CHỦ ĐỀ 4 – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VI-ET
I. ĐỊNH LÍ VIÉT........................................................................................................................................................................2
DẠNG 1 CÁC NGHIỆM THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG........................................................................................2
DẠNG 2: KẾT HỢP ĐỊNH LÝ VIÉT ĐỂ GIẢI CÁC NGHIỆM.....................................................................................................4
DẠNG 3: GIẢI CÁC NGHIỆM DỰA VÀO LÀ BÌNH PHƯƠNG.................................................................................................7
DẠNG 4: TÍNH THEO VÀ THEO DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH..............................................................................................10
II. HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT..............................................................................................................................................12
DẠNG 1: DẠNG TOÁN CÓ THÊM ĐIỀU KIỆN PHỤ.............................................................................................................12
DẠNG 2. SO SÁNH NGHIỆM VỚI SỐ 0 VÀ SỐ...................................................................................................................16
DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ......................................................................................................................................................18
III. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL.....................................................................................................20
DẠNG 1: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC PARABOL, TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM.............................................20
DẠNG 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI
XỨNG ĐỐI VỚI VÀ...........................................................................................................................................................21
DẠNG 3: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC
KHÔNG ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI XA VÀ XB...............................................................................................................................25
DẠNG 4: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARAPOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B LIÊN QUAN ĐẾN TUNG ĐỘ A,
B...................................................................................................................................................................................... 31
DẠNG 5: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH.................................................................................................34
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ....................................................................................................................39
I. ĐỊNH LÍ VIÉT..................................................................................................................................................................39
II. HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ VIET...........................................................................................................................................40
III. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL.................................................................................................40

I. ĐỊNH LÍ VIÉT
DẠNG 1 CÁC NGHIỆM THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG
Bài toán thường gặp Tìm m để phương trình

có hai nghiệm (phân biệt)

thỏa mãn một biểu thức đối xứng đối với
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt)
•

có hai nghiệm

•

có hai nghiệm phân biệt

Bước 2. Biến đổi biểu thức đối xứng đối với

về tổng

Bước 3. Sử dụng định lý Viet, ta có

,

và tích
và thay vào biểu thức chứa tổng

và tích

ở trên. Giải ra , đối chiếu điều kiện ở bước 1.
Một số phép biến đổi thường gặp

Hoặc

•

thì tính

rồi xét tích

Hoặc
thì tính

rồi xét tích

thì xét
thì xét

Chú ý :
Ví dụ 1. Cho phương trình
thỏa mãn

. Tìm
.

Lời giải

Có
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Có

khi
(*).

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viét, ta có

,

Thay vào (*) ta được
(loại),
là giá trị cần tìm.

Vậy

(thỏa mãn).

Ví dụ 2. Cho phương trình

. Tìm

sao cho biểu thức

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải

Có
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
Có

.

Theo định lý Viét, ta có
Thay vào
ta được

,

khi
Vậy

.

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3. Cho phương trình

. Tìm

sao cho biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải

Có
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
Có

.

Theo định lý Viét, ta có
Thay vào

,
ta được

khi

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4. Cho phương trình

. Tìm

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

.

thỏa mãn

Lời giải

Có

do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viét, ta có

,

Xét
Do đó
Vậy

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 5. Cho phương trình
mãn

. Tìm

.

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải

Có
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo định lý Viét, ta có

khi
,

Xét

Nên
(thảo mãn).
Vậy

là giá trị cần tìm.

DẠNG 2: KẾT HỢP ĐỊNH LÝ VIÉT ĐỂ GIẢI CÁC NGHIỆM
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt)
.

có hai nghiệm

.

có hai nghiệm phân biệt

Bước 2: Sử dụng định lý Vi ét, ta có
Bước 3: Giải hệ

,

và biểu thức đã cho để tìm

.

(*)
theo

.

thỏa

Bước 4:Thay

vừa tìm được vào

để giải

Ví dụ 1. Cho phương trình
biệt thỏa mãn

.

. Tìm

.

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

phân

Lời giải

Có
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo định lý Viét, ta có

,

Giải hệ
Thay
Vậy

,
vào
là giá trị cần tìm.

