GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

CÂU THỰC TẾ ( VDC) TRONG ĐỀ THI THPT 2025
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1. Dieän tích hình thang cong
Hàm số f x liên tục trên đoạn a ;b .
 Trường hợp trên a;b , Khi đó diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị f x , Ox và hai
b

đường thẳng x

a, x

b: S

f x dx .
a

 Trường hợp f x

0 trên a;b , ta có

f x

0

S hình thang cong aABb S hình thang cong aA B b .
( aA B b là hình đối xứng của hình thang đã cho qua trục hoành).
b

Do đó: S

SaABb

SaA B b

f x dx
a

2. Dieän tích hình phaúng
(C 1 ) : y

f (x )

 Hình phẳng (H ) giới hạn bởi (C 2 ) : y

g(x )

x

a, x

(C 1 ) : y
a, x

thì diện tích là S

b (a

b)

f (x )

g(x ) dx .

a

f (x )

 Hình phẳng (H ) giới hạn bởi (C 2 ) : Ox : y
x

b

b

thì diện tích là S

0
b (a

b)

f (x ) dx .
a

3. Theå tích vaät theå & khoái troøn xoay
 Thể tích vật thể (mặt cắt)
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b,
S (x ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ,
b

(a

x

b). Giả sử S (x ) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b ]. Khi đó V

S (x )dx .
a

 Thể tích khối tròn xoay
a) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y

f (x ), trục

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

hoành và hai đường thẳng x

a, x

2025

b quanh trục Ox :

y

y  f ( x)

O

a

(C) : y  f ( x)

b
2
(Ox) : y  0
Vx     f ( x ) dx

x x  a
a

x

b


b

b) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x
hoành và hai đường thẳng y c, y d quanh trục Oy :
y

(C) : x  g( y)

(Oy) : x  0

y  c
 y  d

d

c

d

Vy

g(y ), trục

2

g(y ) dy
c

x
O
c) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x ),
y g(x ) (cùng nằm một phía so với Ox ) và hai đường thẳng x a, x b quanh trục Ox :
b

f 2 (x )

V

g 2 (x ) dx .

a

4. Ñoà thò haøm soá Parabol daïng
Đồ thị hàm số y
sau:

y

ax 2

ax 2 là các đặc điểm

 Đỉnh là gốc O 0;0 .
 Có trục đối xứng là x 0 .
 Hướng bề lõm lên trên khi a
hướng xuống khi a 0 .

0 và

5. Ñoà thò haøm soá Parabol daïng y

ax 2

bx

c a

0

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

Đồ thị hàm số y

ax 2

bx

c a

0 là

một đường Parabol có:
b
;
 Đỉnh là I
.
2a
4a
 Có trục đối xứng:
b
đường thẳng x
.
2a
 a 0 : Bề lõm hướng lên trên.
 a 0 : Bề lõm hướng xuống dưới.

6. Ñöôøng troøn
Cho đường tròn:
Tâm I (a;b)
(C ) :
Bán kính : R
(C ) :

Tâm I (0;)
Bán kính : R

Chu vi đường tròn: C

(C ) : (x

a )2

(y

b)2

(C ) : x 2

y2

R2

y

2 R.

R2 .
R2

x2.

Diện tích đường tròn: S

R2 .

7. Elip
Phương trình chính tắc của elip:
x 2 y2
(E ) : 2
1 với a b 0.
a
b2

y2

b2 1

x2
a2

y

b 1

x2
a2

b 2
a
a

x2

Các thông số cần nhớ:
 Trục lớn A1A2

2a. Trục bé B1B2

2b.

 Tiêu cự F1F2

2c. Mối liên hệ a 2

b2

c2.

c
 Tâm sai: e
Hình chữ nhật cơ sở: PQRS .
a
c
x , MF2
 Bán kính qua tiêu của M là MF1 a
a

S elip
a

c
x
a

8. Choûm caàu

MF1

MF2

ab.

2a.

