rồi chọn giá trị đứng giữa làm giá trị đại diện cho tập SLTN đó.

II.3. Sai số của đại lượng đo gián tiếp.
Vấn đề đặt ra: Để đánh giá SLTN thông thường ta đo n lần  x1, x2,…., xn. Nhưng trong thực tế khi ta đo 1 lần  1 kết quả y. Vậy sai số của y như thế nào?
Trong hoá học, y thường là đại lượng đo gián tiếp.
Thí dụ:
Trong phương pháp chuẩn độ:
Trong phân tích trắc quang: A = a + bC.
Trong phân tích điện hoá: I = a + bC…..
Thì C, là đại lượng đo gián tiếp; A, I, V là đại lượng đo trực tiếp.
 Tổng quát: Nếu y là đại lượng đo gián tiếp; x1, x2,…., xn là đại lượng đo trực tiếp thì y = f(x1, x2,…., xn) = f(xi).
(còn nữa bổ sung sau)
Chương III: TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY
(Correlation and Regression)
Mục đích: trong hoá học phân tích, 95% công việc trong phòng thí nghiệm là phân tích công cụ. Khi định lượng theo phương pháp phân tích công cụ (Quantitation) ta áp dụng nhiều phương pháp (cách):
1. Phương pháp đường chuẩn (calibration curre):








2. Phương pháp thêm (Additon method):
Đo lần 1: Sx= a + bCx (a)
Đo lần 2: S = a + b(Cx+Cthêm) (b)
Giải (a) và (b) ta thu được Cx. (có thể bổ qua a rồi lấy (a)/(b)).
Ta có:



3. Phương pháp thêm chuẩn (Standard Additon method):

4. Phương pháp khác.
Lưu ý: Phương pháp (1) & (2) thường áp dụng để xác định khoảng nồng độ từ 10-3 ÷ 10-6M (nếu nồng độ > 10-3 người ta dùng phương pháp chuẩn độ); Phương pháp (3) thường áp dụng để xác định khoảng nồng độ từ < 10-6M (10-6 =1ppm : phân tích vết; ≤ 1ppb: phân tích siêu vết)

Vấn đề đặt ra:
• Với tất cả 3 phương pháp trên S tuyến tính với Cx?
• Phương trình y = a + bx có dạng như thế nào? (đường tốt nhất đi qua các điểm là đường như thế nào?). Cần xác định a & b ; còn x, y đo được bằng thực nghiệm. (a, b được xác định từ các giá trị thực nghiệm yi, xi)
• Sai số của a, b như thế nào?
• x được xác định theo đường chuẩn (y = a + bx) mắc sai số bao nhiêu? ()
Giải quyết vấn đề: Bằng phương pháp tương quan và hồi quy. Phương trình y = a + bx được gọi là phương trình hối quy tuyến tính của y theo x.
Chú ý: + Khi xây dựng phương trình hối quy tuyến tính y = a + bx, x thường là nồng độ các dung dịch chất phân tích (dd chuẩn hoặc dd cần xác định) do vậy mắc sai số rất nhỏ; còn y là tín hiệu đo thường mắc sai số lớn hơn.
+ Việc xác định phương trình hồi quy có thể áp dụng cho nhiều trường hợp khác: Hồi quy phi tuyến tính giữa y và x; Áp dụng trong phương pháp phân tích công cụ; Xét tương quan giữa hai thành phần trong mẫu hoặc giữa hai đại lượng.
Thí dụ: CA = a = bpH, xác định pH thì tính được CA.
CDDT = a + bCmùn (trong đất)

III.1 Hệ số tương quan (r):
Để xét xem giữa y và x có tương quan tuyến tính với nhau không người ta phải tính r.
Nếu r →1 thì y và x càc tuyến tính càng tốt (│r│<1)
Nếu r < 0 thì x tăng → y giảm
Nếu r > 0 thì x tăng → y tăng
(-1≤ r ≤1)
Tính r?
Thực nghiệm ta tính được các cặp giá trị (x1, y1), .... (xn,yn).

r có thể được tính bằng các phần mềm máy tính.
Nhận xét:
Khi r < 0,7 thì giữa x và y có tương quan lỏng lẻo.
Khi r > 0,7 thì giữa x và y có tương quan chặt chẽ.
Khi r = 0 thì giữa x và y không có tương quan tuyến tính; có thể có tương quan phi tuyến tính.
Khi r = 1 thì giữa x và y hiển nhiên có tương quan tuyến tính chặt chẽ. Để khẳng định là tương quan tuyến tính người ta phải xét chuẩn t.
so sánh với ttra bảng (ở p hai phía, f = n-2 thông thường p=0,95)
Giả thiết H0: x và y không có tương quan tuyến tính (t, r càng lớn càng tốt).
Nếu ttính > t (p;f) thì ta bác bỏ H0. x và y có tương quan tuyến tính.
Nếu ttính < t (p;f) thì ta chấp nhận H0. tuy nhiên có thể có mối tương quan phi tuyến tính.

