CHUYÊN ĐỀ 1: THỰC HIỆN TÍNH VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC
I. Kiến thức:
- Sử dụng các phép tính, các phép biến đổi trên căn thức để giải.
- Các dạng bài tập:
+ Thực hiện tính với biểu thức số
+ Rút gọn các biểu thức đại số
+ So sánh các biểu thức số.
II. Bài tập tổng hợp:
Tiết 1:

Bài 1 :
1) Đơn giản biểu thức :
2) Cho biểu thức :

P=

.

Q=

a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để
> - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
Hướng dẫn :
1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x

1. Biểu thức rút gọn : Q =

.

b)
>-Q
x > 1.
c) x =
thì Q Z
Bài 2 : Cho biểu thức P =
a) Rút gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =

.

Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x
b) Với x =

1. Biểu thức rút gọn : P =

thì P = - 3 – 2

.

.

Bài 3 : Cho biểu thức : A =
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để
= A.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x
b) Với x =

0, x

1. Biểu thức rút gọn : A =

.

thì A = - 1.

c) Với 0 x < 1 thì A < 0.
d) Với x > 1 thì
= A.
Bài 4 : Cho biểu thức : A =
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >

.

Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a 9. Biểu thức rút gọn : A =
b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >

.

.

Tiết 2:
Bài 5 : Cho biểu thức:

A=

.

1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x Z ? để A Z ?
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ 1.
b) Biểu thức rút gọn : A =
c) x = - 2003 ; 2003 thì A

với x ≠ 0 ; x ≠
Z .

1.

Bài 6 : Cho biểu thức:

A=

.

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A =

.

b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x =
thì A Z.
Bài 7 : Cho biểu thức:

A=

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A =
b) Ta xét hai trường hợp :
+) A > 0

> 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1)

+) A < 2

<2

2(

)>2

> 0 đúng vì theo gt thì x

> 0. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).

Bài 8 : Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a

0, a

b) Ta thấy a = 9
Tiết 3:

4. Biểu thức rút gọn : P =

ĐKXĐ . Suy ra P = 4

(a

0; a

4)

Bài 9 : Cho biểu thức:

N=

1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a 0, a 1. Biểu thức rút gọn : N = 1 – a .
b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Bài 10 : Cho biểu thức
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Hướng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x

0, x

b) Ta thấy

1. Biểu thức rút gọn :
ĐKXĐ . Suy ra

c) Pmin=4 khi x=4.
Bài 11 : Cho biểu thức
a. Rút gọn P.

b. Tìm x để

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Hướng dẫn :
a. ) ĐKXĐ : x
b. Với

0, x

9. Biểu thức rút gọn :

thì

c. Pmin= -1 khi x = 0
Bài 12: Cho A=

với x>0 ,x 1

a. Rút gọn A
b. Tính A với a =
( KQ : A= 4a )
Tiết 4:

Bài 13: Cho A=

với x 0 , x 9, x 4 .

a. Rút gọn A.
b. x= ? Thì A < 1.
c. Tìm
để
(KQ : A=

)

Bài 14: Cho A =

với x 0 , x 1.

a. Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A.
c. Tìm x để A =
d. CMR : A

.

(KQ:

Bài 15: Cho A =

A=

)

với x 0 , x 1.

a . Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A .

( KQ : A =

Bài 16: Cho A =

)

với x 0 , x 1.

a . Rút gọn A.
b. CMR :

( KQ :

A=

)

III. Bài tập về nhà:
Bài 17: Cho A =
a. Rút gọn A.
b. Tìm
để
Bài 18: Cho A =
a. Rút gọn A.
b. Tìm a để A < 1
c. Tìm
để

với a 0 , a 9 , a 4.