2025

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU
MẶT NÓN

Các yếu tố mặt nón

S

l

h
l

A

r

O

l

B

M

Hình thành: Quay
vuông
SOM quanh trục SO , ta được
mặt nón như hình bên với:
h SO
.
r OM

Một số công thức

 Đường cao: h SO . ( SO
cũng được gọi là trục của hình
nón).
 Bán kính đáy:

 Chu vi đáy: p

r OA OB
 Đường sinh:

1
1
h.S đ
h. r 2 .
3
3
(liên tưởng đến thể tích khối
chóp).
 Diện tích xung quanh:

l

SA

SB

OM .

SM .

MẶT TRỤ

SBO

SMO .

OO .

 Đường sinh: l

AD

r

MẶT CẦU

S xq

OA

OB

rl .

 Diện tích toàn phần:

Stp

S xq

Sđ

r2 .

rl

Một số công thức
 Chu vi đáy: p

BC .

2 r.

r2 .

 Diện tích đáy: S đ
 Thể tích khối trụ:

Ta có: l h .
 Bán kính đáy:

Hình thành: Quay hình chữ
nhật ABCD quanh đường
trung bình OO , ta có mặt trụ
như hình bên.

 Thể tích:

Các yếu tố mặt trụ
 Đường cao: h

r2 .

 Diện tích đáy: S đ

V

 Góc ở đỉnh: ASB .
 Thiết diện qua trục: SAB
cân tại S .
 Góc giữa đường sinh và mặt
đáy: SAO

2 r.

V

OC

h. r 2 .

O D .  Diện tích xung quanh:

 Trục (∆) là đường thẳng đi qua
hai điểm O, O .
 Thiết diện qua trục: Là hình
chữ nhật ABCD.
Một số công thức

h.S đ

S xq

2 r .h .

 Diện tích toàn phần:

Stp

S xq

2S đ

2 r .h

2 r2 .

Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

 Tâm I , bán kính
R IA IB IM .
 Đường kính AB 2R .
 Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là
đường tròn tâm I , bán kính R
.
Hình thành: Quay đường
tròn tâm I , bán kính
AB
R
quanh trục AB , ta
2
có mặt cầu như hình vẽ.

 Diện tích mặt cầu: S
.
 Thể tích khối cầu:
V

4 R3
.
3

4 R2

Mặt cầu ngoại tiếp đa diện là
mặt cầu đi qua tất cả đỉnh của đa
diện đó.

DẠNG CÂU 20. BÀI TẬP RÈN LUYỆN (74 CÂU)
Câu 20.1. (ĐMH 2025) Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với
chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60m và 80m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi,
phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với
đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh
tương ứng của hình chữ nhật bằng 20m (xem hình minh họa).

Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?
Câu 20.2. Một biển quảng cáo có dạng hình vuông ABCD cạnh AB 4m . Trên tấm biển đó có các
đường tròn tâm A và đường tròn tâm B cùng bán kính R 4m , hai đường tròn cắt nhau như
hình vẽ. Chi phí để sơn phần gạch chéo là 150 000 đồng/ m2 , chi phí sơn phần màu đen là
100 000 đồng/ m2 và chi phí để sơn phần còn lại là 250 000 đồng/ m2

Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách trên (Đơn vị: triệu đồng và kết quả làm tròn đến
chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy)?

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

Câu 20.3. Một khối bê tông có chiều cao 2 m được đặt trên mặt đất. Nếu cắt khối bê tông bởi một mặt
phẳng nằm ngang và cách mặt đất x m ( 0 x 2 ) thì được mặt cắt là một hình chữ nhật có
chiều dài 5 m và chiều rộng bằng 0,5

x

m (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính thể tích (đơn vị

m3 ) của khối bê tông đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 20.4. Cho đường tròn tâm O có bán kính bằng 5 m và đường kính IJ . Các hình chữ nhật ABCD ,

MNPQ nội tiếp hình tròn như hình vẽ với AB MQ 5 m và I là điểm chính giữa của
cung nhỏ MQ . Người ta cần sản xuất một sản phẩm là vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng
được gạch chéo trong hình vẽ quay quanh IJ và chi phí để làm sản phẩm này là 1,2 triệu/m3.
Số tiền phải chi trả để làm sản phẩm này là bao nhiêu? (Đơn vị: triệu đồng và kết quả làm tròn
đến hàng đơn vị)

Câu 20.5. Cho hai khối trụ có bán kính đáy bằng 3 và có trục là hai đường thẳng cắt nhau, vuông góc với
nhau (hình vẽ bên dưới). Gọi H là phần giao nhau của hai khối trụ đó. Tính thể tích của H .

