Thầy NGUYỄN BỈNH KHÔI

Lớp Toán Thầy Khôi 10,11,12 và LTĐH
SĐT: 0909 461 641

TOÁN 12
TOÁN
(THEO SÁCH CTST)

TẬP 2
π

Toám tùæt lñ thuyïët A

π

π

π

π

π

π

Vñ duå minh hoaå B
π

π

π

π

π

Baâi têåp vêån duåππng C

π

π

S(x)

O
a

π

π

x

b

x

Q

P

B(10; 20; 10)

π

π

π

Baâi têåp reân luyïån D
π

z

C(0; 20; 10)

A(10; 0; 9)

π

π

π

y

D(0; 0; 9)

P (5; 0; 6)

π

π
π

π

x

π

O

THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI

i

Tài liệu học tập Toán 12 HKII - CTST

MỤC LỤC

MỤC LỤC
I

MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH

1

Chương 1. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

2

Bài 1.

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

A Trọng tâm kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Công thức nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

B Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Dạng 1. Tính xác suất có điều kiện theo định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Dạng 2. Tính xác suất có điều kiện theo công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Dạng 3. Tính xác suất có điều kiện nhờ sơ đồ hình cây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1. Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Dạng 4. Công thức nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1. Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

i/13

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

I

PHẦN

MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH

2

Tài liệu học tập Toán 12 HKII - CTST

Chûúng

1

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Baâi

1

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
1

Xác suất có điều kiện
○ Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, tính trong điều kiện biết rằng biến cố B đã xảy ra, được
gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A | B).
○ Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó
P(A | B) =

2

P(AB)
.
P(B)

Công thức nhân xác suất

Vậy với hai biến cố A và B bất kì, ta có
P(AB) = P(B) · P(A | B).
Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.
○ Vì AB = BA nên với hai biến cố A và B bất kì, ta cũng có
P(AB) = P(A) · P(B | A).
○ Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì
P(AB) = P(A) · P(B).

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Tính xác suất có điều kiện theo định nghĩa

1

Ví dụ minh hoạ

c Ví dụ 1. Một hộp có 5 viên bi cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 3 viên bi màu đỏ và 2 viên bi
màu xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi và không hoàn lại. Tính xác suất để lấy được viên bi thứ hai có
màu xanh, biết rằng viên bi thứ nhất có màu đỏ.

Lời giải.
Gọi
○ A là biến cố “Lấy được viên bi thứ hai có màu xanh”;
2/13

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

3

Chương 1. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Tài liệu học tập Toán 12 HKII - CTST

○ B là biến cố “Lấy được viên bi thứ nhất có màu đỏ”.
Khi đó xác suất để lấy được viên bi thứ hai có màu xanh, biết rằng viên bi thứ nhất có màu đỏ chính là xác suất
của A với điều kiện B.
Vì một viên bi đỏ đã được lấy ra ở lần thứ nhất nên trong hộp còn lại 4 viên bi, trong đó có 2 viên bi xanh.
2
Từ đó ta có P(A | B) = = 0,5.
4
Vậy xác suất để lấy được viên bi thứ hai có màu xanh, biết rằng viên bi thứ nhất có màu đỏ là 0,5.
c Ví dụ 2. Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn
Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong
hộp đó.
Gọi A là biến cố: “An lấy được viên bi trắng”; B là biến cố: “Bình lấy được viên bi trắng”. Tính P(A | B).

Lời giải.
Nếu B xảy ra tức là Bình lấy được viên bi trắng.
Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 19 viên bi trắng và 10 viên bi đen.
19
Vậy P(A | B) =
≈ 0,67
29
c Ví dụ 3. Câu lạc bộ cờ của nhà trường gồm 35 thành viên, mỗi thành viên biết chơi ít nhất một trong hai
môn cờ vua hoặc cờ tướng. Biết rằng có 25 thành viên biết chơi cờ vua và 20 thành viên biết chơi cờ tướng.
Chọn ngẫu nhiên 1 thành viên của câu lạc bộ. Tính xác suất thành viên được chọn biết chơi cờ vua, biết rằng
thành viên đó biết chơi cờ tướng.

