Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
(6 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Nhận biết tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào
dấu đạo hàm cấp một của nó.

-

Thể hiện tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên.

-

Nhận biết tính đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc thông qua
hình ảnh hình học của đồ thị hàm số.

-

Nhận biết điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên
hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu, phân tích, lập luận để
giải thích được khái niệm: Tính đơn điệu, tính đồng biến, nghịch biến, cực trị
của hàm số.

-

Mô hình hóa toán học: mô tả các dữ kiện bài toán thực tế, giải quyết bài toán
liên quan đến cực trị của hàm số.

1

-

Giải quyết vấn đề toán học: Lập được bảng biến thiên, xét được tính đồng biến,
nghịch biến, khoảng đơn điệu của hàm số.

-

Giao tiếp toán học: đọc, hiểu thông tin toán học.

-

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: sử dụng máy tính cầm tay, thước kẻ,…

Năng lực số:
-

1.1.NC1b: Áp dụng được kỹ thuật tìm kiếm để lấy được dữ liệu, thông tin và
nội dung trong môi trường số.

-

2.1.NC1a: Sử dụng được nhiều công nghệ số để tương tác.

-

5.2.NC1b: Áp dụng được các công cụ số khác nhau và các giải pháp công nghệ
có thể có để giải quyết vấn đề.

-

6.2.NC1a: Lựa chọn và sử dụng được các công cụ AI phù hợp để nâng cao hiệu
suất và giải quyết các vấn đề phức tạp.

3. Phẩm chất
-

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
-

GV: KHBD, SGK, SBT Toán 12, bài trình chiếu (Slide), phòng thực hành máy
tính kết nối Internet, máy chiếu, video AI tạo bằng công cụ AI được dùng để
khởi động bài học, bộ câu hỏi trắc nghiệm trên phần mềm Quizizz.

-

HS: SGK, SBT Toán 12 – Kết nối tri thức, vở ghi.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS đưa ra được nhận định ban đầu về câu hỏi mở đầu.

2

d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu xem video AI được thiết kế để phục vụ bài dạy và trả lời câu hỏi xuất
hiện trong video đó.
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:
Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang
phải (H.1.1). Giả sử vị trí s ( t ) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t
(giây) được cho bởi công thức:
s ( t )=t 3 −9 t 2 +15 t ,t ≥ 0 .

Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng
thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?

(H.1.1)
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS xem video và suy nghĩ câu trả lời.
- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV nhận xét, đánh giá và kết luận.
[6.2.NC1a: HS sử dụng công cụ AI hoặc sản phẩm số do GV cung cấp để tiếp nhận
thông tin, trả lời câu hỏi đơn giản.
2.1.NC1a: HS thực hiện các tương tác cơ bản với học liệu số (xem video, trả lời câu
hỏi trên môi trường số).
1.1.NC1a: HS tiếp cận, khai thác được thông tin từ nguồn học liệu số dưới sự hướng
dẫn của GV.]

3

- GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới: “Hôm nay,
chúng ta sẽ khám phá chủ đề mới và rất quan trọng, đó là "Tính đơn điệu và cực trị
của hàm số". Qua bài học này, các em sẽ hiểu được hàm số thay đổi như thế nào khi
biến thay đổi, và từ đó tìm được các điểm cực trị của hàm số. Kiến thức này có ứng
dụng rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực, ví dụ như kinh tế, kỹ thuật, khoa học tự
nhiên,... ”.
Bài mới: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số.
2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Tính đơn điệu của hàm số
a) Mục tiêu:
- Nhận biết khái niệm tính đồng biến, nghịch biến và tính đơn điệu của hàm số
- Nhận biết mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm.
- Xét được tính đơn điệu thông qua bảng biến thiên.
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện các HĐ1, 2, 3; Luyện tập 1, 2, 3; Vận dụng 1 và giải thích các Ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS trình bày được khái niệm tính đồng biến, nghịch biến và tính đơn điệu của
hàm số; mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm; sử dụng được bảng biến
thiên để xét tính đơn điệu.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
1. Tính đơn điệu của hàm số.