, ta được

Ví dụ 2. Cho phương trình

. Tìm

phân biệt thỏa mãn

.

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải

Có
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Theo định lý Viét, ta có

khi

,

Giải hệ
Thay

vào

, ta được
(thỏa mãn).

Vậy

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3. Cho phương trình
biệt thỏa mãn

. Tìm

.

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải

Có
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Theo định lý Viét, ta có

,

khi

phân

Giải hệ


Với

thay vào

(thỏa mãn)



Với

thay vào

Vậy

là giá trị cần tìm.

(thỏa mãn)

Ví dụ 4. Cho phương trình

. Tìm

mãn

để phương trình có hai nghiệm

phân biệt thỏa

Lời giải
Có
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lý Viét, ta có:
Trường hợp 1: Xét
Kết hợp

thì
được

Thay vào

(thỏa mãn
được

Trường hợp 2: Xét
Kết hợp

thì
được

Trường hợp 3: Xét
Kết hợp

(không thỏa mãn

được
được
là giá trị cần tìm.

(không thỏa mãn

)

(không thỏa mãn

)

thì

Ví dụ 5. Cho phương trình
nguyên.

. Tìm

để phương trình có hai nghiệm

Lời giải

Có
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
Cách 1: (Theo định lý Viét)
Theo định lý Viét, ta có:
Từ
Thay vào
Vậy
Cách 2: (Sử dụng
Từ

)

thì

Trường hợp 4: Xét
Kết hợp
Vậy

)

là giá trị cần tìm.
phải là số chính phương)

là các số

Do đó để

thì trước hết

Mà

và

phải là số chính phương
tổng

chẵn

chẵn nên
*

và

tích

phải cùng chẵn, do đó:

thử lại thỏa mãn

*

thử lại thỏa mãn

Vậy

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 6. Cho phương trình
tố.

. Tìm

để phương trình có hai nghiệm

là các số nguyên

Lời giải

Có
Phương trình có hai nghiệm phân biệt

khi

.

Theo định lý Viét, ta có:
Từ

và

là các số nguyên tố, suy ra:

Thay vào
Vậy

(thỏa mãn)
là giá trị cần tìm.

DẠNG 3: GIẢI CÁC NGHIỆM DỰA VÀO

LÀ BÌNH PHƯƠNG

Khi tính hoặc
mà ra bình phương của một biểu thức thì ta giải theo cách tìm cả hai nghiệm
Giải theo cách này cần chú ý phải xét hai trường hợp

đó ra.

Trường hợp 1: Xét
Trường hợp 2: Xét
Ví dụ 1. Cho phương trình
thỏa mãn

. Tìm
Lời giải

Có
Phương trình có hai nghiệm phân biệt

khi

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vì

nên hai nghiệm của phương trình là

Trường hợp 1: Xét

thay vào

ta được

thay vào

ta được

(thỏa mãn)
Trường hợp 2: Xét
(thỏa mãn)
Vậy

là giá trị cần tìm.

Chú ý: Bài này ta có thể giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải
Ví dụ 2. Cho phương trình
mãn

. Tìm

.

như trong dạng 2.

để phương trình có hai nghiệm

phân biệt thỏa

Lời giải

Có
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Vì

khi

nên hai nghiệm của phương trình là

Trường hợp 1: Xét

thay vào
(loại),

Trường hợp 2: Xét

(thỏa mãn)
thay vào

(loại),
Vậy

ta được

ta được

(thỏa mãn)

là giá trị cần tìm.

Chú ý: Bài này ta có thể giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải
Ví dụ 3. Cho phương trình
thỏa mãn

.

. Tìm

như trong dạng 2.

để phương trình có hai nghiệm

Lời giải

Có
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Phương trình có hai nghiệm là

khi
.

phân biệt

Trường hợp 1: Xét

thay vào

ta được

thay vào

ta được

(thỏa mãn).
Trường hợp 2: Xét

(thỏa mãn).

Chú ý
 Ta có thể lập luận: “ Từ
sử

ta thấy

có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả

”

 Ta có thể giải bài này theo cách xét

rồi sử dụng định lý Viét.

Ví dụ 4. Cho phương trình
thỏa mãn

. Tìm

.

