Dạng 2. Chứng minh 3 đường đồng quy, 3 điểm thẳng hàng
I. Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất:
+ Giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong tam giác nằm trên đường phân
giác của góc thứ ba.
+ Giao điểm của các đường phân giác của một tam giác cách đều ba cạnh của tam giác
II. Bài toán.
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ các tia phân giác BD, CE. Lấy M là trung điểm của
BC.
a) Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC.
b) Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy.
Lời giải

Bài 2. Cho tam giác ABC , tia phân giác AD . Các tia phân giác ngoài tại đỉnh B và C cắt
nhau ở E . Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Lời giải

1

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và
cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba
A, G, I thẳng hàng.
điểm
Lời giải

Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A có BM , CN là hai đường trung tuyến cắt nhau ở điểm
G.
a) Chứng minh rằng: AG là tia phân giác của góc BAC .
b) CMR: GM  GN
c) CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng MN .
d) CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC .
e) Gọi P là trung điểm BC .
CMR:

A, G, P thẳng hàng.

Lời giải
2

3

Bài 5. Cho tam giác ABC . Phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I . Phân giác các
góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại J , phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và đỉnh C
cắt nhau tại K , phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và đỉnh B cắt nhau tại L .
a) Chứng minh BIC  90 

A
2

b) Chứng minh ba điểm A, I , J thẳng hàng
c) Chứng
minh

AJ , BK, CL cắt nhau tại một điểm.

Lời giải

4

Bài 6. Cho tam giác ABC có A  120 . Các tia phân giác của góc A và C cắt nhau ở O , cắt
cạnh BC và AB lần lượt ở D và E . Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B của tam giác
ABC cắt đường thẳng AC ở F . Chứng minh:
a) BO  BF
b) BDF  ADF
c) Ba
điểm

D, E, F

thẳng hàng.

Lời giải

5

Dạng 3. Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)
I. Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất: trong tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh cũng đồng thời là
đường trung tuyến, đường cao.
II. Bài toán.
Bài 1. Cho
Khi
đó

AB
C

cân tại A , đường phân giác AM . Gọi D là một điểm nằm giữa A và M .

BDC là tam giác gì?

Lời giải

Bài 2. Cho tam giác MNP cân tại M có G là trọng tâm. I là điểm nằm trong tam giác và cách
đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba
M , G, I thẳng hàng.
điểm
Lời giải

6

Bài 3. Tam giác ABC cân tại A . Tia phân giác của góc A cắt đường trung tuyến BD tại K .
Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng ba điểm

I , K ,C thẳng hàng.

Lời giải

Bài 4. Chứng minh rằng trong tam giác cân, trung điểm của cạnh đáy cách đều hai cạnh bên.
Lời giải

Bài 5. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM là đường phân giác của góc A . Chứng
minh tam giác ABC cân tại A .
Lời giải

7

Bài 6. Cho ABC có AH  BC và BAH  2C . Tia phân giác của góc B cắt AC tại E . Tia
phân giác của góc BAH cắt BE ở I . Chứng
AI là tam giác vuông cân tại E
minh
E
Lời giải

Bài 7. Cho tam giác ABC cân ở A có M là trung điểm cạnh BC và BD là đường phân giác
( D thuộc AC ). AM và BD giao nhau ở điểm I .
a) CMR: Tia CI là tia phân giác của góc ACB .
8

b) CMR: Tam giác BIC là tam giác cân.

9

c) Gọi E là giao điểm của tia CI với cạnh AB . Chứng minh rằng: ED//BC
d) Gọi H là giao điểm của AM và ED . CMR: H là trung điểm của ED .
e) CMR: AM  ED
f) Tìm điều kiện của tam giác ABC để điểm I và trọng tâm G của tam giác ABC trùng nhau.
Lời giải

10

Dạng 4. Chứng minh mối quan hệ giữa các góc
I. Phương pháp giải:
- Vận dụng các tính chất tia phân giác của một góc để tìm mối liên hệ giữa các góc.
- Dùng định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 180.
II. Bài toán.
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I . Chứng minh rằng:
IAB  IBC  IAC  90

Lời giải

Bài 2. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I và AB  AC .
11

a) Chứng minh rằng: CBI  ACI
b) So sánh IB và IC
Lời giải

Bài 3. Cho hình vẽ.
a) Chứng minh ABD  ACD
b) So sánh góc DBC và góc

DCB.