NLS
- 5.2.NC1b:

NV1: Tìm hiểu khái niệm tính đơn a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

HS biết cách

điệu của hàm số

sử dụng phần

- GV sử dụng phần mềm GeoGebra vẽ HĐ1

mềm để vẽ

đồ thị hàm số y=x 2 cho HS quan sát và

đồ thị và lập

thảo luận với bạn cùng bàn để trả lời

bảng

4

biến

câu hỏi trong HĐ1.

thiên.

Quan sát đồ thị của hàm số y=x 2

-

(H.1.2)

Tương

a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

trực tiếp với

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng

đồ

nào?

bảng

biến

thiên

thông

+ GV chỉ định 2 HS đứng tại chỗ trình
bày câu trả lời a) và b).

Hình 1.2

a) Hàm số y=x 2 đồng biến trên khoảng qua

+ GV nhận xét và chính xác hóa câu ( 0 ;+ ∞ ).
trả lời.

b) Hàm số y=x 2 nghịch biến trên khoảng
(−∞ ;0 )

- GV trình chiếu khung kiến thức trọng
tâm cho HS ghi bài.

Ghi nhớ
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc
một nửa khoảng và y=f ( x ) là hàm số xác
định trên K .
+ Hàm số y=f ( x ) được gọi là đồng biến
trên K nếu ∀ x 1 , x 2 ∈ K , x 1 ,< x 2 ⇒ f ( x 1 ) < f ( x2 )
+ Hàm số y=f ( x ) được gọi là nghịch biến

- GV trình chiếu hình 1.3 và cho HS
quan sát.
+ GV giải thích về các thuật ngữ: Đơn
điệu, Xét tính đơn điệu của hàm số cho
HS.

5

2.1.NC1a:

trên K nếu ∀ x 1 , x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f ( x 1 ) >f ( x 2 ).
Chú ý
+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị
của hàm số đi lên từ trái sang phải.

mềm.

tác

thị

và

phần

+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị
của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu + Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên
Ví dụ 1.

K gọi chung là đơn điệu trên K . Tìm

Cho đồ thị của hàm số y=f ( x )=|x| khoảng đồng biến, nghịch biến là tìm các
(H.1.4). Tìm khoảng đồng biến, nghịch khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu)
biến của hàm số?

của hàm số.

+ GV chỉ định 2 HS trình bày lại cách + Xét tính đơn điệu mà không chỉ rõ tập K
thực hiện bài toán.

thì ta xét trên tập xác định của hàm số.
Ví dụ 1: SGK – tr.6

- GV sử dụng phần mềm vẽ đồ thị của
hàm số ¿ x 3−3 x 2+2, cho HS thảo luận
theo bàn và thực hiện Luyện tập 1.
Hình 1.5 là đồ thị của hàm số
3
2
y=x −3 x +2. Tìm các khoảng đồng

biến, nghịch biến của hàm số.
+ GV có thể đặt các câu hỏi gợi ý:
Trong khoảng nào thì đồ thị hàm số đi

6

Hướng dẫn giải: SGK – tr.6.

lên? Trong khoảng nào thì đồ thị hàm Luyện tập 1
số đi xuống?
+ GV chỉ định 1 – 2 HS đứng tại chỗ
trình bày câu trả lời.
+ GV nhận xét, chốt đáp án.
- GV trình chiếu Hình 1.6 và cho HS
đọc yêu cầu của HĐ2.