Lời giải.
Gọi A là biến cố “Thành viên được chọn biết chơi cờ tướng” và B là biến cố “Thành viên được chọn biết chơi cờ
vua”.
Số thành viên của câu lạc bộ biết chơi cả hai môn cờ là 20 + 25 − 35 = 10.
Do đó, trong số 20 thành viên biết chơi cờ tướng, có đúng 10 thành viên biết chơi cờ vua.
Vậy nên xác suất thành viên được chọn biết chơi cờ vua, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ tướng là
P(B | A) =

10
= 0.5.
20

c Ví dụ 4. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 3 viên bi xanh và 5 viên bi
đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Thanh lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ
vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất để viên bi lấy ra ở lần
thứ hai là viên bi đỏ, biết viên bi lấy ra ở lần thứ nhất là viên bi đỏ.

Lời giải.
Gọi A là biến cố “viên bi lấy ra lần thứ hai là viên bi đỏ”; B là biến cố “viên bi lấy ra lần thứ hai là viên bi đỏ”.
Biến cố B xảy ra, nghĩa là lần thứ nhất lấy được viên bi đỏ và bỏ vào hộp thứ hai. Khi đó trong hộp thứ hai sẽ
có 3 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ.
6
2
Vậy P(A | B) = = .
9
3
2

Bài tập áp dụng

c Bài 1. Có hai hộp chứa các thẻ được đánh số. Hộp thứ nhất có các thẻ được đánh số từ 1 đến 4, hộp thứ hai
có các thẻ được đánh số từ 5 đến 6. Các thẻ có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Phương lấy ngẫu nhiên một
thẻ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai. Sau đó bạn lại lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp thứ hai. Liệt kê các kết
quả của phép thử biết lần thứ nhất bạn Phương lấy được một thẻ đánh số chẵn.

Lời giải.
Vì đã biết lần thứ nhất bạn Phương lấy được một thẻ đánh số chẵn. Nghĩa là lúc đó bạn Phương có thể lấy được
thẻ đánh số 2 hoặc 4.
Nếu bạn Phương lấy được thẻ đánh số 2 và bỏ vào hộp thứ hai, thì lúc này trong hộp thứ hai có các thẻ đánh số
từ 5 đến 6 và 2. Do đó ta có các khả năng (2; 5), (2; 6), (2; 7), (2; 2).
3/13

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

4

Tài liệu học tập Toán 12 HKII - CTST

1. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Tương tự như vậy nếu bạn Phương lấy được thẻ đánh số 4, ta có các khả năng (4; 5), (4; 6), (4, 7), (4, 4).
Vậy các kết quả của phép thử biết lần thứ nhất bạn Phương lấy được một thẻ đánh số chẵn là
(2; 5), (2; 6), (2; 7), (2; 2), (4; 5), (4; 6), (4, 7), (4, 4).
c Bài 2. Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và
khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi trong hộp, không trả lại. Sau đó Tùng lấy ngẫu nhiên một
trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.

Lời giải.
Sau khi Sơn lấy được bút bi đen thì trong hộp kín còn lại 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen.
7
Vậy xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh là
.
11
c Bài 3. Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình
lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp

đó.
Gọi A là biến cố: “An lấy được viên bi trắng”; B là biến cố: “Bình lấy được viên bi trắng”. Tính P A | B .
Lời giải.
Nếu B xảy ra tức là Bình lấy được viên bi đen.
Khi đó trong hộp còn lại 29 viên bi với 20 viên bi trắng và 9 viên bi đen.
20
Vậy P(A | B) = .
29
c Bài 4. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 3 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ.
Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Thanh lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp
thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất để viên bi lấy ra ở lần thứ hai là viên
bi đỏ, biết viên bi lấy ra ở lần thứ nhất là viên bi xanh.
Lời giải.
A là biến cố: “viên bi lấy ra ở lần thứ hai là viên bi đỏ”; B là biến cố: “viên bi lấy ra ở lần thứ nhất là viên bi
xanh”.
Biến cố B xảy ra, nghĩa là lần thứ nhất lấy 1 viên bi xanh và bỏ vào hộp thứ hai. Khi đó trong hộp thứ hai sẽ có
4 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ.
5
Vậy P(A | B) = .
9
Dạng 2. Tính xác suất có điều kiện theo công thức
Nếu P(B) > 0 thì xác suất của biến cố A với điều kiện B được xác định bởi công thức
P(A | B) =

1

P(AB)
.
P(B)

Ví dụ minh hoạ

c Ví dụ 1. Cho hai biến cố A, B có P(A) = 0, 4; P(B) = 0, 6; P(AB) = 0, 2. Tính các xác suất P(A | B) và
P(B | A).