để cho phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải

Có
.
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
Điều kiện:

.

.

Trường hợp 1: Xét

thay vào

ta được

(thỏa mãn).
Trường hợp 2: Xét

thay vào

ta được

(thỏa mãn).
Vậy

là giá trị cần tìm.

DẠNG 4: TÍNH

THEO

VÀ

THEO

DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt)
+

có hai nghiệm

.
.

+

có hai nghiêm phân biệt

.

Bước 2: Sử dụng

là hai nghiệm của phương trình

nên

.
Ví dụ 1. Cho phương trình

. Chứng minh với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

và giá trị của biểu thức

Lời giải

Có

.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm
Theo định lý Viét, ta có
Do

không phụ thuộc vào m.

phân biệt với mọi m.
.

là hai nghiệm của phương trình

nên

Thay vào H, ta được

=

Không phụ thuộc vào m (đpcm).
Ví dụ 2. Cho phương trình

. Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

thỏa mãn
Có

.
.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Do

Lời giải

là hai nghiệm của phương trình

khi

.
nên

Thay vào

, ta được
.

Theo định lý Viet, ta có

nên ta được
(thỏa mãn).

Vậy

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3. Cho phương trình
cho

. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
đạt giá trị nhỏ nhất.

Có

Lời giải
.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi
Do

là nghiệm của phương trình

nên
.

Thay vào P, ta được
Theo định lý Viet, ta có

nên ta được

.
.
Vậy

khi

(thỏa mãn).

sao

II. HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT
Cho phương trình

có hai nghiệm

Định lý Viet:
Hệ quả 1. Nếu

.

.
là nghiệm của phương trình thì
hay

Ngược lại, nếu
Hệ quả 2. Nếu

.

thì
là một nghiệm, nghiệm còn lại là
là một nghiệm của phương trình thì
hay

.

Ngược lại, nếu
thì
là một nghiệm,nghiệm còn lại là
.
Hệ quả 3. Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, đồng thời hai nghiệm luôn trái dấu
nhau.
Hệ quả 4. Điều kiện để

(cả hai nghiệm đều dương) là

Hệ quả 5. Điều kiện để

(cả hainghiệm đều âm) là

Hệ quả 6. Điều kiện để

(cả hai nghiệm trái dấu ) là

hay a và c trái dấu.

DẠNG 1: DẠNG TOÁN CÓ THÊM ĐIỀU KIỆN PHỤ
Nếu bình phương hai vế ta cần thêm điều kiện phụ là hai vế lớn hơn hoặc bằng .
Nếu có
Nếu

ta cần thêm diều kiện phụ là
là độ dài hai cạnh đa giác ta cần thêm diều kiện phụ là:

Ví dụ 1. Cho phương trình
mãn

.

. Tìm

đề phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải.

Có
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm
Theo định lý Viét, ta có

.
phân biệt với mọi
.

.

thỏa

Để tồn tại

ta cần có

Có

.

Điều kiện để có bình phương hai vế của

là

.

Khi đó
Kết hợp các điều kiện ta được
Chú ý: bài này ta càn lưu ý điều kiện

. Vậy
là giá trị cần tìm.
trong quá trình giải.

Ví dụ 2. Cho phương trình
mà biểu thức

. Tìm
đạt giá trị nhỏ nhất.

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải

Có
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm

phân biệt với mọi

.

Theo định lý Viét, ta có
Để tồn tại

ta cần có

Xét
Thay

vào

ta được

. Vậy
Ví dụ 3. Cho phương trình

khi
. Tìm

.
Có

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải.
.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

.

Theo định lý Viét ta có
Điệu kiện để bình phương hai vế của

(thỏa mãn).

là

sao cho

Khi đó

thay vào

ta được

(thỏa mãn),
Với
Vậy

thay vào
là gái trị cần tìm.

(loại).
ta được

Chú ý: Bài này ta cần lưu ý điều kiện

(thỏa mãn).
trong quá trình giải.

Ví dụ 4. Cho phương trình
. Tìm
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
là độ dài của hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng .
Lời giải
Có
Phương trình có hai nghiệm

phân biệt khi

.

Theo định ký Viét, ta có
Do

.

là độ dài hai cạnh của một tam giác nên

Do độ dài cạnh huyền bằng
Thay

nên
vào

ta được

(loại),
Vậy
là giá trị cần tìm.
Chú ý: Bài này ta cần lưu ý đến điều kiện
Ví dụ 5. Cho phương trình
độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân.

(thỏa mãn).
trong quá trình giải.
. Tìm

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải

Có
Phương trình có hai nghiệm

phân biệt khi

Theo định ký Viét, ta có
Do
Vì

là độ dài hai cạnh của một tam giác nên
nên hai nghiệm của phương trình là

.
.

là

Do

nên

cạnh huyền,

không thể cùng là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông cân. Giả sử
là độ dài cạnh góc vuông thì theo định lý Pytago ta có

Trường hợp 1. Xét

, thay vào

là độ dài

.

ta được

(thỏa mãn).
Trường hợp 2. Xét

thay vào

ta được

(thỏa mãn)
Vậy
Chú ý: ta có thể nhận xét

là giá trị cần tìm.
để được hai nghiệm của phương trình

là

.

DẠNG 2. SO SÁNH NGHIỆM VỚI SỐ 0 VÀ SỐ α
Cho phương trình

có hai nghiệm

Ví dụ 1. Cho phương trình
thỏa mãn

. Tìm

.

.

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải

Có
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm
Trường hợp 1: Xét riêng
Thay

phân biệt với mọi

.

, thay vào phương trình đã cho ta được

vào phương trình đã cho ta được
(loại)

Trường hợp 2: Xét
Vậy

và

trái dấu

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2. Cho phương trình
thỏa mãn

. Tìm

.

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải

Có
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm
Trường hợp 1: Xét riêng
Thay

phân biệt với mọi

.

, thay vào phương trình đã cho ta được

vào phương trình đã cho ta được

Trường hợp 2: xét

và

trái dấu

(loại).
. Vậy

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3. Cho phương trình

. Tìm

mãn

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải

Ta có

.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Cách 1: (sử dụng định lí viét)

khi

Theo định lý viét ta có:

Kết hợp với

.

ta được

Cách 2: ( Giải
Do

là giá trị cần tìm.

dựa vào

)

nên hai nghiệm của phương trình đã cho là

Do đó

.

Kết hợp với

ta được

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4. Cho phương trình

Tìm

.

để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn

Lời giải

Ta có
Do phương trình đã cho luôn có hai nghiệm
Theo định lý viét, ta có

Thay

ta được

là giá trị cần tìm.

phân biệt với mọi
.

Có

Vậy:

thoả

.

DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ
Bước 1: Đặt

( và các điều kiện khác nếu có)

Bước 2: Đưa về phương trình quy về bậc hai theo ẩn :
.
Bước 3: Lập luận số nghiệm của phương trình đã cho bằng số nghiệm thoả mãn, với
của

( và các điều kiện

nếu có) của phương trình

Ví dụ 1. Tìm

để phương trình sau có nghiệm

Điều kiện:

Lời giải

. Ta có

Đặt

kết hợp điều kiện ta được

.

Phương trình trở thành

Phương trình

có nghiệm

Xét
mãn

có
.

Để

ta phải có

phương trình
nên

có nghiệm thoả mãn điều kiện

luôn có hai nghiệm phân biệt trai dấu do đó

. Vậy:

Ví dụ 2. Cho phương trình

. Tìm

để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải

Ta có:
do

nên điều kiện

Phương trình trở thành
có hai nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt

Ta có
Do phương trình

luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viét ta có

luôn có nghiệm thoả

là giá trị cần tìm.

Điều kiện:

Đặt

.

.

Vậy

là giá trị cần tìm.

III. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL
DẠNG 1: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC PARABOL, TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM
Giả sử đường thẳng là

và parabol là

Bước 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của

và

Bước 2 Lập luận: tiếp xúc với
Phương trình (*) có nghiệm kép
(hoặc
) thì tìm được tham số.
Bước 3 Thay giá trị tham số tìm được vào phương trình
thì tìm được và kết luận.
Ví dụ 1. Cho parabol
và đường thẳng
Khi đó hãy tìm tọa độ tiếp điểm.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của

ta tìm được

thay
Tìm

vừa tìm vào
để

hoặc

tiếp xúc với

Lời giải

và
(*)

Có
Để
Thay
Vậy

tiếp xúc với

Phương trình (*) có nghiệm kép

vào (*) ta được
thì

tiếp xúc với

Ví dụ 2. Cho parabol

và

của

thuộc cung

để

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của

Vậy tọa độ các giao điểm của
*

.

và đường thẳng

a) Tìm tọa độ các giao điểm
cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ điểm
Lời giải

và tọa độ tiếp điểm là

và

là

và

trong đó
lớn nhất.
và

:

là điểm có hoành độ âm. Vẽ

và

trên

−

3
2

*

b) Có

cố định nên độ dài đoạn thẳng

đến đường thẳng

lớn nhất, khi đó

không đổi, do đó

là tiếp điểm của đường thẳng

lớn nhất khi khoảng cách từ
và

tiếp xúc

Gọi phương trình đường thẳng

{

ad 1=ad

Do

nên

{

⇔ a=2
b≠3
b d ¿ bd
1

Suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm của

và

(*) có
tiếp xúc với
có nghiệm kép
Thay
vào (*) ta được

Vậy

(thỏa mãn).

là điểm cần tìm.

DẠNG 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT
THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI
Giả sử đường thẳng

và parabol là

VÀ

Bước 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của

và

(*)
Bước 2 Tìm điều kiện để
⇔ Phương trình

cắt

tại hai điểm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt

(hoặc

Bước 3 Biến đổi biểu thức đối xứng với
nghiệm của phương trình (*).
Một số điều kiện và phép biến đổi cần nhớ
Hai điểm

và

nằm bên phải trục



Hai điểm

và

nằm bên trái trục



Hai điểm

và

nằm cùng một phía trục



Hải điểm

và

nằm về hai phía trục



Công thức tính

Cách 1 Tính theo

và tính

rồi sử dụng định lý Viét với

khi

là hai

cùng dương.

khi

cùng âm.
khi
khi

cùng dấu.
trái dấu.

theo

vì

Cách 2 Tính theo

).

về



theo

và

nên

vì

nên

Giả sử


Gặp



Gặp



Gặp

thì xét
thì xét

{

b
− ≥0
x 1 + x 2 ≥0
a
⇔
c
x 1 x2 ≥0
≥0
a

{

√ x1 , √ x 2 thì cần thêm điều kiện phụ



Gặp




Gặp
là độ dài hai cạnh tam giác ta cần thêm điều kiện phụ
Nếu bình phương hai vế ta cần thêm điều kiện phụ là hai vế lớn hơn hoặc bằng 0.

Ví dụ 1. Cho parabol
phân biệt có hoành độ

và đường thẳng
sao cho biểu thức

Phương trình hoành độ giao điểm của

Có

và

Tìm
đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải

là

để

cắt

tại hai điểm

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm

phân biệt với mọi m.

Theo định lý Viét, ta có:
Có
Thay

vào A ta được:

Vậy

khi

Ví dụ 2. Cho Parabol

và đường thẳng d đi qua

hệ số góc k.

a) Viết phương trình d theo k
b) Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt thuộc hai phía Oy.
c) Gọi hoành độ A và B lần lượt là

và

d) Giả sử

.

Tìm m để

Chứng minh:
Lời giải

a) Gọi phương trình d là:
Do d đi qua
nên
Vì d có hệ số góc k nên
Vậy phương trình d là:
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và
Có

nên

Do đó d luôn cắt

luôn có hai nghiệm phân biệt

tại hai điể A, B phân biệt

Theo định lý Viét, ta có
Vì
trái dấu
Vậy A, B thuộc hai phía Oy.
c) Xét
Thay

vào

ta được
đpcm

d) Cách 1: (Xét dấu của
Do

và

)

trái dấu nên

Suy ra

nên

Mà
nên ta được
Cách 2: (bình phương):
Có
và
Mà
Vậy

cùng dấu

hay
nên
là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3. Cho Parabol
có hoành độ

và

Tìm m để

và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt

thỏa mãn
Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của d và

là:

Có
d cắt

tại hai điểm phân biệt

Phương trình

có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viét, ta có
Xét

Do đó
(thỏa mãn)
Vậy

là giá trị cần tìm.

Chú ý: Ta có thể giải theo cách chỉ ra hai nghiệm của
dựa vào nhận xét
Ví dụ 4. Cho
độ

và

là

dựa vào

Tìm m để d cắt

là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng
Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của d và

là:

là bình phương hoặc

tại hai điểm phân biệt có hoành

Có
d cắt

tại hai điểm phân biệt

phương trình

có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viét, ta có:
Do

là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật nên

Do

và hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng

Thay

vào
(loại),

Vậy
Chú ý

nên theo định lý Pytago ta có:

ta được
(thỏa mãn)

là giá trị cần tìm.

 Bài này ta cần lưu ý điều kiện

trong quá trình giải

 Ta có thể giải theo cách chỉ ra hai nghiệm của

là

dựa vào

là bình phương hoặc

dựa vào nhận xét
DẠNG 3: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B
THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI XA VÀ XB
Cách 1 Kết hợp điều kiện của bài toán với
vào
Cách 2 Nếu tính
hợp:

hoặc

để giải

theo tham số rồi thay

vừa giải được

mà ra một biểu thức bình phương thì ta tìm hai nghiệm đó và phải xét hai trường

Trường hợp 1: Xét
Trường hợp 2: Xét
Ví dụ 1. Cho Parabol
phân biệt có hoành độ

và đường thẳng

Tìm m để d cắt

thỏa mãn
Lời giải

tại hai điểm

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và
Có
D cắt

tại hai điểm phân biệt

Cách 1 (Giải

phương trình

có hai nghiệm phân biệt

dựa vào định lý Viét)

Theo định lý Viét ta có:
Giải hệ:
Thay

vào

ta được

( thỏa mãn)
Cách 2: (Giải x1, x2 dựa vào  là bình phương)
Do

nên hai nghiệm của phương trình (*) là

Trường hợp 1: Xét x1 =-1, x2 = m+1, thay vào 2x1 - 3x2 =5 ta được
mãn)

(thỏa

Trường hợp 2: Xét x1 = m+1, x2 = -1, thay vào 2x1 - 3x2 =5 ta được
mãn)

(thỏa

Vậy
là giá trị cần tìm.
Chú ý: Ta có thể nhận xét a - b +c =0 để được hai nghiệm của phương trình (*) là x =-1, x =m+1.
Ví dụ 2: Chp parabol (P): y =x2 và đường tròn d: y =2(m+1) + 3. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ x1, x2 thỏa mãn

.

Xét phương trình hoành độ của d và (P):
x2 = 2(m+1)x + 3  x2 -2 (m+1)x -3 =0 (*)
Có
x2, do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Theo định lý Viét, ta có

Lời giải

nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1,

Do

nên x1, x2 trái dấu.

Cách 1 (Giải hệ

và

)

Trường hợp 1: Xét

nên

Giải hệ
Thay

vào x1x2 =-3 ta được

Trường hợp 2: Xét

nên

Giải hệ
Thay

vào x1x2 =-3 ta được

Cách 2: (Giải hệ

và x1x2 =-3):

Trường hợp 1: Xét

nên
, thay vào x1x2 =-3 ta được

( thỏa mãn)
Thay vào x1 +x2 =2m +2 được
Trường hợp 2: Xét

nên

, thay vào x1x2 =-3 ta được

( thỏa mãn)

Thay vào

được

Vậy
là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho parabol (P): y =x2 và đường thẳng d: y = -4x +m2 - 4. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ x1, x2 thỏa mãn

.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

Lời giải

(*)
Có
d cắt (P) tại hai điểm phân biệt  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viét, ta có
Cách 1: (Giải dựa vào định lí Viét)
Thay

vào

ta được

Thay x1 =-4, x2 =0 vào x1x2 =-m2 +4 -m2 +4 =0 m=  2 (thỏa mãn)
Cách 2 (Giải x1, x2 dựa vào
là bình phương)
Do

nên hai nghiệm của phương trình (*) là x= -2  m.

