Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

MỤC LỤC
⨠CHƯƠNG ①. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC- PT LƯỢNG GIÁC..........................................................4
⨠§1-GÓC LƯỢNG GIÁC ......................................................................................................................4
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ........................................................................................................................................ 4
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S .......................................................................................................................................... 5
Ⓒ. Trả lời ngắn ................................................................................................................................................... 8
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm .................................................................................................................................. 10

⨠§2- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC..................................................... 13
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ...................................................................................................................................... 13
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ........................................................................................................................................ 17
Ⓒ. Trả lời ngắn ................................................................................................................................................. 22
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm .................................................................................................................................. 25

⨠§3- CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC .......................................................................................... 30
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ...................................................................................................................................... 30
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ........................................................................................................................................ 31
Ⓒ. Trả lời ngắn ................................................................................................................................................. 36
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm .................................................................................................................................. 39

⨠§4- HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ ..................................................................................... 44
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ...................................................................................................................................... 44
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ........................................................................................................................................ 46
Ⓒ. Trả lời ngắn ................................................................................................................................................. 51
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm .................................................................................................................................. 53

⨠§5- PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN .......................................................................... 63
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ...................................................................................................................................... 63
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ........................................................................................................................................ 66
Ⓒ. Trả lời ngắn ................................................................................................................................................. 70
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm .................................................................................................................................. 75

⨠CHƯƠNG ②. DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN............................................................. 82
⨠§1- DÃY SỐ ....................................................................................................................................... 82
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ...................................................................................................................................... 82
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ........................................................................................................................................ 84
Họ và tên giáo viên

1

ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

Ⓒ. Trả lời ngắn ................................................................................................................................................. 87
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm .................................................................................................................................. 88

⨠§2- CẤP SỐ CỘNG ........................................................................................................................... 93
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ...................................................................................................................................... 93
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ........................................................................................................................................ 94
Ⓒ. Trả lời ngắn ................................................................................................................................................. 97
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm ............................................................................................................................... 101

⨠§3- CẤP SỐ NHÂN ....................................................................................................................... 103
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ................................................................................................................................... 103
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ..................................................................................................................................... 104
Ⓒ. Trả lời ngắn .............................................................................................................................................. 107
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm ............................................................................................................................... 110

⨠CHƯƠNG ③. GIỚI HẠN HÀM SỐ-HÀM SỐ LIÊN TỤC ....................................................... 113
⨠§1- GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ....................................................................................................... 113
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ................................................................................................................................... 113
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ..................................................................................................................................... 115
Ⓒ. Trả lời ngắn .............................................................................................................................................. 117
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm ............................................................................................................................... 123

⨠§2- GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ..................................................................................................... 125
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ................................................................................................................................... 125
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ..................................................................................................................................... 129
Ⓒ. Trả lời ngắn .............................................................................................................................................. 131
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm ............................................................................................................................... 134

⨠§3- HÀM SỐ LIÊN TỤC ............................................................................................................... 137
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ................................................................................................................................... 137
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ..................................................................................................................................... 139
Ⓒ. Trả lời ngắn .............................................................................................................................................. 142
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm ............................................................................................................................... 144

⨠CHƯƠNG ④. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN ............................................ 148
⨠§1- ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KG ................................................. 148
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ................................................................................................................................... 148
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ..................................................................................................................................... 152
Họ và tên giáo viên

2

ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

Ⓒ. Trả lời ngắn .............................................................................................................................................. 154
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm ............................................................................................................................... 155

⨠§2- HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ................................................................................... 162
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ................................................................................................................................... 162
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ..................................................................................................................................... 164
Ⓒ. Trả lời ngắn .............................................................................................................................................. 166
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm ............................................................................................................................... 168

⨠§3- ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG .................................................................. 171
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ................................................................................................................................... 171
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ..................................................................................................................................... 172
Ⓒ. Trả lời ngắn .............................................................................................................................................. 175
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm ............................................................................................................................... 176

⨠§4- HAI MẶT PHẲNG SONG SONG .......................................................................................... 179
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ................................................................................................................................... 179
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ..................................................................................................................................... 182
Ⓒ. Trả lời ngắn .............................................................................................................................................. 184
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm ............................................................................................................................... 185

⨠§5- PHÉP CHIẾU SONG SONG .................................................................................................. 189
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ................................................................................................................................... 189
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ..................................................................................................................................... 190
Ⓒ. Trả lời ngắn .............................................................................................................................................. 192
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm ............................................................................................................................... 192

