CHUYÊN ĐỀ 13. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. Hai tam giác bằng nhau
+ Hai tam giác ABC và

A'B'C' bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương

ứng bằng nhau và các
góc tương ứng bằng nhau.
A

B

A'

C

+ Tức là:

B'

C'

ΔABC = ΔA'B'C' ⇔ ⎪⎧ AB = A'B', BC = B'C', AC

= A'C'.
⎨
A' , B =

B' , C

= C'

B', C và C' ) là hai đỉnh

A' ( B

⎪
=

Ở đây hai đỉnh A và

và B' , C và

A' ( B và

C' ) là hai góc

tương ứng; hai
cạnh AB và
hai cạnh tương ứng.

tương ứng; hai góc A
và
A'B' ( BC và

B'C', AC và

A'C' ) là

2. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của hai tam giác
* Trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c): Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba
cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
+ Tức là: ΔABC và

ΔA'B'C' có

AB = A'B', BC = B'C',

ΔABC = ΔA'B'C' .

AC = A'C' thì

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1. Bài tập lí thuyết: Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác, từ kí hiệu bằng
nhau của hai tam giác suy ra các cạnh – góc bằng nhau.
I. Phương pháp giải:

+ Từ kí hiệu tam giác bằng nhau suy ra các cạnh và các góc bằng nhau đúng thứ tự tương ứng.
Ví dụ:

ΔABC = ΔA'B'C' ⇒ ⎪⎧ AB = A'B', BC = B'C', AC

= A'C' .
⎨
A' , B =

B' , C

= C'

⎩
A
=

+ Ngược lại, khi viết kí hiệu tam giác bằng nhau lưu ý kiểm tra lại xem các góc hay cạnh tương
ứng đã bằng nhau thỏa mãn yêu cầu đề bài chưa.
II. Bài tập
[1] Bài 1. Cho biết ΔABC = ΔHIK . Hãy viết đẳng thức trên dưới một vài dạng khác.
Lời giải:
[1] Bài 2. Cho
Lời giải:

ΔABC = ΔDEF . Hãy chỉ ra các góc, các cạnh

tương ứng bằng nhau.

[1] Bài 3. Cho

ΔMNP = ΔIHG . Hãy chỉ ra các góc, các cạnh

Lời giải:

tương ứng bằng nhau.

[2] Bài 4. Cho hai tam giác bằng nhau: ΔABC và ΔHIK . Viết kí hiệu về sự bằng nhau của 2 tam
giác theo thứ tự đỉnh tương
ứng, biết rằng:

A = H và

B=I.

Lời giải:

[2] Bài 5. Cho hai tam giác bằng nhau: ΔABC và ΔHIK . Viết kí hiệu về sự bằng nhau của 2 tam
giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng:

AB = KI; BC = KH .

Lời giải:

[2] Bài 6. Cho hai tam giác bằng nhau: ΔABC và ΔHIK . Viết kí hiệu về sự bằng nhau của 2 tam
giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng:
Lời giải:

A = K ; AB = IK .

Dạng 2. Biết hai tam giác bằng nhau và một số điều kiện, tính số đo góc, độ dài cạnh của
tam giác
I. Phương pháp giải:
+ Từ kí hiệu tam giác bằng nhau suy ra các cạnh và các góc tương ứng bằng nhau.
+ Lưu ý các bài toán: tổng - hiệu, tổng - tỉ, hiệu – tỉ.
+ Sử dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác.
II. Bài tập
[1] Bài 1. Cho ΔABC = DEF với tam giác.
Lời giải:

[1] Bài 2. Cho ΔABC = DEF với

AB = 7cm, BC = 5cm, DF = 6cm. Tính các cạnh

còn lại của mỗi

BC = 6cm, AB = 8cm, DF = 10cm .

a) Tính các cạnh còn lại của mỗi tam giác.
b) Tính chu vi của mỗi tam giác.
Lời giải:

[1] Bài 3. Cho
HK =12cm .

