CHỦ ĐỀ 1 – RÚT GỌN BIỂU THỨC
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC:.......................................................................................................................................1
DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.............................................................................................4
DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH...........................................................................................................................6
Dạng 4: Đưa về giải bất phương trình...........................................................................................................................12
DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC.........................................................................19
DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN......................................................................................................27
DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM.............................................................................................32
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ..............................................................................................................34

DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC:
Bước 1 Đặt điều kiện xác định của biểu thức:





: Điều kiện xác định là
: Điều kiện là
Gặp phép chia phân thức thì đổi thành phép nhân sẽ xuất hiện thêm mẫu mới nên dạng này ta thường
làm bước đặt điều kiện sau.

Bước 2 Phân tích mẫu thành tích, quy đồng mẫu chung.
Bước 3 Gộp tử, rút gọn và kết luận.

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

Lời giải

Điều kiện:
Có

Vậy

với điều kiện

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức
Có

Lời giải

Điều kiện:
Có

Vậy:

với điều kiện

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức

Lời giải

Có

. Điều kiện
Vậy

với điều kiện

.

.

Chú ý: Câu này có phép chia phân thức nên đoạn cuối xuất hiện thêm
điều kiện sau.

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức

Có

Điều kiện

Lời giải

ở mẫu, do đó ta làm bước đặt

Vậy

với điều kiện

.

DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bước 1 Đặt điều kiện và chỉ ra giá trị đã cho của x thoả mãn điều kiện.
Bước 2 Tính
rồi thay giá trị của
vào biểu thức đã rút gọn.
Bước 3 Tính kết quả của biểu thức bằng cách trục hết căn thức ở mẫu và kết luận.

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức

khi:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Điều kiện
a)Có

thoả mãn điều kiện.

Khi đó
Vậy

Lời giải

thay vào P ta được
khi

.

.

b)Có

thoả mãn điều kiện

Khi đó
Thay vào P ta được
Vậy

khi

.

c)Có

thoả mãn điều kiện.

Khi đó

.

Thay vào P ta được
Vậy
d)Có
Khi đó

khi
thoả mãn điều kiện

Thay vào

, ta được

Vậy

khi

.

e) Có
( Thỏa mãn điều kiện)
Thay vào

, ta được:

Vậy

khi

.

f) Có

thỏa mãn điều kiện.

Khi đó
Vậy

thay vào

, ta được

khi

g) Có

Khi đó
Vậy

thỏa mãn điều kiện.

, thay vào

, ta được

khi

h) Có
(loại),
Khi đó
Vậy

, thay vào
khi x thỏa mãn

ta được

(thỏa mãn).

DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định.
Bước 2: Quy đồng mẫu chung
Bước 3: Bỏ mẫu, giải x, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Đưa về phương trình tích
Ví dụ 1. Cho biểu thức

. Tìm

để

.

Lời giải
Điều kiện:

.

Có

(thỏa mãn điều kiện).
Vậy

thì

.

Ví dụ 2. Cho biểu thức

. Tìm x để

.
Lời giải

Điều kiện:

.

Có

(loại),
Vậy

thì

.

(thỏa mãn điều kiện).

Phương trình có chứa trị tuyệt đối


(với



và

(với

là số cụ thể) thì giải luôn hai trường hợp

là một biểu thức chứa

):

Cách 1: Xét 2 trường hợp để phá trị tuyệt đối:
Trường hợp 1: Xét

thì

nên ta được

Giải và đối chiếu điều kiện
Trường hợp 2: Xét

.
thì

nên ta được

Giải và đối chiếu điều kiện
Cách 2: Đặt điều kiện

.
và giải hai trường hợp

Ví dụ 1. Cho 2 biểu thức

và

.

. Tìm x để

.

Lời giải
Điều kiện:
Có
Cách 1: Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Xét

thì

nên ta được:
(thỏa mãn).

Trường hợp 2: Xét

thì

nên ta được:
(thỏa mãn).

Cách 2: Vì

với mọi

nên

.

(thỏa mãn).
Cách 3: Nhận xét
nên

(thỏa mãn).
Vậy

thì

.

Ví dụ 2.

Cho 2 biểu thức

và

. Tìm

để

Lời giải
Điều kiện:

.

Có
Cách 1: Ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Xét

thì

nên ta được
(loại).

Trường hợp 2:

Xét

thì

nên ta được
(thỏa mãn).
Vậy

thì

.

