Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...

TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN VỚI PHẦN MỀM GEOGEBRA.
TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH THANG.
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức, kĩ năng:
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Sử dụng được phần mềm GeoGebra để tính nguyên hàm và tích phân.

-

Biết dùng phương pháp hình thang để tính gần đúng tích phân trong trường hợp
hàm dưới dấu tích phân cho dưới dạng bảng hoặc không có nguyên hàm dưới
dạng hàm số sơ cấp.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu, đưa ra lập luận trong
quá trình thực hành tính nguyên hàm, tích phân bằng phần mềm GeoGebra và
tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang.

-

Mô hình hóa toán học.

-

Giải quyết vấn đề toán học: tính tích phân, nguyên hàm.

-

Giao tiếp toán học: đọc, hiểu, trao đổi thông tin toán học.

-

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: sử dụng phần mềm GeoGebra, máy
tính.

Năng lực số:

-

5.3.NC1a: Sử dụng thành thạo phần mềm toán học (GeoGebra/Excel) để thực
hiện các phép tính giải tích (nguyên hàm, tích phân) và xử lý dữ liệu bảng.

-

1.1.NC1a: Thao tác thành thạo trên giao diện phần mềm, nhập liệu chính xác
các cú pháp lệnh toán học.

-

1.2.NC1b: Đánh giá được độ chính xác của kết quả tính toán bằng máy tính so
với kết quả lý thuyết.

3. Phẩm chất
-

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với GV:
-

SGK, Tài liệu giảng dạy, KHBD.

-

Đồ dùng dạy học.

-

Video AI được tạo bằng các công cụ AI để khởi động bài học.

-

Phần mềm: GeoGebra Classic 5 hoặc 6 (cài sẵn hoặc bản web), bảng tính Excel
(hỗ trợ phần hình thang).

-

Học liệu số: File hướng dẫn các lệnh GeoGebra cơ bản.

2. Đối với HS:
-

SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp.

-

Đồ dùng học tập (bút, thước...).

-

Bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.

-

Điện thoại thông minh (Smartphone) có kết nối Internet và cài đặt ứng dụng
GeoGebra/Desmos (nếu có).

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)

a) Mục tiêu: Khơi dậy hứng thú học tập cho HS, tạo không khí vui vẻ khám phá bài
học mới và chuyển giao nhiệm vụ học tập.
b) Nội dung: HS xem video và trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS trả lời câu hỏi xuất hiện trong video.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập
- GV yêu cầu xem video AI được thiết kế để phục vụ bài dạy.
- GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi xuất hiện trong video đó.
Bước 2: HS tiếp nhận, thực hiện nhiệm vụ học tập
- HS vận dụng kiến thức bản thân để trả lời câu hỏi.
- GV quan sát, hướng dẫn, hỗ trợ HS (nếu cần thiết).
Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận
- GV mời đại diện HS trình bày câu trả lời.
- GV mời đại diện HS khác nhận xét, bổ sung, nêu ý kiến (nếu có).
Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập
- GV nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.
- GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới: Bài hôm nay
chúng ta cùng đi tìm hiểu cách tính nguyên hàm, tính gần đúng tích phần nhờ phần
mềm GeoGebra và tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang.
[2.1.NC1a: Học sinh sử dụng công nghệ số (quan sát video AI và tương tác với câu
hỏi trên màn hình) để tương tác với nội dung bài học.]
2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra.
a) Mục tiêu: Sử dụng được phần mềm GeoGebra để tính nguyên hàm và tích phân.
b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, HS thực
hành theo hướng dẫn, làm Thực hành 1.
c) Sản phẩm: HS tính được nguyên hàm và và tích phân bằng phần mềm GeoGebra.
d) Tổ chức thực hiện:

HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

NLS

1. Tính nguyên hàm và tích phân 5.3.NC1.a:

- GV giới thiệu các câu lệnh rồi thực với phần mềm Geogebra
Complex

Sử

Adaptive

dụng

hành mẫu cho HS.

Chọn

System phần

mềm

+ HS quan sát và làm theo mẫu.

(CAS) để thực hiện tính toán nguyên toán

học

hàm và tích phân.

chuyên

a) Tính nguyên hàm của hàm số

dụng

Lệnh IntegralSymbolic()

(GeoGebra)

để thực hiện
- GV chú ý cho HS về việc dùng giao b) Tính tích phân
Lệnh NIntegral (phép
diện tiếng Việt.
đầu, giá trị cuối>)

Chú ý: Dùng giao diện tiếng Việt
chọn

Options

→

Language

- GV hướng dẫn HS mở GeoGebra,
chọn chế độ CAS (Computer Algebra
System - Tính toán đại số).
- GV nêu nhiệm vụ: Thực hành tính:
a) Nguyên hàm của f(x) = x3 - 3x2 + 4.

Lệnh
Tính

tạp

(tìm

hàm,
tích

lệnh tiếng

chính xác.

