CHUYÊN ĐỀ 15. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Trường hợp hai cạnh góc vuông
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam
giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (theo trường hợp cạnh – góc – cạnh).
E

B

C

A

D

F

2. Trường hợp một cạnh góc vuông và một góc nhọn
Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh
góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng
nhau (theo trường hợp góc – cạnh – góc).
E

B

A

C

D

F

3. Trường hợp cạnh huyền và một góc nhọn
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn
của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( theo trường hợp g-c-g)
B

A

C

E

D

F

4. Trường hợp cạnh huyền và cạnh góc vuông
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh
góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

1

B

E

C

A

D

F

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
I. Phương pháp giải:
+) Xét hai tam giác vuông.
+) Kiểm tra các điều kiện bằng nhau cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc, cạnh huyền – góc
nhọn, cạnh huyền – cạnh góc vuông.
+) Kết luận hai tam giác bằng nhau.
II. Bài toán.
Bài 1. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình dưới đây?
A

D

B

C

Lời giải:

Bài 2. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình sau:

2

C

A

B

D

Lời giải:

Bài 3. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình dưới đây?
B

A

C

D

Lời giải:

Bài 4. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình sau:

3

F

E

M

N

Lời giải:

Bài 5. Cho hình vẽ sau:
A

E

D

B

H

Chứng minh rằng:
a) ABH  ACH ;
b) ADH  AEH
;
c) DBH  ECH
.

Lời giải:

4

C

Bài 6. Cho xOy . Tia Oz là tia phân giác xOy . Lấy điểm A thuộc tia Oz ( A  O) . Kẻ AB
vuông góc với Ox, AC vuông góc với Oy (B Ox, COy) . Chứng
OA  OAC .
minh
B
Lời giải:

Bài 7. Cho hình vẽ sau. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình?
A

F
B

G
D

E

Lời giải:

5

C

Bài 8. Cho tam giác ABC có AB  AC . Gọi D là trung điểm của cạnh BC . Kẻ DE  AB ,
DF  AC . Chứng minh:
a) DEB  DFC ;
b) DEA  DFA .
Lời giải:

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB  AC . Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC . Vẽ
BM ,CN vuông góc với d . Chứng minh rằng : BAM  ACN .
Lời giải:

6

ABC có B  C . Trên tia đối của tia BC lấy
Bài 10.
M , trên tia đối tia của tia CB
Cho
điểm
lấy điểm N sao cho BM  CN. Kẻ BE  AM (E  AM ), CF  AN (F  AN ) .

Chứng minh
rằng

BME  CNF

.

Lời giải:

7

Bài 11. Cho ABC . Từ A vẽ cung tròn có bán kính bằng BC , từ C vẽ cung tròn có bán kính
bằng AB . Hai cung tròn này cắt nhau tại D ( D nằm khác phía của B đối với AC ). Kẻ
AH 
BC

(H  BC) và CK  AD (K  AD) .

a) Chứng minh AHC  CKA;
b) Chứng minh AHB  CKD
.

Lời giải:

8

Dạng 2. Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh hai đoạn
thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.
I. Phương pháp giải:
+ Chọn hai tam giác vuông có cạnh (góc) là đoạn thẳng (góc) cần tính hoặc chứng minh bằng
nhau.
+ Tìm thêm hai điều kiện bằng nhau, trong đó có một điều kiện về cạnh, để kết luận hai tam
giác bằng nhau.
+ Suy ra các cạnh (góc) tương ứng bằng nhau và kết luận.
II. Bài toán.
Bài 1. Cho hình vẽ sau. Chứng minh OK là phân giác của góc BOA .
B

O

K

A

Lời giải:

9

Bài 2.
Cho

ABC có AB  AC . Kẻ AD  BC . Chứng minh AD là tia phân giác của BAC .

A

B

D

C

Lời giải:

Bài 3. Cho ABC có BA  BC . Qua A kẻ đường vuông góc với AB , Qua C kẻ đường vuông
góc với CB , chúng cắt nhau ở K . Chứng minh BK là phân giác của góc B .

10

Bài 4. Cho tam giác ABC , M là trung điểm cạnh BC . Vẽ BI , CK vuông góc với AM .
Chứng minh BI  CK .
Lời giải:

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại
MD  BC (D  BC).