Lời giải:

ΔABC = ΔIHK . Tính

AB = 6cm,

AC = 8cm ,

chu vi của mỗi tam
giác, biết rằng

[2] Bài 4. Cho ΔABC = ΔMNP , biết A = 65°, P = 30° .
a) Tìm các góc tương ứng bằng nhau.
b) Tính các góc còn lại của hai tam giác.
Lời giải:

[2] Bài 5. Cho ΔABC = ΔDEF biết

B = 50°, D = 70°. Tính số đo góc C .

Lời giải:

[2] Bài 6. Cho ΔABC = ΔMNP . Biết cạnh mỗi

AB + BC = 7cm, MN − NP = 3cm, MP = 4cm .

tam giác.

Tính độ dài các

Lời giải:

[2] Bài 7. Cho ΔABC = ΔIJK . Biết
Lời giải:

AB + BC = 9cm, IJ = 2JK, AC = 5cm . Tính chu vi

mỗi tam giác.

[2] Bài 8. Cho ΔABC = ΔIJK . Biết giác.
Lời giải:

[3] Bài 9. Cho Cho ΔABC = ΔMNP , biết giác.
Lời giải:

AB − BC = 10cm,3 IJ = 5JK, AC = 20cm . Tính

chu vi mỗi tam

A = 60°, P = 3N . Tính số đo các góc còn lại của

mỗi tam

[3] Bài 10. Cho ΔABC = DEF với
Lời giải:

D = 30°, 2B = 3C . Tính số đo các góc của ΔABC

.

[3] Bài 11. Cho ΔABC = ΔMNP , biết

A = 40°, P − N = 10° . Tính số đo các góc còn lại

.

của ΔMNP
Lời giải:

[4] Bài 12. Cho ΔABC = ΔMNP biết
Lời giải:

A : B : C = 3 : 4 : 5 . Tính các góc của ΔMNP .

[4] Bài 13. Cho ΔABC = ΔDEF . Biết 2 tia phân giác trong của góc B và C cắt nhau tại O, tạo
BOC = 135°;

Lời giải:

E = 2F . Tính các góc của ΔDEF .

[4] Bài 14. Cho ΔABC = ΔMNP biết giác này
có chu vi là 57 cm .

AB : BC : AC = 5 : 6 : 8. Tính các cạnh của ΔMNP

biết tam

Lời giải:

Dạng 3. Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp bằng nhau thứ nhất. Từ
đó chứng minh các bài toán liên quan: hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai
đường thẳng song song - vuông góc, đường phân giác, ba điểm thẳng hàng, ...
I. Phương pháp giải:
+ Chỉ ra các tam giác có ba cạnh bằng nhau để suy ra tam giác bằng nhau.

+ Từ tam giác bằng nhau suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, cặp góc tương ứng bằng
nhau.
+ Nắm vững các khái niệm: tia phân giác của góc, đường cao của tam giác, đường trung trực
của đoạn thẳng, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc; nắm vững định lí
tổng ba góc trong một tam giác, tiên đề Ơ clit để giải các bài toán chứng minh.
II. Bài toán.
[1] Bài 1. Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ, giải thích vì sao?
P

Q

S

R

Lời giải:

[1] Bài 2. Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ, giải thích vì sao?
M

A

B

N

Lời giải:

[1] Bài 3. Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ, giải thích vì sao?

A

B

I

C

Lời giải:

[2] Bài 4. Cho đoạn thẳng

AB = 6cm. Trên nửa mặt phẳng AD = 4cm

bờ AB , vẽ ΔABD sao cho
, BD = 5cm . Trên nửa mặt

phẳng còn lại vẽ ΔABE sao cho BE = 4cm,

AE = 5cm. Chứng minh:

a) ΔABD = ΔBAE .
Lời giải:

b) ΔADE = ΔBED .

[2] Bài 5. Cho ΔABC có AB = AC . Lấy M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng:
a) ΔAMB = ΔAMC .

