MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH NHANH
(PHÂN SỐ, CHỮ SỐ TẬN CÙNG, TÌM X, DẤU HIỆU CHIA HẾT)
Đề bài
Đáp án

Bài 1: Tính biểu thức sau một cách hợp lí nhất:
a)
b) A = + + + ......+ +
 a) Phân tích mẫu số ta có:
1997 1996 – 1995 1996 = 19961997 -1995) = 1996 2.
Phân tích tử số ta có:
1998 1996 + 1997 11 + 1985 = 1998 1996 + (1996 + 1) 11 + 1985
= 1998 1996 + 1996 11 + 11 +1985 = 1998 1996 + 1996 11 +1996
= 1996 (1998 + 11 + 1 ) = 1996 2010.
Vậy giá trị phân số trên là: = 1005.
b) A = + + + ......+ +
Ta có: 2 x A = 1 + + + + ......+
A = 2 x A – A = 1 + .....+ + + + ......+ + ; A = 1 - A =

Bài 2 : Tính nhanh tổng sau :




Đặt tổng trên bằng A ta có :

Bài 3:
a) Không làm tính hãy so sánh:
A = 1991 x 1999 và B = 1995 x 1995
b) Tính nhanh biểu thức sau:


Cách 1:

=

=


a) So sánh A và B: B = 1995 x 1995
A = 1991 x 1999 = 1995 x (1991+4)
= 1991 x (1995 + 4) = 1995 x 1991 + 1995 x 4
= 1991 x 1995 + 1991 x 4
Vì 1991 x 1995 = 1995 x 1991 và 1991 x 4 < 1995 x 4
nên 1991 x 1999 < 1995 x 1995
Cách 2: Nhận xét
;
;

;
;

C =
=

=

Cách 3: Nhận xét:

Do đó


Do đó:

Cứ theo quy luật này ta có:
C =
=
=


Bài 4 : Cho S =


Hãy so sánh S và
.

Xét các số hạng của tổng ta thấy :
Ta có :
x10

Nên S >
.


Bài 5 :Tính nhanh:
( 1+3+5+7+…+2003+2005) x (125 125 x 127 – 127 127 x 125)


a) Ta có:
125 125x127 – 127 127x125 = 1001x125x127 – 1001x127x125 = 0 . nên : (1+3+5+...+2005)(125 125x127 – 127 127x125) = 0


Bài 6: Không quy đồng tử số và mẫu số. Hãy so sánh:
a/
; b/

a/ Ta có:
;

Mà
vì hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn là phân số lớn hơn. Suy ra:

b/
suy ra


Bài 7 : Cho 7 phân số :

Thăng chọn được hai phân số mà tổng có giá trị lớn nhất. Long chọn hai phân số mà tổng có giá trị nhỏ nhất. Tính tổng 4 phân số mà Thăng và Long đã chọn.
Vậy ta sắp xếp được như sau :

Tổng hai phân số có giá trị lớn nhất là :

Tổng hai phân số có giá trị nhỏ nhất là :


Do đó tổng bốn phân số mà Thăng và Long đã chọn là :



Bài 8 : Cho tổng :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50.
Liệu có thể liên tục thay hai số bất kì bằng hiệu của chúng cho tới khi được kết quả là 0 hay không ?

Bài giải : Ta đặt A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50. Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 có 50 số, trong đó số các số lẻ bằng số các số chẵn nên có 50 : 2 = 25 (số lẻ). Vậy A là một số lẻ. Gọi a và b là hai số bất kì của A, khi thay tổng a + b bằng hiệu a - b thì A giảm đi : (a + b) - (a - b) = 2 x b tức là giảm đi một số chẵn. Hiệu của một số lẻ và một số chẵn luôn