{

−x nếu x ←1

Xét hàm số y= 1 nếu−1≤ x ≤ 1 có đồ thị + Hàm số đồng biến trên (−∞;0 ) và ( 2 ;+∞ ) .
x nếu x> 1

như hình 1.6

+ Hàm số nghịch biến trên ( 0 ; 2 ).

a) Xét dấu của đạo hàm trên khoảng
(−∞;−1 ) , ( 1 ;+∞ ) . Nhận xét về mối quan

hệ đồng biến, nghịch biến và dấu đạo
hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.

HĐ2.

b) Nhận xét về đạo hàm y ' và hàm số y
trên khoảng (−1 ; 1 )?
+ HS thảo luận nhóm 3 – 4 HS, thực
hiện các yêu cầu trong HĐ.
+ GV gợi ý:
• Trên khoảng (−∞ ;−1 ), đạo hàm của

Hình 1.6

y=−x mang dấu gì? Hàm số đồng biến
a) Với x ←1, ta có y ' =−1<0

hay nghịch biến?
• Trên khoảng ( 1 ;+∞ ) , đạo hàm của

Với x >1, ta có y ' =1>0
Trên khoảng (−∞;−1 ), đạo hàm mang dấu

y=x mang dấu gì? Hàm số đồng biến
âm => Hàm số nghịch biến.

hay nghịch biến?

Trên khoảng ( 1 ;+∞ ) , đạo hàm mang dấu

• Trên khoảng (−1 ;1 ), đạo hàm của dương => Hàm số đồng biến.
y=1 bằng bao nhiêu? Hàm số có thay
b) Trên khoảng (−1 ;1 ), đạo hàm bằng 0 =>

7

đổi hay không?

Hàm số không đổi.

- Từ các câu trả lời của HS, GV khái
quát và trình bày Định lí theo SGK
cho HS.

- GV lưu ý cho HS, định lí vừa học Định lí
cũng đúng trong trường hợp f ' ( x )=0 tại Cho hàm số y=f ( x ) có đạo hàm trên
một số điểm trong khoảng K .
khoảng K .
a) Nếu f ' ( x ) >0 với mọi x ∈ K thì hàm số
f ( x ) đồng biến trên khoảng K .

- HS đọc – hiểu Ví dụ 2:

b) Nếu f ' ( x ) <0 với mọi x ∈ K thì hàm số

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng f ( x ) nghịch biến trên khoảng K .
Chú ý
nghịch biến của hàm số y=x 2−4 x +2.
+ Sau đó GV chỉ định một số HS đứng + Định lí vẫn đúng trong trường hợp
'
f ( x )=0 tại một số hữu hạn điểm trong
tại chỗ trình bày lại cách thực hiện.
- GV cho HS thảo luận nhóm 4 HS, khoảng K .
'
quan sát và thực hiện yêu cầu của + Nếu f ( x )=0 với mọi x ∈ K thì hàm số
Luyện tập 2:

f ( x ) không đổi trên khoảng K .

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến Ví dụ 2: SGK – tr.7
của hàm số y=−x2 +2 x+ 3.

Hướng dẫn giải: SGK – tr.7

+ Đạo hàm của hàm số y=−x2 +2 x+ 3
bằng bao nhiêu?
+ Dựa vào đạo hàm, tìm khoảng đồng
biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
+ GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện

8

Luyện tập 2

bài giải. HS dưới lớp nhận xét bài làm - Tập xác định: x ∈ R.
của 2 bạn.

- Ta có: y ' =−2 x+ 2.

NV2: Tìm hiểu sử dụng bảng biến + y ' <0 với x ∈ ( 1 ;+∞ ); y ' >0 với x ∈ (−∞ ; 1 ).
thiên để xét tính đơn điệu của hàm số

Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng

- GV triển khai HĐ3 cho HS đọc và ( 1 ;+∞ ) và hàm số đồng biến trên khoảng
thảo luận nhóm đôi, thực hiện theo chỉ (−∞; 1 ).
dẫn trong HĐ:
Cho hàm số y=f ( x )=x 3−3 x 2+2 x +1
a) Tính đạo hàm f ' ( x ) và tìm các điểm x
mà f ' ( x )=0 .