A

D
B

C

Lời giải

12

Bài 4.
Cho

AB
C
A
BIC  90 
2

hai đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I . Chứng minh rằng:

Lời giải

Bài 5. Cho tam giác ABC có B  C . Từ đỉnh A kẻ đường cao AH và tia phân giác AD .
a) Biết B  70, C  50 , tính số đo HAD .
b) Chứng
minh

HAD 

BC
2

Lời giải

13

Bài 6. Cho ABC các tia phân giác góc B và C cắt nhau ở O . Gọi D, E, F lần lượt là chân
đường vuông góc kẻ từ O đến BC,CA, AB  D  BC, E  AC, F  AB . Tia AO cắt BC ở M .
a) Chứng minh: OD  OE 
OF

b) So sánh DOB và MOC ? MOB và DOC ?
Lời giải

Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số
đo góc
Bài 1. Cho hình vẽ:

H là giao điểm của hai đường phân giác xuất phát từ N và P của tam giác MNP .
14

a) Chứng minh rằng điểm H cách đều hai
cạnh

MN, MP

b) Tính số đo HMN , NHP ?

Bài 2.
Cho

AB
C

vuông ở A

Các tia phân giác góc B và C cắt nhau ở I .Gọi D, E, F là hình chiếu của điểm I
xuống AB, AC, BC
a) Chứng minh rằng AD  AE
b) Trong trường
ABC cân ở A . Chứng
hợp
minh

DEF cân

Bài 3. Cho ABC , các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I
a) Biết A  80 , tính số đo góc BIC .
b) Biết BIC  120 , tính số đo góc A .
Bài 4. Cho ABC có A  90 các tia phân giác của B và C cắt nhau
tại
các đường vuông góc hạ từ I đến các
AB và AC.
cạnh

I. Gọi D, E là chân

a) Biết ID  3cm . Tính IE ?
b) Biết

ID  x  2 IE  2x  4 . Tìm x ?

,

Dạng 2. Chứng minh 3 đường đồng quy, 3 điểm thẳng hàng
Bài 1. Cho hình vẽ :

CMR: A, B, C thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân ở A có BM , CN là hai đường trung tuyến cắt nhau ở điểm
G .
a) Chứng minh rằng: AG là tia phân giác của góc BAC .
b) CMR: GM  GN
15

c) CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng MN .
d) CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC .
e) Gọi P là trung điểm BC . CMR: A, G, P thẳng hàng.

16

Bài 3. Cho ABC các tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I .Các đường phân giác góc ngoài
tại đỉnh B và C cắt nhau ở K .Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng

Bài 4. Cho tam giác ABC có A  120 . Các tia phân giác của góc A và C cắt nhau ở O , cắt
cạnh BC và AB lần lượt ở D và E . Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B của tam giác
ABC cắt đường thẳng AC ở F . Chứng minh:
a) BO  BF
b) BDF  ADF
c) Ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Dạng 3. Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)
Bài 1. Chứng minh rằng:
a) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực của cạnh
đáy.
b) Nếu tam giác có 1 đường vừa là đường trung trực của 1 cạnh, vừa là đường phân giác thì
tam giác đó là tam giác cân.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân ở A có M là trung điểm cạnh BC và BD là đường phân
giác ( D thuộc AC ). AM và BD giao nhau ở điểm I .
a) CMR: Tia CI là tia phân giác của góc ACB .
b) CMR: Tam giác BIC là tam giác cân.
c) Gọi E là giao điểm của tia CI với cạnh AB . Chứng minh rằng: ED // BC .
d) Gọi H là giao điểm của AM và ED . CMR: H là trung điểm của ED .
e) CMR: AM  ED
f) Tìm điều kiện của tam giác ABC để điểm I và trọng tâm G của tam giác ABC trùng
nhau.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân ở A có đường phân giác AD  D  BC
và đường trung tuyến