Lời giải.
Ta có
○ P(A | B) =
○ P(B|A) =

P(AB)
0,2
1
=
= .
P(B)
0,6
3

P(AB)
0,2
=
= 0,5.
P(A)
0,4

c Ví dụ 2. Cho hai biến độc lập A, B với P(A) = 0,8. Tính P(A | B).

Lời giải.
4/13

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

5

Chương 1. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Tài liệu học tập Toán 12 HKII - CTST

Vì A và B là hai biến cố độc lập, do đó
P(A | B) =

P(A) · P(B)
P(AB)
=
= P(A) = 0,8.
P(B)
P(B)

Ta có thể dùng công thức P (A | B) = P(A) với A và B là hai biến cố độc lập.
c Ví dụ 3. Một lô sản phẩm có 20 sản phẩm, trong đó có 5 sản phẩm chất lượng thấp. Lấy liên tiếp 2 sản
phẩm trong lô sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào lô sản phẩm.
Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp.

Lời giải.
Gọi A là biến cố “sản phẩm thứ nhất có chất lượng thấp”, và B là biến cố “sản phẩm thứ hai có chất lượng thấp”.
Xác suất của A là xác suất để lấy ra một sản phẩm chất lượng thấp trong lần đầu tiên:
P(A) =

n(A)
5
1
=
= .
n(Ω)
20
4

Sau khi lấy một sản phẩm chất lượng thấp, số sản phẩm chất lượng thấp giảm còn 4 trong tổng số 19 sản phẩm.
Xác suất của B khi đã xảy ra A là xác suất để lấy ra một sản phẩm chất lượng thấp trong lần thứ hai:
P(B | A) =

4
.
19

Áp dụng quy tắc nhân xác suất:
P(AB) = P(A) · P(B | A) =

1 4
1
·
= .
4 19
19

c Ví dụ 4. Trong cuộc khảo sát 300 gia đình ở một khu vực, người ta nhận thấy rằng có 90% gia đình có tivi
và 60% gia đình có máy tính bàn. Mỗi gia đình đều có ít nhất một trong hai thiết bị này. Chọn ngẫu nhiên
một gia đình. Tính xác suất gia đình có máy tính bàn trong nhóm các gia đình có tivi.

Lời giải.
Gọi A là biến cố “Gia đình được chọn có máy tính bàn”; B là biến cố “Gia đình được chọn có tivi”. Khi đó AB là
biến cố “Gia đình được chọn có cả máy tính bàn và tivi”.
Ta có n(B) = 0,9 · 300 = 270 và n(AB) = 0,9 · 300 + 0,6 · 300 − 300 = 150.
n (A ∩ B)
150
5
Do đó P(A | B) =
=
= .
n(B)
270
9

2

Bài tập áp dụng

c Bài 1. Một phòng nghiên cứu dược học cho 500 người bị bệnh H dùng hai loại thuốc X, Y để điều trị. Một
số người được điều trị bằng thuốc X và số người còn lại được điều trị bằng thuốc Y . Kết quả nghiên cứu được
trình bày ở bảng 6.2.
Loại thuốc

X

Y

Khỏi bệnh

180

190

Không khỏi bệnh

60

70

Tình trạng

Chọn ngẫu nhiên một người trong số này. Gọi A là biến cố “Người được chọn khỏi bệnh”, B là biến cố “Người
được chọn điều trị bằng thuốc X”, C là biến cố “Người được chọn điều trị bằng thuốc Y ”.
a) Tính và giải thích ý nghĩa của P(A | B) và P(A | C).
b) Có thể nói loại thuốc nào có hiệu quả hơn trong việc điều trị bệnh H?
5/13

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

6

Tài liệu học tập Toán 12 HKII - CTST

1. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Lời giải.
a) P(A | B) =

n (AB)
180
3
n (A ∩ C)
190
19
=
= và P(A | C) =
=
= .
n(B)
240
4
n(C)
260
26

3
Theo các kết quả trên, xác suất để một người khỏi bệnh khi được chọn điều trị bằng thuốc X là và xác
4
19
.
suất để một người khỏi bệnh khi được chọn điều trị bằng thuốc Y là
26
b) Do