A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M . Kẻ

a) Chứng minh BA  BD;
b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. Chứng minh ABC  DBE .
Lời giải:

11

Bài 6. Cho tam giác ABC có AB  AC . Trên
cạnh
AM  AN . Các đường thẳng vuông góc

với
H . Chứng minh:

AB, AC lần lượt lấy các

điểm

AB, AC

tại

a) AMO  ANO ;
b) HB 
HC

và AH  BC .
Lời giải:

12

M , N sao cho

M , N cắt nhau ở O . AO cắt BC tại

Bài 7. Cho tam giác ABC có AB  AC . Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường
thẳng vuông góc với AC tại C ở D . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Chứng minh:
a) DAB  DAC ;
b) A, M , D thẳng hàng.
Lời giải:

13

Bài 8.
Cho

ABC vuông tại A và AB  AC . Tính số đo

góc

B, C ?

Lời giải:

Bài 9.
Cho

ABC vuông tại A . Từ điểm K trên cạnh AC , vẽ KH  BC , biết KH  KA .

Chứng minh rằng BK  AH .
Lời giải:

14

Bài 10.
Cho

ABC vuông tại A

BC sao cho MH 
BC



 AB  AC và các điểm

M thuộc cạnh AC , H thuộc cạnh

và MH  HB . Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc A .
Lời giải:

15

Bài 11.

Cho tam giác ABC . Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I . Kẻ
ID  AB; IE  AC  D  AB; E  AC  . Chứng minh rằng AD  AE .
Lời giải:

Bài 12.
ABC vuông tại A có AB  AC . Vẽ AH  BC(H  BC) . D là điểm trên cạnh AC
Cho
sao cho AD  AB .
 HE .
DE  BC(E  BC). Chứng minh
Vẽ
HA
Lời giải:

16

Bài 13 . Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A .
Chứng minh AB  AC .
Lời giải:

17

Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC , vẽ BD 
AC

tại D , CE 
AB

giao điểm của BD và CE . Chứng minh:

tại E . Gọi M là

a) DBA  ECA ;
b) EBC  DCB ;
c) EAM  DAM .
Bài 2.
Cho

ABC có AB  AC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A lần lượt vẽ các tia

Bx, Cy sao cho Bx  BA và Cy CA . Gọi D là giao điểm của các tia Bx, Cy .

Chứng minh ABD  ACD.
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh hai đoạn
thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.
Bài 1.
Cho

ABC nhọn có AB  AC .

Vẽ

BH  AC  H  AC  , CK  AB  K  AB .

a) Chứng minh: AH  AK .
b) Gọi I là giao điểm của BH và CK . Chứng minh AI là tia phân giác của A .
Bài 2.
ABC có AB  AC . D là một điểm trên cạnh AB , E là một điểm trên cạnh AC sao
Cho
cho AD  AE . Từ D và E hạ các
DM , EN cùng vuông góc với BC . Chứng minh rằng:
đường
a) B  C ;
b) BM  CN .
Bài 3. Cho xOy . Trên tia Ox lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B . Gọi M là trung điểm của
đoạn thẳng AB . Từ A và B kẻ các đường thẳng
Chứng minh : AE  BF .
18

AE, BF cùng vuông góc với tia OM .
Bài 4. Cho góc xOy . Trên tia phân giác của góc đó lấy một điểm M , từ M hạ các đường thẳng

vuông góc MA, MB xuống cạnh Ox,Oy .Chứng minh :

19

a) MAO  MBO ;
b) AB vuông góc với OM .
ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
Bài 1.

Bài 2.

Dạng 2. Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh hai đoạn
thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.
Bài 1 .

20

Bài 2 .

Bài 3 .

21

Bài 4 .

22

PHIẾU BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
Bài 1. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình sau:
A

D

B

C

Bài 2. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình sau:
C

A

B

D

Bài 3. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình sau:
B

A

C

D

Bài 4. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình sau:

23

F

E

M

N

Bài 5. Cho hình vẽ sau:
A

E

D

B

C

H

Chứng minh rằng :
a) ABH  ACH
b) ADH  AEH
c) DBH  ECH
Bài 6. Cho xOy . Tia Oz là tia phân giác xOy . Lấy điểm A thuộc tia Oz ( A  O) . Kẻ AB
vuông góc với Ox, AC vuông góc với Oy (B Ox, COy) . Chứng
OA  OAC .
minh
B
Bài 7. Cho hình vẽ sau. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình?
A

F
B

G
D

E

C

Bài 8.MD3. Cho tam giác ABC có AB  AC . Gọi D là trung điểm của cạnh BC . Kẻ
DE  AB, DF  AC . Chứng minh:
a) DEB  DFC
b) DEA  DFA
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB  AC . Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC . Vẽ
BM ,CN vuông góc với d . Chứng minh rằng : BAM  ACN .