b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn

b) Lập bảng biến thiên - bảng thể hiện điệu của hàm số
dấu của đạo hàm và sự đồng biến, HĐ3.

nghịch biến của hàm số trên các Hàm số y=f ( x )=x 3−3 x 2+2 x +1
khoảng tương ứng. (GV hướng dẫn HS - Tập xác định: x ∈ R.
sử dụng phần mềm GeoGebra để lập
bảng biến thiên)
c) Nêu kết luận về khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số.

a) f ' ( x )=3 x 2−6 x +2
'
f ( x )=0 hay 3 x 2−6 x+ 2=0

Suy ra: x=

3+ √ 3
3− 3
hoặc x= √
3
3

+ GV lần lượt chỉ định các HS lên b) Bảng biến thiên:
bảng thực hiện các phần a), b) và c).
+ GV quan sát, nhận xét bài làm của
HS.
→ Từ đó, GV nêu các bước để xét tính

đơn điệu của hàm số y=f ( x ) theo
hướng dẫn của SGK.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng:

(−∞; 3−3√3 ) và ( 3+3√ 3 ;+ ∞).
Hàm

9

số

nghịch

biến

trên

khoảng:

( 3−3√3 ; 3+3√3 ).
Các bước để xét tính đơn điệu của hàm
số y=f ( x ):
- GV cho HS nghiên cứu Ví dụ 3:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
y=

2

x −2 x+5
.
x−1

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm f ' ( x ). Tìm các điểm
x i ( i=1 , 2 , … ) mà tại đó đạo hàm bằng 0

hoặc không tồn tại.

+ Nêu tập xác định của hàm số?

3. Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dẫn

+ 1 HS lên bảng tính đạo hàm của hàm và lập bảng biến thiên của hàm số.
số và tìm các giá trị của x làm cho 4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến,
y =0 .
'

nghịch biến của hàm số.

+ 1 HS lên bảng thực hiện lập bảng Ví dụ 3: SGK – tr.8
biến thiên và kết luận về khoảng đồng Hướng dẫn giải: SGK – tr.8
biến, nghịch biến.
- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví
dụ 4: Xét chiều biến thiên của hàm số
y=

x−2
x +1

+ Điều kiện xác định của phân thức
x−2
là x ≠−1. Suy ra tập xác định của
x+1

hàm số là R ¿ {−1¿} .
+ Tính đạo hàm y ' ta được:
'

y=

3
>1
( x+1 )2

+ Bảng biến thiên:

10

Ví dụ 4: SGK – tr.8
Hướng dẫn giải: SGK – tr.8

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
(−∞;−1 ) và (−1 ;+∞ ) .

- GV chia lớp thành 4 nhóm để thảo
luận và thực hiện phần Luyện tập 3:
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm
số sau:
1

3
2
a) y= 3 x +3 x +5 x +2

−x 2 +5 x −7
b) y=
x −2

+ Nhóm 1 và 2, thực hiện câu a).
+ Nhóm 3 và 4, thực hiện câu b).

Luyện tập 3
1

3
2
a) y= 3 x +3 x +5 x +2

- Tập xác định: x ∈ R.
- Ta có: y ' =x 2 +6 x+5
y ' =0 hay x 2+ 6 x+5=0 suy ra x=−1 hoặc
x=−5 .