3
19
>
nên loại thuốc X có hiệu quả hơn loại thuốc Y trong việc điều trị bệnh H.
4
26

c Bài 2. Một xí nghiệp dệt may có những dải của một loại vải đang sản xuất theo một quy trình đặc biệt.
Những dải này có thể bị lỗi theo hai hướng: lỗi chiều dài và lỗi kết cấu. Thông qua đợt kiểm tra quy trình sản
xuất, người ta thấy rằng có 10% dải không đạt yêu cầu về chiều dài, 5% dải không đạt yêu cầu và kết cấu và chỉ
có 0,8% dải không đạt yêu cầu về cả chiều dài và kết cấu.
a) Nếu chọn ngẫu nhiên một dải từ quy trình này thì xác suất không đạt yêu cầu về kết cấu là bao nhiêu?
b) Nếu một dải được chọn ngẫu nhiên từ quy trình này và phép đo nhanh xác định dải đó không đạt yêu cầu
về chiều dài, tính xác suất để dải đó không đạt yêu cầu về kết cấu.

Lời giải.
a) Nếu chọn ngẫu nhiên một dải từ quy trình này thì xác suất không đạt yêu cầu về kết cấu là

5
0,8
29
+
=
.
100 100
500

b) Gọi A là biến cố “Dải được chọn từ quy trình không đạt yêu cầu về kết cấu”;
B là biến cố “Dải được chọn từ quy trình không đạt yêu cầu về chiều dài”.
Khi đó AB là biến cố “Một dải từ quy trình không đạt yêu cầu về cả kết cấu và chiều dài”. Ta có P(AB) =
0,8% = 0,008 và P(B) = 0,1.
0,008
P (AB)
=
= 0,08.
Do đó P(A | B) =
P(B)
0,1
c Bài 3. Trong một lọ có chứa bi đen và bi trắng cùng kích thước và khối lượng, lấy ngẫu nhiên lần lượt hai
viên bi ra ngoài và không bỏ vào lại. Biết rằng xác suất để lần đầu lấy được bi đen là 0,47; xác suất để lần đầu
lấy được bi đen và lần thứ hai lấy được bi trắng là 0, 34. Tính xác suất để lấy được bi trắng ở lần thứ hai với điều
kiện lần đầu lấy được bi đen.

Lời giải.
Gọi A là biến cố “Lấy được bi trắng ở lần thứ hai”; B là biến cố “Lấy được bi đen ở lần đầu”.
P(AB)
0, 34
34
Do đó P(A | B) =
=
= .
P(B)
0, 47
47
Dạng 3. Tính xác suất có điều kiện nhờ sơ đồ hình cây
Trên sơ đồ hình cây:
○ Xác suất của các nhánh trong sơ đồ hình cây từ đỉnh thứ hai là xác suất có điều kiện.
○ Xác suất xảy ra của mỗi kết quả bằng tích các xác suất trên các nhánh của cây đi đến kết quả đó.

1

Ví dụ minh hoạ

c Ví dụ 1. Một hộp có 8 bi màu đỏ và 5 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau.
Có 5 viên bi trong hộp được đánh số, trong đó có 3 viên bi màu đỏ và 2 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên
một viên bi trong hộp. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để viên bi được lấy ra, có màu đỏ, biết rằng viên
bi đó được đánh số.

Lời giải.
Xét các biến cố sau:
○ A : “Viên bi được lấy ra có đánh số”.
6/13

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

7

Chương 1. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Tài liệu học tập Toán 12 HKII - CTST

○ B : “Viên bi được lấy ra có màu đỏ ”.