BE



 E  AC cắt nhau tại

O .

a) Chứng minh: O là trọng tâm ABC
b) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để O cũng là giao điểm 3 đường phân giác của
tam giác ABC ?
Bài 4. Cho ABC cân ở A .Gọi G là trọng tâm tam giác, I là giao điểm các phân giác của tam
giác, K là giao điểm hai đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B và C .Chứng minh rằng bốn
điểm A,G, I , K thẳng hàng.
Dạng 4. Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)
Bài 1.
Cho

17

ABC

có
góc

A
120

AD, BE,CF

các
phân
giác

18

a) Chứng minh rằng DE là tia phân giác góc ngoài đỉnh D của ABD
b) Chứng minh rằng EDF  90
Bài 2. Cho ABC A  120 .Các tia phân giác
BC; AB
A ; C cắt nhau ở O , cắt các
,
góc
cạnh
lần lượt ở D và E . Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B của ABC cắt đường thẳng AC ở
F . Chứng minh:
a) BO  BF
b) BDF  ADF
c) DEA  FEA  180
ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số
đo góc
Bài 1.

Bài 2.

19

Bài 3.

Bài 4.

Dạng 2 . Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)
20

Bài 1:

Bài 2.

21

Bài 3.

22

Bài 4.

23

Dạng 3 . Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)
Bài 1.

Bài 2.

24

25

Bài 3.

Bài 4.

26

Dạng 4.
Bài 1.

Bài 2.

27

PHIẾU BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số
đo góc
Bài 1. Tìm x trong mỗi hình vẽ sau biết CI và BI là hai phân giác của ACB và ABC , EH và
FH là hai phân giác của DEF và DFE .

Bài 2.
Cho

ABC có A  120. Các đường phân

giác

AD, BE. Tính số đo góc BED .

Bài 3.
ABC . Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác kẻ từ góc B và C . Tính số
Cho
đo góc BIC trong các trường hợp:
a) BAC  80

b) BAC  120

Bài 4. Cho ABC , các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I
a) Biết A  70 , tính số đo góc BIC .
b) Biết BIC  140 , tính số đo góc A .
Bài 5. Cho

ABC cân tại A . Gọi D là trung điểm của BC ; E và F lần lượt là chân đường
vuông góc kẻ từ D đến AB, AC . Chứng minh rằng DE  DF .
28

Bài 6. Cho ABC có A  90 các tia phân giác của B và C cắt nhau
tại
các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh AB và AC.

29

I. .

Gọi

D, E là chân

a) Biết ID  2cm . Tính IE ?
b) Biết

ID  x 
3,

Bài 7. Cho

AB
C

IE  2x  3 . Tìm x ?

gọi I là giao điểm của hai tia phân giác góc A và góc B. Qua I kẻ đường

thẳng song song với BC , cắt AB tại M , cắt AC tại N. Chứng minh rằng MN  BM  CN
Dạng 2. Chứng minh 3 đường đồng quy, 3 điểm thẳng hàng
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ các tia phân giác BD, CE. Lấy M là trung điểm của
BC.
a) Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC.
b) Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy.
Bài 2. Cho tam giác ABC , tia phân giác AD . Các tia phân giác ngoài tại đỉnh B và C cắt
nhau ở E . Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và
cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A có BM , CN là hai đường trung tuyến cắt nhau ở điểm
G.
a) Chứng minh rằng: AG là tia phân giác của góc BAC .
b) CMR: GM  GN
c) CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng MN .
d) CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC .
e) Gọi P là trung điểm BC . CMR: A, G, P thẳng hàng.
Bài 5. Cho tam giác ABC . Phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I . Phân giác các
góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại J , phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và đỉnh C
cắt nhau tại K , phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và đỉnh B cắt nhau tại L .
a) Chứng minh BIC  90 

