Ba bµi to¸n c¬ b¶n vÒ tiÕp tuyÕn
Cho hµm sè y= y(x)
(1)
C¸c c©u hái vÒ ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn thêng ®îc ®Æt ra díi ba d¹ng c¬ b¶n sau ®©y:
1) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ cña(1) t¹i ®iÓm M(x0,y0) cho tríc (n»m trªn ®å thÞ).(Khi ®ã hiÓn nhiªn M
lµ tiÕp ®iÓm).
2) Qua ®iÓm M(x0,y0) viÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ cña(1).
3) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ cña(1) víi hÖ sè gãc cho tríc (HÖ sè gãc nµy cã thÓ cho trùc tiÕp hoÆc
gi¸n tiÕp).
I.Bµi to¸n thø nhÊt:ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ cña(1) t¹i ®iÓm M(x0,y0)cho tríc.
Gi¶ sö r»ng hs y=y(x) cã ®¹o hµm t¹i x0.Khi ®ã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ cña(1) t¹i ®iÓm M(x0,y0) lµ:
y-y0 =y'(x0)(x-xo)
VÝ dô 1: Cho hµm sè y=x3-3x2+1
a)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i ®iÓm U(1;-1).
b)Chøng minh r»ng:Trong c¸c tiÕp tuyÕp víi ®å thÞ,tiÕp tuyÕn t¹i U(1;-1) cã hÖ sè gãc nhá nhÊt.
GI¶I:
a)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i ®iÓm U(1;-1).
C¸ch 1: TÝnh y'(x)=3x2-6x.
y'(1) =-3
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i ®iÓm U(1;-1) lµ
y+1 = -3(x-1)
y = -3x + 2
Chó ý:Trong nhiÒu bµi to¸n ta sö dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cña hai ®å thÞ hµm sè y=f(x) vµ y=g(x) nh sau:
§å thÞ cña y=f(x) tiÕp xóc víi ®å thÞ y=g(x) khi vµ chØ khi :
cã nghiÖm.
Gi¸ trÞ x,nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh nµy chÝnh lµ hoµnh ®é c¸c tiÕp ®iÓm.
C¸c ®å thÞ Êy còng tiÕp xóc víi nhau khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) cã nghiÖm kÐp vµ nghiÖm kÐp ®ã chÝnh lµ hoµnh ®é tiÕp ®iÓm.§iÒu kiÖn nµy thêng dïng trong c¸c bµi to¸n mµ ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) cã nghiÖm dÔ t×m.

Trªn c¬ së ®ã chóng ta cã thÓ gi¶i c©u a cña VD1 b»ng c¸ch sau ®©y:
C¸ch 2: Gäi tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ y = ax +b.
V× tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iÓm U(1;-1) nªn y=a(x-1) -1.
§êng th¼ng ®ã tiÕp xóc víi ®å thÞ nÕu hÖ sau cã nghiÖm:
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta t×m ®îc x=1 => a= -3.T×m ®îc b=2
VËy tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ y = -3x + 2.
C¸ch 3: Gäi tiÕp tuyÕn cÇn t×m t¹i ®iÓm U(1;-1) lµ y = ax +b.v× ®êng th¼ng nµy tiÕp xóc víi ®å thÞ t¹i U(1;-1)
nªn a = y'(1) =-3
MÆt kh¸c U(1;-1) n»m trªn ®êng th¼ng nªn -1= a+b hay b = - a - 1,do ®ã b =2.
VËy tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ y = -3x + 2.
b) Chøng minh r»ng:Trong c¸c tiÕp tuyÕp víi ®å thÞ,tiÕp tuyÕn t¹i U(1;-1) cã hÖ sè gãc nhá nhÊt
T¹i U(1;-1) cã y'(1) =-3
XÐt y'(x)=3x2-6x =3(x-1)2 -3
-3 (
) .VËy y'(x) y'(1) (
)
Do ®ã tiÕp tuyÕn t¹i U(1;-1) cã hÖ sè gãc nhá nhÊt.
II.Bµi to¸n thø hai: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ y=y(x) biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua M(x 0,y0) cho
tríc.
Cã nhiÒu c¸ch gi¶i bµi to¸n nµy,trong ®ã cã hai c¸ch c¬ b¶n sau:
C¸ch thø nhÊt : Néi dung c¬ b¶n lµ x¸c ®Þnh hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn
*)ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua M(x0,y0) cho tríc cã hÖ sè gãc k : y -y0 = k(x-x0) (*)
*)Tõ ®iÒu kiÖn ®êng th¼ng (*) tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè y= y(x) sÏ t×m ®îc gi¸ trÞ k thÝch hîp råi thay vµo (*).Cã
bao nhiªu gi¸ trÞ k thÝch hîp t×m ®îc th× qua M(x0,y0) cã thÓ kÎ ®îc bÊy nhiªu tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ hµm sè ®· cho.
C¸ch thø hai: Néi dung c¬ b¶n lµ x¸c ®Þnh tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕnvíi ®å thÞ
*)Gäi (x1 , y1) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn cÇn t×m ®èi víi ®å thÞ..Khi ®ã tiÕp tuyÕn t¹i (x 1 , y1) lµ
y - y(x1) = y'(x1) (x-x1)
(**)
*) V× tiÕp tuyÕn nµy ®i qua M(x0,y0) nªn : y0 - y(x1) = y'(x1) (x0-x1)
(***)
Chóng ta gi¶i ®îc ph¬ng tr×nh víi Èn sè x1 (hoµnh ®é tiÕp ®iÓm).Gi¶i ph¬ng tr×nh (***) sÏ t×m ®îc x1 råi thay vµo
(**) sÏ ®îc ph¬ng tr×nh tiÕp tuýen cÇn t×m.(Ph¬ng tr×nh (***) cho bao nhiªu nghiÖm th× qua M(x0,y0) cã thÓ kÎ ®îc
kh«ng qu¸ bÊy nhiªu tiÕp tuyÕn víi ®êng cong ®· cho).
NhËn xÐt:trong hai c¸ch gi¶i trªn th× c¸ch thø nhÊt rÊt thuËn lîi trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi nhau..