⨠CHƯƠNG ⑤. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU GHÉP LỚP . 195
⨠§1- SỐ TRUNG BÌNH VÀ MỐT CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM ..................................... 195
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ................................................................................................................................... 195
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ..................................................................................................................................... 196
Ⓒ. Trả lời ngắn .............................................................................................................................................. 201
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm ............................................................................................................................... 202

⨠§2- TRUNG VỊ VÀ TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM .................................. 203
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ................................................................................................................................... 203
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S ..................................................................................................................................... 205
Ⓒ. Trả lời ngắn .............................................................................................................................................. 207
Họ và tên giáo viên

3

ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

►GIẢI TÍCH
⨠CHƯƠNG ①. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC- PT LƯỢNG GIÁC
⨠§1-GÓC LƯỢNG GIÁC
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức
Lý thuyết
❶. Góc lượng giác
Khái niệm góc lượng giác: Cho hai tia
.
Nếu một tia
quay quanh gốc của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia
và dừng ở vị trí tia
thì ta nói tia
quét một góc lưọng giác có tia đầu
, tia cuối
, kí hiệu
.
Khi tia

quay một góc

, ta nói số đo của góc lượng giác

bằng , kí hiệu sđ

.

Chú ý: Với hai tia
và
Ta dùng chung kí hiệu

cho truớc, có vô số góc lượng giác tia đầu
cho tất cả các góc lượng giác này.

và tia cuối

❷. Đơn vị radian
Trên đường tròn bán kính tuỳ ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng
gọi là một góc có số đo 1 radian (đọc là 1 ra-đi-an, viết tắt là
).

được

Chú ý:
a) Khi ghi số đo của một góc theo đơn vị radian, người ta thường bỏ đi chữ rad sau số đo.
Ví dụ,

rad được viết là

rad được viết là 2 .

b) Với đơn vị radian, công thức số đo tổng quát của góc lượng giác

là

trong đó là số đo theo radian của một góc lượng giác bất kì có tia đầu
và tia cuối
Lưu ý không được viết
hay
(vì không cùng đơn vị đo).
Hệ thức Chasles (Sa-Iơ)

Với ba tia

và

bất kì, ta có

Họ và tên giáo viên

4

ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

.

.

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

Lý thuyết
❸. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường tròn tâm bán kính bằng 1 . Trên đường tròn
này, chọn điểm
làm gốc, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ và chiều
âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ. Đường tròn cùng vởi gốc và chiều như trên được gọi
là đường tròn lượng giác.
Cho số đo góc bất kì. Trên đường tròn lượng giác, ta xác định được duy nhất một điểm
sao cho số đo góc lượng giác
) bằng (Hình 12 ). Khi đó điểm
được gọi
là điểm biểu diễn của góc có số đo trên đường tròn lượng giác.

Hình 11

Hình 12

Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S
Câu 1.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)

30 =

Đổi số đo của các góc sang radian. Khi đó:
Mệnh đề


rad
6

Đúng Sai



1
 15 
  = rad
   12
c)
11
132 =
rad
15
d)
13
−495 = −
rad
4

Câu 2. Đổi số đo của các góc sang độ. Khi đó:
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a) 3
rad = 135
4
b)

−
rad = −0,5
360
c) 31
rad = 27
2
Họ và tên giáo viên

Đúng Sai

5

ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

d)

−4rad  −229,18

Câu 3.

Biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn lượng giác. Khi đó:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a) 125 là điểm M thuộc góc phần tư thứ thứ II
b) 405 là điểm N thuộc góc phần tư thứ III
c) 19
là điểm P thuộc góc phần tư thứ II
3
d)
13
−
là điểm Q thuộc góc phần tư thứ IV
6

Đúng Sai

Câu 4. Biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn lượng giác. Khi đó:
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề


a) 36 + k 360 , k  là điểm M thuộc góc phần tư thứ II
b) −60 + k180 , k  là các điểm M1 , M 2 thuộc góc phần tư thứ II và IV
c)

− + k 2 , k  là M thuộc góc phần tư thứ III
4
d)


− + k , k  là bốn điểm M , N , P, Q thuộc góc phần tư thứ I , II , III , IV
6
2
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề


a) 1127 , −313 có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác
b) 1127 , −674 có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác
c) 61 19
,−
có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác
5
5
d) 61
23
,−
có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác
5
4

Đúng Sai

Câu 5.

