CHỦ ĐỀ 8 – PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG........................................................................................................................2
DẠNG 1: GHÉP THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH..........................................................................................................................2
DẠNG 2: NHÂN LIÊN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH............................................................................................................................3
DẠNG 3: DỰ ĐOÁN NGHIỆM ĐỂ TỪ ĐÓ TÁCH THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH..........................................................................6
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ..........................................................................................................................................12
DẠNG 1 : BIẾN ĐỔI VỀ MỘT BIỂU THỨC VÀ ĐẶT MỘT ẨN PHỤ.....................................................................................12
DẠNG 2. BIẾN ĐỔI VỀ HAI BIỂU THỨC VÀ ĐẶT HAI ẨN PHỤ RỒI ĐƯA VỀ TÍCH................................................................14
DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ KẾT HỢP VỚI ẨN BAN ĐẦU ĐƯA VỀ TÍCH.....................................................................................17
DẠNG 2: ĐÁNH GIÁ VẾ NÀY MỘT SỐ, VẾ KIA SỐ ĐÓ BẰNG BĐT CỐI, BUNHIA................................................................19
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ....................................................................................................................23
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG..................................................................................................................23
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ.......................................................................................................................................23
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ..........................................................................................................................................24

I.

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

DẠNG 1: GHÉP THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH
Ví dụ 1. Giải phương trình:
Điều kiện:

Lời giải

.

Phương trình

( thỏa mãn điều kiện).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:
Ví dụ 2. Giải phương trình:

Điều kiện:

.
.

Lời giải

.

Phương trình

(Thỏa mãn điều kiện).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:
Ví dụ 3. Giải phương trình:
Điều kiện:
.
Khi đó phương trình đã cho trở thành

.
Lời giải

.

So với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 4. Giải phương trình
Điều kiện:
Khi đó, ta có

.
.

Lời giải.

.

So với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là

.

DẠNG 2: NHÂN LIÊN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH



khi biểu thức xác định.
khi biểu thức xác định.

Ví dụ 1. Giải phương trình

.

Lời giải.
Điều kiện:
Khi đó

So với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là
Ví dụ 2. Giải phương trình

Ta có

Vậy tập nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3. Giải phương trình

Ta có
Khi đó

.
.

Lời giải.
. Khi đó

.
Lời giải.
nên điều kiện là

.

Trường hợp 1.
Trường hợp 2.

(thỏa).

Vì

nên trường hợp 2 vô nghiệm.

Vậy phương trình có tập nghiệm là
Ví dụ 4. Giải phương trình

.
.

Lời giải.

Điều kiện:
.
Với điều kiện trên phương trình trở thành

So với điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là
Ví dụ 5. Giải phương trình

Lời giải.

.
.

Ta có
nên điều kiện là
Với điều kiện trên, phương trình trở thành

So với điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là
Ví dụ 6. Giải phương trình

.

.
Lời giải.

Điều kiện:
.
Khi đó, phương trình trở thành

( thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
DẠNG 3: DỰ ĐOÁN NGHIỆM ĐỂ TỪ ĐÓ TÁCH THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH
 Nếu nhẩm được một nghiệm x = α của phương trình thì ta tách được phương
trình đó về dạng tích (x – α).f(x) = 0.

 Nếu nhẩm được một nghiệm x = –α của phương trình thì ta tách được phương
trình đó về dạng tích (x +α).f(x) = 0.
 Trong trường hợp f(x) = 0 mà phức tạp thì ta thường chứng minh f(x) = 0 vô
nghiệm hoặc chứng minh f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.
Bước 1: Nhẩm các số nguyên thỏa mãn điều kiện xem số nào thỏa mãn phương trình, ta thường nhẩm các số
mà thay vào các căn đều khai căn được.
Bước 2: Lập bảng để chọn số cần chèn vào phần căn.
Bước 3: Kết hợp công thức

để đưa về tích.

Ví dụ 1: Giải phương trình

.

Phân tích bài toán: Phương trình này ta nhẩm được một nghiệm x = 5 nên ta sẽ tách được nhân tử x – 5
x=5
Từ bảng này, ta suy ra
Trình bày lời giải:

4
sẽ đi với số 4, còn

1
sẽ đi với số 1.