24

Bài 10. Cho AB
C

có B  C . Trên tia đối của tia BC lấy điểm M trên tia đối tia của tia CB
,

lấy điểm N sao cho BM  CN. Kẻ BE  AM (E  AM ), CF  AN (F  AN ), AI  BC(I  BC).
Chứng minh rằng BME  CNF .
Bài 11. Cho ABC . Từ A vẽ cung tròn có bán kính bằng BC , từ C vẽ cung tròn có bán kính
bằng AB . Hai cung tròn này cắt nhau tại D ( D nằm khác phía của B đối với AC ). Kẻ
AH  BC(H  BC) và CK  AD(K  AD) .
a) Chứng minh AHC  CKA
b) Chứng minh AHB  CKD
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh hai đoạn
thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.
Bài 1. Cho hình vẽ sau. Chứng minh OK là phân giác của góc BOA
B

O

K

A

Bài 2.
Cho

ABC có AB  AC . Kẻ AD  BC . Chứng minh AD là tia phân giác của BAC .

Bài 3. Cho ABC có BA  BC . Qua A kẻ đường vuông góc với AB , Qua C kẻ đường vuông
góc với CB , chúng cắt nhau ở K . Chứng minh BK là phân giác của góc B ?
Bài 4. Cho tam giác ABC , M là trung điểm cạnh BC . Vẽ BI , CK vuông góc với AM .
Chứng minh BI  CK .
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M . Kẻ
MD  BC (D  BC).

a) Chứng minh BA  BD;
b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM
và

BA. Chứng minh ABC  DBE .

Bài 6. Cho tam giác ABC có AB  AC . Trên
AB, AC lần lượt lấy các điểm M , N sao cho
cạnh
AM  AN . Các đường thẳng vuông góc
AB, AC
M , N cắt nhau ở O . AO cắt BC tại
với
tại
H . Chứng minh
25

a) AMO  ANO
b) HB  HC và AH  BC .

26

Bài 7. Cho tam giác ABC có AB  AC . Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường
thẳng vuông góc với AC tại C ở D . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Chứng minh:
a) DAB  DAC ;
b) A, M , D thẳng hàng.
Bài 8.
Cho

ABC vuông tại A và AB  AC . Tính số đo

Bài 9.
Cho

ABC vuông tại A . Từ điểm K trên cạnh AC , vẽ KH  BC , biết KH  KA .

góc

B, C ?

Chứng minh rằng BK  AH .
Bài 10. Cho

vuông tại A

AB
C



 AB  AC và các điểm

M thuộc cạnh AC , H thuộc cạnh

BC sao cho MH  BC và MH  HB . Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc A .

Bài 11.

Cho tam giác ABC . Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I . Kẻ
ID  AB; IE  AC  D  AB; E  AC  . Chứng minh rằng AD  AE .

Bài 12. Cho AB

vuông tại A có AB  AC . Vẽ AH  BC(H  BC) . D là điểm trên cạnh AC

C

sao cho AD  AB .
Vẽ

DE  BC(E  BC). Chứng minh
HA

 HE

Bài 13 . Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A .
Chứng minh AB  AC
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC , vẽ BD 
AC

tại D , CE 
AB

giao điểm của BD và CE . Chứng minh:

tại E . Gọi M là

a) DBA  ECA ;
b) EBC  DCB ;
c) EAM  DAM .
Bài 2. Cho

AB
C

có AB  AC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A lần lượt vẽ các tia

Bx, Cy sao cho Bx  BA và Cy CA . Gọi D là giao điểm của các tia Bx, Cy .

Chứng minh ABD  ACD.
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh hai đoạn
thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.
Bài 1.
Cho

ABC nhọn có AB  AC .

Vẽ

BH  AC  H  AC  , CK  AB  K  AB .
27

a) Chứng minh: AH  AK .
b) Gọi I là giao điểm của BH và CK . Chứng minh AI là tia phân giác của A .
Bài 2.
ABC có AB  AC . D là một điểm trên cạnh AB , E là một điểm trên cạnh AC sao
Cho
cho AD  AE . Từ D và E hạ các
DM , EN cùng vuông góc với BC . Chứng minh rằng:
đường
a) B  C

28

b) BM  CN .
Bài 3. Cho xOy . Trên tia Ox lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B . Gọi M là trung điểm của
đoạn thẳng AB . Từ A và B kẻ các đường thẳng AE, BF cùng vuông góc với tia OM .
Chứng minh : AE  BF
Bài 4. Cho góc xOy . Trên tia phân giác của góc đó lấy một điểm M , từ M hạ các đường thẳng
vuông góc MA, MB xuống cạnh Ox,Oy .Chứng minh:
a) MAO  MBO .
b) AB vuông góc với OM .

29