III.2. Hồi quy tuyến tính y theo x.
Mục đích: Xác định phương trình hồi quy tuyến tính y = a + bx (xây dựng đường hồi quy tốt nhất)
Giải: Tiến hành thí nghiệm ta thu được các cặp giá trị (x1, y1), .... (xn,yn).
Giả thiết:
+ Đường (1) là đường tốt nhất.
+ x mắc sai số nhỏ (có thể bỏ qua).
+ y mắc sai số lớn hơn.
Để xây dựng phương trình hồi quy tuyến tính người ta áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu (bình phương nhỏ nhất).
Nguyên tắc: Đường hồi quy tuyến tính tốt nhất thoả mãn điều kiện: “Tổng bình phương các độ lệch là nhỏ nhất” ().
Áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu ta tính được các giá trị a,b từ các số liệu thực nghiệm (xi,yi).
Để với
suy ra

Xây dựng đường hồi quy tuyến tính: y = a + bx. Xác định sai số ?
Tính : (vì a, b là những đại lượng đo gián tiếp nên mắc sai số phụ thuộc vào sai số của y ; x không mắc sai số theo giả thiết)
Áp dụng công thức sai số gián tiếp:
chấp nhận
Biến đổi ta có:

(f = n-2 vì xi và yi bị ràng buộc bởi hai biến a và b)
được gọi là y- residues. Sy → Sresidues.
; ; t(p=0,95; f=n-2) (vì Sa, Sb phụ thuộc vào Sy có n-2 bậc tự do)
Khi đó phương trình hồi quy có thể viết:

Chú ý: + Hồi quy x theo y tương tự (cần lưu ý: trục tung biểu diễn đại lượng mắc sai số lớn hơn; trục hoành biểu diễn đại lượng mắc sai số nhỏ hơn có thể bỏ qua sai số)
+ Trong trường hợp a rất nhỏ thì cần xét xem có vẽ được đường hồi quy tuyến tính đi qua gốc toạ độ không?
Giải: Giả sử vẽ được đường hồi quy tuyến tính y' = b'x ; (a=0)
- Áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu:




- Xét xem giả sử có đúng hay không? Ta so sánh phương sai của đường tốt nhất (1) với phương sai của độ lệch giữa hai đường (1) & (2) – đường qua gốc toạ độ.
Chú ý: Không so sánh với vì có thể nhưng không thể vẽ thay nhau được.
Cách so sánh:
Tính
Phương sai giữa hai đường = (với bậc tự do: f = (n-1) – (n-2) = 1)

Xét chuẩn F: so với .
Nếu Ftính < F thì chấp nhận giả thiết H0 tức là có thể vẽ được đường hồi quy qua gốc toạ độ.
Nếu Ftính > F thì bác bỏ giả thiết H0 tức là không thể vẽ được đường hồi quy qua gốc toạ độ.
Trong thực tế, phần mềm máy tính sẽ giúp chúng ta tính toán tự động và kết quả đưa ra là bảng phân tích phương sai:
Dạng hàm số
∑(......)2
f
Phương sai
y = a + bx
y = b'x
.............
Q
Q'
Q' - Q
n-2
n-1
(n-1)-(n-2) = 1






Có thể áp dụng hồi quy tuyến tính để thiết lập các phương trình hồi quy tuyến tính.
Thí dụ: Nghiên cứu về động học của phản ứng: C = C0e-kT.


C0: Nồng độ ban đầu.
C: Nồng độ sau thời gian t ở T0K
k: const tốc độ phản ứng


Đây là hàm phi tuyến tính với tham số biến C0k.
Giải:
Tuyến tính hoá: .
. Khi đó ta có dạng hàm y = a + bx (với t = x).
Từ kết quả thực nghiệm ta có: t: t0 t1 t2 ....... tn
C: C0 C1 C2 ...... Cn.
Ta tính được a, b theo phương pháp bình phương tối thiểu. Biết a ta sẽ xác định được C0, biết b ta sẽ xác định được k/2,3 và k.
Sau đó tính C theo phương trình: C = C0e-kT.

Trong một số trường hợp có thể thiết lập được phương trình hồi quy tuyến tính đa biến (gọi là hồi quy bội tuyến tính).
Thí dụ: Trong nghiên cứu xác định đồng thời hỗn hợp chất (A&B) bằng phương pháp trắc quang, chúng ta phải thiết lập phương trình hồi quy đa biến.
Thí dụ: Mẫu chứa hai chất phân tích A&B. Bằng phương pháp trắc quang: Cho thuốc thử R vào mẫu ta thu được hợp chất màu. Tiến hành đo độ hấp thụ quang A và dùng phương pháp đường chuẩn thì ta chỉ áp dụng được trong trường hợp hai chất AxRy và BmRn có λmax khác nhau (bước sóng hấp thụ cực đại khác nhau)
Trong thực tế thường có hai hợp chất xen phủ phổ nhau (overlap) vì vậy không thể áp dụng hồi quy tuyến tính một biến mà có thể áp dụng hồi quy tuyến tính đa biến.
Giải: Ta đã biết độ hấp thụ quang A có tính cộng tính do vậy ta có thể tiến hành đo nhiều lần trên cùng một mẫu ở các bước sóng khác nhau.
Đo lần 1 ở λ1:
Đo lần 2 ở λ2:
Biết . Để xácđịnh người ta đo A của dung dịch chuẩn chất phân tích A và B ở λ1 và λ2.