Cách 2: Điều kiện:

Khi đó

Kết hợp các điều kiện được
Đưa về bình phương dạng
(hoặc
)
Bước 1 Đặt điều kiện để biểu thức xác định và đưa phương trình về dạng
(hoặc
Bước 2: Lập luận

(hoặc

) nên
(hoặc

Bước 3: Khẳng định

Bước 4: Giải ra

(hoặc

).

) chỉ xảy ra khi đồng thời

, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Ví dụ 1. Cho biểu thức

. Tìm

để

.
Lời giải

Điều kiện:

)

Có

Vì

nên

Do đó

chỉ xảy ra khi

(thỏa mãn).

thì

Vậy

Ví dụ 2. Cho biểu thức

. Tìm

để

.
Lời giải

Điều kiện:
Có

Vì

nên

Do đó

chỉ xảy ra khi
(thỏa mãn điều kiện).

Vậy

thì

Ví dụ 3. Cho biểu thức

. Tìm

để
Lời giải

Điều kiện:
Có

Vì

nên

Do đó

chỉ xảy ra khi

(thỏa mãn điều kiện).

Vậy
thì
Đánh giá vế này một số, vế kia số đó
Bước 1: Đưa một vế về bình phương và sử dụng
Bước 2: Đánh giá vế còn lại dựa vào bất đẳng thức quen thuộc như:


Bất đẳng thức Cosi:
Dấu “=” xảy ra khi



Bất đẳng thức Bunhia:

hay

Dấu “=” xảy ra khi

Dấu “=” xảy ra khi
hoặc
.
Bước 3: Khẳng định phương trình chỉ xảy ra khi các dấu “=” ở bước 1 và bước 2 đồng thời xảy ra.
Ví dụ 1. Cho biểu thức

và

. Tìm
Lời giải

Điều kiện:
Có

* Có VT (*)
* Chứng minh VP(*)
:
Cách 1: (Dùng bất đăng thức Cosi)
Xét

để

.

Cách 2: (Dùng bất đẳng thức Bunhia cốpxki)
Xét
Như vậy

nên (*) chỉ xảy ra khi
(thỏa mãn).

Vậy

thì

.

Ví dụ 2. Cho biểu thức

. Tìm

để
Lời giải

Điều kiện:
Có

Có
Ta sẽ chứng minh
Cách 1: (Chỉ ra

)

Xét
Cách 2: (Sử dụng

)

Có
Như vậy

nên (*) chỉ xảy ra khi

Do đó (*) chỉ xảy ra khi
Vậy

thì

(thỏa mãn điều kiện).

DẠNG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Đưa về bất phương trình dạng
Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định.
Bước 2: Quy đồng mẫu chung, chuyển hết sang một vế để được dạng

Bước 3: Giải các bất phương trình này, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Một số tình huống thường gặp
+)
Vì

và
nên ta được

cùng dấu.
và giải ra

.

+)
Vì

nên ta được

+)

và

và giải ra

.

trái dấu, rồi giải hai trường hợp:

trường hợp này vô nghiệm.
trường hợp này giải được
+)

.

giải hai trường hợp:
trường hợp này giải được

.

trường hợp này giải được
Ví dụ 1. Cho biểu thức

. Tìm

.
để
Lời giải

Điều kiện:
Có
và

trái dấu, mà

nên ta được

Do

(thỏa mãn điều kiện).

Vậy

là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 2. Cho biểu thức

. Tìm

để

.
Lời giải

Điều kiện:

Có
(do

)

(thỏa mãn điều kiện).

thì

Vậy

Ví dụ 3. Cho biểu thức

. Tìm

Chú ý: Dạng

để

.

, trước hết ta cần giải điều kiện phụ

để

.
Lời giải
Điều kiện:
* Để

xác định ta cần có
(do

)

(thỏa mãn điều kiện).

* Khi đó

Kết hợp điều kiện

, ta được

(do
.

)

Đưa về bình phương dạng
.
Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định và đưa bất phương trình về dạng
Bước 2: lập luận để giải dấu “=” xảy ra:


Dạng

Lập luận: Vì


Dạng

Lập luận

nên khẳng định

chỉ xảy ra khi

.

:
nên khẳng định

chỉ xảy ra khi

.

xác định, sau đó mới giải



Dạng

(hoặc

Lập luận

(hoặc

nên khẳng định

Bước 3: Giải ra

):
) nên

(hoặc

(hoặc

)

) chỉ xảy ra khi đồng thời

, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Ví dụ 1. Cho 2 biểu thức

và

. Tìm

để

.