Câu 20.6. Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một
cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của
nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu) và cách nhau
một khoảng bằng 4 m . Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ
Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng
là 150.000 đồng/m2 và 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và trồng cỏ
Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

Câu 20.7. Một ly trà sữa dạng hình nón cụt, có đường kính đáy ly 6 cm, đường kính miệng ly 9 cm, chiều
cao 13,4 cm, ở miệng ly có sử dụng một nắp đậy có hình dạng nửa mặt cầu và ở đỉnh của nửa
mặt cầu này có một hình tròn có đường kính 2 cm để cắm ống hút, mặt phẳng chứa hình tròn
này song song với mặt phẳng chứa miệng ly (tham khảo hình vẽ sau).

Chọn hệ trục Oxy (đơn vị trên trục là centimet) với trục Ox đi qua tâm của 2 đáy hình nón cụt
và gốc tọa độ O trùng với tâm của đáy lớn như hình vẽ trên. Tính thể tích bên trong của ly bao
gồm cả thể tích của nắp (Kết quả làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Câu 20.8. Cho các nửa đường tròn như hình vẽ sau, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi
đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là
32 và góc BAC 30 . Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng
H (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB .

Câu 20.9. Từ một quả cầu bằng đá trắng sứ bán kính bằng 1 dm, người ta khoan rút lõi ngay “chính giữa”
quả cầu (trục đối xứng của lõi và quả cầu trùng nhau) như hình sau với đường kính mũi khoan
là 1 dm được một vật thể có thể tích V là bao nhiêu dm3? (Bỏ qua độ dày mũi khoan và kết quả
làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy)

Câu 20.10. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm được thiết kế như hình bên dưới. Hãy tính diện
tích phần viên gạch hoa được tô đậm.

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

y

y=

2025

1

x2
20
y = 20x

20

x
20

20

20

Câu 20.11. Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc, xây dựng, thiết bị nội
thất,. Mặt trong (lọt lòng) và ngoài (phủ bì) của một bồn rửa (lavabo) bằng sứ có hình dạng là
một nửa khối tròn xoay khi quay quanh một trục của 2 elip có chung các trục đối xứng (hình
minh họa). Thông số kĩ thuật mặt trên của bồn rửa: dài
rộng là 660 380 mm (phủ bì) và
elip (lọt lòng) có trục lớn, trục nhỏ ít hơn elip phủ bì một khoảng 40 mm. Tính thể tích chứa
nước của bồn rửa (Đơn vị: lít và làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 20.12. Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao GH 4m , chiều rộng AB 4m ,
AC BD 0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm
có giá là 1300000 đồng /m 2 , còn các phần để trắng thì trang trí hoa có giá là 800000 đồng

/m 2 . Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên bằng bao nhiêu?

Câu 20.13. Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang
và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và
đối xứng nhau qua mặt phằng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ
2
thì chiều cao của mực cát bằng
chiều cao của bên đó (xem hình vẽ). Cát chảy từ trên xuống
3

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

dưới với tốc độ v t

0,2t

2025

13 (cm3/phút). Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên

cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi bằng 8 cm . Biết sau 20 phút thì cát chảy hết
xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài bằng bao nhiêu
centimet? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 20.14. Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng
10m . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối
xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 110 nghìn/ 1m 2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu
tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị.)