Câu 6.
a)
b)
c)

Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề


756 , −324 có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác
−324 ,36 có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác
36 , 216 có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác

Đúng Sai

Họ và tên giáo viên

6

Đúng Sai

ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

d)

−

41 15
,
có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác
7
7

Câu 7. Trong hình vẽ bên, ta xem hình ảnh đường tròn trên một bánh lái tàu thuỷ tương ứng với một
đường tròn lượng giác.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a) Công thức tổng quát biểu diễn góc lượng giác (OA, OB) theo đơn vị radian:

(OA, OB) =

Đúng Sai


+ k 2 (k  );
4

b) Công thức tổng quát chỉ ra góc lượng giác tương ứng với bốn điểm biểu diễn là

A, C , E , G theo đơn vị radian là k


(k  )
3

c)

Công thức tổng quát chỉ ra góc lượng giác tương ứng với hai điểm biểu diễn là
A, E theo đơn vị độ là: k180 (k  )
d) Công thức tổng quát biểu diễn góc lượng giác (OA, OC ) + (OC , OH ) theo đơn vị
radian:


+ k 2 (k  )
4
Câu 8. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
b)
c)
d)

90 =

Mệnh đề



Đúng Sai

rad
2
5
75 =
rad
12
25
750 =
rad ;
6


1
5
−   = − rad
36
 

Câu 9.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo 218 là điểm M thuộc góc phần tư
thứ III của đường tròn lượng giác thoả mãn AOM = 218
b) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo −405 là điểm N thuộc góc phần tư
thứ IV của đường tròn lượng giác thoả mãn AON = −45

Họ và tên giáo viên

7

Đúng Sai

ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

c)

Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo

25
là điểm
4

thứ I của đường tròn lượng giác thoả mãn AOP =
d)

Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo
tròn lượng giác thoả mãn AOQ = −



P thuộc góc phần tư



4

15
là điểm Q(0; −1) thuộc đường
2

2

Câu 10. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
3
108 =
rad
5
b)
2
120 =
rad
3

c)
2230 = rad
8

d)  1 
1
rad

 =
 6  10

Đúng Sai

Ⓒ. Trả lời ngắn

Câu 1. Từ hình vẽ đường tròn lượng giác, hãy viết công thức số đo tổng quát
của góc lượng giác (OA, OM ) .
Trả lời:………………….

Câu 2.

Từ hình vẽ đường tròn lượng giác, hãy viết công thức số đo tổng quát của góc lượng giác

(OA, ON ) .

Trả lời:………………….

Câu 3. Một cái đồng hồ treo tường có đường kính bằng 60 cm , ta xem vành ngoài chiếc đồng hồ
là một đường tròn với các điểm A, B, C lần lượt tương ứng với vị trí các số 2, 9, 4 .
Họ và tên giáo viên

8

ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

Tính độ dài các cung nhỏ
phần trăm).

AB

và AC (kết quả tính theo đơn vị centimét và làm tròn đến hàng

Trả lời:………………….

Câu 4.

Gọi M , N , P là các điểm trên đường tròn lượng giác sao cho số đo các góc lượng giác
 7 
, − . Khi đó tam giác MNP là tam giác gì?
(OA, OM ), (OA, ON ), (OA, OP) lần lượt bằng ,
2 6

6

Trả lời:………………….
Câu 5. Một chiếc đồng hồ có kim giờ và kim phút được cho như trong hình vẽ sau. Xét tia Ou là
kim giờ, Ov là kim phút. Xét chiều quay của góc là chiều kim đồng hồ, hãy viết công thức số đo
tổng quát của góc lượng giác (Ou, Ov) trong trường hợp sau:

Trả lời:………………….
Câu 6. Một chiếc đồng hồ có kim giờ và kim phút được cho như trong hình vẽ sau. Xét tia Ou là
kim giờ, Ov là kim phút. Xét chiều quay của góc là chiều kim đồng hồ, hãy viết công thức số đo
tổng quát của góc lượng giác (Ou, Ov) trong trường hợp sau:

Trả lời:………………….
Câu 7. Một chiếc đồng hồ có kim giờ và kim phút được cho như trong hình vẽ sau. Ta xem tia Ou
là kim giờ, tia Ov là kim phút. Xét tia OA với điểm A trùng vị trí số 3 trên chiếc đồng hồ. Hãy viết
một công thức duy nhất để thể hiện số đo tổng quát của cả hai góc lượng giác (OA, Ou ) và (OA, Ov)
với góc quay xác định theo chiều dương.