- Bảng biến thiên:

+ Các nhóm thực hiện trao đổi, thống
nhất đáp án trong 6 - 8 phút.
+ Sau thời gian thảo luận, GV mời đại
diện từng nhóm lên thực hiện bài giải
của nhóm mình.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

+ HS dưới lớp quan sát, thực hiện bài (−∞ ;−5 ) và (−1 ;+∞ ) ; Hàm số nghịch biến
trên khoảng (−5 ;−1 ).
làm vào vở cá nhân.
2
+ GV quan sát, nhận xét bài làm của b) y= −x +5 x −7

HS và rút ra kinh nghiệm làm bài cho
HS.

x −2

- Tập xác định: R ¿ {2¿}
- Ta có: y ' =
'
y =0 hay

11

−( x−1 ) ( x −3 )

( x−2 )2
−( x−1 ) ( x −3 )

( x−2 )2

=0 suy ra: x=1

hoặc x=3.
- Bảng biến thiên:

- GV cho HS đọc lại tình huống mở
đầu và hướng dẫn cho HS thực hiện Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 1 ; 2 )
phần Vận dụng 1:

và ( 2 ; 3 ) ; Hàm số nghịch biến trên khoảng

Giải bài toán trong tình huống mở đầu (−∞; 1 ) và ( 3 ;+ ∞ ) .
bằng cách thực hiện theo các yêu cầu:
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm,

Vận dụng 1
s ( t )=t 3 −9 t 2 +15 t ,t ≥ 0

2
vận tốc v ( t ) là đạo hàm của s ( t ). Tìm a) v ( t )=3 t −18 t +15

vận tốc v ( t ).

b) Có v ( t )=0 hay 3 t 2−18 t+15=0

b) Xét dấu của hàm v ( t ), từ đó suy ra Suy ra t =1 và t=5
câu trả lời.

Xét dấu của v ( t )

+ a) Thực hiện tính vận tốc v (t) là đạo
hàm của s ( t ).
+ b) Lập bảng biến thiên và xét dấu
của hàm v ( t ):
• Xét v ( t ) >0 khi t thuộc khoảng nào?
• Xét v ( t ) <0 khi t thuộc khoảng nào?

v ( t ) >0 khi t ∈ ( 0 ; 1 )và t ∈ ( 5 ;+∞ ) .

→ Từ đó rút ra kết luận.

v ( t ) <0 khi t ∈ ( 1; 5 ).

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

Vậy trong khoảng thời gian t ∈ ( 1; 5 )chất

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp điểm chuyển động sang trái;
nhận kiến thức, hoàn thành các yêu Trong khoảng thời gian l t ∈ ( 0 ; 1 )và
cầu, thảo luận nhóm.
t ∈ ( 5 ;+∞ ) chất điểm chuyển động sang

12

- GV quan sát hỗ trợ.

phải.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm
và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.
Hoạt động 2: Cực trị của hàm số
a) Mục tiêu:
- Nhận biết khái niệm cực trị của hàm số; Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x 0.
- Tìm được cực trị của hàm số.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú
ý nghe giảng, thực hiện các HĐ4, 5; Luyện tập 4, 5; Vận dụng 2 và đọc hiểu ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS trình bày được khái niệm cực trị của hàm số; Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
điểm x 0 và tìm được cực trị của hàm số trong các bài toán tìm cực trị.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
2. Cực trị của hàm số.

NLS
- 5.2.NC1b:

NV1: Tìm hiểu khái niệm cực trị của a) Khái niệm cực trị của hàm số

HS biết cách

hàm số

sử dụng phần

- GV sử dụng phần mềm vẽ đồ thị hàm HĐ4
3
2
số y=x 3 +3 x 2−4 và cho HS đọc yêu cầu Hàm số y=x +3 x −4

mềm để vẽ

Tập xác định của hàm số: D=R .

của HĐ4:
Quan

sát

13

đồ

thị

của

hàm

số Có: y =3 x + 6 x
'

2

đồ thị và lập
bảng
thiên.

biến

3
2
y=x +3 x −4 (H.1.7). Xét dấu đạo hàm

'
y =0 , suy ra x=0 hoặc x=−2

-

2.1.NC1a:

của hàm số đã cho và hoàn thành các - Đạo hàm của hàm số mang dấu dương Tương
bảng vào vở.

trực tiếp với

khi x ∈ (−∞ ;−2 ) và x ∈ ( 0 ;+ ∞ ).