Điều kiện :
Phương trình

Trường hợp 1: Xét x – 5 = 0

x = 5 ( thỏa mãn điều kiện)

Trường hợp 2: Xét

=0 loại vì
>0∀

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 2: Giải phương trình
Phân tích bài toán: Phương trình này ta nhẩm được một nghiệm x = 2 nên ta sẽ tách được nhân tử x – 2

x=2
Từ bảng này, ta suy ra
Trình bày lời giải:

1
sẽ đi với số 1, còn

2
sẽ đi với số 2.

Điều kiện :
Phương trình

Trường hợp 1: Xét x – 2 = 0

x = 2 ( thỏa mãn điều kiện)

Trường hợp 2: Xét

Do

nên

Với
thì
Do đó phương trình (*) vô nghiệm

nên

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 3: Giải phương trình
Phân tích bài toán: Phương trình này ta nhẩm được một nghiệm x = 1 nên ta sẽ tách được nhân tử x – 1

x=1
Từ bảng này, ta suy ra
Trình bày lời giải:

1
sẽ đi với số 1, còn

2
sẽ đi với số 2.

Điều kiện :
Phương trình

Trường hợp 1: Xét x – 1 = 0

x = 1 ( thỏa mãn điều kiện)

Trường hợp 2: Xét

Nếu x < 6 thì
Mà 4.x – 20 < 4.6 – 20 = 4 nên phương trình (*) vô nghiệm.
Nếu x >6 thì
Mà 4.x – 20 > 4.6 – 20 = 4 nên phương trình (*) vô nghiệm.
Nếu x = 6 thỏa mãn (*) và thỏa mãn điều kiện
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 4: Giải phương trình
Phân tích bài toán: Phương trình này ta nhẩm được một nghiệm x = 2 nên ta sẽ tách được nhân tử x – 2

x=2
Từ bảng này, ta suy ra

2
sẽ đi với số 2.

Trình bày lời giải:
Điều kiện :
Phương trình

Trường hợp 1: Xét x – 2 = 0

x = 2 ( thỏa mãn điều kiện)

Trường hợp 2: Xét
Do

nên

Mà

nên phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 5: Giải phương trình

.

Phân tích bài toán: Phương trình này ta nhẩm được một nghiệm
3
Từ bảng này ta suy ra
Trình bày lời giải:

sẽ đi với số

.

Phương trình

Trường hợp 1: Xét
Trường hợp 2:

( thỏa mãn điều kiện ).

nên ta sẽ tách được nhân tử

Xét
Do

nên

Mà

hay
nên phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

Ví dụ 6: Giải phương trình

vô nghiệm.
.

.

Phân tích bài toán: Phương trình này ta nhẩm được một nghiệm

2
Từ bảng này , ta suy ra
Do

sẽ đi với số

nên điều kiện là :

.

.

Phương trình

( thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

.

nên ta sẽ tách được nhân tử

.

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
DẠNG 1 : BIẾN ĐỔI VỀ MỘT BIỂU THỨC VÀ ĐẶT MỘT ẨN PHỤ
Ví dụ 1: Giải phương trình
Điều kiện :

.

Lời giải

.

Phương trình

Đặt

, ta được
( loại ),

( thỏa mãn ).

( thỏa mãn )
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

.

Ví dụ 2: Giải phương trình
Điều kiện :

.

.

Phương trình

Đặt
( thỏa mãn ),

, ta được
(loại).

( thỏa mãn ).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

.

Ví dụ 3: Giải phương trình

.

Điều kiện :

.

Phương trình

Đặt

ta được

(loại),

( thỏa mãn ).

( thỏa mãn ).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 4: Giải phương trình

.
.

Lời giải

Điều kiện
Phương trình
.
Đặt

, ta được
(loại),

(thỏa mãn)
(thỏa mãn điều kiện).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 5: Giải phương trình
Nếu

thì phương trình đã cho vô nghiệm.

.

Lời giải

.

Xét

, chia hai vế cho

ta được
.