A
2

b) Chứng minh ba điểm A, I , J thẳng hàng
c) Chứng minh AJ , BK, CL cắt nhau tại một điểm.
Bài 6. Cho tam giác ABC có A  120 . Các tia phân giác của góc A và C cắt nhau ở O , cắt
cạnh BC và AB lần lượt ở D và E . Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B của tam giác
ABC cắt đường thẳng AC ở F . Chứng minh:
a) BO  BF
b) BDF  ADF
c) Ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Dạng 3. Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)
30

Bài 1. Cho AB
C

Khi
đó

cân tại A , đường phân giác AM . Gọi D là một điểm nằm giữa A và M .

BDC là tam giác gì?

Bài 2. Cho tam giác MNP cân tại M có G là trọng tâm. I là điểm nằm trong tam giác và cách
đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm M , G, I thẳng hàng.
Bài 3. Tam giác ABC cân tại A . Tia phân giác của góc A cắt đường trung tuyến BD tại K .
Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng ba điểm I , K ,C thẳng hàng.
Bài 4. Chứng minh rằng trong tam giác cân, trung điểm của cạnh đáy cách đều hai cạnh bên.
Bài 5. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM là đường phân giác của góc A . Chứng
minh tam giác ABC cân tại A .
Bài 6. Cho

ABC có AH  BC và BAH  2C . Tia phân giác của góc B cắt AC tại E . Tia

phân giác của góc BAH cắt BE ở I . Chứng
minh

AI
E

là tam giác vuông cân tại E

Bài 7. Cho tam giác ABC cân ở A có M là trung điểm cạnh BC và BD là đường phân giác
( D thuộc AC ). AM và BD giao nhau ở điểm I .
a) CMR: Tia CI là tia phân giác của góc ACB .
b) CMR: Tam giác BIC là tam giác cân.
c) Gọi E là giao điểm của tia CI với cạnh AB . Chứng minh rằng: ED//BC
d) Gọi H là giao điểm của AM và ED . CMR: H là trung điểm của ED .
e) CMR: AM  ED
f) Tìm điều kiện của tam giác ABC để điểm I và trọng tâm G của tam giác ABC trùng nhau.
Dạng 4. Chứng minh mối quan hệ giữa các góc
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I . Chứng minh rằng:
IAB  IBC  IAC  90

Bài 2. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I và AB  AC .
a) Chứng minh rằng: CBI  ACI
b) So sánh IB và IC
Bài 3. Cho hình vẽ.
a) Chứng minh ABD  ACD
b) So sánh góc DBC và góc

DCB.

A

31

D
B

C

32

Bài 4.
Cho

AB
C
A
BIC  90 
2

hai đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I . Chứng minh rằng:

Bài 5. Cho tam giác ABC có B  C . Từ đỉnh A kẻ đường cao AH và tia phân giác AD .
a)

Biết B  70, C  50 , tính số đo HAD .

b)

Chứng
minh

Bài 6. Cho

HAD 

BC
2

ABC các tia phân giác góc B và C cắt nhau ở O . Gọi D, E, F lần lượt là chân

đường vuông góc kẻ từ O đến BC,CA, AB  D  BC, E  AC, F  AB . Tia AO cắt BC ở M .
a) Chứng minh: OD  OE 
OF

b) So sánh DOB và MOC ? MOB và DOC ?
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1.Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo
góc Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo
góc
Bài 1. Cho hình vẽ:

H là giao điểm của hai đường phân giác xuất phát từ N và P của tam giác MNP .