8m

Câu 20.15. Một thùng rượu (xét phần bên trong) có 2 đáy là các hình tròn với bán kính là 30 cm, thiết
diện P vuông góc với trục nối tâm của 2 đáy và cách đều 2 đáy có bán kính là 40 cm (bên
trong), chiều cao thùng rượu là 1 m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung
quanh (bên trong) thùng rượu theo các đường parabol có đỉnh nằm trên mặt phẳng P , hỏi
dung tích của thùng rượu (đơn vị: lít) là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Câu 20.16.

Một bức tường hình chữ nhật ABCD có kích thước 6(m) 4(m) được bạn An trang trí

bằng cách vẽ hai đồ thị f (x )

a x , g(x )

logb x đối xứng nhau qua đường thẳng d : y

x và

chia thành ba phần (tham khảo hình vẽ bên). Phần H 1 được sơn màu xanh da trời, phần H 2
được sơn màu vàng, phần H 3 được sơn màu xanh lá cây. Biết rằng mỗi hộp sơn các màu chỉ
sơn được 3(m 2 ) tường, đồng thời giá của hộp sơn màu xanh da trời là 100.000 đồng / hộp, hộp
sơn vàng là 140.000 đồng / hộp, hộp sơn xanh lá cây là 130.000 đồng / hộp. Tính số tiền bạn

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

Hà mua sơn để sơn bức tường này? (đơn vị là triệu đồng và cửa hàng sơn chỉ bán số nguyên
của hộp).

Câu 20.17.

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y

quanh trục Ox có kết quả dạng

a
b

với

a
là phân số tối giản. Khi đó S
b

1

a

x 2, y

0

b bằng bao

nhiêu?

Câu 20.18. Một hình cầu có bán kính 6 dm, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng song song và
cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xung quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình
vẽ). Tính thể tích V (lít) mà chiếc lu chứa được biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu 4 dm (làm
tròn đến hàng đơn vị).

Câu 20.19. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ nửa đường tròn tâm O , bán kính r 2 nằm phía trên trục
Ox . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục Ox và đường thẳng x 1 . Tính
thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay D quanh trục Ox (kết quả làm tròn đến hàng
phần chục).

Câu 20.20. Một bác thợ gốm làm một cái chậu trồng cây, phần trong chậu cây có dạng khối tròn xoay
được tạo thành khi quay hình phẳng được tô đậm như hình sau quanh trục Ox (đơn vị trên trục

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

là decimet), biết đường cong trong hình là đồ thị của hàm số y
x 1 , đáy chậu và miệng
chậu có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Dung tích của chậu là bao nhiêu (làm tròn kết
quả đến )?

Câu 20.21.

Anh Nam xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30 m và chiều dài

50 m . Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, anh Nam chia sân bóng ra làm hai
phần (tô màu và không tô màu) như hình vẽ.

.
 Phần tô màu gồm hai miền có diện tích bằng nhau và đường cong AIB là một parabol có
đỉnh là I .
 Phần tô màu được trồng cỏ nhân tạo với giá 160 nghìn đồng/ m2 và phần còn lại được trồng
cỏ nhân tạo với giá 120 nghìn đồng/ m2 . Hỏi anh Son phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân
tạo cho sân bóng? (số tiền được tính theo đơn vị là triệu đồng)
Câu 20.22. Một bể cá có dạng là một phần hình cầu được tạo thành khi cắt hình cầu bán kính 3 dm
bằng mặt phẳng cách tâm của hình cầu 1 dm (xem hình bên dưới). Tính dung tích của bể cá
(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của đềximét khối).

Câu 20.23. Từ hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB 10 cm và chiều rộng BC 5 cm; Người
ta cắt bỏ miền R được giới hạn bởi cạnh CD của hình chữ nhật và hai nửa đường parabol có
chung đỉnh là trung điểm của cạnh AB , chúng lần lượt đi qua hai đầu mút C , D của hình chữ
nhật đó. Phần còn lại cho quay quanh trục AB để tạo nên một đồ vật làm trang trí, thể tích của
vật trang trí đó bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

Câu 20.24. Một Chi đoàn thanh niên đi dự trại ở một đơn vị bạn, họ dự định dựng một lều trại có dạng
parabol (nhìn từ mặt trước, lều trại được căng thẳng từ trước ra sau, mặt sau trại cũng là parabol
có kích thước giống như mặt trước) với kích thước: nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng
là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể tích (đơn vị:
m3) phần không gian phía trong trại để cử số lượng người tham dự trại cho phù hợp.