Đặt
ta được

(thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
DẠNG 2. BIẾN ĐỔI VỀ HAI BIỂU THỨC VÀ ĐẶT HAI ẨN PHỤ RỒI ĐƯA VỀ TÍCH

Ví dụ 1. Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện:
Phương trình

Đặt

, ta được

(thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 2. Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện:
Phương trình

Đặt

, ta được

(thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

Ví dụ 3. Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện:
Phương trình
Đặt

ta được

(loại),

(thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 4. Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện:
Phương trình

Đặt

, ta được

(thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

Ví dụ 5. Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện:
Phương trình

Đặt

ta được

(thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

Ví dụ 6. Giải phương trình
Vì

Lời giải

nên phương trình xác định

Phương trình

Đặt

ta được

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ KẾT HỢP VỚI ẨN BAN ĐẦU ĐƯA VỀ TÍCH
Ví dụ 1. Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện:
Phương trình
Đặt

ta được

(thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 2: Giải phương trình
Điều kiện

Lời giải

.

Phương trình tương đương với
Vậy nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3: Giải phương trình

Điều kiện
Phương trình

.

Lời giải
.

Vậy nghiệm phương trình đã cho là

.

Ví dụ 4: Giải phương trình
Điều kiện

Lời giải

.

Phương trình

Vây nghiệm của phương trình là

.

Ví dụ 5: Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện
Phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là

.

Ví dụ 6: Giải phương trình

Điều kiện

Lời giải

.

Phương trình

.
Vậy nghiệm của phương trình là

.

DẠNG 2: ĐÁNH GIÁ VẾ NÀY

MỘT SỐ, VẾ KIA

SỐ ĐÓ BẰNG BĐT CỐI, BUNHIA

Ví dụ 1: Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện

.

Có
Ta sẽ đánh giá
Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi)

Xét
Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)
Xét
Như vậy

,

nên phương trình xảy ra dấu bằng

.
Vậy nghiệm của phương trình là
Ví dụ 2: Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện
Ta có
Ta sẽ đánh giá
Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi)

Xét
Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)
Xét
Như vậy

,

.

nên phương trình xảy ra dấu bằng

Vậy nghiệm của phương trình là

.

Ví dụ 3: Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện
Ta có

Ta sẽ đánh giá
Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi)
Xét
Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)
Xét
.
Như vậy

,

nên phương trình chỉ xảy ra khi
(thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

.

Ví dụ 4. Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện:
Cách 1 (Đánh giá 2 vế)

.

Có
Suy ra

.
.

Do đó
Nên
.
Như vậy nên phương trình xảy ra khi

Cách 2 (Đưa về bình phương)

( thỏa mãn).

Có

Do

nên phương trình chỉ xảy ra khi
(thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

Ví dụ 5. Giải phương trình

.

.
Lời giải

Điều kiện
Cách 1 (Sử dụng bất đẳng thức Côsi)

Có

Do đó phương trình xảy ra khi
Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)

(thỏa mãn).

Có

Nên
Mà

nên dấu “=” xảy ra khi

(thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 6. Giải phương trình

.
.
Lời giải

Điều kiện

.

Cách 1 Có

Do đó phương trình xảy ra khi
(thỏa mãn).
Cách 2 Đặt
Ta được

.

Có

.

Dấu “=” xảy ra khi
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

(thỏa mãn).
.

HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Giải các phương trình sau
Bài 1.

.

Bài 2.

.

Bài 3.

.-

Bài 4.

.

Bài 5.

.

Bài 6.

.

Bài 7.

.

Bài 8.

.

Bài 9.
Bài 10.

.
.

Bài 12.
Bài 13.
Bài 14.
Bài 15.
Bài 16.
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ.
Giải các phương trình sau.
Bài 1.
Bài 2.
Bài 3.
Bài 4.
Bài 5.

Bài 6.

.

Bài 7.
Bài 8.
Bài 9.
Bài 10.
Bài 11.
Bài 12.

.

Bài 13.
Bài 14.
Bài 15.
Bài 16.

với

Bài 17.
Bài 18.
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Giải các phương trình sau:
Bài 1.
Bài 2.
Bài 3.
Bài 4.
Bài 5.
Bài 6.
Bài 7.
Bài 8.
Bài 9.
Bài 10.
Bài 11.
Bài 12.
Tài liệu được chia sẻ bởi Website VnTeach.Com
https://www.vnteach.com