VÝ dô 2: Qua ®iÓm (0 ; -

) h·y viÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ hµm sè y =

x3 - 2x2 + 3x -

Gi¶i:
C¸ch 1: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua (0 ; -

) víi hÖ sè gãc k lµ y =kx -

.

§êng th¼ng nµy ph¶i tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè ®· cho nªn ph¬ng tr×nh:
x3 - 2x2 + 3x Suy ra

= kx -

ph¶i cã nghiÖm kÐp.

x
cã nghiÖm kÐp.
=3k = 0 hay k = 0 hoÆc ph¬ng tr×nh x2 - 6x + 3(3-k) = 0 ph¶i cã nghiÖm x = 0

VËy qua (0 ; -

) cã hai tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ lµ y = -

vµ y = 3x -

C¸ch 2: Gäi hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ x1 .Khi ®ã tung ®é : y1 =

x

- 2x

+ 3x1 -

.

Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i (x1 , y1) lµ
y-(

x

- 2x

+ 3x1 -

) = (x

- 4x1 + 3)(x- x1)

Vò Thµnh Trung-GV Trêng THPT Thanh Ch¨n

k=3.

V× tiÕp tuyÕn nµy ®i qua (0 ; -

-(

x

- 2x

) nªn
+ 3x1 -

) = (x

- 4x1 + 3)(- x1)

Gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc : x1 = 0 vµ x1 = 3.
VËy qua (0 ; -

) cã hai tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ lµ y = -

vµ y = 3x -

VÝ dô 3: Cho hs y = x4 - 2x2 .ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ,biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm (0 , -1)
Gi¶i:
Gi¶ sö (x1 , y1) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ khi ®ã ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i (x1 , y1) lµ:
y - (x - 2x ) = (4
- 4x1)(x-x1)
(*)
V× tiÕp tuyÕn nµy ®i qua ®iªmt (0;-1) nªn:
-1 - (x - 2x ) = (4
- 4x1)(-x1)
Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta ®îc: x1 = 1 vµ x1 = - 1.
Thay c¸c gi¸ trÞ nµy vµo (*) ta sÏ t×m ®îc tiÕp tuyÕn lµ y = -1 (Hai tiÕp tuyÕn trïng nhau).
Chó ý: Ta cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p thø nhÊt :
§êng th¼ng ®i qua (0 , -1) lµ y = kx -1, khi ®ã
.
Gi¶i hÖ nµy sÏ ®îc x =
vµ k = 0.VËy chØ cã mét tiÕp tuyÕn qua (0 , -1) lµ y= -1
III.Bµi to¸n thø ba: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ y = y(x) víi hÖ sè gãc k cho tríc.
Gäi hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ x1 .Theo ý nghÜa h×nh häc cña tiÕp tuyÕn ta cã : y'(x1) = k
§©y lµ ph¬ng tr×nh víi Èn sè x1 .Sau khi gi¶i ph¬ng tr×nh nµy,ta t×m ®îc x1 ,råi tÝnh y1 = y(x1).
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ y -y1 = k(x - x1) hay y = k(x - x1) + y1 .
Chó ý: ViÖc cho hÖ sè gãc k cã thÓ cho theo hai c¸ch:
a)C¸ch cho trùc tiÕp: C¸c kh¸i niÖm sau ®©y t¬ng ®¬ng:
*)HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn.
*)§é dèc ( ®é nghiªng ) cña tiÕp tuyÕn.
*)Tg ,trong ®ã
lµ gãc mµ tiÕp tuyÕn lËp víi chiÒu d¬ng cña trôc hoµnh.
b)C¸ch cho gi¸n tiÕp:
*)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ hµm sè y = y(x) biÕt r»ng tiÕp tuyÕn nµy song song víi ®êng th¼ng y =
ax + b.trong trêng hîp nµy hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn sÏ lµ k = a.
*)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ hµm sè y = y(x) biÕt r»ng tiÕp tuyÕn nµy vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y =
ax + b (a