Bài 19: Cho A=

với x > 0 , x 4.

a. Rút gọn A.
b. So sánh A với
Bài 20: Cho A =

với x 0 , y 0,

a. Rút gọn A.
b. CMR : A 0
Bài 21 : Cho A =

Với x > 0 , x 1.

a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = 6
Bài 22: Cho A=

với x 0 , x 1.

a. Rút gọn A.
b. Tìm
để
c. Tìm x để A đạt GTNN .
Bài 23 : Cho A =
.

với x 0 , x 9

a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A < -

Bài 24 : Cho A =

với x 0 , x 1.

a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
c . CMR : A
CHUYÊN ĐỀ 2 : GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
1. Phương pháp chung :
Để giải phương trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn .
- Tìm ĐKXĐ của phương trình .

- Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học.
- Giải phương trình vừa tìm được .
- So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm .
2. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ:
a/. Phương pháp1: Nâng lên luỹ thừa (Bình phương hoặc lập phương 2 vế
PT):

 Giải phương trình dạng :
Ví dụ 1:

f ( x)  g ( x)
x  1  x  1 (1) ĐKXĐ : x+1 0  x -1

Giải phương trình :

Với x  -1 thì vế trái của phương trình không âm .Để phương trình có nghiệm thì
x-1 0  x 1.Khi đó phương trình (1) tương đương với phương trình :
 x 0
Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn
 x 3

x+1 = (x-1)2  x2 -3x= 0  x(x-3) = 0  
điều kiện x 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =3 .
Ví dụ 2:


Giải phương trình:
x  1 13  x

x  x  1 13
 x  1 0
 x 1
 
13  x 0
 x 13

( 1) ĐKXĐ : 

Bình phương hai vế của (1) ta được : x  1 (13  x) 2

 1  x 13 (2)

 x 2  27 x  170 0

Phương trình này có nghiệm x1 10 và x 2 17 .Chỉ có x1 10 thoã mãn (2) .
Vậy nghiệm của phương trình là x 10
* Giải phương trình dạng :
Ví dụ 3:

f ( x )  h( x )  g ( x )

Giải phương trình:
 1  x 1  2  x

ĐKXĐ:

1 x 

2  x 1

(1)

1  x 0

2  x 0

x 1
x  2

  2  x 1

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được :
1  x 1  2 2  x  2  x  x 2  x  1 0

Phương trình này có nghiệm x 
Vậy nghiệm của phương trình là x 
Ví dụ 4:

Giải phương trình:

 1 5
thoã mãn (2)
2

 1 5
2

3

x  1  3 7  x 2 (1)

Lập phương trình hai vế của (1) ta được:
x  1  7  x  33 ( x  1)(7  x ). 2 8 



x =-1

(x-1) (7- x) = 0

(đều thoả mãn (1 )
(đều thoả mãn (1 ) Vậy x  1; x 7 là nghiệm của

x =7
phương trình .
* Giải phương trình dạng :
Ví dụ5:


f ( x)  h( x)  g (x)

Giải phương trình

x  1 - x  7 = 12  x

x  1 = 12  x + x  7 (1)
 x  1 0

ĐKXĐ: 12  x 0 
 x  7 0


 x  1

 x 12  1  x 12
 x 7


Bình phương hai vế ta được: x- 4 = 2 (12  x)( x  7) (3)
Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phương 2 vế của
phương trình (3) ta được : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)  5x2 - 84x + 352 = 0
Phương trình này có 2 nghiệm x1 =
Vậy x1 =

44
và x2 = 8 là nghiệm của phương trình.
5

* Giải phương trình dạng :
Ví dụ 6:

44
và x2 = 8 đều thoả mãn (2) .
5

Giải phương trình :
ĐKXĐ :

 x  1 0
 x  10 0


 x  2 0
 x  5 0

f ( x)  h( x)  g (x) +
x  1 + x  10 =



 x  1
 x   10


 x  2
 x   5

q(x)

x  2 + x  5 (1)



x ≥ -1 (2)

Bình phương hai vế của (1) ta được :
x+1 + x+ 10 + 2 ( x  1)( x  10) = x+2 + x+ 5 + 2 ( x  2)( x  5)
 2+

( x  1)( x  10) =

(3)

( x  2)( x  5)

Với x  -1 thì hai vế của (3) đều dương nên bình phương hai vế của (3) ta được
( x  1)( x  10) = 1- x

Điều kiện ở đây là x  -1 (4)
 x  1

 x  1

Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4) 

x = 1 là nghiệm duy nhầt của

phương trình (1).
+ / Bài tập về nhà:
1.

x 2  4 = x- 2

4.

