CHƯƠNG IV:
BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH




BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Khái niệm
Các mệnh đề dạng “a < b” hoặc “a > b” được gọi là bất đẳng thức.
Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Nếu mệnh đề “a < b ⇒ c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d bất đẳng thức hệ quả của
bất đẳng thức a < b và cũng viết a < b ⇒ c < d.
Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b ⇒ c < d.
Tính chất của bất đẳng thức
Tính chất

Tên gọi

Điều kiện
Nội dung



a < b ⇔ a + c < b + c
Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số

c > 0
a < b ⇔ ac < bc
Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số

c < 0
a < b ⇔ ac > bc



a < b và c < d ⇒ a + c < b + d
Công hai bất đẳng thức cùng chiều

a > 0, c > 0
a < b và c < d ⇒ ac > bd
Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều

n nguyên dương
a < b ⇔ a2n + 1< b2n + 1
Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa


0 < a < b ⇒ a2n < b2n


a > 0
a < b
𝑎
𝑏

Khai căn hai vế của một bất đẳng thức


a < b
3
𝑎
3
𝑏




Hệ quả 1: a +
1
a ≥2; ∀a>0
Hệ quả 2: Nếu x, y cùng dương và tổng không đổi thì tích xy lớn nhất
khi và chỉ khi x = y.
Hệ quả 3: Nếu x,y cùng dương và tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất
khi và chỉ khi x = y.
Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối
Điều kiện
Nội dung



𝑥 ≥0,
𝑥 ≥
𝑥,
𝑥 ≥ −𝑥

a > 0

𝑥 ≤𝑎 ⇔ −𝑎≤ x≤a



𝑥 ≤𝑎 ⇔
x≤−a hoặc x ≥a



a−
b
a+b≤
a+
b













BẤT ĐẲNG THƯC CÔSI (CAUCHY)
Bất đẳng thức cho 2 số không âm

ab
a+b
2, ∀a;b ≥0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi có a = b.
Bất đẳng thức cho 3 số không âm

a+ b+ c
3
3
abc

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bất đẳng thức cho 4 số không âm

a+b+c+d
4 ≥
4
abcd

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d
Bất đẳng thức cho n số không âm
Với x1, x2,…,xn là n số thực không âm, khi đó ta có:

x
1
x
2
x
n n≥
𝑛
x
1
x
2
x
n

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x1 = x2 = … = xn
BÀI TẬP BỔ TRỢ
/


BẤT ĐẲNG THỨC BU – NHI – A – CỐP - XKI
//
/








BÀI TẬP BỔ TRỢ KIẾN THỨC
/
/