0).trong trêng hîp nµy hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn sÏ lµ k = -

VÝ dô 4: Cho hµm sè y =
a)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ,biÕt r»ng tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc b»ng 2.
b)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ,biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®êng th¼ng y = x -1.
c)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ,biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y = Gi¶i: Ta viÕt hµm sè díi d¹ng : y = x - 1 -

.

a) TÝnh y'(x) = 1 +
C¸ch 1: Gäi x1 lµ hoµnh ®é tiÕp ®iÓm,khi ®ã : y'(x) = 1 +

= 2 hay (x1 - 2)2 = 1 .

Tõ ®©y ta ®îc x1 = 3 vµ x1 = 1.
Víi x1 = 3
y1 = 1 , tiÕp tuyÕn lµ y = 2x - 5
Víi x1 = 1
y1 = 1 , tiÕp tuyÕn lµ y = 2x - 1.
C¸ch 2: TiÕp tuyÕn cÇn t×m cã d¹ng y = 2x +b.
§êng th¼ng nµy ph¶i tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè ®· cho
= 2x +b
x2 + (b - 1)x -(2b + 1) = 0

ph¶i cã nghiÖm kÐp x
ph¶i cã nghiÖm kÐp x

2
2

VËy cã hai tiÕp tuyÕn tho¶ m·n ®Çu bµi lµ y = 2x - 5 vµ y = 2x - 1.
b) TiÕp tuyÕn cÇn t×m song song víi ®êng th¼ng y = x -1 vËy nã cã hÖ sè gãc k =1.

Vò Thµnh Trung-GV Trêng THPT Thanh Ch¨n

x+7

C¸ch 1: Gäi x1 lµ hoµnh ®é tiÕp ®iÓm, khi ®ã y'(x) = 1 +

= 1 hay

=0

Ph¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm.VËy kh«ng cã tiÕp tuyÕn nµo song song víi ®êng th¼ng y = x -1 .
C¸ch 2: TiÕp tuyÕn cÇn t×m cã d¹ng y = x +b.
§êng th¼ng nµy ph¶i tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè ®· cho
= x +b

ph¶i cã nghiÖm kÐp x

2

(b + 1)x - (2b + 1) = 0
ph¶i cã nghiÖm kÐp x 2
§iÒu nµy lµ kh«ng thÓ x¶y ra v× ®©y lµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt nªn kh«ng thÓ cã nghiÖm kÐp.
VËy kh«ng cã tiÕp tuyÕn nµo song song víi ®êng th¼ng y = x -1 .
c) TiÕp tuyÕn cÇn t×m vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y = -

x + 7 .VËy nã cã hÖ sè gãc k =

.

Cã thÓ ¸p dông 1 trong 2 ph¬ng ph¸p tr×nh bµy ë trªn.Chóng ta t×m ®îc hai tiÕp tuyÕn lµ
y=

x-

vµ y =

x-

Bµi TËp:
Bµi 1: Cho hµm sè y =

.ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ,biÕt tiÕp tuyÕn Êy ®i qua (4;3)

Bµi 2: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ y =

, biÕt tt ®ã vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y = x+ 2.

Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ y = 4x -3x,biÕt tiÕp tuyÕn Êy ®i qua (3;99)
Bµi 4: Cho hµm sè y = x4 - 2x2 + 2.Chøng minh r»ng: Qua ®iÓm (0;2) ta cã thÓ kÎ ®îc 3 tiÕp tuyÕn tíi ®å thÞ.ViÕt
pt tíi ®å thÞ.ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn ®ã.
3

Bµi 5: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ hµm sè y =

,biÕt tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®êng th¼ng y = -

2x + 1.

Vò Thµnh Trung-GV Trêng THPT Thanh Ch¨n