3

x  45 -

3

x  16 =1

2. 1  x x 2  4 = x+

1
5. 1  x =
3

x 2 =

3

6 x -

3. 1  x +

 (2 x  5)

4  x =3

6.

3

x 1+

2x  3

b /. Phương pháp 2 : đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :
Ví dụ1:
ĐKXĐ:

Giải phương trình:

9 x 2  24 x  16  x  4

9 x 2  24 x  16 0

 x  4  0

Phương trình (1)



(1)

(3 x  4) 2 0x

x 4



3x  4 = -x + 4 



x≤4

3 x  4   x  4

3 x  4  x  4



 x 2

 x 0

Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phương trình (đều thoả mãn x  4 ).
Ví dụ 2 : Giải phương trình :

x 2  4 x 4 +

x 2  8 x  16 = 5

Phương trình tương đương : x  2 + x  4 = 5
Lập bảng xét dấu :

x

2

x- 2

-

x- 4

-

0

4
+
-

+
0

+

ĐKXĐ:

x  R

Ta xét các khoảng :
+ Khi x < 2 ta có (2)  6-2x =5

 x = 0,5(thoả mãn x  2)

+ Khi 2  x  4 ta có (2)  0x + 2 =5
+ Khi x > 4 ta có (2)  2x – 6 =5

vô nghiệm


x =5,5 (thoả mãn x > 4 )

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5
Ví dụ 3 : Giải phương trình:

x  4 x  13 +

x  6 x  1  8 = 1 ; ĐKXĐ: x 

1
Phương trình được viết lại là : ( x  1)  4 x  1  4 + ( x  1)  6 x  1  9 = 1


( x  1  2) 2 +

( x  1  3) 2 = 1

x 1 2 +



- Nếu 1  x < 5 ta có (1)  2- x  1 + 3 - x  1 = 1 

x  1  3 =1 (1)

x  1 =2  x= 5

không thuộc khoảng đang xét
- Nếu 5  x  10 thì (1)  0x = 0 Phương trình có vô số nghiệm
- Nếu x> 10 thì (1)  -5 = 1 phương trinh vô nghiệm
Vậy phương trình có vô số nghiệm : 5  x  10
Bài tập về nhà:
1.

x 2  6x  9 +

x 2  10 x  25 = 8

2.

x 34 x  1 +

x 8 6 x  1 =

5
3.

x  3  3 2x  5 +

x 2

2x  5 = 2 2

c.Phương pháp 3 : đặt ẩn phụ:
Ví dụ 1:

Giải phương trình:

2x 2 + 3x + 2 x 2  3x  9 =33

ĐKXĐ :  x

R

Phương trình đã cho tương đương với: 2x2 + 3x +9 + 2 x 2  3x  9 - 42= 0 (1)
Đặt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thường mắc sai lầm không đặt
điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y)
Ta được phương trình mới : y2 + y – 42 = 0  y1 = 6 , y2 = -7 .Có nghiệm y =6
thoả mãn y> 0

2
2 x 2  3x  9 =6  2x + 3x -27 = 0

Từ đó ta có

Phương trình có nghiệm x 1 =

9
2

3, x2 = -

Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2:
Đặt

4

Giải phương trình:
x = y 0 

x+

4

x = 12

(ĐKXĐ : x  0)

x = y2 ta có phương trình mới

y2 + y -12 = 0 phương trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)
 4 x = 3  x = 81 là nghiệm của phương trình đã cho.
+ /. Bài tập về nhà:
1/ x2 – 5 + x 2  6 = 7
2/ x