- Đạo hàm của hàm số mang dấu âm khi đồ

+ GV mời 1 HS trả lời: Dấu đạo hàm
của hàm số y=x 3 +3 x 2−4 ?

biến

- Hoàn thành bảng:

thiên

thông

qua

phần

x

-3

y'

-2
+

0

-1
-

y
x

• Trong khoảng (−3 ;−2 ) và ( 0 ; 1 ) hàm

y'

số đồng biến hay nghịch biến? Từ đó

y

-1

0
-

0

1
+

suy ra dấu của y ' .
• Trong khoảng (−2 ; 1 ) và (−1 ; 0 ) hàm
số đồng biến hay nghịch biến? Từ đó
• Tại mỗi giá trị x=−2 và x=0 thì giá
trị của y bằng bao nhiêu?
+ GV mời 3 HS trả lời cho 3 ý câu hỏi
vừa nêu. GV nhận xét, và nêu Định
nghĩa tổng quát theo SGK cho HS.

Định nghĩa
Cho hàm số y=f ( x ) xác định và liên tục
trên khoảng ( a ; b ) (a có thể là −∞ , b có thể
là + ∞) và điểm x 0 ∈ ( a ; b ).
+ Nếu tồn tại số h> 0 sao cho f ( x ) < f ( x0 ) với
mọi x ∈ ( x 0−h ; x 0 +h ) ⊂ ( a ; b ) và x ≠ x 0 thì ta
nói hàm số f ( x ) đạt cực đại tại x 0.
+ Nếu tồn tại số h> 0 sao cho f ( x ) > f ( x0 ) với
mọi x ∈ ( x 0−h ; x 0 +h ) ⊂ ( a ; b ) và x ≠ x 0 thì ta

14

và

bảng

+ Quan sát Hình 1.7 và hai bảng:

suy ra dấu của y ' .

thị

x ∈ (−2 ; 0 ) .

mềm.
Hình 1.7

tác

nói hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại x 0.

- GV giới thiệu, giảng giải về các thuật

Chú ý: (SGK – tr.9)

ngữ: Giá trị cực đại, điểm cực đại, cực
trị và các kí hiệu cho HS trong phần Ví dụ 5: SGK – tr.10
Chú ý SGK – tr.9

Hướng dẫn giải: SGK – tr.10

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví
dụ 5:
Hình 1.8 là đồ thị của hàm số y=f ( x ).
Hãy tìm các cực trị của hàm số.
+ Quan sát Hình 1.8, và có thể thấy:

+ Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm có
Luyện tập 4

tọa độ:
• x=−1 và y CT = y (−1 )=2
• x=1 và y CT = y ( 1 )=2
+ Hàm số đạt cực đại tại điểm có tọa
độ:
x=0 và y C Đ= y ( 0 ) =3

- HS vận dụng kiến thức vừa học để

15

thực hiện cá nhân Luyện tập 4:
Hình 1.9 là đồ thị của hàm số y=f ( x ).
Hãy tìm các cực trị của hàm số đó.
+ GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện
bài giải của Luyện tập.
+ HS dưới lớp làm bài và quan sát
nhận xét bài làm của hai bạn.
+ GV chữa bài và chốt đáp án.
+ Hàm số đạt cực đại tại x=−1 và
y CĐ = y (−1 )=5 .