BAM = CAM .

b)

AM ⊥ BC .

c)
Lời giải:

[2] Bài 6. Cho hình vẽ dưới đây. Chứng minh rằng:
a) ΔABK = ΔKHA .

H

b) AB // HK .

c) AH // BK .

A

B

K

Lời giải:

[3] Bài 7. Cho ΔABC có AB = AC . Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng:
a) AM là phân giác của góc BAC .
b) AM là trung trực của BC .
Lời giải:

[3] Bài 8. Cho ΔABC , đường cao AH . Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ ΔACD
sao cho

AD = BC ; CD = AB . CMR: AB

// CD và
Lời giải:

AH ⊥ AD .

[3] Bài 9. Cho ΔABC có AB = AC = BC . Giả sử O là một điểm nằm trong tam giác sao cho
OA = OB = OC . Chứng minh rằng: O là giao

A; B; C .

điểm của 3 tia phân giác của
Lời
giải
:

[4] Bài 10. Cho ΔABC có

AB = AC . Gọi D là trung điểm của BC . Chứng

minh rằng:

a) ΔADB = ΔADC
b) AD là phân giác của BAC , AD ⊥ BC .

c) Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A lấy điểm E sao cho EB = EC .
Chứng minh rằng:

A, E, D thẳng hàng.

Lời giải:

[4] Bài 11. Cho ΔABC có

AB = AC và

BAC = 80° . Tính số đo các góc

còn lại của ΔABC .

[4] Bài 12. Cho ΔABC có
Lời giải:

AB = AC = BC . Tính số đo các góc của ΔABC .

Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Bài tập lí thuyết: Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác, từ kí hiệu bằng
nhau của hai tam giác suy ra các cạnh – góc bằng nhau.
[1] Bài 1. Cho biết ΔABC = ΔMNP . Hãy viết đẳng thức trên dưới một vài dạng khác.
[1] Bài 2. Cho ΔMNP = ΔOPQ . Hãy chỉ ra các góc, các cạnh tương ứng bằng nhau.
[2] Bài 3. Cho hai tam giác bằng nhau: ΔABC và ΔHIK . Viết kí hiệu về sự bằng nhau của 2
tam giác theo thứ tự đỉnh
tương ứng, biết rằng:

A = I và

B=K.

[2] Bài 4. Cho hai tam giác bằng nhau: ΔABC và ΔPQR . Viết kí hiệu về sự bằng nhau của 2
tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: AB = PQ; BC = PR .
[2] Bài 5. Cho hai tam giác bằng nhau: ΔMNP và ΔHIK . Viết kí hiệu về sự bằng nhau của 2
tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng: N = K ; MN = IK .
[3] Bài 6. Chứng minh rằng nếu: ΔMNP = ΔNPM thì ΔMNP có 3 cạnh bằng nhau.
Dạng 2. Biết hai tam giác bằng nhau và một số điều kiện, tính số đo góc, độ dài cạnh của
tam giác
[1] Bài 1. Cho ΔABC = ΔIJK với tam giác.

AB = 7cm, AC = 8cm, JK = 6cm. Tính các cạnh

còn lại của mỗi
[1] Bài 2. Cho ΔABC = ΔMNP với BC = 5cm, MN = 5cm, AC = 7cm .
a) Tính các cạnh còn lại của mỗi tam giác.
b) Tính chu vi của mỗi tam giác.
[2] Bài 3. Cho ΔABC = ΔOPQ , biết A = 55°, P = 47°.
a) Tìm các góc tương ứng bằng nhau.
b) Tính các góc còn lại của hai tam giác.

[2] Bài 4. Cho ΔABC = ΔPQR , biết B = 40°, R = 30°. Tính các góc còn lại của mỗi tam giác.
[2] Bài 5. Cho ΔABC = BC = 10 cm ,
ΔMNP biết cạnh của

MN : MP = 4 : 3 và

AB + AC = 14 cm . Tính

các

ΔMNP .

