CHUYÊN ĐỀ 35.
SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM
GIÁC
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Đường trung trực của tam giác:
Định nghĩa: Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực
của tam giác đó.
Định lí 1: Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó cách đều ba đỉnh
của tam giác.
Nhận xét: Vì giao điểm của ba đường trung trực của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác
nên là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác đó.
Tính chất: ΔABC cân tại A , AM là đường trung tuyến thì nó cũng là đường trung trực của BC
Cụ thể:
a) Cho

ABC ,

của

 d  là đường trung trực của cạnh

BC thì

 d  gọi là đường trung trực

ABC

ứng với cạnh BC .
d

A

C

B

b) Trong hình sau, điểm O là giao điểm các đường trung trực của ABC. Ta có OA  OB  OC.
Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.
A

O
C

B

c) ΔABC cân tại A , AM là đường trung tuyến thì cũng là đường trung trực của BC
1

A

C

B

M

2. Đường cao của tam giác:
Định nghĩa: Đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh tam giác và vuông góc với cạnh đối diện gọi là đường
cao của tam giác đó.
Định lí 2: Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm.
Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.
Cụ thể:
a) AH là một đường cao của ABC  AH  BC
A

B

C

H

b) Trong hình vẽ AD, BE,CF là các đường cao, H là trực tâm của ABC .
A
F
B

E
H
C

D

Chú ý:
a) ABC là tam giác nhọn thì H nằm trong tam giác.
A

K
L
H
B

C

H
2

b) ABC là tam giác vuông tại A thì điểm H trùng với điểm A .
B
I

C

A≡H

c) ABC là tam giác tù thì điểm H nằm ngoài tam giác.
H
K
L

A

B

C

I

3. Bổ sung:
Tính chất trong tam giác cân: ΔABC cân tại A, AM là đường cao thì nó cũng là đường trung
trực, đường trung tuyến, đường phân giác.

A

B

M

C

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
Dạng 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
I. Phương pháp giải:
- Dựa vào định nghĩa và sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác.
- Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực trong tam giác thì cách đều ba đỉnh của
tam giác đó.
3

1. Cho ABC ,  d  là đường trung trực của cạnh BC thì  d  gọi là đường trung trực
của

ABC

ứng với cạnh BC .
d

A

C

B

2. Điểm O là giao điểm các đường trung trực của ABC. Ta có OA  OB  OC. Điểm O là tâm
đường tròn ngoại tiếp ABC.

A

O
C

B

II. Bài toán.
Bài 1. Chọn đáp án đúng. Điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác là giao điểm của:
A. 3 đường trung tuyến.
B. 3 đường phân giác.
C. 3 đường trung trực.
D. 3 đường cao.
Lời giải:

Bài 2. Chọn đáp án đúng.
a) Cho

AB
C

tù, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm:
4

A. trong ABC .

5

B. ngoài ABC .
C. trên 1 cạnh của ABC .
D. trùng với 1 đỉnh của ABC .
b) Cho ABC có A  90 thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:
A. nằm trong
B. nằm ngoài

ABC
ABC

C. là trung điểm của cạnh BC
D. trùng với đỉnh A của ABC
c) Cho

AB
C

A. trong
B. ngoài

nhọn, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm:

ABC
ABC

C. trên một cạnh của ABC
D. trùng với một đỉnh của ABC
Lời giải:

Bài 3. Cho ΔABC . Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C và vẽ đường tròn đi qua 3 đỉnh của
tam giác trong mỗi trường hợp sau:
a, ΔABC là tam giác nhọn.
b, ΔABC vuông tại A .
c, ΔABC là tam giác tù.
Lời giải:

6

Bài 4. Cho A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Xác định đường tròn đi qua ba điểm
đó.
Lời giải:

Bài 5.
ABC có A  90 . Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt
Cho
BC theo thứ tự ở D và E .
AD, AE,OB,OC . Tìm tam giác
OAD , bằng OAE.
Nối
bằng
Lời giải:

7

Bài 6.
AB vuông tại A , đường cao AH . Tia phân giác của các góc BAH và CAH cắt
Cho
C
BC lần lượt ở D và E . Gọi O là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC .
a) Chứng minh rằng đường tròn tâm O , bán kính OA đi qua ba
điểm
b) Tính số đo góc DOE .
Lời giải:

8

A, D, E .