- NV2: Tìm hiểu cách tìm cực trị của
hàm số
- GV triển khai HĐ5 và cho HS thảo

+ Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và
y CT = y ( 1 )=1.

b) Cách tìm cực trị của hàm số

luận với bạn cùng bàn để thực hiện HĐ5
HĐ:
1
1

3
2
Cho hàm số y= 3 x −3 x +8 x+ 1

3

2

y= x −3 x +8 x+ 1
3

a) f ' ( x )=x 2−6 x +8

a) Tính đạo hàm f ' ( x ) và tìm các điểm f ' ( x )=0 hay x 2−6 x +8=0, suy ra:
mà tại đó đạo hàm f ' ( x ) bằng 0.
x=2 hoặc x=4
b) Lập bảng biến thiên của hàm số. b) Bảng biến thiên:
(GV có thể mời 1 HS lên thao tác lập
bảng biến thiên bằng phần mềm)
c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm
cực trị của hàm số.
+ GV chỉ định 1 HS lên bảng tính đạo
'

hàm và tìm các giá trị để f ( x )=0 .

23

c) Hàm số đạt cực đại tại x=2 và y CĐ = 3

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng lập bảng Hàm số đạt cực tiểu tại x=4 và y CT = 19 .
3
biến thiên và tìm các điểm cực trị của

16

hàm số.
+ GV quan sát, nhận xét chi tiết bài
làm của HS.
→ Từ kết quả của HĐ, GV trình bày
Định lí

Định lí trong khung kiến thức trọng Giả sử hàm số y=f ( x ) liên tục trên khoảng
tâm cho HS.
( a ; b ) chứa điểm x và có đạo hàm trên các
0

khoảng ( a ; x 0 ) và ( x 0 ; b ). Khi đó:
a) Nếu f ' ( x ) <0 với mọi x ∈ ( a ; x 0 ) và f ' ( x ) >0
với mọi x ∈ ( x 0 ; b ) thì x 0 là một điểm cực
tiểu của hàm số f ( x ).
b)
Nếu f ' ( x ) >0 với mọi x ∈ ( a ; x 0 ) và f ' ( x ) <0
- GV cho HS hoạt động cá nhân, thực với mọi x ∈ ( x 0 ; b ) thì x 0 là một điểm cực
hiện Câu hỏi trong SGK – tr.11:

đại của hàm số f ( x ).

Giải thích vì sao nếu f ' ( x ) không đổi Câu hỏi
dấu khi x qua x 0 thì x 0 không phải là Nếu f ' ( x ) không đổi dấu khi x qua x 0 thì
điểm cực trị của hàm số f ( x )?

hàm số f (x) luôn đồng biến, hoặc luôn

+ GV mời một số HS trả lời câu hỏi. nghịch biến, nên không có cực trị.
GV có thể gợi ý cho HS vẽ bảng biến Vậy nếu f ' ( x ) không đổi dấu khi x qua x 0
thiên để xác định.

thì x 0 không phải là điểm cực trị của hàm

+ Từ đó GV tổng hợp, khái quát để số f ( x ).
chính xác hóa câu trả lời.
- GV trình chiếu, giảng giải cách xác
định điểm cực đại, cực tiểu của hàm số
dựa trên hai bảng biến thiên trong
SGK.
→ Từ đó hướng dẫn các bước để HS Chú ý: Các bước tìm cực trị của hàm số

17

tìm cực trị của một hàm số y=f ( x ) bất y=f (x ):
kì.

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm f ' ( x ). Tìm điểm mà tại đó
f ' ( x )=0 hoặc không tồn tại.

3. Lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
của hàm số.
- HS đọc và thực hiện cá nhân Ví dụ 6 Ví dụ 6: SGK – tr.11
vào vở:
Tìm

Hướng dẫn giải: SGK – tr.11
cực

trị

của

hàm

số

y=x −6 x +9 x +30.
3

2

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng thực hiện
lại lời giải của Ví dụ.
- GV đặt câu hỏi: Nếu trong trường
'

hợp f ( x 0 )=0 nhưng f ' ( x ) không đổi dấu
khi x qua x 0 thì x 0 có là điểm cực trị
của hàm số f ( x ) không?
(Không)
Lấy ví dụ minh họa?
(Ví dụ: GV sử dụng phần mềm vẽ đồ
thị hàm số f ( x )=x 3 ).