Trả lời:………………….
Họ và tên giáo viên

9

ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

Câu 8. Một bánh xe có đường kính kể cả lốp xe là 55 cm . Nếu xe chạy với tốc độ 50 km / h thì
trong một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng? (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).
Trả lời:………………….
Câu 9.

Đổi số đo các góc sau đây sang độ:

2
5

Trả lời:………………….
Câu 10. Biết một số đo của góc (Ox, Oy ) =

3
+ 2001 . Công thức số đo tổng quát của góc (Ox, Oy )
2

bằng ?
Trả lời:………………….
Câu 11. Cho hình vuông ABCD có tâm O và một trục ( i ) đi qua O . Xác định số đo góc giữa tia OA
với trục ( i ) biết trục ( i ) đi qua trung điểm I của cạnh AB .
Trả lời:………………….
Câu 12. Trên đường tròn với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác
AM có số đo 60 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy . Tìm số đo của cung AN .
Trả lời:………………….
Câu 13. Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là bao
nhiêu?

Trả lời:………………….
Câu 14. Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng. Tính độ dài quãng đường xe
gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5 cm (lấy
 = 3,1416 ).
Trả lời:………………….
Câu 15. Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57 cm và kim phút dài 13,34 cm . Trong 30 phút
mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài bằng bao nhiêu?
Trả lời:………………….
Câu 16. Đổi số đo của các góc sau đây sang radian: −78 .
Trả lời:………………….
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1: Neu mot cung tron co so đo bang radian la
A. 172 .

B. 15 .

5
thì so đo bang đo cua cung tron đo la
4

C. 225 .

D. 5 .

o

Câu 2: Goc co so đo 108 đoi ra radian la
Họ và tên giáo viên

10 ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

A.

3
.
5

Câu 3: Goc co so đo

B.


10

.

C.


đoi sang đo la
9

o

3
.
2

D.

o

o
A. 15 .
B. 18 .
C. 20 .
Câu 4: Đoi so đo goc 105o sang rađian bang

A.

5
.
12

B.

7
.
12

C.


4

.

o
D. 25

9
12

D.

5
.
8

Câu 5: Cho đương tron lương giac goc A va điem M nam tren đương tron lương giac sao cho
MOx = MOy = 45o . Menh đe nao sau đay đung?
A. sđ AM =


+ k 2 , k  .
4

C. sđ AM = −


+ k 2 , k  .
4

B. sđ AM =


+ k , k  .
4

D. sđ AM = −


+ k , k  .
4

Câu 6: Goc co so đo 1200 đoi sang rađian la
A.

2
.
3

B.

3
.
2

C.


.
4

D.


.
10

D.

35
.
18

D.

3
.
5

Câu 7: Cung co so đo 250 thì co so đo theo đơn vi radian la:

25
25
25
.
B.
.
C.
.
12
18
9
Câu 8: Đoi sang radian goc co so đo 108 ta đươc
A.

A.


.
4

B.


.
10

C.

3
.
2

Câu 9: Tìm menh đe đung.
180 
A.  rad = 
.
  

B.  rad = 1 .

C.  rad = 60 .

D.  rad = 180 .

Câu 10: So đo radian cua goc 135 la
A.


.
6

B.

3
.
4

C.

2
.
3

D.


.
2

Câu 11: Tren đương tron ban kình bang 5, cho mot cung tron co đo dai bang 10. So đo rađian cua cung tron
đo la
A. 2 .
Câu 12: Cung co so đo
A. 300 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 4 .

5
rad đoi sang đơn vi đo bang
3
B. 5 .
Họ và tên giáo viên

C. 600 .

D. 270 .
11 ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

Câu 13: Goc co so đo −
A. 33o 45' .

3
co so đo theo đo la
16
B. −29o30 ' .

Câu 14: Neu mot goc co so đo
A. 45 .