Câu 20.25. Trong đợt hội trại “Khi tôi 18 ” được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn trường có thực
hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn
trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD , phần còn
lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một m 2 .
Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu nghìn (làm tròn đến
hàng đơn vị)?
A

B

D

C

4m

4m

Câu 20.26. Một nhà máy nhiệt điện sử dụng 90 máng Parabol thu nhiệt năng lượng mặt trời có cùng
kích thước, bề mặt cong đều nhau (tham khảo hình vẽ). Mỗi máng có chiều rộng 2m , bề dày
của khối silic làm mặt máng là 2dm , chiều dài 3m . Đặt máng tiếp giáp mặt đất có điểm cao
nhất của khối silic làm mặt máng so với mặt đất là 5dm . Khi đó thể tích (tính theo đơn vị m 3 )
của khối silic làm 90 mặt máng là.

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

Câu 20.27.

Cho hai hàm số f x

rằng đồ thị hàm số y

ax 3

f x và y

bx 2

cx

1 và g x

dx 2

ex

2025

a,b, c, d,e

g x cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là

. Biết
1;

1
;
2

2 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng bao nhiêu?

Câu 20.28. Ông An mua một cái bể để nuôi cá cảnh (như hình minh họa), bể cá có mặt ngoài là khối
cầu có bán kính là 5 dm , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song
cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3 dm . Biết rằng giá của bể được tính là
30.000 đồng/ dm 3 . Số tiền mà Ông An bỏ ra để mua bể cá gần với con số nào dưới đây?

h
r

Câu 20.29. Sân vận động Sports Hub (Singapore) là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông
Nam Á được tổ chức ở Singapore năm 2015. Nền sân là một elip (E ) có trục lớn dài 150 m,
trục bé dài 90m (Hình 3). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn
của (E ) và cắt elip (E ) ở M , N (Hình a) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn
có tâm I (phần tô đậm trong Hình b) với MN là một dây cung và góc MIN 90 . Để lắp
máy điều hòa không khí cho sân vận động thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên
dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu làm
mái không đáng kể. Hỏi thể tích đó xấp xỉ bao nhiêu?( đơn vị m3, làm tròn dến hàng đơn vị).

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

Câu 20.30. Trong quy hoạch hạ tầng Tuyến Metro số 1 (Bến Thành - Suối Tiên), để đảm bảo an toàn
cho người dân cũng như khách du lịch, người ta thiết kế lan can bằng gỗ với hình dáng hai trục
hình trụ vuông góc với nhau như hình vẽ.

1
hình trụ có bán kính 10 cm , Tính thể tích của khối H .
4
Câu 20.31. Một mảnh vườn hoa có dạng hình tròn bán kính bằng 5m , phần đất trồng hoa là phần tô
trong hình vẽ bên. Kinh phí để trồng hoa là 50 nghàn đồng/ m 2 . Hỏi số tiền cần để trồng hoa
trên diện tích phần đất đó là bao nhiêu ngàn đống (làm tròn đến hàng đơn vị). Biết hai hình chữ
nhật ABCD và MNPQ có AB MQ 5m ?

Gọi H là phần giao của hai khối

Câu 20.32.

Một người dựng một cái lều vải H có dạng hình “ lục giác cong đều” như hình vẽ bên

dưới.