[3] Bài 6. Cho ΔABC = ΔMNP với M = 40°, 3B = 4C . Tính số đo các góc của ΔABC .

[3] Bài 7. Cho ΔHIK = ΔMNP , biết

H = 40°, P − N = 30°. Tính số đo các góc còn lại

.

của ΔMNP

[4] Bài 8. Cho ΔMNP = ΔIJK . Biết 2 tia phân giác trong của góc M và góc N cắt nhau tại O ,
tạo

MON = 120° . Tính các góc của I = 3 J .
ΔIJK biết

Dạng 3. Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp bằng nhau thứ nhất. Từ
đó chứng minh các bài toán liên quan: hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai
đường thẳng song song - vuông góc, đường phân giác, ba điểm thẳng hàng, ...
[1] Bài 1. Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ, giải thích vì sao?
I

P

Q

K

[1] Bài 2. Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ, giải thích vì sao?
B

C

I

A

D

[1] Bài 3. Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ, giải thích vì sao?

R

P

O
S
Q

[2] Bài 4. Cho hình vẽ:
M

N

Q

a) Chứng minh rằng

P

ΔMNP = ΔPQM .

b) Biết

MPN = 20° , tính số đo góc PMQ .

[2] Bài 5. Cho ΔABC có A = 80° . Vẽ cung tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn AC . Vẽ
cung tròn tâm C có bán kính bằng độ dài đoạn AB . Hai cung tròn này cắt nhau tại D nằm khác
phía của A đối với BC .
a) Chứng minh ΔABC = ΔDCB . Từ đó suy ra số đo góc BDC .
b) Chứng minh AB // CD .
[3] Bài 6. Cho ΔABC có AB < AC . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB . Gọi I là một
điểm sao cho

IB = IE . Chứng minh rằng:

IA = IC ,

a) ΔAIB = ΔCIE
b) So sánh IAB và ACI .
[4] Bài 7. Cho ΔABC có AB = AC . Gọi M là trung điểm của BC .
a) Chứng minh rằng: AM là phân giác của BAC
b) Chứng minh rằng: AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC .
c) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A lấy điểm E sao cho EB = EC .
Chứng minh rằng: A, E, M thẳng hàng.
[4] Bài 8. Cho ΔABC có

BAC = 60° . Tính số đo các góc

AB = AC và

còn lại của ΔABC .
[4] Bài 9. Cho tam giác nhọn ABC . Giả sử O là một điểm nằm trong tam giác sao cho
OA = OB = OC . Chứng minh rằng: O là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh ΔABC

.
ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Bài tập lí thuyết: Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác, từ kí hiệu bằng
nhau của hai tam giác suy ra các cạnh – góc bằng nhau.
[1] Bài 1. Cho biết ΔABC = ΔMNP . Hãy viết đẳng thức trên dưới một vài dạng khác.
Lời giải:
[1] Bài 2. Cho
Lời giải:

ΔMNP = ΔOPQ . Hãy chỉ ra các góc, các cạnh

tương ứng bằng nhau.

[2] Bài 3. Cho hai tam giác bằng nhau: ΔABC và ΔHIK . Viết kí hiệu về sự bằng nhau của 2 tam

giác theo thứ tự đỉnh tương
ứng, biết rằng:
Lời giải:

A = I và

B=K.

[2] Bài 4. Cho hai tam giác bằng nhau: ΔABC và ΔPQR . Viết kí hiệu về sự bằng nhau của 2 tam
giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng:
Lời giải:

AB = PQ; BC = PR .

[2] Bài 5. Cho hai tam giác bằng nhau: ΔMNP và ΔHIK . Viết kí hiệu về sự bằng nhau của 2
tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng:
Lời giải:

N = K ; MN = IK .