Từ đó thay các giá trị vào (1) và (2) ta tính được CA và CB. (kết quả này có thể sử dụng phần mềm máy tính để tính toán).

III.3. Sai số nồng độ trong phương pháp đường chuẩn.
Trong PTCC  nhiều khi định lượng bằng phương pháp đường chuẩn.
Phương trình HQTT: S = a + bC ( hay y = a + bx).
Áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu.
Để xác định Cx (nồng độ chất phân tích trong mẫu)  đo mẫu  Sx.
. Cx là đại lượng đo gián tiếp  Vậy sai số của nó là bao nhiêu?
Để xác định ta áp dụng công thức gần đúng:

Nếu đo yx nhiều lần (m lần)

n: Số điểm trên đường HQTT (đường chuẩn).

yx: Tín hiệu ứng với Cx.
xi: Các điểm trên trục hoành (các giá trị riêng Ci (i = 1 m))
: Toạ độ của điểm trung tâm.

Kết quả:
Nhận xét:
Từ (a) và (b), để giảm  tăng số thí nghiệm n. Khi yx gần (tín hiệu gần với điểm trung tâm); b càng lớn càng tốt (b: độ dốc/ độ nhạy); m tăng.
tăng khi

III.4. Giới hạn phát hiện của phương pháp phân tích công cụ.

95% công việc trong PTN là phân tích công cụ.
Vấn đề đặt ra là khả năng của phương pháp phân tích công cụ đó  đo được nồng độ bao nhiêu?
Trong các nghiên cứu phát triển và áp dụng phương pháp phân tích công cụ, bắt buộc phải thông báo giới hạn phát hiện (DL) của phương pháp (hoặc thiết bị đo).

1. Khái niệm:
DL: thể hiện khả năng định tính của phương pháp phân tích.
Giới hạn phát hiện là nồng độ nhỏ nhất (Cmin) mà phương pháp có thể xác định một cách tin cậy. (hoặc là C cho tín hiệu khác một cách ý nghĩa với tín hiệu trắng (tín hiệu nền) khi đo bằng phương pháp phân tích công cụ  phải đo “mẫu trắng” (là mẫu không chứa chất phân tích) (nền-Background)).
Có nhiều cách xác định giới hạn phát hiện (DL).
DL là đại lượng thay đổi thuộc thiết bị đo, độ tinh khiết của hợp chất, bản chất của phương pháp đo; kỹ thuật lấy mẫu; kỹ năng của người phân tích; độ sạch của mẫu phân tích, phòng thí nghiệm ..  DL là một đại lượng thống kê  cần xác định theo phương pháp thống kê.
Thí dụ: Mỹ: AAS, cùng một phương pháp xử lý mẫu ….
DLPb(II) = 10-8M = 10nM.
Việt Nam: AAS, cùng một phương pháp xử lý mẫu ….
DLPb(II) = 10-7M.
Phân biệt DL của thiết bị và DL của phương pháp phân tích.
DLInstrument  DLMethod. DL của thiết bị chỉ là một phần của DL phương pháp phân tích.

2. Xác định DL.
Trên thế giới, hầu hết thừa nhận định nghĩa của giới hạn phát hiện (DL).

: Tín hiệu ứng với giới hạn phát hiện Cmin.
: Tín hiệu ứng với mẫu trắng.
: Độ lệch chuẩn của yB (B: Blank).
“Quy tắc 3”
Nếu biết  tính DL từ phương trình HQTT

Để xác định yDL ta phải xác định được
Xác định y­B: Từ tín hiệu ứng với x = 0  yB = a. (có thể xác định yB bằng cách phân tích mẫu trắng m lần  tính )
Xác định (hoặc SB)
Bằng phương pháp bình phương tối thiểu  chấp nhận .
( hoặc đo mẫu m lần thì )
Từ đó tính được DL (nhiều khi DL được trình bày trên PC).
;
Vì yB = a; SB = Sy nên

Trong thực tế, khi định lượng phải xác định những nồng độ C > DL  kết quả mới tin cậy  khái niệm “GIỚI HẠN ĐỊNH LƯỢNG – LQ: Quantitation Limit; LOQ: Limit Of Quantitation”


S2 với yDL  YLQ  (34) yDL.  LQ (giới hạn định lượng)  (34) DL (giới hạn phát hiện).
Thí dụ: DLPb(II) = 1ppb  LQ = (34) ppb trở lên.
 x1  LQ (chấp nhận từ x1 trở lên)
LQ: là C có xác đinh ch