Bài 7. Tam giác ABC có A là góc tù. Các đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau
ở O. Các điểm B và C có thuộc đường tròn tâm O bán kính OA hay không? Vì sao?
Lời giải

Bài 8.
AB có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC . Trên
Cho
C
tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OB  OD .
a) Chứng minh O thuộc đường trung trực của AD và CD .
b) Chứng minh
các

ABD , CBD vuông.

c) Biết ABC  70 . Hãy tính số đo ADC
.

Lời giải

9

Bài 9. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O . Biết rằng điểm O cũng là giao
điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC . Chứng minh tam giác ABC đều.
A

F

E
O

B

D

Lời giải:

10

C

Bài 10. Cho AB
C

AM  BN 
CP

a. Chứng minh

đều. Trên cạnh AB, BC,CA lấy theo thứ tự ba
điểm

MNP là tam giác đều

b. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ABC .
Chứng minh rằng điểm O cũng là giao điểm các đường trung trực của
Lời giải:

11

MNP

M , N, P sao cho

Bài 11. Trong một buổi tổng vệ sinh sân trường, 3 tổ cần dọn cỏ và rác của 3 bồn cây A, B, C
ở 3 góc sân trường. Em hãy giúp 3 tổ chọn một vị trí O để đặt chiếc xe đẩy rác sao cho vị trí
chiếc xe cách đều 3 bồn cây đó.
Lời giải:

Dạng 2. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng
I. Phương pháp giải:
Dựa vào định lí, tính chất về đường trung trực và sự đồng quy của ba đường trung trực trong
tam giác.
12

II. Bài toán.
Bài 1. Cho

AB
C

cân tại A . Dựng tam giác BCD cân tại D biết D khác phía với A đối với

đường đường thẳng BC . Gọi O là giao điểm của AB và AC . Chứng minh rằng A,O, D thẳng
hàng.
Lời giải:

Bài 2. Cho AB
C

cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC . Các đường trung trực của AB và

AC cắt nhau ở E .

Chứng minh ba
điểm

A, E, M thẳng hàng.

Lời giải:

13

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi G là trọng tâm, O là giao điểm ba đường trung trực
của tam giác ABC .
a) Tam giác BOC là tam giác gì?
b) Chứng minh ba
điểm

A,O,G thẳng hàng?

Lời giải:

Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi M là trung điểm của BC . Các đường trung trực của
AB, AC cắt nhau ở E . Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng.
Lời giải:

14

Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy điểm D sao cho tam giác BCD cân tại D ( D và A
nằm khác phía đối với đường thẳng BC ). Chứng minh các đường trung trực của AB và AC
đồng quy với đường thẳng AD
Lời giải:

Bài 6. Cho ABC vuông ở A , D là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC .
Chứng minh

B, D,C thẳng hàng.

Lời giải:

15

Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A . M là trung điểm của BC . Kẻ ME vuông góc AB tại
E, MF vuông góc với AC tại F .
a) Chứng minh rằng AM là đường trung trực của EF ?
b) Kẻ đường thẳng d vuông góc AB tại B , kẻ đường thẳng d / vuông góc với AC tại C , hai
đường thẳng d và d / giao nhau giao tại D . Chứng minh rằng ba
A, M , D thẳng hàng?
điểm
Lời giải:

16

Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC . Gọi H ,G,O theo thứ tự là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba
đường trung trực của tam giác. Tia AG cắt BC ở M . Gọi I là trung điểm của GA, K là trung
điểm của GH . Chứng minh:
1

a) OM  AH
2

b) IGK  MGO
c) Ba điểm H ,G,O thẳng hàng
d) GH  2GO

Lời giải:

17

Bài 9. Cho tam giác ABC cân ở A , đường phân giác AK . Các đường trung trực của AB và
AC cắt nhau tại O . Kéo dài CO cắt AB ở D , kéo dài BO cắt AC ở E .
a) Chứng minh ba điểm A, K ,O thẳng hàng.
b) Chúng minh AK và các đường trung trực của AD và AE đồng quy.
Lời giải:

18

Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài
toán khác
I. Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất về đường trung trực và sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác.
1. Điểm M nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn
thẳng đó:
d
M

A

I

B

2. ΔABC cân tại A, AM là đường trung tuyến thì cũng là đường trung trực của BC
A

C

M

B

II. Bài toán.
Bài 1.
Cho

AB cân tại A , đường trung tuyến AM . Đường trung trực của AC cắt đường
C
thẳng AM tại D . Chứng minh rằng DA  DB .

Lời giải:

19

Bài 2. Cho tam giác cân ABC có AB  AC . Hai đường trung trực của hai cạnh
nhau tại O . Chứng minh: AOB  AOC .

Bài 3.
Cho

ABC , M là trung điểm

của

AB; AC cắt

Lời giải:

BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau

tại O. Tính số đo góc OMB.
Lời giải:
20

Bài 4.
Cho

AB
C

có góc A  110. Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau tại I.

a) Chứng
minh

BI
C

b) Chứng
minh

BIC  2 180 BAC

góc

cân.



 và tính số đo

BIC.

Lời giải:

Bài 5.
ABC có Aˆ  60 . Các đường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt cắt BC ở E
Cho
và F . Tính EAF .
Lời giải:

21

Bài 6.
AB cân tại A . Đường trung tuyến AM cắt đường trung trực của AC tại K .
Cho
C
Chứng minh
KA  KB 
KC.
rằng
Lời giải

Bài 7.
Cho

AB cân tại A , A  900 . Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại O
C
và cắt BC tại D và E . Chứng minh rằng:

a) OA là đường trung trực của BC .
b) BC  CE .
c) OD
E

là tam giác cân.
Lời giải:

22

Bài 8. Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông cắt nhau tại trung điểm của
cạnh huyền.
Lời giải:

Bài 9. Cho tam giác đều ABC . Gọi D và E là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và AC sao
cho BD  AE . Chứng minh rằng các đường trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua một
điểm cố định khi D và E di chuyển trên các cạnh AB và AC .
Lời giải:

23

Bài 10. Cho ABC , AC  AB . Hai điểm D và E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB và
AC sao cho BD  CE . Chứng minh rằng các đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm
cố định.
Lời giải:

24

BA ĐƯỜNG CAO
Dạng 1. Xác định trực tâm của một tam giác
I. Phương pháp giải:
- Để xác định trực tâm của một tam giác, ta cần tìm giao điểm hai đường cao của tam giác đó
- Dựa vào định nghĩa, định lí và nhận xét, tính chất về đường cao và sự đồng quy của ba
đường cao trong tam giác.
1. AH là một đường cao của ABC  AH  BC
A

B

C

H

2. Trong hình vẽ AD, BE,CF là các đường cao, H là trực tâm của ABC .
A
F
B

E
H
C

D

Chú ý:
a) ABC là tam giác nhọn thì H nằm trong tam giác.
A

K
L
H
B

C

H
25

b) ABC là tam giác vuông tại A thì điểm H trùng với điểm A .
B
I

C

A≡H

c) ABC là tam giác tù thì điểm H nằm ngoài tam giác.
H
K
L

B

A

C

I

II. Bài toán.
Bài 1. Cho ABC
có

ABC  90, AH  BC . Em chọn phát biểu đúng:

A. H là trực tâm
của

ABC

B. A là trực tâm của
C. B là trực tâm của
D. C là trực tâm của

ABC
ABC
ABC

Lời giải:

Bài 2. Cho ABC , hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H . Em chọn phát biểu đúng:
A. H là trọng tâm của ABC .
B. HA 
AM

2

2

và HB  BN

3

C. H là trực tâm
của

3

ABC ; CH là đường cao của ABC .

D. CH là đường trung trực của

ABC

.