1
- 2x
x

3

3/ 3 x 2 - 3 3 x =20

x = 20

4/ x 3  8 = 2x2 – 6x +4

d. Phương pháp 4 : đưa về phương trình tích :
Ví dụ 1:

Giải phương trình:

x  10 x  21 = 3 x  3 + 2 x  7 - 6 (1)

ĐKXĐ : x  -3
Phương trình (1) có dạng : ( x  3)( x  7) - 3 x  3 + 2 x  7 +6 = 0


x  3 ( x  7  3) -2( x  7  3) )

 x  7  3 0
 x  7 9

 
 x  3  2 0
x  3 4



=3

 x 2

 x 1

 ( x  7  3) ( x  3  2 )

=0



 ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho có

nghiệm là x = 1; x = 2
Ví dụ 2:

Giải phương trình:

3

1 x +

x  2 =1 ĐKXĐ : x  -2

Đặt x  2 = t  0 Khi dó 3 1  x = 3 3  t 2 . Phương trình (1) 


3

3
3  t 2 = 1- t  3- t = (1-t)

3

3

3 t2 + t = 1

 t3 - 4t2 + 3t + 2 =0  (t-2) ( t2 -2t -1)

=0
Từ phương trình này ta tìm được x=2 ; x= 1 + 2 2 là nghiệm của phương trình
(1)
+ /.Nhận xét :

Khi sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích để giải phương trình vô
tỉ ta cần chú ý các bước sau .
+ Tìm tập xác định của phương trình .
+

Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình về dạng f(x) g(x) ….= 0. Từ

đó ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ;….. là những phương trình quen thuộc.
+

Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của các phương trình f(x) =

0
g( x) = 0 ;….. thuộc tập xác định .
+ /.Bài tập về nhà:
1/.

x3  7x  6 = 0

3/. x(x+5) = 2 3 x 2  5 x  2  2

2/. x 2  x  2 - 2 x 2  x  2 = x  1
4/. 2( x2 + 2x + 3) = 5 x 3  3x 2  3x  2
e. Phương pháp 5 : đưa về hệ phương trình :
Ví dụ 1: Giải pt: 25  x 2 - 15  x 2 =2 (ĐKXĐ: 0  x2  15)
Đặt: 25  x 2 = a (a 0) (* )
15  x 2 = b ( b  0) ( ** )

Từ phương trình đã cho chuyển về hệ phương trình :
a  b  2

(a  b)(a  b)  2(a  b)
a  b  0


a  b  2

a  b 5



Thay vào phương trình (*) ta có 25 –x 2 =

7

a  2

b  3

2



49
51
 x2 =
 x =  51 ( 
4
4
2

ĐKXĐ ) .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 
Ví dụ 2:

Giải phương trình:

Đặt: 3 x  1 = a ;

3

3

51
.
2

( x  1) 2 +

x  1 = b nên ta có:

3

( x  1) 2 +

a2 = 3 ( x  1) 2

x2  1 = 1

3

;

b2 = 3 ( x  1) 2

ab = 3 x 2  1 . Ta được phương trình : a2 + b 2 + ab = 1 ( 1)
a 3  x  1
 3
b  x  1

Ta được phương trình : a3 – b3 = 2 (2)
a 2  b 2  ab 1
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :  3 3
a  b  2

Từ hệ phương trình ta suy ra a –b = 2  b = a – 2
Thay vào hệ phương trình (1) ta đợc :

(a -1 )2 = 0  a =1

Từ đó ta được x = 0
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 0
+ /.Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau :
1.

1
+
x

1
2 x

2

=2

2.

2 3 2 x  1 = x3 + 1

3.

3

1 x +

3

1 x

=1
4. 3 x  1 + 3 x  21 = 3 2 x  3

5.