Việt

1.1.NC1.a:

IntegralSymb TíchPhân(

liệu
xác

hàm

số>)

số>)

cú

tích

pháp:

phân

phân)

Nhập
chính

- GV yêu cầu HS nhập lệnh theo cú

tính

Cú pháp


Tính

NguyênHàm(...)

phức

olic(
b) Tích phân ∫ cos x dx

+ Integral(x^3 - 3x^2 + 4) hoặc

tiếng Anh

tích

nguyên

π
2
0

Cú pháp lệnh

giải

→ nguyên

Vietnamese/Tiếng Việt.
- HS thực hiện Thực hành 1.

tính

pháp

TíchPhân

lệnh

NIntegral

XácĐịnh(

(Syntax)

(

trong

giá trị đầu,

giá trị

giá trị cuối>)

đầu, giá

của

trị cuối)

mềm.

Thực hành 1

môi

trường CAS
phần

+

Integral(cos(x),

0,

pi/2)

hoặc a)

TíchPhân(...)
- GV lưu ý: GeoGebra có thể hiển thị
hằng số C khác nhau tùy phiên bản.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp
nhận kiến thức, hoàn thành các yêu

b)

cầu, thảo luận nhóm.
- HS thao tác trên điện thoại/máy tính.
- Quan sát kết quả hiển thị dạng công
thức (symbolic) và dạng số (numeric).
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày.
- GV mời 2 bạn HS đọc kết quả thực
hành với phần mềm:
1

4
3
a. 4 x −x + 4 x+ c1

b. 1
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm
và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.
Hoạt động 2: Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang

a) Mục tiêu: Biết dùng phương pháp hình thang để tính gần đúng tích phân trong
trường hợp hàm dưới dấu tích phân cho dưới dạng bảng hoặc không có nguyên hàm
dưới dạng hàm số sơ cấp.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú
ý nghe giảng, thực hành theo hướng dẫn của GV, đọc hiểu Ví dụ, làm Thực hành 2.
c) Sản phẩm: HS hiểu phương pháp hình thang để tính gần đúng tích phân, HS tính
gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang trong một số trường hợp hàm dưới
dấu tích phân cho dưới dạng bảng hoặc không có nguyên hàm dưới dạng hàm số sơ
cấp.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

NLS

2. Tính gần đúng tích phân 5.3.NC1.a:

- GV dẫn dắt: Trong một số bài toán bằng phương pháp hình thang

Sử

dụng

tính tích phân, khi đi tìm nguyên hàm *) Phương pháp hình thang:

công cụ mô

thì có hàm số f (x) không có nguyên Giả sử f ( x) là hàm số liên tục phỏng số để
hàm dưới dạng hàm sơ cấp hoặc ta trên đoạn [a; b]. Khi đó:

quan sát trực

biết đồ thị của hàm số mà không biết

b

quan ý nghĩa

a

hình học của

phương trình của nó.

f ( x ) +2 f ( x 1) + 2 f ( x2 ) + …+2 f ( x n ) + f ( x n ) ]
∫ ❑f (x) d x ≈ b−a
2n [ 0
1

ở đó đoạn [a ; b] được chia thành phương pháp
n
đoạn
con tính
a
gần
- GV giới thiệu phương pháp hình [ x 0 ; x 1 ] , [ x 1 ; x2 ] , … , [ x n−1 ; xn ], mỗi đúng, giúp
b−a
thang:
hiểu sâu bản
đoạn có độ dài là Δ x=
.
b

Khi đó ta có thể tính xấp xỉ ∫ f (x )dx .

+ Nội dụng
+ Ý nghĩa
+ Đánh giá sai số
+ Thuật toán.
- GV trình bày lý thuyết: Chia đoạn [a,
b] thành n đoạn nhỏ, coi hình thang

n

chất

học.
Khi f (x) là hàm liên tục và
không âm trên đoạn [a ; b], ta có:
Ý nghĩa hình học: Diện tích của
hình phẳng giới hạn bởi đồ thi

toán

cong là hình thang thẳng.

y=f (x ), trục hoành và hai đường

- GV mở GeoGebra, nhập lệnh thẳng x=a 1 x=b xấp xỉ với tổng
TrapezoidalSum(f, a, b, n) (Tổng hình diện tích của các hình thang con
thang) và nêu yêu cầu: Em hãy thay đổi A1 , A 2 ,… , An
giá trị n (số đoạn chia) từ nhỏ đến lớn
và quan sát sự thay đổi của diện tích
các hình thang so với diện tích thực
của hình phẳng.