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

Đáy của H

là một lục giác đều cạnh 3m . Chiều cao SO

2025

6 m ( SO vuông góc với mặt

phẳng đáy). Các cạnh bên của H là các sợi dây C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 ,C 5 ,C 6 nằm trên các đường
parabol có trục đối xứng song song với SO . Giả sử giao tuyến của H với mặt phẳng (P ) qua
trung điểm của SO song song với đáy là lục giác đều có cạnh 1m . Biết thể tích phần không
gian nằm trong cái lều H có dạng

a 3 3
a
m trong đó a, b là số tự nhiên, phân số tối giản.
b
b

Tính a b .
Câu 20.33. Một hòn đảo nằm gần bờ biển, có đường bao xung quanh về phía bờ biển là một phần đồ
1 2
thị của hàm số f x
x
x 5 . Đường bờ biển là một phần đường cong
3
1 4
g x
x
6x 3 4x 2 24x . Người ta xây dựng một cây cầu từ vị trí A trên bờ ra vị
24
trí B trên đường bao hòn đảo, được mô hình hóa trên mặt phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ ( đơn
vị trên mỗi trục là kilomet ).
y
B
Đảo

A

Đường bờ biển

O

1

x

Biết rằng cây cầu vuông góc với tiếp tuyến bờ biển tại điểm A 4; 4 . Hỏi cây cầu dài bao nhiêu
kilomet? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 20.34. Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lòng
cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết nếu nghiêng
cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

Câu 20.35.

2025

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 60m , chiều rộng 20m . Người ta muốn trồng cỏ

ở hai đầu của mảnh đất hai hình bằng nhau giới hạn bởi hai đường parabol có hai đỉnh cách
nhau 40m (như hình vẽ bên dưới). Phần còn lại của mảnh đất người ta lát gạch.

Biết chi phí lát gạch là 200.000 đồng/ m 2 và tiền nhân công trồng cỏ là 100.000 đồng/ m 2 .
Tính tổng số tiền (triệu đồng) để lát gạch và trồng cỏ trên mảnh đất đó (làm tròn kết quả hàng
đơn vị)
Câu 20.36. Một cái màn chụp có dạng như hình vẽ bên dưới:

Biết rằng mặt cắt của cái màn theo mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy và cách mặt đáy
một khoảng bằng x m , 0

x

2 là một hình vuông cạnh bằng

4

x 2 m . Thể tích của

cái màn là bao nhiêu mét khối? (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục)
Câu 20.37. Bác Hoà có một mảnh đất hình chữ nhật ABCD , bác muốn trồng hoa vào phần đất được
giới hạn bởi hai cạnh AD, BC , đường trung bình MN của hình chữ nhật ABCD và một
đường cong hình sin (là đường cong khi xét trong một hệ trục tọa độ phù hợp là đồ thị hàm số
có dạng y a sin bx , với a, b là các số thực khác 0 ; diện tích trồng hoa là diện tích phần tô
màu trong hình vẽ dưới đây).

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

Biết AB

2 (m), AD

2025

4(m) . Diện tích phần đất còn lại (làm tròn kết quả đến hàng phần

trăm) là
Câu 20.38. Từ một miếng tôn hình lục giác đều có cạnh bằng 6 dm , người ta cắt đi ở mỗi đỉnh của lục
giác hai tam giác vuông bằng nhau, các hình cắt đi ở mỗi góc đều bằng nhau (phần tô đậm
trong hình 1) để thu được một tấm tôn (hình 2). Sau đó, từ tấm tôn ở hình 2 người ta gò theo
các cạnh của lục giác đều làm thành một chiếc thùng có hình dạng là một hình lăng trụ lục giác
đều không nắp như hình 3. Thể tích lớn nhất (theo đơn vị dm 3 ) của chiếc thùng đó là

x

Câu 20.39.

Một bình chứa nước có hình dạng như hình 1. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao

x dm

0

x

4 thì mặt nước là hình vuông có cạnh

2

x2
dm . Dung tích của bình
4

bằng bao nhiêu dm 3 . (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 20.40. Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh 90 cm. Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm
hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng x (cm) (cắt phần tô đậm của
tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp.
Tìm x để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất.

x

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

Câu 20.41. Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như
hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường
Parabol).
Câu 20.42. Một mật bản bằng kính có hình dạng như hình 1. Để tạo ra mặt bàn đô, người ta dùng một
tấm kính hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 14 dm và tại mỗi góc trong tam giác cất tấm
kính theo các đường parabol như nhau. Xét tại đỉnh A , parabol có đỉnh M thuộc đường trung
tuyến AH , tiếp xúc với hai cạnh AB , AC lần lượt tại N , P sao cho AM
AN AP 4dm (Hình 2).