4

4x = x

CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tiết 1
I. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Các phương pháp giải hệ phương trình:
a/ Phương pháp thế.
b/ Phương pháp cộng đại số.
c/ Phương pháp đặt ẩn phụ.
d/ Phương pháp dùng định thức: (Để nhớ định thức ta nhớ câu: Anh Bạn Cầm Bát
Ăn Cơm)
Từ hệ phương trình (I) ta có:

- Nếu D

, thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:

- Nếu D = 0 và Dx
hoặc Dy
, thì hệ phương trình vô nghiệm
- Nếu D = Dx = Dy = 0, thì hệ phương trình có vô số nghiệm
4. Các hệ pt đặc biệt và cách giải
a) Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x, y:
 ax 2  bxy  cy 2 d (1)
-Hệ có dạng: 
2
2
a ' x  b ' xy  c ' y d '(2)
- Cách giải:
Nhân 2 vế của phương trình (1) và phương trình (2) với k và k' sao cho:
rồi trừ từng vế của hai phương trình cho nhau ta được một phương trình
dạng:
(*)
+/ Xét
+/ Xét y  0, ta đặt:
pt (*) trở thành:


Giải phương trình trên tìm t.
b) Hệ đối xứng loại 1
- Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của
x và y cho nhau thì mỗi phương trình trong hệ không thay đổi
- Cách giải: (đưa về pt bậc hai)
Ta quy về hệ phương trình biết tổng và tích của hai nghiệm:
Biến đổi các phương trình trong hệ về dạng: x + y và x.y
Đặt:

ĐK: S2 – 4P

0 (*)

Thay vào hệ phương trình (I), ta được một hệ phương trình có hai ẩn là S và P
Hệ phương trình (I) có nghiệm
Hệ phương trình ẩn S và P có nghiệm thỏa
mãn (*).
c) Hệ đối xứng loại 2:
- Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của
x và y cho nhau thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và phương trình (2)
trở thành phương trình (1).
 f ( x; y ) 0(1)
(I )
Hệ có dạng: 
 g ( x; y ) 0(2)
- Cách giải: (đưa về pt tích)
Trừ từng vế của phương trình (1) và (2) ta được một phương trình dạng:

 x  y 0
(x – y) [A(x; y)] = 0  
 A( x; y ) 0
  x  y 0
( II )

f
(
x
;
y
)

0

Hệ phương trình (I)  
 A( x; y ) 0

( III )
  f ( x; y ) 0
Giải hệ (II) và (III) để tìm nghiệm
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PT BIỂU THỨC SỐ.
1. Phương pháp thế.
* Cơ sở phương pháp. Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình
trong hệ và thế vào phương trình còn lại.
* Nhận dạng. Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương
trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó.
(1)
2 x  3 y 5
Bài 1 . Giải hệ phương trình  2
2
3x  y  2 y 4 (2)
Lời giải.
2
5  3y
 5  3y 
Từ (1) ta có x 
thế vào (2) ta được 3 
 y 2  2 y  4 0

2
 2 
59
 3(25  30 y  9 y 2 )  4 y 2  8 y  16  23 y 2  82 y  59 0  y 1, y 
23

 31 59  
; 
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 1;1;  
 23 23  

 x 4  2 x 3 y  x 2 y 2 2 x  9 (1)
Bài 2. Giải hệ phương trình  2
(2)
 x  2 xy 6 x  6
Phân tích. Phương trình (2) là bậc nhất đối với y nên ta dùng phép thế.
Lời giải.
TH 1 : x = 0 không thỏa mãn (2)
6x  6  x2
TH 2 : x 0, (2)  y 
thế vào (1) ta được
2x
2

2
 6x  6  x2 
2  6x  6  x 
x  2x 
x 
 2 x  9
2
x
2
x




2 2
(6 x  6  x )
 x 4  x 2 (6 x  6  x 2 ) 
2 x  9  x( x  4)3 0 
4
4

3

 x 0
 x  4


17 

Do x 0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất   4; 
4

Chú ý.: Hệ phương trình này có thể thế theo phương pháp sau:
 x 2  6 x  6  2
2
2
 x  xy  2 x  9

 2 x  9


2


- Hệ  
x2  6x  6
2
2
 x  xy 
 2
x  6x  6

2
 x  xy 
2
- Phương pháp thế thường là công đoạn cuối cùng khi ta sử dụng các
phương pháp khác
Tiết 2:
2. Phương pháp cộng đại số.
* Cơ sở phương pháp. Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng,
trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là
khả thi hoặc có lợi cho các bước sau.
* Nhận dạng. Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ
phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k.
Bài 1: Giải hệ phương trình
2

y 2
3 y  2

x

2
3 x  x  2
2

y

Lời giải.(hệ đối xứng loại 2)
- ĐK: xy 0
3x 2 y  y 2  2
(1)
- Hệ   2
. Trừ vế hai phương trình ta được
2
(2)
3 y x x  2
 x  y 0
3 x 2 y  3 xy 2  y 2  x 2  3 xy ( x  y )  ( x  y )( x  y ) 0  
 3xy  x  y 0
- TH 1. x  y 0  y x thế vào (1) ta được 3x 3  x 2  2 0  x 1
2
x2  2
y

2
- TH 2. 3xy  x  y 0 . Từ 3 y  2  y  0 , 3x  2  x  0
y
x
 3 xy  x  y  0 . Do đó TH 2 không xảy ra.
- Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1)

3x 2  5 xy  4 y 2 38
Bài 2. Giải hệ phương trình  2
2
5 x  9 xy  3 y 15

Phân tích. Đây là hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta sẽ cân bằng số
hạng tự do và thực hiện phép trừ vế.
Lời giải.
45 x 2  75 xy  60 y 2 570
2
2
  145 x  417 xy  54 y 0
- Hệ  
190 x 2  342 xy  114 y 2 570
1
145
x thế vào một trong hai phương
- Giải phương trình này ta được y  x, y 
3
18
trình của hệ ta thu được kết quả (3;1); ( 3;  1)
* Chú ý
- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn.
- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng
cách đặt y tx, x 0 hoặc đặt x ty , y 0 .
Tiết 3:
4. Phương pháp đặt ẩn phụ.
 x  y  xy  1
Bài 1. Giải hệ phương trình  2
2
 x  y  xy 7
Lời giải.
Đây là hệ đối xứng loại I đơn giản nên ta giải theo cách phổ biến.
( x  y )  xy  1
Hệ  
2
( x  y )  3xy 7
 S  P  1
 x  y S
 S 1, P  2
2

x
,
y

S

4
P

Đặt 
ta được  2


 xy P
 S  4, P 3
 S  3P 7
 S 1

TH 1. 
 P  2
 S  4

TH 2. 
 P 3

 x  y 1


 xy  2

 x  1, y 2

 x 2, y  1
 x  y  4
 x  1, y  3

. Vậy tập nghiệm của hệ là

 xy 3
 x  3, y  1

S =  ( 1;2); (2;  1); (  1;  3); (  3;  1)
Chú ý.
- Nếu hệ pt có nghiệm là ( x; y ) thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là
( y; x ) . Do vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x  y .
- Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên. Đôi khi việc
thay đổi cách nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn.
 x  y  xy 3
Bài 2: Giải hệ phương trình : 
 x  1  y  1 4

- ĐK: x  1, y  1, xy 0
- Hệ
 x  y  xy 3


x

y

2

2
(
x

1)(
y

1)

16


 x  y  xy 3

 x  y  2 x  y  xy  1 14

2
2
- Đặt x  y a, xy b . a  2, b 0, a 4b ta được hệ pt
a  b 3
a 3  b
a 3  b




 2
2
2
a  2 a  b  1 14 2 b  b  4 11  b
3b  26b  105 0
b 3  x 3

 
(thỏa mãn đk)
a 6  y 3
Tiết 4:
III. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải:
Cách 1: Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai
để được phương trình bậc nhất đối với x
 Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)
 Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b
- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
- Nếu b 0 thì hệ vô nghiệm

ii) Nếu a

0 thì (1)

x=

, Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ

phương trình có nghiệm duy nhất.
Cách 2: Dùng định thức để giải và biện luận hpt
Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình:
Từ (1)
y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6
(m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)
Nếu m2 – 4
Khi đó y = -