18

Chú ý
'
Nếu f ( x 0 )=0 nhưng f ' ( x ) không đổi dấu khi

x qua x 0 thì x 0 không là điểm cực trị của

hàm số f ( x ).
Ví dụ:
Hàm số f ( x )=x 3 có f ' ( x )=3 x 2 ; f ' ( 0 )=0
nhưng x=0 không phải là cực trị của hàm
số.

- GV cho HS thực hiện Ví dụ 7:
x 2−2 x+ 9
Tìm cực trị của hàm số y=
x−2

+ GV mời 2 HS lên bảng lần lượt tìm
tập xác định, đạo hàm và lập bảng biến
thiên cho hàm số y=

2

x −2 x+ 9
.
x−2

+ GV chỉ định 1 HS tìm điểm cực đại
và cực tiểu của hàm số trên bảng biến
thiên.

Ví dụ 7: SGK – tr.12

- GV hướng dẫn HS thực hiện Ví dụ 8: Hướng dẫn giải: SGk – tr.12
x +1

Tìm cực trị của hàm số y= x−1 .
+ Tập xác định: R ¿ {1¿}.
+ Tính đạo hàm của hàm số, ta được:
'

y=

−2
(với mọi x ≠ 1).
( x−1 )2

Do y ' <0 với mọi x ≠ 1, nên hàm số Ví dụ 8: SGK – tr.12
nghịch biến. Ta có bảng biến thiên sau: Hướng dẫn giải: SGK – tr.12

Quan sát bảng biến thiên, thấy rằng
hàm số không có điểm cực trị.
- GV chia lớp thành 4 nhóm để HS
thảo luận và thực hiện Luyện tập 5:
Tìm cực trị của hàm số:
a) y=x 4 −3 x 2+1

19

−x 2 +2 x−1
b) y=
x +2

+ Nhóm 1, 2: Thực hiện câu a).
+ Nhóm 3, 4: Thực hiện câu b).
+ Các nhóm sau thời gian thảo luận cử
đại diện của nhóm mình lên thực hiện
bài giải.
+ GV quan sát, nhận xét và rút ra kinh
nghiệm làm bài cho HS.

Luyện tập 5
a) y=x 4 −3 x 2+1
- Tập xác định: x ∈ R
- Ta có: y ' =4 x 3−6 x
'
3
y =0 hay 4 x −6 x=0 hay x=0 hoặc x=

hoặc x=

−√ 6
2

√6.
2

- Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại x=0 và y CĐ =1
−√ 6
Hàm số đạt cực tiểu tại x=
và
2

y CT =

−5
4

6
Hàm số đạt cực tiểu tại x= √ và y CT = 4
2

−5

−x 2 +2 x−1
b) y=
x +2

- Tập xác định: R ¿ {−2¿ }
'
- Ta có: y =

−( x−1 ) ( x+5 )

( x +2 )2

x=1 hoặc x=−5 .

- Bảng biến thiên:
- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Vận
dụng 2

20

; y ' =0 suy ra:

+ Đạo hàm h ' ( t) biểu thị vận tốc của
vật tại thời điểm t .
+ Khi h ' (t)=0 , nghĩa là vận tốc của
vật bằng 0. Lúc này, vật đạt độ cao cực
đại hoặc cực tiểu.

Từ bảng biến thiên ta thấy:

+ Lập bảng biến thiên ta xác định Hàm số đạt cực đại tại x=1 và y CĐ =0 .
được thời điểm vật đạt độ cao lớn Hàm số đạt cực tiểu tại x=−5 và y CT =12.
nhất.

Vận dụng 2

→ Từ đó kết luận cho bài toán.

h ( t )=2+24,5 t−4,9 t

2

h' ( t ) =−9,8 t+ 24,5
h' ( t ) =0 hay −9,8 t +24,5=0 hay t=2,5

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

Bảng biến thiên:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp
nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu
hỏi, hoàn thành các yêu cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày.