§7, 8: CHUYÊN ĐỀ SỐ TỰ NHÊN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
2. Số tự nhiên lớn nhất, nhỏ nhất chia hết cho một số.
a) Tính chất.
Bài toán:
Trong n số tự nhiên liên tiếp (n ≥ 2) có một số duy nhất là chia hết cho n.

Chứng minh:
Xét n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số k, k là số tự nhiên bất kì.
k, k + 1, k + 2, … , k + n – 1. (1)
Trước tiên ta chứng minh trong dãy (1) tồn tại một số chia hết cho n.
Nếu k ⋮ n, thì trong dãy (1) có số k ⋮ n. Xét k ٪ n. Theo định nghĩa và tính chất phép chia còn dư tồn tại cặp số tự nhiên p và q sao cho:

𝑘=𝑛×𝑝+𝑞
0<𝑞<𝑛

Khi đó q ≥ 1.Xét số k + n – q, ta có k + n – q ≤ k + n – 1 nên số này thuộc dãy (1).
Mà h + n – q = n × p + q + n – q = n × p + n
= n × (p + 1).
Do đó k + n – 1 chia hết cho n.
Vậy trong dãy (1) tồn tại một số chia hết cho n. Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại này là duy nhất.Giả sử có hai số x và y thuộc dãy (1) thỏa mãn bài toán.
Tức là k ≤ x, y ≤ k + n – 1 và x ⋮ n, y ⋮ n, không giảm tổng quát giả sử x ≤ y.
Ta có: (y – x) ⋮ n. Mà 0 ≤ y – x ≤ n – 1.
Do đó y – x = 0 hay x = y (đpcm).
▲Ví dụ 10: Mỗi em hãy lấy ví dụ viết 10 số tự nhiên liên tiếp và tìm xem trong 10 số các em viết có bao nhiêu số chia hết cho 10, và nếu có thì là số nào?
Hệ quả:
Trong n số tự nhiên liên tiếp ( n ≥ 2) luôn tồn tại một số duy nhất chia cho n dư k
(k ≤ n).


▲Ví dụ 11: Mỗi em hãy lấy ví dụ viết 5 số tự nhiên liên tiếp và lập bảng xem có bao nhiêu số chia hết cho 5, chia cho 5 dư 1; 2; 3; 4?
b) Một số ví dụ áp dụng.
Ví dụ 12: Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 13?
Lời giải:
• Hướng dẫn:
+ Trong 13 số tự nhiên liên tiếp bất kì luôn tồn tại duy nhất một số chia hết cho 13.
+ Ta gọi số lớn nhất có thể để tất cả các số đó tạo thành được 13 số tự nhiên liên tiếp. Do đó gọi số cần tìm có dạng
9𝑎𝑏𝑐.
+ Không có dấu hiệu chia hết cho 13 ta phải áp dụng công thức cấu trúc số tự nhiên và các tính chất chia hết.


• Trình bày lời giải:
Gọi số cần tìm là
9𝑎𝑏𝑐, trong đó a, b ≤ 8, a ≠ b và
𝑎𝑏 lớn nhất có thể. Do đó
𝑎𝑏 ≤ 87.
Ta có:
9𝑎𝑏𝑐 = 900 +
𝑎𝑏 = 13 × 69 + 3 +
𝑎𝑏.
Để 9ab ⋮ 13 thì (3 +
𝑎𝑏) ⋮ 13. Do
𝑎𝑏 ≤ 87 nên 3 +
𝑎𝑏 ≤ 90.
Số lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng 90 chia hết cho 13 là 78.
Nếu 3 +
𝑎𝑏 = 78 thì
𝑎𝑏 = 75 (thỏa mãn).
Vậy số cần tìm là 975.
Ví dụ 13: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số khác nhau chia cho 23 dư 21.
Lời giải:
Gọi số cần tìm là
10𝑎𝑏, trong đó a, b ≥ 2, a ≠ b và ab nhỏ nhất có thể. Do đó
𝑎𝑏 ≥ 23.
Để
10𝑎𝑏 chia cho 23 dư 21 thì
10𝑎𝑏 – 21) ⋮ 23.
Ta có:
10𝑎𝑏 – 21 = 1000 +
𝑎𝑏 – 21 = 979 +
𝑎𝑏

= 23 × 42 + 13 +
𝑎𝑏.
Do đó (13 +
𝑎𝑏) ⋮ 23. Khi đó có số tự nhiên k sao cho:
13 +
𝑎𝑏 = 23 × k. Mà
𝑎𝑏 ≥ 23 nên 13 +
𝑎𝑏 ≥ 36 hay 23 × k ≥ 36. Do đó k ≥ 2.
Ta có bảng sau:
k
2
3


𝑎𝑏

33 (loại)
56 (thỏa mãn)