0 hay m

2 thì x =

. Hệ có nghiệm duy nhất: (

;-

)

ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4
Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x
R
iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm
Vậy: - Nếu m

2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (

- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x
- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm

;-

)
R

Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
1)
2)

3)

2. Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải:
 Giải hệ phương trình theo tham số
 Viết x, y của hệ về dạng: n +

với n, k nguyên

 Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
Ví dụ 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
HD Giải:

để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m
Vậy với m
hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Để x, y là những số nguyên thì m + 2
Ư(3) =
Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5
VD 2: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho
trước
Cho hệ phương trình:
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
2x + y +

=3

HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m
- Giải hệ phương trình theo m

- Thay x =

;y=
2.

2

vào hệ thức đã cho ta được:
+

+

=3

=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12
3m2 – 26m + 23 = 0
m1 = 1 ; m 2 =

(cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)

Vậy m = 1 ; m =
IV. BÀI TẬP VỀ NHÀ (Bài tập tổng hợp)
Bài 1:
Cho hệ phương trình
(m là tham số)
a) Giải hệ phương trình khi m =
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0,
y>0
d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
Bài 2:
Cho hệ phương trình :
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một
điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x 2 + y2 đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài 3:
Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng
3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy
Bài 4:
Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
Bài 5:
Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
d) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
x - 3y =

-3

Bài 6:
Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi
.
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn
hệ thức

.

Bài 7:
Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)
d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm
nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
CHUYÊN ĐỀ 4: ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ET
Tiết 1:
I. Kiến thức cần nhớ
Các ứng dụng thường gặp của hệ thức Vi-ét
1. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
2. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt sao cho không phụ thuộc vào tham số.
3. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm.
4. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.
II. Nội dung
1. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương
trình :
(điều kiện để có hai số đó là S2 4P  0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4
Vì a + b = 3 và ab = 4 nên a, b là nghiệm của phương trình :
giải phương trình trên ta được
và
Vậy nếu a = 1 thì b = 4
nếu a = 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3
và
P=2
2. S = 3 và
P=6
3. S = 9
và
P = 20
4. S = 2x
và
P = x2 y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
2. a b = 5 và ab = 36
3. a2 + b2 = 61 và ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức
VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b.
Từ

Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng :
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36
Suy ra a, c là nghiệm của phương trình :
Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9
nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4
Cách 2: Từ

*) Với

Vậy a =
*) Với

và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

thì b =
và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61
*) Nếu

và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình:

Vậy nếu a = thì b =
; nếu a = thì b =
*) Nếu
và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
Tiết 2:
2. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt sao cho 2 nghiệm không phụ
thuộc vào tham số .
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường
là a  0 và   0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức
liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2.
2
Ví dụ 1: Cho phương trình : m  1 x  2mx  m  4 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Lập hệ

thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :

Rút m từ (1) ta có :
(3)
Rút m từ (2) ta có :
(4)
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:

2
Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình : m  1 x  2mx  m  4 0 . Chứng

minh rằng biểu thức A 3  x1  x2   2 x1 x2  8 không phụ thuộc giá trị của m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :

thay vào A ta có:

Vậy A = 0 với mọi

và

. Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào

m
Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích
nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ
thuộc vào tham số.
Bài tập áp dụng:
2
1. Cho phương trình : x  m  2  x  2m  1 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập hệ thức

liên hệ giữa x1; x2 sao cho x1; x2 độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có

Từ (1) và (2) ta có:

2
2. Cho phương trình : x  4m  1 x  2 m  4  0 .

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy
cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có

do đó phương trình đã

Từ (1) và (2) ta có:
Tiết 3:
3. Tìm giá trị tham số của pt thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2
(thường là a  0 và   0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có
ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
2
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx  6 m  1 x  9 m  3 0
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
x1  x2 x1.x2

Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :

Theo h ệ thức VI- ÉT ta c ó:

v à t ừ gi ả thi ết:

.