Đánh giá sai số: Nếu f '' ( x ) liên
tục trên đoạn [a ; b] thì sai số
¿ E∨¿ của phương pháp hình

thang được đánh giá như sau:
¿ E∨≤¿ ¿

Thuật toán: Để tính xấp xỉ
∫ ba f (x )d x với độ chính xác không

vượt quá số ε cho trước, ta thực
hiện lần lượt các bước sau:
+) Bước 1. Tính f '' (x ) và tìm
M =max x ∈[ a ,b ]|f (x )|
''

(hoặc đánh giá max x ∈∨θ ;b ∨¿ |f

''

(x)|≤M ¿

, nếu việc tìm chính xác là khó).
+) Buớc 2. Với sai số ε cho
trước, tìm số tự nhiên n (nhỏ
nhất) sao cho
¿ E∨≤¿ ¿

+) Bước 3. Chia đoạn [a ; b]
thành n đoạn con có độ dài bằng
nhau và áp dụng công thức hình
thang.
Ví dụ (SGK -tr.83)
- HS quan sát Ví dụ. GV hướng dẫn
HS tìm hiểu Ví dụ. Nhấn mạnh các
bước theo thuật toán:
+ Bước 1: Tìm max x ∈[0 ;1 ]|f '' ( x )|
(Sử dụng đạo hàm hàm số)
+ Bước 2: Với sai số là 0,01. Tìm n
nhỏ nhất sao cho,
¿¿

+ Bước 3: Chia đoạn[0 ; 1] thành n=5
đoạn con có độ dài bằng nhau và áp
dụng công thức hình thang.
- HS thực hiện Thực hành 2 theo
nhóm đôi theo các bước.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

Thực hành 2
1. Ta có:
f ( x)=

x

(

''

(

)

e '
1 1
, f ( x)= − 2 e x ,
x
x x

f (x )=

)

1 2 2 x
− +
e
x x2 x3 .

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp Hàm số
nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu

y=f (x ) ) : M = max |f (x)|≤ e.

hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

2. Ta cần tìm n sao cho:

- HS quan sát mô phỏng.
- HS nhận xét: Khi n càng lớn, phần

''

''

x ∈ [ 1 ;2]

( 2−1 )3 . e 0,01.1 12
< 2 <
⇔ n> 4
100 e
12 n2
n

"thừa/thiếu" càng nhỏ, kết quả càng Do đó ta chọn n=5.
3. Chia đoạn [1;2] thành 5 đoạn
chính xác.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.

có độ dài bằng nhau là

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

[1; 1,2],[1,2; 1,4 ],[1,4 ; 1,6],[ 1,6 ; 1,8],[1,8 ; 2]

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình .
Áp dụng công thức hình thang,

bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung ta có:
cho bạn.

[

2

6

7

8

9

ex
2−1
10 e 5 10 e 5 10 e 5 10 e 5 2
❑ d x≈
e+
+
+
+
+e
∫
10
6
7
8
9
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV 1 x

tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

≈ 3,063.

và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.
3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học thực hiện các nhiệm vụ được
giao.
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời, kết quả thực hiện của HS.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV giao bài tập, hướng dẫn HS thực hiện:
Nhiệm vụ 1. Vận dụng (SGK - tr.84)
Nhiệm vụ 2. Sử dụng phần mềm GeoGebra, tính
a) ∫
π
6

b) ∫
π
3

x
dx
( x+ 1 )2

1
dx
sin x

- GV hướng dẫn nhiệm vụ 2: Mở app, nhập lệnh.
a) Nhập: Integral(x/(x+1)^2, x) hoặc Integral[x/(x+1)^2]
b) Nhập: Integral(1/sin(x), pi/3, pi/6)
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS suy nghĩ thực hiện nhiệm vụ.
Bước 3, 4: Báo cáo, thảo luận. Kết luận

]

- GV hướng dẫn, gợi ý cách làm.
- HS nộp báo cáo kết quả thực hành.
Gợi ý:
1.
Thể tích cần tính là V = ∫ 10
0 S ( x)d x , trong đó S( x ) là diện tích mặt cắt ngang tại vị trí
cách đỉnh thân cây một khoảng x (cm). Sử dụng phương pháp hình thang để tính gần
đúng tích phân này.
Ta chia đoạn [0 ; 480] thành n=8 đoạn bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài là 60 . Do đó:
V≈

480−0
[ S(0)+2 S (60)+2 S (120)+ 2 S(180)+2 S (240)+2 S (300)+2 S(360)+2 S (420)+2 S ( 480)]
2 ⋅8

¿ 30 ⋅[240+2 ⋅248+2 ⋅256+2 ⋅260+2 ⋅264+2 ⋅272+2⋅298+ 2⋅316+2⋅320]
5
3
¿ 125400 ( cm ) =0,1254 ( m ) . 

2.
a)

b)

[5.3.NC1a: Giải quyết nhanh chóng các bài toán tích phân hàm vô tỉ và lượng giác
bằng phần mềm, hỗ trợ kiểm tra kết quả tự học.]
* HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ghi nhớ kiến thức trong bài.
 Hoàn thành các bài tập trong SBT
 Chuẩn bị hoạt động trải nghiệm bài tiếp theo.