AB

5

B

AB

B

AB

B

AB

5

3

B

5

Khi đó, xác suất để viên bi được lấy ra có màu đỏ, biết ràng viên bi đó được đánh số, chính là xác suất có điều
kiện P(B | A).
Sơ đồ hình cây biểu thị cách tính xác suất có điều kiện P(B | A), được vẽ như sau:

A
2

5
13

8

8
13

A
3
8

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra có màu đỏ, biết rằng viên bi đó có đánh số, là 0,6.
c Ví dụ 2. Ở một sân bay, người ta sử dụng một loại máy soi tự động phát hiện hàng cấm trong hành lí kí
gửi. Máy phát chuông cảnh báo với 95% các kiện hành lí có chứa hàng cấm và 2% các kiện hành lí không chứa
hàng cấm. Tỉ lệ các kiện hành lí có chứa hàng cấm là 1%.
Chọn ngẫu nhiên một kiện hành lí để soi bằng máy trên. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến
cố:
M: “Kiện hành lí có chứa hàng cấm và máy phát chuông cảnh báo ”; N : “Kiện hành lí không chứa hàng cấm
và máy phát chuông cảnh báo”.

Lời giải.
Gọi A là biến cố “Kiện hành lí có chứa hàng cấm”và B là biến cố “Máy phát chuông cành báo”. Ta có
P(B | A) = 0,95; P(B | A) = 0,02; P(A) = 0,01.

A

9

0, 0

2

0,9

5
0,0

0

,01

0, 9

5

Do đó P(A) = 1 − P(A) = 0,99; P(B | A) = 1 − P(B | A) = 0,05; P(B | A) = 1 − P(B | A) = 0,98. Ta có sơ đồ
hình cây như sau:

8

0,9

A

B

AB

0,0095

B

AB

0,0005

B

AB

0,0198

B

AB

0,9702

Do M = AB nên P(M ) = P(AB) = 0,0095.
Do N = AB nên P(N ) = P(AB) = 0,0198.
c Ví dụ 3. Theo kết quả từ trạm nghiên cứu khí hậu tại địa phương T , xác suất để một ngày có gió là 0,6;
nếu ngày có gió thì xác suất có mưa là 0,4; nếu ngày không có gió thì xác suất có mưa là 0,2. Gọi G là biến
cố “Ngày có gió” và M là biến cố Ngày có mưa”.
a) Vẽ lại sơ đồ hình cây sau và điền vào ô? các giá trị xác suất tương ứng.
P(M | G) =?

)=
P(G

?

Ngày
P(G
)

7/13

=?

Có mưa

Có gió (G)
P(M | G) =?
P(M | G) =?

Không có mưa

P(M | G) =?

Không có mưa

Có mưa

Không có gió (G)

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

8

Tài liệu học tập Toán 12 HKII - CTST

1. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

b) Tính xác suất P(GM ) và P(GM ). Nêu ý nghĩa của các xác suất này.

Lời giải.
a) Theo đề bài, nếu ngày có gió thì xác suất có mưa là 0,4 nên P(M | G) = 0,4.
Suy ra P(M | G) = 1 − 0,4 = 0,6. Ngày không có gió thì xác suất có mưa là 0,2 nên P(M | G) = 0,2.
Suy ra P(M | G) = 1 − 0,2 = 0,8.
0,4
P(M | G) =

0,6
)=
G
(
P

P(M | G) =
0,6

Ngày
P(G

0,2
P(M | G) =

)=

0,4

Có mưa

Có gió (G)
Không có mưa
Có mưa

Không có gió (G)
P(M | G) =
0,8

Không có mưa

b) P(GM ) = P(G) · P(M | G) = 0,6 · 0,4 = 0,24.
P(GM ) = P(G) · P(M | G) = 0,6 · 0,6 = 0,36.
Điểu này có nghĩa là tại địa phương T , trong một ngày, xác suất để trời vừa có gió và vừa có mưa là 0,24;
xác suất để trời có gió nhưng không có mưa là 0,36.

2

Bài tập áp dụng

c Bài 1. Bạn Việt chuẩn bị đi tham quan một hòn đảo trong hai ngày thứ Bảy và Chủ nhật. Ở hòn đảo đó, mỗi
ngày chỉ có nắng hoặc mưa, nếu một ngày là nắng thì khả năng xảy ra mưa ở ngày tiếp theo là 20%, còn nếu một
ngày là mưa thì khả năng ngày hôm sau vẫn mưa là 30%. Theo dự báo thời tiết, xác suất trời sẽ nắng vào thứ
Bảy là 0,7. Hãy tìm các giá trị thích hợp thay vào ? ở sơ đồ hình cây sau:
Chủ nhật

Thứ bảy
0,7

?