C. −32o55' .

D. −33o 45' .

5
rad thì so đo cua goc đo khi đoi sang đơn vi đo, phut, giay la
12

B. 75 .

C. 55 .

D. 65 .

o
Câu 15: Mot đương tron co ban kình R = 10cm . Đo dai cung 40 tren đương tron gan bang:

A. 7 cm .
B. 9cm .
C. 11cm .
D. 13cm .
Câu 16: Cho đương tron co ban kình bang 9 ( cm ) . Tìm so đo (theo radian) cua cung co đo dai 3 ( cm ) .


2


.
B.
.
C. .
D. .
3
3
4
6
Câu 17: Mot đương tron co ban kình 30cm. Tình đo dai cua cung tron tren đương tron đo co so đo 2,5 .
A.

A. 7,5cm .

B. 0,83cm .

D. 12cm .
5
Câu 18: Tình ban kình R cua đương tron biet rang cung co so đo rad dai 24 cm.
3
A. R = 4, 0 cm. B. R = 4, 6 cm.

C. 75cm .

C. R = 14, 4 cm.

D. 1, 6 cm.

Câu 19: Cho đương tron co ban kình 6 cm. Tìm so đo (rad) cua cung co đo dai 3 cm.
A. 1 .

B.

0, 5 .

C.

2.

D. 3 .

Câu 20: Mot banh xe co 72 rang. So đo goc ma banh xe đa quay đươc khi di chuyen 10 rang la
A. 30 .

B. 40 .

C. 50 .

D. 60 .

Câu 21: Mot đương tron co ban kình R = 12cm . Tình đo dai cua cung 600 tren đương tron gan bang
A. 2cm .

B. 4cm .

C. 6.28cm .

D. 12.56cm .

Câu 22: Mot đương tron co ban kình 15 cm . Tìm đo dai cung tron co goc ơ tam bang 30 la
5

2
5
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
2
5
3
3
Câu 23: Mot đong ho treo tương co kim giơ dai 10,57cm. Trong 30 phut mui kim giơ vach len cung tron co
đo dai bang bao nhieu?
1057
1057
1057
1057
 ( cm ) . B.
 ( cm ) . C.
 ( cm ) . D.
 ( cm ) .
A.
1200
2400
600
4800
Câu 24: Banh xe đap co đương kình 55cm ( ke ca lop). Neu chay vơi van toc 40 km / h thì trong 25s banh
xe quay đươc so vong gan bang vơi ket qua nao dươi đay?
A. 52 .
B. 161.
C. 322 .
D. 200 .
Câu 25: Kim giơ cua đong ho dai 8 cm , kim phut dai 10 cm . Tong quang đương mui kim phut, kim giơ đi
đươc trong 30 phut bang
25
37
20
32
.
.
A.  .
B.
C.
D.  .
3
3
3
3
Họ và tên giáo viên

12 ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!


3 1
Câu 26: Goc nao trong cac goc sau co điem bieu dien la M  −
; −  ?
2
2


7
2

A. − + k 2 ( k  ) .B.
+ k 2 ( k  ) .C.
+ k 2 ( k  ) .D. − + k 2 ( k 
3
6
3
6
Câu 27: Cho goc lương giac ( Ou, Ov ) co so đo bang

).


rad. Trong cac so sau, so đo cua goc lương giac co
6

cung tia đau, tia cuoi vơi goc lương giac đa cho la:
7
−11
19
−25
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
6
6
6
6
2021
Câu 28: Biet mot goc lương giac ( Ou, Ov ) co so đo la
, so đo cua goc hình hoc uOv la:
3
2


−
A.
.
B. .
C. .
D.
.
3
3
3
6
Câu 29: Mot banh xe quay theo chieu dương đươc 5 vong trong 8 giay. Trong 3 giay banh xe quay đươc mot
goc lương giac co so đo la bao nhieu
3
48
15
5
.
A.  .
B.
C.  .
D.  .
4
5
4
6

⨠§2- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức
Họ và tên giáo viên

13 ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

Lý thuyết
❶. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Trên đường tròn lượng giác, gọi 𝑀 là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo 𝛼. Khi đó:
Tung độ 𝑦𝑀 của 𝑀 gọi là sin của 𝛼, kí hiệu sin⁡ 𝛼.
Hoành độ 𝑥𝑀 của 𝑀 gọi là côsin của 𝛼, kí hiệu cos⁡ 𝛼.