Lời giải
Điều kiện:
Có

Mà

nên

chỉ xảy ra khi
(thỏa mãn).

Vậy

thì

.

Ví dụ 2. Cho biểu thức
Lời giải
Điều kiện:
.

. Tìm

để

.

Có

Vì
điều kiện)
Vậy

với mọi

nên

chỉ xảy ra khi

thì

4.3 Tìm x để
Ghi nhớ:








Ví dụ 1: Cho biểu thức

. Tìm

để

(thoả mãn

Điều kiện:
Có

.
khi

trái dấu.



(thoả mãn điều kiện)


Vậy

(loại).
thì

Ví dụ 2. Cho biểu thức

. Tìm x

và x lớn nhất để
Lời giải

Điều kiện:

Có
Cách 1 (sử dụng
Có
Mà
nên ta được
Kết hợp với điều kện, ta được
. Do x
và x lớn nhất nên ta tìm được x = 8.
Cách 2 (Xét hai trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối)
Có
Trường hợp 1: Xét

(do

) thì
(loại)

Trường hợp 2: Xét

(do

) thì

(luôn đúng)
và x lớn nhất nên ta tìm được x = 8.

Do đó ta được
. Do x
Vậy
là giá trị cần tìm
DẠNG 5: SO SÁNH, CHỨNG MINH BẰNG CÁCH XÉT HIỆU
Để chứng minh

ta chứng minh hiệu

Để chứng minh
ta chứng minh hiệu
Để so sánh hai biểu thức X và Y ta xét dấu của hiệu
Để so sánh P với

ta xét hiệu

rồi thay x vào và xét dấu

 Để so sánh

và

(khi

có nghĩa) ta biến đổi hiệu

Sau đó nhận xét

nên ta cần xét dấu của

Ví dụ 1. Cho biểu thức

Chứng minh
Lời giải

Điều kiện:

Xét hiệu

Ví dụ 2. Cho biểu thức

và

Khi

hãy so sánh

Lời giải
Điều kiện:
Khi
Mà

và

cùng dấu.

nên ta được

(thoả mãn).

Xét hiệu

nên
Vậy khi

thì

Ví dụ 3. Cho biểu thức

và

Chứng minh
Lời giải

Điều kiện:

.

với

Xét hiệu

, với mọi
Vậy

.

Ví dụ 4. Cho hai biểu thức
So sánh giá trị của biểu thức
Điều kiện:

và
và

.

.

Lời giải

.

Xét hiệu
với mọi
Vậy

.

.

Ví dụ 5. Cho biểu thức
Điều kiện:

. So sánh

và
.
Lời giải

.

Xét hiệu

nên
Vậy

.

Ví dụ 6. Cho biểu thức
Điều kiện:

. Khi

xác định, hãy so sánh
Lời giải

và

.

.

xác định khi
Xét hiệu
Do

.

,

, mà

nên

.

và
suy ra
Vậy

nên
.

.

DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
6.1 Dựa vào

để Tìm giá trị lớn nhất của
Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bước 1. Đặt điều kiện

và khử

Bước 2. Chuyển từng bước từ

ở tử để đưa

,

sang

về dạng trên.
;

như sau:

Max

Min

Có

Có

.

Bước 3: Kết luận

,

khi

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(thỏa mãn điều kiện)
. Từ đó, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải
Điều kiện:
* Tìm MinP:
Có
Do

Vậy
khi
(thỏa mãn điều kiện)
* Tìm MinQ:
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức Cô Si)
Có

Do
Vì
Vậy

khi

Cách 2: (Thay

hay
được

(thỏa mãn điều kiện)
nên ta dự đoán

)

Xét hiệu

Do
Vậy

khi

hay

(thỏa mãn điều kiện)

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải
Điều kiện:
* Tìm Max M:
Có
Do

Vậy
khi
(thỏa mãn điều kiện).
* Tìm MinN:
Cách 1 (Dùng bất đẳng thức Côsi)
Có
Do
Vì
Vậy
khi
Cách 2 (Thay

hay
được

(thỏa mãn điều kiện).
nên ta dự đoán
)

Xét hiệu

Do
Vậy

khi

hay

(thỏa mãn điều kiện).

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.

. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Điều kiện:
.
*) Tìm MaxA:
Có

Vậy MaxA
khi
(thỏa mãn điều kiện)
+) Tìm MinB:
Cách 1. (Dùng bất đẳng thức Cô si)
Có
Do
Vì

.

Vậy Min B = 11 khi
Cách 2. (Thay

hay
được

(thỏa mãn điều kiện).
nên ta dự đoán MinB = 11)

Xét hiệu

Do

.

Vậy Min B = 11 khi

hay

(thỏa mãn điều kiện).

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Điều kiện:
* Tìm MinS:
Có

. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Vậy
khi
(thỏa mãn điều kiện)
* Tìm MinT:
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức Côsi)
Có
Do
Vì
Vậy
Cách 2: (Thay

khi

hay

(thỏa mãn điều kiện)

được

nên ta dự đoán

)

Xét hiệu

Do
Vậy
khi
hay
(thỏa mãn điều kiện)
6.2. Dùng bất đẳng thức Côsi
Bước 1: Khử ở trên tử.
Bước 2: Dựa vào mẫu để thêm bớt hai vế với một số thích hợp.
Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi

. Dấu

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Điều kiện:

xảy ra khi

Lời giải

.

Có
(Mẫu là

nên

cần cộng thêm

)

Xét
Vì

Suy ra

nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

.

.

Vậy

khi

Ví dụ 2. Cho
Với

thì

(thỏa mãn)
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
luôn xác định.

Có

.

Xét

.

Với x > 25 thì

nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

Suy ra M – 10 ≥ 10 => M ≥ 20.
Vậy MinM = 20 khi

( thỏa mãn điều kiện).

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
Điều kiện: x > 0.

Lời giải

Ta có
Vì

nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

=> P ≥
Vậy MinP =

khi

( thỏa mãn điều kiện).

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
Điều kiện: x > 0.

Lời giải

Có A =
Vì

.
nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

Vậy MaxA = – 5 khi
6.3. Đưa về bình phương

( thỏa mãn điều kiện).




Ví dụ 1. Cho biểu thức

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải

Điều kiện:
Có

Vậy

khi

(thỏa mãn điều kiện).

Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

với

và

Lời giải

Suy ra
Vậy

6.4. Tìm

khi

(thỏa mãn).

để biểu thức

Chú ý: Tính chất

lớn nhất, nhỏ nhất
chỉ đúng với a và b cùng dương hoặc cùng âm.

Ví dụ:
+)

đúng vì

+)
Phương pháp giải

và 3 cùng dương.

sai vì ta chưa biết

*Tìm MaxA: Ta thấy trong hai trường hợp
Mà

và

và -2 có cùng âm hay không.
thì MaxA xảy ra trong trường hợp

nên

Vậy

khi

*Tìm MinA: Ta thấy trong hai trường hợp

và

thì MinA xảy ra trong trường hợp

Mà
nên
Trường hợp này có hữu hạn giá trị nên ta kẻ bảng để chọn minA.

Ví dụ 1. Tìm

để biểu thức

đạt giá trị: a) lớn nhất.
Lời giải

b) nhỏ nhất.

Điều kiện:
a) Ta thấy trong hai trường hợp

và

thì MaxA xảy ra trong trường hợp

Mà

Vậy

khi

b) Ta thấy trong hai trường hợp

(thỏa mãn).
và

thì MaxA xảy ra trong trường hợp

Mà

Vậy

Ví dụ 2. Tìm

khi

để biểu thức

(thỏa mãn).

đạt giá trị: a) lớn nhất
Lời giải

b) nhỏ nhất

Điều kiện:
Có
a) Ta thấy trong hai trường hợp

và

thì MaxP xảy ra trong trường hợp

Mà

Vậy

khi

(thỏa mãn).

b) Ta thấy trong hai trường hợp

và

thì minP xảy ra trong trường hợp

Mà

Vậy

khi

Ví dụ 3. Tìm

(thỏa mãn).