Nắng

Mưa

?

Nắng

0,2

Mưa

?

Nắng

0,3

Mưa

Lời giải.
Gọi A là biến cố “Ngày thứ Bảy trời nắng”và B là biến cố “Ngày Chủ nhật trời mưa”.
Ta có P(A) = 0,7; P(B | A) = 0,2; P(B | A) = 0,3.
Do đó P(A) = 1 − P(A) = 0,3; P(B | A) = 1 − P(B | A) = 0,8; P(B | A) = 1 − P(B | A) = 0,7. Áp dụng công
thức nhân xác suất, ta có xác suất trời nắng vào thứ Bảy và trời mưa vào Chủ nhật là
P(AB) = P(A)P(B | A) = 0,7 · 0,2 = 0,14.
Tương tự, ta có
P(AB) = P(A)P(B | A) = 0,7 · 0,8 = 0,56;
P(AB) = P(A)P(B | A) = 0,3 · 0,3 = 0,09;
P(AB) = P(A)P(B | A) = 0,3 · 0,7 = 0,21.
Ta có thể biểu diễn các kết quả trên theo sơ đồ hình cây như sau:

8/13

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

9

Chương 1. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Tài liệu học tập Toán 12 HKII - CTST

Chủ nhật

Kết quả

Xác suất

0,8

B

AB

0,56

0,2

B

AB

0,14

0,7

B

AB

0,21

0,3

B

AB

0,09

Thứ bảy
0,7
0,3

A

A

c Bài 2. Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Các
viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai.
Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố: A :
“Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh và viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ”; B : “Hai viên bi lấy ra
có cùng màu”.

Lời giải.
Gọi X là biến cố: “Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh”.
Y là biến cố: “Viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ”.
Ta có P(Y |X) = 0,4; P(Y | X) = 0,5; P(X) = 0,4.
Do đó P(X) = 1 − P(X) = 0,6; P(Y |X) = 1 − P(Y |X) = 0,6;
P(Y | X) = 1 − P(Y | X) = 0,5.
Ta có sơ đồ hình cây như sau

0,4
0,6

X

X

0,4

Y

0,6

Y

0,5

Y

0,5

Y

Khi đó P(A) = P(XY ) = 0,4 · 0,4 = 0,16;
P(B) = P(XY ) + P(XY ) = 0,4 · 0,6 + 0,6 · 0,5 = 0,54.
c Bài 3. Một trường đại học tiến hành khảo sát tình trạng việc làm sau khi tốt nghiệp của sinh viên. Kết quả
khảo sát cho thấy tỉ lệ người tìm được việc làm đúng chuyên ngành là 85% đối với sinh viên tốt nghiệp loại giòi và
70% đối với sinh viên tốt nghiệp loại khác. Tỉ lệ sinh viên tốt nghiệp loại giòi là 30%. Gặp ngẫu nhiên một sinh
viên đã tốt nghiệp của trường. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố: C: “Sinh viên tốt nghiệp
loại giỏi và tìm được việc làm đúng chuyên ngành”; D : “Sinh viên không tốt nghiệp loại giỏi và tìm được việc làm
đúng chuyên ngành”.

Lời giải.
Gọi X là biến cố: “Sinh viên tốt nghiệp loại Giỏi”.
Y là biến cố: “Sinh viên tìm được việc làm đúng chuyên ngành”.
Ta có P(Y |X) = 0,85; P(Y | X) = 0,7; P(X) = 0,3.
Do đó P(X) = 1 − P(X) = 0,7; P(Y |X) = 1 − P(Y |X) = 0,15;
P(Y | X) = 1 − P(Y | X) = 0,3.
Ta có sơ đồ hình cây như sau

0,3
0,7

X

X

5
0,8

Y

0,1
5

Y

0,7

Y

0,3

Y

Khi đó P(C) = P(XY ) = 0,3 · 0,85 = 0,255; P(B) = P(XY ) = 0,7 · 0,7 = 0,49.
9/13

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

10

Tài liệu học tập Toán 12 HKII - CTST

1. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Dạng 4. Công thức nhân xác suất
Với hai biến cố A và B bất kì, ta có
P(AB) = P(B) · P(A | B).

1

Ví dụ minh hoạ

c Ví dụ 1. Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước
và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn Tùng lấy
ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút
bi xanh.