26

Lời giải:

27

Bài 3.
Cho

AB
C

cân tại A có AM  BC tại M . Chọn phát biểu đúng:

A. AM là đường trung tuyến của ABC
B. AM là đường trung trực của BC .
C. AM là đường phân giác của BAC .
D. Cả A, B, C đều đúng.
Lời giải:

Bài 4. Cho AB
D . Khi đó C

vuông tại A . Lấy H thuộc AB , vẽ HE  BC ở E . Tia EH cắt tia CA tại

A. H là trọng tâm của BCD .
B. H là trực tâm của BCD .
C. H là giao ba đường trung trực
của

BCD .

D. H là giao ba đường phân giác của BCD .
Lời giải:

Bài 5. Cho tam
giác


A

HB,
AHC

.

ABC
28

vuông tại

A,

đườn
g cao
AH .
Tìm
trực
tâm
của
các
giác

ABC,

29

Lời giải:

Bài 6. Cho H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác
HBC, HAB, HAC

Lời giải

Bài 7. Cho ABC có A  700 , AB  AC , đường phân giác góc A cắt BC tại D , BF 
AC
F , H là giao điểm của BF và AD , E thuộc AC sao cho AE  AB .

a) Xác định trực tâm
của
b) Tính số đo DHF .

ABE .

Lời giải

30

tại

Dạng 2. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông
góc, ba đường thẳng đồng quy
I. Phương pháp giải:
Nếu H là giao điểm hai đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC thì AH  BC .
Nếu ba đường thẳng là ba đường cao của một tam giác thì chúng cùng đi qua một điểm.
II. Bài toán.
Bài 1.
Cho

AB
C

cân tại A , đường cao BE cắt đường trung tuyến AD ở H . Chứng minh CH

tạo với AB một góc 90 .
Lời giải

Bài 2. Cho tam

giá

c
31

ABC

cân

tại A . đường cao CH cắt tia phân giác của góc A tại D .

Chứng minh rằng BD  AC .

32

Lời giải

Bài 3.
Cho

MNP vuông tại M . Trên cạnh MN lấy điểm Q , kẻ QR  NP  R NP . Gọi O là

giao điểm của các đường thẳng PM và RQ . Chứng minh PQ  ON .
Lời giải:

Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Kẻ đường
cao AE của tam giác ABC , đường cao AF của tam giác ACD . Chứng minh rằng AE  AF.
Lời giải:

33

Bài 5. Cho tam giác MNP có ba góc nhọn, các đường
cao

NQ, PR cắt nhau tại S .

a) Chứng minh MS  NP .
b) Cho MNP = 65°. Tính SMR .
Lời giải:

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường cao AH . Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng
HC . Qua K kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AH tại D . Chứng minh AK  CD .
Lời giải:

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông cân tại

B. Trên cạnh AB lấy điểm H.Trên tia đối của tia BC

lấy điểm D sao cho BH  BD . Chứng minh
a) DH  AC.

Lời giải:

b) CH  AD.

Bài 8. Cho tam giác MNP vuông tại M MP  MN  . Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho
MQ  MP , trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR  MN . Chứng minh:

a) PQ  NR .
b) RQ  NP .
Lời giải:

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường phân giác BM . Trên cạnh BC lấy điểm D
sao cho BD  BA .
a) Chứng minh BM  AD .
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM .
Chứng minh ba đường thẳng AK, BM , DH đồng quy.
Lời giải:

31

Bài 10. Đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA  MB). Vẽ tia đó lấy hai điểm C và
D sao cho MA  MC , MD  MB. Tia AC vuông cắt BD tại E . Chứng minh:
a) AE 
BD
b) C là trực tâm của tam giác ABD
Lời giải:

Bài 11. Cho góc nhọn xOy . Trên tia Ox lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B sao cho
OA  OB. Kẻ AC  Oy, BD  Ox (C Ox, D Oy) . Đường thẳng vuông góc với Ox tại A và
đường thẳng vuông góc với Oy tại B cắt nhau tại M . Chứng minh: OM , AC, BD đồng quy.
Lời giải:

3

Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là đường phân giác. Trên cạnh BC lấy điểm E
sao
BA, DE,CH đồng quy.
BA  BE. Vẽ CH  DB. Chứng minh
cho
rằng
Lời giải:

3