để biểu thức

đạt giá trị: a) lớn nhất
Lời giải

b) nhỏ nhất

Điều kiện:
Có
a) Ta thấy trong hai trường hợp

và

thì MaxM xảy ra trong trường hợp

Mà

Vậy

khi

(thỏa mãn).

b) Ta thấy trong hai trường hợp

Mà
Vậy

khi

(thỏa mãn).

và

thì MinM xảy ra trong trường hợp

DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN
7.1. Tìm
để
Bước 1 Đặt điều kiện, khử x ở trên tử, đưa P về dạng như trên.
Bước 2 Xét hai trường hợp
Trường hợp 1: Xét

nhưng

là số vô tỷ
P là số vô tỷ
P
Trường hợp 2: Xét x
Ví dụ 1: Tìm x

là số vô tỷ
(loại)
và

thì P

khi

để biểu thức

Ư (b)

nhận giá trị là một số nguyên.
Lời giải:

Điều kiện :
Có
Trường hợp 1: Xét x

nhưng

là số vô tỷ

là số vô tỷ

là số vô tỷ
là số vô tỷ
Trường hợp 2: Xét x

là số vô tỷ
(loại)
và

Ư (7)=

thì
mà

khi
nên ta được:

(thỏa mãn)
Vậy
Chú ý:

là giá trị cần tìm.



P nguyên âm khi
Bước 1: Giải
giống như ví dụ 1.
Bước 2: Kẻ bảng để chọn P>0 hoặc giải P>0 rồi kết hợp



P là số tự nhiên khi
Bước 1. Giải
giống như ví dụ 1.
Bước 2: Kẻ bảng để chọn
hoặc giải

Ví dụ 2: Tìm x

để biểu thức

rồi kết hợp

nhận giá trị nguyên âm
Lời giải:

.



M nguyên âm khi
:

Trường hợp 1: Xét x

nhưng

là số vô tỷ

là số vô tỷ

là số vô tỷ
là số vô tỷ

là số vô tỷ
(loại)

Trường hợp 2: Xét x
=>

khi

x


và

1

-1

2

4

2

16

4

Ư (6)=

-2

3

-3

6

-6

5

1

6

0

9

-3

25

1

36

0

81

(thỏa mãn điều kiện)
M <0:
Cách 1: (Kẻ bảng để thử trực tiếp các giá trị)
x
0
1
4
M
-1
-2
-7
Từ bảng trên ta được
Cách 2: (Giải M<0)

16
7

25
4

36
3

81
2

thì M có giá trị là số nguyên âm

Kết hợp với
ta được
Vậy

Ví dụ 3: Tìm x

là các giá trị cần tìm.

để biểu thức

Điều kiện

nhận giá trị là một số tự nhiên.
Lời giải:

;

Có



nhận giá trị là một số tự nhiên khi
:

Trường hợp 1: Xét x
là số vô tỷ
là số vô tỷ

nhưng
là số vô tỷ
là số vô tỷ

là số vô tỷ

(loại)

Trường hợp 2: Xét x
=>

khi

x

và

1

-1

2

3

1

9

1

Ư (4)=

-2

4

-4

4

0

6

-2

16

0

36

(thỏa mãn điều kiện)



P 0:
Cách 1: (Kẻ bảng để thử trực tiếp các giá trị)
x
0
1
P
0
-2
Từ bảng trên ta được
Cách 2 (Giải P 0 )

là các giá trị cần tìm

Chú ý: Dạng tìm x
,

để P =

thì khi giải ta vẫn phải xét trường hợp

và trường hợp x

Ví dụ 4: Tìm x

và

.

để biểu thức

Lời giải:

;

Có
Trường hợp 1: Xét x =2 => F=0
Trường hợp 2: Xét

;x

là số vô tỷ

=> x =2 (thỏa mãn)
và

là số vô tỷ

Mà x-2 là số nguyên khác 0 nên
là số vô tỷ
(loại)
Trường hợp 3: Xét x
Vì

36
3

ta được

Vậy

Điều kiện :

16
4

thì M có giá trị là một số tự nhiên

Kết hợp với

x

9
6

nên
1

là số vô tỷ

và
khi
-1

7

-7

Ư (7)=

x

4

2

10

16

4

100

-4

(thỏa mãn điều kiện)
Vậy là các giá trị cần tìm

7.2. Tìm
để
Bước 1 Đặt điều kiện và chặn hai đầu của

:

Như vậy ta chặn hai đầu của

.

Bước 2 Chọn
Ví dụ 1. Tìm

là

. Từ đó suy ra .
để các biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên :

Lời giải
Điều kiện :
a)Vì

nên

Mặt khác,
Do đó

nên

khi

(thỏa mãn điều kiện)
Vậy

là giá trị cần tìm.

b)Vì

nên

Mặt khác
Do

nên

khin

(TMĐK)

Vậy

là các giá trị cần tìm.