Lời giải.
Gọi A là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bút bi đen”;
B là biến cố: “Bạn Tùng lấy được bút bi xanh”.
Ta cần tính P(AB).
5
Vì n(A) = 5 nên P(A) = .
12
Nếu A xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi đen thì trong hộp có 11 bút bi với 7 bút bi xanh.
7
Vậy P(B | A) = .
11
35
5 7
·
=
.
Theo công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A) · P(B | A) =
12 11
132
c Ví dụ 2. Cho hai biến cố A và B có P(A) = 0,3; P(B) = 0,5 và P(A | B) = 0,4. Tính P(AB) và P(A | B).

Lời giải.
Theo công thức nhân xác suất, ta có P(AB) = P(B) · P(A | B) = 0,2.
Vì AB và AB là hai biến cố xung khắc và AB ∪ AB = B nên theo tính chất của
xác suất, ta có P(AB) = P(B) − P(AB) = 0,3.
Theo công thức tính xác suất có điều kiện,
P(A | B) =

B

A
AB

AB

P(AB)
0,3
=
= 0,6.
P(B)
0,5

c Ví dụ 3. Ô cửa bí mật (Let's Make a Deal) là một trò chơi trên truyền hình nổi tiếng ở Mỹ, đã được mua
bản quyền và phát sóng ở nhiều nước trên thế giới. Nội dung trò chơi như sau:
○ Người chơi được mời lên sân khấu và đứng trước ba cánh cửa đóng kín. Sau một cánh cửa có chiếc ô
tô, sau mỗi cánh cửa còn lại là một con lừa. Người chơi được yêu cầu chọn ngẫu nhiên một cánh cửa,
nhưng không được mở ra.
○ Tiếp đó người quản trò tuyên bố sẽ mở ngẫu nhiên một trong hai cánh cửa người chơi không chọn mà
sau cửa đó là con lừa. Người quản trò hỏi người chơi muốn giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu của mình
hay muốn chuyển sang cửa chưa mở còn lại.
Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3. Kí hiệu E1 ; E2 ; E3 tương ứng là các biến cố:
“Sau ở cửa số 1 có ô tô”; “Sau ở cửa số 2 có ô tô”; “Sau ở cửa số 3 có ô tô” và H là biến cố: “Người quản trò mở
ở cửa số 3 thấy con lừa”. Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi H xảy ra. Để quyết
định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: P (E1 | H) và P (E2 | H)
a) Chứng minh rằng:
1
○ P(E1 ) = P(E2 ) = P(E3 ) = ;
3

10/13

○ P (H | E1 ) =

1
và P (H | E2 ) = 1.
2

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

11

Chương 1. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Tài liệu học tập Toán 12 HKII - CTST

b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:
P (E1 | H) =

P(E1 ) · P (H | E1 )
P(H)

c) Từ các kết quả trên hãy suy ra:
P (E2 | H) = 2P (E1 | H)
Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa
chưa mở còn lại?

Lời giải.
a) Không gian mẫu Ω là tập hợp gồm 3 phần thưởng (1 ô tô + 2 con lừa) ⇒ n(Ω) = 3. Ta có n(E1 ) = n(E2 ) =
n(E3 ) = 1.
1
Suy ra P(E1 ) = P(E2 ) = P(E3 ) = .
3
Nếu E1 xảy ra, tức là sau cửa số 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu
nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau.
1
Vậy P (H | E1 ) = .
2
Nếu E2 xảy ra, tức là cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3.
Do đó P (H | E2 ) = 1.
b) Ta có
P(E1 H)
P(H)
⇔P(E1 H) = P(E1 ) · P (H | E1 )
P(E1 ) · P (H | E1 )
⇔P (E1 | H) =
.
P(H)
P (E1 | H) =

c) Ta có
P (E2 | H) =

P(E2 ) · P (H | E2 )
.
P(H)

Suy ra
P (E2 | H)
P(E2 ) · P (H | E2 )
=
P (E1 | H)
P(E1 ) · P (H | E1 )
1
·1
= 3
= 2.
1 1
·
3 2
Suy ra P (E2 | H) = 2 · P (E1 | H).
Nhận xét: Từ kết quả trên ta thấy người chơi nên chuyển sang cửa chưa mở còn lại để tăng gấp đôi khả
năng trúng thưởng chiếc ô tô.
c Ví dụ 4. Một nhóm 5 học sinh nam và 4 học sinh nữ tham gia lao động trên sân trường. Cô giáo chọn
ngẫu nhiên đồng thời 2 bạn trong nhóm đi tưới cây. Tính xác suất để hai bạn được chọn có cùng giới tính,
biết rằng có ít nhất 1 bạn nam được chọn.