Diện tích mặt bàn thu được là một số có dạng a b dm 2 (với a, b

3dm ,

và b không có ước

chính phương khác 1 ). Tính tổng a b .
Câu 20.43. Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi
diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015 . Nền
sân là một elip E có trục lớn dài 150m , trục bé dài 90m (hình 3). Nếu cắt sân vận động theo
một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của E và cắt elip ở M , N (hình 3) thì ta được thiết
diện luôn là một phần của hình tròn có tâm I (phần tô đậm trong hình 4) với MN là một dây
cung và góc MIN 900. Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần
không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích
vật liệu là mái không đáng kể. Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu nghìn m 3 (làm tròn đến hàng
ngàn)?

Câu 20.44. Bạn An thực hiện thiết kế một logo hình con mắt cho một phòng khám nhãn khoa. Logo là
một hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y f x và y g x có các kích thước như hình vẽ
dưới đây (phần được tô màu đen) và một hình tròn có bán kính bằng 0, 5 dm ở giữa là phần con
ngươi (phần được tô màu xanh), đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimet.

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

Biết rằng chi phí để sơn phần con ngươi hình tròn màu xanh là 25 000 đồng/dm2 và chi phí để
sơn phần còn lại màu đen là 20 000 đồng/dm2. Chi phí để sơn logo trên là bao nhiêu nghìn
đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 20.45. Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.

Chiều dài của đường hầm mô hình là 5cm , mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường hầm
tạo được thiết diện là một hình parabol, thiết diện có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao. Tính
thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi thiết diện parabol
2
cho bởi công thức y 3
x (đơn vị là cm ), với x là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn
5
của đường hầm mô hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
ax 2 bx c
f
x
Câu 20.46. Cho hàm số bậc hai trên bậc nhất
và parabol P có đồ thị như hình
4x d
vẽ. Hàm số y f x có đường tiệm cận đứng x 1 và đường tiệm cận xiên cắt parabol tại
điểm A 3;1 . Ký hiệu các diện tích hình phẳng S1, S 2 lần lượt là các phần diện tích được tô
đậm và không tô màu như hình vẽ. Biết rằng giá trị S1

S2

32
và f 4
3

7
. Tính giá trị
4

của S 2 (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần chục).

Câu 20.47. Để xây dựng một cây cầu, người ta đúc thành nhiều dầm có kích thước (đơn vị m) và hình
dạng như hình sau:

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

Mỗi mét khối bê tông nặng trung bình 2500 kg. Khối lượng (T) của dầm trên là bao nhiêu?
(Kết quả được làm tròn đến hàng phần chục)
Câu 20.48. Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính
của hai hình tròn lần lượt là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là
30 mét.

Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm
mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Tính số tiền làm mặt sân của sân khấu?
Câu 20.49. Lát cắt ngang của một vùng đất ven biển được mô hình hoá thành một hàm số bậc ba
y f x có đồ thị như hình vẽ (đơn vị độ dài trên các trục là km).

Biết khoảng cách hai bên chân đồi OA

2 km , độ rộng của hồ AB

1 km và ngọn đồi cao

428 m . Tìm độ sâu của hồ (tính bằng mét) tại điểm sâu nhất? (kết quả làm tròn đến hàng đơn
vị).
Câu 20.50. Một bồn nước được thiết kế với chiều cao 8 dm , ngang 8 dm , dài 30 dm , bề mặt cong
đều nhau với mặt cắt ngang là một hình parabol như hình vẽ bên dưới. Bồn chứa được tối đa
bao nhiêu lít nước.