Chú ý: Với bài toán

để

Bước 1: Lập luận: Vì

nên

khi

Bước 2: Giải theo cách chặn 2 đầu của
Ví dụ 2: Tìm

như ví dụ 1.

để các biểu thức sau có giá trị là số nguyên.

a)

b)

Lời giải

Điều kiện:
a) Có
Vì

nên

Vì

khi
nên

Mặt khác
Do đó:

khi

(TMĐK)
Vậy

là các giá trị cần tìm.

b) Có
Vì

. Vì

nên

khi

nên

Mặt khác ta có
Do đó,

khi

(TMĐK)

Vậy

là các giá trị cần tìm.

DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH
Bước 1: Đặt điều kiện để
xác định

CÓ NGHIỆM

Bước 2: Từ
rút
theo m.
Bước 3: Dựa vào điều kiện của để giải m.

Ví dụ 1: Cho biểu thức
Điều kiện:

Tìm

để phương trình
Lời giải

có nghiệm.

.

Có
* Xét

(loại)

*Xét
Do

nên phương trình đã cho có nghiệm khi

. Vậy
Ví dụ 2. Cho hai biểu thức

và

là giá trị cần tìm.
. Tìm
Lời giải

Điều kiện :
Có
*Xét

(loại)

*Xét
Do

+Giải

nên phương trình đã cho có nghiệm khi

để phương trình

có nghiệm.

+ Giải
Như vậy
Vậy

mà
là giá trị cần tìm.

nên

HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ
Bài 1. Rút gọn biểu thức
Bài 2. Rút gọn biểu thức
Bài 3. Rút gọn biểu thức

Bài 4. Rút gọn biểu thức
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức

khi:

a) x = 36

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Bài 6. Cho biểu thức:

. Tìm x để

Bài 7. Cho biểu thức

. Tìm x để

Bài 8. Cho biểu thức

và

. Tìm x để

Bài 9. Cho hai biểu thức

và

Bài 10. Cho biểu thức

. Tìm x để

Bài 11. Cho biểu thức
Bài 12. Cho biểu thức
Bài 13. Cho hai biểu thức
Bài 14. Cho biểu thức

.

.

. Tìm x để

.Tìm x để

.

.

. Tìm x để
và
. Tìm x để

. Tìm x để

.
.

Bài 15. Cho biểu thức

. Tìm

để A < 1

Bài 16. Cho biểu thức

Tìm x để

Bài 17. Cho biểu thức

. Tìm x để

Bài 18. Cho hai biểu thức

và

Bài 19. Cho biểu thức

. Tìm a để

Bài 20. Cho biểu thức

. Tìm x để

Bài 21. Cho biểu thức

. Tìm

Bài 22. Cho biểu thức
Bài 23. Cho hai biểu thức

. Tìm x để

.

.
và x lớn nhất để

. Chứng minh
và

Bài 24. Cho hai biểu thức

. Khi A > 0, hãy so sánh B với 3.
. Chứng minh

Bài 25. Cho hai biểu thức

và

. So sánh giá trị của biểu thức

Bài 26. Cho biểu thức

. So sánh P và P2.

Bài 27. Cho biểu thức

. Khi

xác định, hãy so sánh

Bài 28. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

và 3

và P

. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.
Bài 29. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.
Bài 30. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.
.

Bài 31. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Bài 33. Cho x > 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 36. Cho biểu thức

.

.

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 37. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = B – A
với

và

Bài 38. Tìm

để biểu thức

a) lớn nhất

Bài 39. Tìm

a)

.
đạt giá trị
b) nhỏ nhất

để biểu thức

a) lớn nhất

Bài 40. Tìm

.

đạt giá trị
b) nhỏ nhất

để biểu thức

đạt giá trị

lớn nhất

b) nhỏ nhất

Bài 41. Tìm

để biểu thức

nhận giá trị nguyên.

Bài 42. Tìm

để biểu thức

nhận giá trị nguyên âm.

Bài 43. Tìm

để biểu thức

Bài 44. Tìm

đề biểu thức

Bài 45. Tìm

để các biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên:

a.

nhận giá trị là một số tự nhiên.
.

b.

Bài 46. Tìm

để các biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên:

a.

b.

Bài 47. Cho biểu thức
Bài 48. Cho hai biểu thức
Tìm

để phương trình

. Tìm

để phương trình
và

có nghiệm.

Tài liệu được chia sẻ bởi Website VnTeach.Com
https://www.vnteach.com

có nghiệm.