Lời giải.
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = C92 = 36.
Gọi A là biến cố “Hai bạn được chọn có cùng giới tính”.
B là biến cố “Có ít nhất một bạn nam được chọn”.
15
Ta có n(B) = C52 + C51 = 15 suy ra P(B) = .
36

11/13

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

12

Tài liệu học tập Toán 12 HKII - CTST

1. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Ta có n(AB) = C52 = 10 suy ra P(AB) =
Vậy P(A|B) =

2

P(AB)
10
2
=
= .
P(B)
15
3

10
.
36

Bài tập áp dụng

c Bài 1. Cho hai biến cố A và B có P(A) = 0,4; P(B) = 0,8 và P(A|B) = 0,5. Tính P(AB) và P(A|B).

Lời giải.
Ta có P(AB) = P(A|B) · P(B) = 0,5 · 0,2 = 0,1.
Vì AB và AB là hai biến cố xung khắc và AB ∪ AB = A nên theo tính chất của xác suất, ta có
P(AB) = P(A) − P(AB) = 0,4 − 0,1 = 0,3.
P(AB)
0,3
Khi đó: P(A|B) =
=
= 0,375.
P(B)
0,8
c Bài 2.
Máy tính và thiết bị lưu điện (UPS) được kết nối như hình 5. Khi xảy
ra sự cố điện, UPS bị hỏng với xác suất 0,02. Nếu UPS bị hỏng khi xảy
ra sự cố điện, máy tính sẽ bị hỏng với xác suất 0,1; ngược lại, nếu UPS
không bị hỏng, máy tính sẽ không bị bỏng.
a) Tính xác suất để cả UPS và máy tính đều không bị hỏng khi xảy
ra sự cố điện.
b) Tính xác suất để cả UPS và máy tính đều bị hỏng khi xảy ra sự
cố điện.

Lời giải.
Gọi A là biến cố “UPS bình thường” và B là biến cố: “Máy tính bình thường”.
Ta có P(B|A) = 1; P(B | A) = 0,9; P(A) = 0,98.
Do đó P(A) = 1 − P(A) = 0,02; P(B | A) = 1 − P(B | A) = 0,1.
Ta có sơ đồ hình cây như sau
8
0,9
0.0

1

B

0,9

B

0,1

B

A

2

A

a) P(AB) = 0,98 · 1 = 0,98
b) P(A.B) = 0,02 · 0,1 = 0,002.
c Bài 3. Công ty nước giải khát X tổ chức một chương trình khuyến mại như sau: Trong mỗi thùng 24 chai nước
giải khát đều có hai chai trúng thưởng (giải thưởng được viết ở dưới nắp chai), người tham gia chương trình được
mở nắp một cách ngẫu nhiên lần lượt hai chai trong một thùng. Tính xác suất để một người tham gia chương
trình mở được cả hai chai đều trúng thưởng.

Lời giải.
Gọi A là biến cố “chai thứ nhất có trúng thưởng”, và B là biến cố “chai thứ hai có trúng thưởng”.
Xác suất của A là xác suất để lấy ra một chai có trúng thưởng lần đầu tiên là
P(A) =

2
1
n(A)
=
= .
n(Ω)
24
12

Sau khi lấy một chai trúng thưởng, số chai trúng trưởng còn 1 trong tổng số 23 chai nước. Xác suất của B khi đã
xảy ra A là xác suất để lấy ra một chai trúng thưởng lần thứ hai là
P(B | A) =
12/13

1
.
23
GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641

13

Chương 1. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Tài liệu học tập Toán 12 HKII - CTST

Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có
P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A) =
Vậy, xác suất để cả hai chai nước đều trúng thưởng là

13/13

1 1
1
·
= .
2 23
46

1
.
46

GV. NGUYỄN BỈNH KHÔI –

0909 461 641