a) Chứng minh rằng điểm H cách đều hai
cạnh

MN, MP

b) Tính số đo HMN , NHP ?
Bài 2.
Cho

AB
C

vuông ở A

Các tia phân giác góc B và C cắt nhau ở I .Gọi D, E, F là hình chiếu của điểm I
xuống AB, AC, BC
a) Chứng minh rằng AD  AE
b) Trong trường
DEF cân
ABC cân ở A . Chứng
hợp
minh
Bài 3. Cho ABC , các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I
33

a) Biết A  80 , tính số đo góc BIC .
b) Biết BIC  120 , tính số đo góc A .
Bài 4. Cho ABC có A  90 các tia phân giác của B và C cắt nhau
tại
các đường vuông góc hạ từ I đến các
AB và AC.
cạnh

34

I. Gọi D, E là chân

a) Biết ID  3cm . Tính IE ?
b) Biết

ID  x  2 IE  2x  4 . Tìm x ?

,

Dạng 2. Chứng minh 3 đường đồng quy, 3 điểm thẳng hàng
Bài 1. Cho hình vẽ :

CMR: A, B, C thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân ở A có BM , CN là hai đường trung tuyến cắt nhau ở điểm
G .
a) Chứng minh rằng: AG là tia phân giác của góc BAC .
b) CMR: GM  GN
c) CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng MN .
d) CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC .
e) Gọi P là trung điểm BC . CMR: A, G, P thẳng hàng.
Bài 3. Cho

ABC các tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I .Các đường phân giác góc ngoài
tại đỉnh B và C cắt nhau ở K .Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng

Bài 4. Cho tam giác ABC có A  120 . Các tia phân giác của góc A và C cắt nhau ở O , cắt
cạnh BC và AB lần lượt ở D và E . Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B của tam giác
ABC cắt đường thẳng AC ở F . Chứng minh:

a) BO  BF
b) BDF  ADF
c) Ba
điểm

D, E,
F

thẳng hàng.

Dạng 3. Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)
Bài 1. Chứng minh rằng:
a) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực của cạnh
đáy.
b) Nếu tam giác có 1 đường vừa là đường trung trực của 1 cạnh, vừa là đường phân giác thì
tam giác đó là tam giác cân.
35

Bài 2. Cho tam giác ABC cân ở A có M là trung điểm cạnh BC và BD là đường phân
giác (
thuộc AC ). AM và BD giao nhau ở điểm I .
D

36

a) CMR: Tia CI là tia phân giác của
góc
b) CMR: Tam
giác
c) Gọi E

BIC là tam giác cân.

là giao điểm của tia
CI

d) Gọi H

ACB .

là giao điểm của
AM

với cạnh AB . Chứng minh rằng:
ED

// BC .

và ED . CMR: H là trung điểm của ED .

e) CMR: AM  ED
f) Tìm điều kiện của tam giác
ABC để điểm I
nhau.
Bài 3. Cho tam giác
BE



ABC cân ở A có đường phân giác AD

 E  AC cắt nhau tại



 D  BC và đường trung tuyến

O .

a) Chứng minh: O là trọng
tâm
b) Tam giác

và trọng tâm G của tam giác ABC trùng

ABC

ABC cần có thêm điều kiện gì để O cũng là giao điểm 3 đường phân giác của

tam giác ABC ?
Bài 4. Cho

ABC cân

ở

A .Gọ G là trọng tâm tam giác, I là giao điểm các phân giác của tam

i

giác, K là giao điểm hai đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B và C .Chứng minh rằng bốn
điểm A,G, I , K thẳng hàng.
Dạng 4. Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)
Bài 1.
Cho ABC có góc A  120 các phân
giác
a) Chứng minh rằng DE

AD, BE,CF

là tia phân giác góc ngoài đỉnh D của ABD

b) Chứng minh rằng EDF  90
Bài 2. Cho ABC , A  120 .Các tia phân giác
BC; AB lần
A ; C cắt nhau ở O , cắt các
góc
cạnh
lượt ở D và E .Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B của ABC cắt đường thẳng AC ở F .
Chứng minh:
c) BO  BF
d) BDF  ADF
c) DEA  FEA  180
37