Trường hợp 1: Xét

thay vào

ta được

thay vào

ta được

( thỏa mãn).
Trường hợp 2: Xét

( thỏa mãn).
Vậy
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: Cho parabol (P): y=x2 và đường thẳng d: y = (2m-1)x -m2 +m. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân
biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn

.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

Lời giải

Có
Do đó (*) luôn có hai nghiệm phân biệt nên d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Có

nên hai nghiệm của (*) là

Để tồn tại

ta cần có

.

Khi đó
Trường hợp 1: Xét x1 = m, x2 =m -1 thay vào x1 =2x2 ta được
m= 2(m-1)  m =2 (thỏa mãn)
Trường hợp 2: Xét x1 = m-1, x2 =m thay vào x1 =2x2 ta được
m -1 = 2m  m = -1 (loại )
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Chú ý: Bài này ta cần lưu ý điều kiện m ≥ 1 trong quá trình giải.

VD5. Cho parabol (P):

và đường thẳng

Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân

biệt có hoành độ
là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân.
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

Do

là độ dài hai cạnh của một tam giác nên

Vì

nên hai nghiệm của phương trình (*) là
không thể cùng là độ dài hai cạnh góc vuông của

tam giác vuông cân. Giả sử
Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

là độ dài cạnh huyền,

là độ dài cạnh góc vuông thì theo định lí Pytago ta có

Chú ý: Ta có thể nhận xét

để được hai nghiệm của phương trình (*) là

DẠNG 4: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARAPOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B
LIÊN QUAN ĐẾN TUNG ĐỘ A, B.
Dạng này ta cần tính

theo

và tính

theo

theo một trong hai cách:

Cách 1: Tính theo
Cách 2: Tính theo
Ví dụ 1: Cho paraboara

và đường thẳng

điểm phân biệt

thỏa mãn

Xét phương trình hoành độ giao điểm của

cắt

để

cắt

tại hai

Lời giải:
và

tại hai điểm phân biệt

Ví dụ 2. Cho parabol (P):
biệt

. Tìm

và đường thẳng
Sao cho biểu thức

Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

Có
d cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Theo định lí Vi-et ta có

. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân
đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 3: Cho parabol
biệt

và đường thẳng
thỏa mãn

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
Có
cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Do
nên hai nghiệm của (*) là

Tìm

để

cắt

tại hai điểm phân

Lời giải:

,do đó Phương trình (*) luôn có hai nghiệm

phân biệt nên d luôn

Trường hợp 1:
.
Ví dụ 4: Cho parabol
biệt

và đường thẳng
mà

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

Tìm

Lời giải:

(*)
Có
d cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Theo định lí vi-et ta có:
Do đó :

:

Giải hệ

,

, thay vào

ta được

để

cắt

tại hai điểm phân

(thỏa mãn).
Vậy

là giá trị cần tìm.

DẠNG 5: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH
Ghi nhớ một số công thức về khoảng cách
- Khoảng cách từ gốc tọa độ đến một điểm
+) Nếu

thì

.

+) Nếu

thì

.

+) Nếu
bất kì thì
.
- Khoảng cách giữa hai điểm trên cùng một trục Ox hoặc Oy
+) Nếu
+) Nếu

(hoặc
(hoặc

) thì

.

) thì

.

- Khoảng cách giữa hai điểm
(Công thức này cần chứng minh khi sử dụng)

bất kỳ

.

Ví dụ 1: Cho Parabol
và đường thẳng
.
a) Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai phía Oy.
b) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Tính độ dài MN theo

và tìm

.
c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục tung. Tính độ dài đoạn HK theo
d) Tính độ dài đoạn AB theo

và chứng minh

e) Tính diện tích

và tìm

theo

f) Chứng minh với mọi

,

.

để

(đvdt).

không thể vuông tại O.
Lời giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của

và

:

(*)
Có
Do đó

nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.
luôn cắt

tại hai điểm phân biệt

Theo định lý Viét, ta có
Vì

Vậy

tại hai điểm

.

.

,
trái dấu nên

Vậy luôn cắt
b) Có

,

,

,

.
thuộc hai phía

thuộc hai phía

.

.

.

để

Do

,

lần lượt vuông tại

,

nên

;

.