[3] Bài 6. Chứng minh rằng nếu: ΔMNP = ΔNPM thì ΔMNP có 3 cạnh bằng nhau.
Lời giải:

Dạng 2. Biết hai tam giác bằng nhau và một số điều kiện, tính số đo góc, độ dài cạnh của
tam giác
[1] Bài 1. Cho ΔABC = ΔIJK với tam giác.
Lời giải:

AB = 7cm, AC = 8cm, JK = 6cm. Tính các cạnh

còn lại của mỗi

[1] Bài 2. Cho ΔABC = ΔMNP với BC = 5cm, MN = 5cm, AC = 7cm .
a) Tính các cạnh còn lại của mỗi tam giác.
b) Tính chu vi của mỗi tam giác.
Lời giải:

[2] Bài 3. Cho ΔABC = ΔOPQ , biết A = 55°, P = 47°.
a) Tìm các góc tương ứng bằng nhau.
b) Tính các góc còn lại của hai tam giác.
Lời giải:

[2] Bài 4. Cho ΔABC = ΔPQR , biết

tam giác.

Lời giải:

[2] Bài 5. Cho ΔABC = BC = 10 cm ,
ΔMNP biết

B = 40°, R = 30°. Tính các góc còn lại của mỗi

cạnh của

MN : MP = 4 : 3 và

AB + AC = 14 cm .

các

Tính

ΔMNP .

Lời giải:

[3] Bài 6. Cho ΔABC = ΔMNP với
Lời giải:

M = 40°, 3B = 4C . Tính số đo các góc của ΔABC .

[3] Bài 7. Cho ΔHIK = ΔMNP , biết

H = 40°, P − N = 30°. Tính số đo các góc còn lại

của ΔMNP

Lời giải:

[4] Bài 8. Cho ΔMNP = ΔIJK . Biết 2 tia phân giác trong của góc M và góc N cắt nhau tại O ,
tạo

MON = 120° . Tính các góc của I = 3 J .
ΔIJK biết

Lời giải:

Dạng 3. Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp bằng nhau thứ nhất. Từ

đó chứng minh các bài toán liên quan: hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai
đường thẳng song song - vuông góc, đường phân giác, ba điểm thẳng hàng, ...

[1] Bài 1. Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ, giải thích vì sao?

I

P

Q

K

Lời giải:

[1] Bài 2. Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ, giải thích vì sao?
B

C

A

I

D

Lời giải:

[1] Bài 3. Tìm các tam giác bằng nhau trên hình vẽ, giải thích vì sao?

R

P

O
S
Q

Lời giải:

[2] Bài 4. Cho hình vẽ:
M

N

Q

a) Chứng minh rằng

P

ΔMNP = ΔPQM .

b) Biết MPN = 20°, tính số đo góc PMQ .
Lời giải:

[2] Bài 5. Cho ΔABC có A = 80° . Vẽ cung tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn AC . Vẽ
cung tròn tâm C có bán kính bằng độ dài đoạn AB . Hai cung tròn này cắt nhau tại D nằm khác
phía của A đối với BC .
a) Chứng minh ΔABC = ΔDCB . Từ đó suy ra số đo góc BDC .
b) Chứng minh AB // CD .
Lời giải:

[3] Bài 6. Cho ΔABC có AB < AC . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB . Gọi I là một
điểm sao cho

IA = IC ,

IB = IE . Chứng minh rằng:

a) ΔAIB = ΔCIE
b) So sánh IAB và ACI .
Lời giải:

[4] Bài 7. Cho ΔABC có AB = AC . Gọi M là trung điểm của BC .
a) Chứng minh rằng: AM là phân giác của BAC
b) Chứng minh rằng: AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC .
c) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A lấy điểm E sao cho EB = EC .

A, E, M thẳng hàng.
Lời giải:
Chứng minh rằng:

[4] Bài 8. Cho ΔABC có
Lời giải:

AB = AC và

BAC = 60° . Tính số đo các góc

còn lại của ΔABC .

[4] Bài 9. Cho tam giác nhọn ABC . Giả sử O là một điểm nằm trong tam giác sao cho
OA = OB = OC .

.
Lời giải:

Chứng minh rằng: O là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh ΔABC

-HẾT-