BẤT ĐẲNG THỨC
I. Các kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a > b (
) là một bất đẳng thức


2. Các tính chất
a. Bắc cầu:

b. Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số:

Hệ quả 1:

c. Cộng, trừ từng vế của bất đẳng thức cùng chiều được bđt cùng chiều với bđt đã cho

( lưu ý: không có tính chất trừ vế với vế )
d. Nhân cả hai vế của bddt với cùng một số


Hệ quả:

e. Trừ từng vế của bđt ngược chiều:

f. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm:

g. Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức:
-
-

-

h. Lấy căn


Hệ quả:

i. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bđt nếu hai vế cùng dấu
-

-

II. Các hằng đẳng thức
1.
2.

3.
4.

5.

III. Các bổ đề hay sử dụng
1.
2.

3.
4.

5.

IV. Các dạng toán
Dạng 1: Dùng định nghĩa và các phép biến đổi tương đương
- Để chứng minh:
ta xét A – B và chứng minh

Bài 1:Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau:

Lời giải


Dấu “ = ” xảy ra

Bài 2:Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh rằng:

Lời giải


Dấu “ = ” xảy ra

Bài 3:Chứng minh rằng:

Lời giải




Bài 4:Cho ba số a, b, c thỏa mãn:

Lời giải
Xét hiệu:



Bài 5:Chứng minh rằng:
với a, b, c > 0
Lời giải
Xét hiệu:

Bài 6:Chứng minh rằng nếu
thì

Lời giải
Xét hiệu:



Bài 7:Chứng minh rằng nếu
ta luôn có:

Lời giải








Dạng 2: Dùng các phép biến đổi tương đương
- Ta biến đổi các bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh là đúng
- Nếu
, với C < D luôn đúng
Bài 1:Cho a, b, c, d, e là các số thực, CMR:
a.
b.

c.
d.

Lời giải
a.

b.

c.

d.



Bài 2:Cho ba số
thỏa mãn: abc = 1 và

a. Chứng minh rằng:

b. Chứng minh răng luôn tồn tại 1 trong ba số a, b, c nhỏ hơn 1
Lời giải
a. Ta có:

và

Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh
b. Giả sử tồn tại cả ba số a, b, c lớn hơn 1
( mâu thuẫn với giả thiết )
Vậy luôn tồn tại 1 số nhỏ hơn 1.
Bài 3:Chứng minh bất đẳng thức sau:

Lời giải




Bài 4:Chứng minh rằng:

Lời giải
Ta có:

Tương tự:
. Vậy

Lại có:

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được:

Bài 5: [ Vào 10, ĐHSP TPHCM năm 2007 – 2008 ].
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

Lời giải






Bài 6: [ Vào 10 Thanh Hóa, năm 2007 – 2008 ].
Chứng minh rằng:

Lời giải


Bài 7: [ HSG – 1994 - 1995 ]
Chứng minh rằng với mọi số thực
ta có

Lời giải






Bài 8: [ Chuyên An Giang năm 2010 - 2011 ]
Cho

Lời giải
Do

Đặt



Bài 9: [ Vào 10 chuyên KHTN, ĐHQGHN, năm 2000 – 2001 ]
Cho hai số thực

Lời giải




Bài 10: [ Lớp 9 ]
Cho các số thực a,b. Chứng minh rằng:

Lời giải
Ta có:





- Ta có:













Dạng 3: Bất đẳng thức dạng nghịch đảo ( Cô si cộng mẫu )
-
-

-

Bài 1:Cho a, b, c > 0