Do đó
(loại),
Vậy

thì

(thỏa mãn).
.

c) Có
.
Vậy
d) Có

.

.
e) Gọi
Gọi

là giao điểm của
,

và

lần lượt là hình chiếu vuông góc của
,

.

.
,

trên trục tung nên

Vậy

.

Có

(điều kiện

(loại),
Vậy

(thỏa mãn).

thì

(đvdt).

Chú ý Câu này ta cần lưu ý đến điều kiện
f) Ta có

)

,

trong quá trình giải.

.
.

Xét

Do đó

nên

Bài 2: Cho Parabol

không thể vuông tại

(đpcm).

và đường thẳng

.

a) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d và (P) với

và vẽ d, (P).

b) Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB của (P) sao cho diện tích
c) Tìm tọa độ điểm
d) Cho điểm

để

(đvdt).

. Tìm tọa độ điểm

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của

Vậy

,

.

lớn nhất.

sao cho độ dài
Lời giải
và

:

ngắn nhất.

*

*

b) Có A(1; 1) , B(-3; 9) cố định nên độ dài đoạn AB không đổi, do đó SABC lớn nhất khi khoàng cách từ C đến
đường thẳng d lớn nhất, khi đó C là tiếp điểm của đường thẳng d1//d2 và d1 tiếp xúc với (P).
Gọi phương trình của d1: y = ax + b
Do d1//d2 nên ta có:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d1 và (P): x2 = – 2x + b  x2 + 2x – b = 0 (*)
d1 tiếp xúc với (P)  (*) có nghiệm kép  ∆' = 1 + b = 0  b = – 1 (thỏa mãn)
Khi đó xc là nghiệm kép của (*): xc = – 1  yc = (– 1)2 = 1
Vậy C(1; –1) là điểm cần tìm
c) Gọi N là giao điểm của d và Oy  N(0; 3)
Do M  Oy  xM = 0  M(0; yM), yM ≠ 3 (do M ≠ N)  MN = yM – yN  = yM – 3 
Kẻ AH  Oy tại H, BK  Oy tại K thì: AH = xA  = 1  = 1, BK = xB  = –3  = 3
Vì A và B thuộc hai phía của Oy nên:
(đvdt)

Do đó SAMB = 4  yM – 3 = 2  yM – 3 = ± 2  yM = 5, yM = 1 (thỏa mãn)
Vậy M(0; 1) hoặc M(0; 5)
d)
Có :

Vậy
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ
I. ĐỊNH LÍ VIÉT
Bài 1. Cho phương trình x2 – 2(m + 3)x + m2 +3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
mãn: (2x1 - 1)( 2x2 - 1) = 9
Bài 2. Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 2 (m – 1) = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa
mãn sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất.
2
Bài 3. Cho phương trình x – 2(m + 1)x + 4m – m2 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2
sao cho biểu thức A = x1 – x2  đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4. Cho phương trình x2 + mx – 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn: x1 +
x2 = 4.
Bài 5. Cho phương trình x2 – mx + 2m – 4 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn
x1 + x2 = 3.
Bài 6. Cho phương trình: x2 – 4x – m2 – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn
x2 = 5x1
Bài 7. Cho phương trình: x2 – 2(k – 1)x – 4k = 0. Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa
mãn 3x1 – x2 = 2
Bài 8. Cho phương trình: x2 – 6x + m + 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa mãn
Bài 9. Cho phương trình x2 – 3x – m2 + 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
x1 + 2x2 = 3.
Bài 10. Cho phương trình: x2 – (m – 3)x – 5 = 0. Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 là các số
nguyên
Bài 11. Cho phương trình: x2 – 20x + m + 5 = 0. Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 là các số
nguyên tố.
Bài 12. Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa
mãn x1 = – 3x2
Bài 13. Cho phương trình: x2 + 4x + 4a – a2 = 0. Tìm a để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 phân biệt thỏa
mãn
Bài 14. Cho phương trình x2 – (2m + 5)x – 2m – 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2
thỏa mãn x1 + x2 = 7.
Bài 15. Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – 4 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 thỏa
mãn

Bài 16. Cho phương trình x2 – mx – 8 = 0. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân
biệt x1, x2 và giá trị của biểu thức
khôn...