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

.
Câu 20.51. Khu vực trung tâm một quảng trường có dạng hình tròn đường kính AB bằng 10m. Người
ta trang trí khu vực này bằng hai đường Parabol đối xứng nhau qua AB, nằm trong hình tròn, đi
qua các điểm A, B và có đỉnh cách mép hình tròn 1m. Phần giới hạn bởi 2 parabol được trồng
hoa với chi phí 200 nghìn đồng 1 mét vuông, phần còn lại được lát gốm sứ với chi phí 800
nghìn đồng 1 mét vuông.

Tính tổng chi phí để hoàn thành khu vực này (Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ nhất sau
dấu phẩy).
Câu 20.52. Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh 6 dm , bạn Hoa cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau
có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong
rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều (Hình bên dưới).

Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến
hàng phần mười)?
Câu 20.53. Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m , chiều rộng chân đế 12 m . Người ta
căng hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt
AB
1
đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số
, tính n a ?
n
CD
a

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

Câu 20.54. Một đội thi công cầu đường A vừa đấu thầu được dự án xây cầu ở huyện B bắc ngang
qua con sông C . Để hoạch định được số tiền cần chi để đổ bê tông thô đúc cầu, người ta đưa ra
bản thiết kế mặt cắt song song của cầu là hình bên dưới (phần tô đậm là phần đổ bê tông, và các
đơn vị đều đo bằng mét).
Trong đó phần giới hạn phía dưới là một đồ thị hàm bậc 2. Và phần mỏng nhất của cầu là 1m.

Biết chiều rộng của cầu bằng 9 m . Số tiền (có VAT) ít nhất để đổ bê tông thô đúc cầu là bao
nhiêu. Biết mỗi 1 m 3 bê tông có giá 1.320.000 (Chưa tính VAT 8%). Đơn vị: tỉ đồng, làm tròn
đến chữ số thập phân thứ 2).
Câu 20.55. Chuẩn bị cho lễ Giáng Sinh, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel
có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng
OO
7 cm , OA 8 cm , OB 16 cm , đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh
là điểm A . Thể tích của chiếc mũ
( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 20.56.

Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là 2 5cm

(tham khảo hình vẽ). Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc
với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính
4 3 5 2 4
25
5
là khoảng cách từ
R
x
x
x
dm với x
0;
9
3
3
36
2
mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa ( tính theo đơn vị dm ). Lượng nước
2
cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng
chiều cao của
3
bình chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích của bình hoa? (Kết
quả làm tròn đến hàng đơn vị).

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG

2025

Câu 20.57. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 18 cm bằng
cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình vẽ bên. Biết AB 4 cm,
S
(kết quả làm
OH 7 cm. Gọi S là diện tích của bề mặt hoa văn đó (đơn vị: cm 2 ). Tính
13
tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Câu 20.58.

Một hoa văn hình tròn tâm O , ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh AB

4 3 cm .

Đường cong qua ba điểm A, B ,C là một phần của parabol.

Diện tích phần giới hạn bởi đường tròn và parobol (phần không gạch) bằng (kết quả làm tròn
đến chữ số thập phân thứ nhất).
Câu 20.59. Trên bức tường, người ta cần trang trí một hình phẳng giới hạn bởi một phần parabol đỉnh
S và đường gấp khúc COD như hình vẽ, biết OS AB 4m , O là trung điểm của AB .

Phần trang trí trên được chia thành hai phần để sơn hai màu khác nhau với mức chi phí:
- Phần kẻ sọc giá 140.000 đồng/m²
- Phần tô đậm là hình quạt tâm O , bán kính 2m , giá 150.000 đồng/m²
Tính tổng chi phí sơn hình trang trí trên (đơn vị triệu đồng, làm tròn kết quả đến phần chục).
Câu 20.60. Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật
với chiều dài 25 m, chiều rộng 15, 5 m và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính

10 m. Trong một lần bể bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn
thẳng AC rồi bơi tiếp đoạn thẳng CM , với M là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay
sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm D dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí A và kết
thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ).

GV. TRẦN PHƯƠNG DUNG...