Suy ra:

(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
x1  x2 x1.x2
2
2
Ví dụ 2: Cho phương trình : x  2m  1 x  m  2 0 .

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2  5  x1  x2   7 0
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm

là :

và từ giả thiết 3x1 x2  5  x1  x2   7 0 .

Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
Suy ra

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
3 x1 x2  5  x1  x2   7 0

Bài tập áp dụng
2
1. Cho phương trình : mx  2 m  4  x  m  7 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1  2 x2 0
2
2. Cho phương trình : x  m  1 x  5m  6 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1  3 x2 1
Hướng dẫn cách giải:
BT1: - ĐKX Đ:
-Theo VI-ÉT:
- Từ x1  2 x2 0 Suy ra:
-

Thế

(1)

vào

(2)

(2)
ta

đưa

được

về

phương

trình

sau:

BT2: - ĐKXĐ:
- Theo VI-ÉT:
- Từ : 4 x1  3x2 1 . Suy ra:
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình :

(2)
(thoả mãn ĐKXĐ)

Tiết 4:
4. Xác định dấu các nghiệm của pt bậc 2 (bổ sung trong chuyên đề pt bậc 2)
Cho phương trình: ax 2  bx  c 0 (a  0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2
nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….
Ta lập bảng xét dấu sau:

Dấu nghiệm

x1

x2



Điều kiện chung

trái dấu

P<0

0

  0 ; P < 0.

cùng dấu,

P>0

0

0 ;P>0

S>0

P>0

0

0 ;P>0;S>0

S<0

P>0

0

  0 ; P > 0 ; S < 0.

cùng dương,

+

+

cùng âm

Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:
có 2 nghiệm trái dấu.
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

Vậy với

thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

Bài tập:
2
1. mx  2 m  2  x  3 m  2  0 có 2 nghiệm cùng dấu.
2
2. 3mx  2 2m 1 x  m 0 có 2 nghiệm âm.
2
3. m  1 x  2 x  m 0 có ít nhất một nghiệm không âm.

5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân
tích được:
(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số)
(*)
Thì ta thấy :

(v ì
(v ì

)
)

2
Ví dụ 1: Cho phương trình : x  2m  1 x  m 0

Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :
A x12  x22  6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.

Bài giải: Theo VI-ÉT:
Theo đề bài :

Suy ra:
Ví dụ 2: Cho phương trình : x 2  mx  m  1 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của
phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
B

nhất

của

biểu

thức

sau:

2 x1 x2  3
x  x22  2  x1 x2  1
2
1

Giải: Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :

Giải: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều
kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
(Với m là ẩn, B là tham số)
Ta có:
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì   0
hay

Vậy:
Bài tập áp dụng

m=1

(**)

2
2
1. Cho phương trình : x  4m  1 x  2 m  4  0 .Tìm m để biểu thức A  x1  x2  có

giá trị nhỏ nhất.
2. Cho phương trình
. Tìm m sao cho nghiệm
thỏa mãn
điều kiện
.
3. Cho phương trình :
xác định m để phương trình có 2
nghiệm
thỏa mãn
a)
đạt giá trị lớn nhất
b)
đạt giá trị nhỏ nhất
4. Cho phương trình :
. Với giá trị nào của m, biểu thức
dạt giá trị nhỏ nhất.
5. Cho phương trình
. Xác định m để biểu thức
đạt giá
trị nhỏ nhất.
CHUYÊN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Tiết 1:
I/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Công thức nghiệm của phương trình:
(a
)
2. Một số bài toán về nghiệm của phương trình bậc hai
Giả sử phương trình:
(a
) có hai nghiệm x1; x2 và
thì ta có các bài toán tổng quát sau:
Xét dấu các nghiệm của phương trình:
(1)
Điều kiện để phương trình (1)
- Có hai ng...