𝑦

sin⁡ 𝛼

Nếu 𝑥𝑀 ≠ 0 thì tỉ số 𝑥𝑀 = cos⁡ 𝛼 gọi là tang của 𝛼, kí hiệu tan⁡ 𝛼.
𝑀
𝑥𝑀

cos⁡ 𝛼

𝑀

sin⁡ 𝛼

Nếu 𝑦𝑀 ≠ 0 thì tỉ sô 𝑦 =

gọi là côtang của 𝛼, kí hiệu cot⁡ 𝛼.

Các giá trị sin𝛼, cos𝛼, tan𝛼 và cot𝛼 được gọi là các giá trị luợng giác của góc lương giác 𝛼.
Chú ý:
Ta gọi trục hoành là trucc côsin, còn trục tung là trục sin.
Trục 𝐴𝑠 có gốc ở điềm 𝐴(1; 0) và song song với trục sin (Hình 3a ) gọi là trục tang.
Nếu đường thẳng 𝑂𝑀 cắt trục tang thì tung độ của giao điểm đó chính là tan 𝛼.
Trục 𝐵𝑡 có gốc ở điểm 𝐵(0; 1) và song song với trục côsin (Hinh 3 b) gọi là trục côtang.
Nếu đường thẳng 𝑂𝑀 cắt trục côtang thì hoành độ của giao điểm đó chính là cot⁡ 𝛼.

Họ và tên giáo viên

14 ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

Lý thuyết
b) sin⁡ 𝛼 va cos⁡ 𝛼 xac đinh vơi moi 𝛼 ∈ ℝ; tan⁡ 𝛼 chì xac đinh vơi cac goc
𝜋

𝛼 ≠ 2 + 𝑘𝜋(𝑘 ∈ ℤ); cot⁡ 𝛼 chi xác định với các góc 𝛼 ≠ 𝑘𝜋(𝑘 ∈ ℤ).
c) Với mọi góc lượng giác 𝛼 và số nguyên 𝑘, ta có
sin⁡(𝛼 + 𝑘2𝜋) = sin⁡ 𝛼; tan⁡(𝛼 + 𝑘𝜋) = tan⁡ 𝛼; cos⁡(𝛼 + 𝑘2𝜋) = cos⁡ 𝛼; cot⁡(𝛼 + 𝑘𝜋) =
cot⁡ 𝛼. d).
𝜋
Ta đã biết bảng giá trị lượng giác của một số góc 𝛼 đặc biệt với 0 ≤ 𝛼 ≤ 2 (hay 0∘ ≤
𝛼 ≤ 90∘ ) như sau:

❷. Tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy tính cầm tay
Ta có thể tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác bất kỉ bằng máy tính cầm tay. Lưu
ý trước khi tính, cần chọn đơn vị đo góc như sau:
Lần lượt ấn các phím SHIFT, MENU và 2 để màn hình hiện lên bảng lựa chọn
đơn vị đo góc.
Tiếp tục ấn phím 1 để chọn đơn vị độ (Degree) hoặc phím 2 để chọn đơn vị radian.
Ấn các phím MENU 1 để vào chế độ tính toán.

Họ và tên giáo viên

15 ThS.Nguyễn Ngọc Sang_THPT Buôn Hồ

Tài liệu học thêm môn Toán ⓫-KNTT & CS - Cấu trúc mới!

Lý thuyết
❸. Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác

sin2 ⁡ 𝛼 + cos2 ⁡ 𝛼 = 1
𝜋
tan⁡ 𝛼 ⋅ cot⁡ 𝛼 = 1 với 𝛼 ≠ 𝑘 2 , 𝑘 ∈ ℤ

1 + tan2 𝛼 =

1

cos2 𝛼
1

𝜋

với 𝛼 ≠ + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ⁡ ⋅
2

1 + cot ⁡ 𝛼 = sin2⁡ 𝛼 với 𝛼 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
2

❹. Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt
Hai góc đối nhau: 𝜶 và −𝜶
Các điểm biểu diễn của hai góc 𝛼 và −𝛼 đối xứng qua trục 𝑂𝑥, nên ta có:

⁡
⁡
⁡
⁡

...