CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 11: NGUYÊN HÀM
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức:
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Nhận biết được khái niệm nguyên hàm của một hàm số.

-

Tìm được nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp.

-

Vận dụng được khái niệm nguyên hàm vào giải quyết một số bài toán từ thực
tiễn.

2. Năng lực
- Năng lực chung:
 Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá
 Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
 Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.
- Năng lực riêng:
 Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích, lập luận trong quá trình hình
thành khái niệm nguyên hàm, tính chất và tìm nguyên hàm của một số hàm.
 Mô hình hóa toán học: Mô tả được các dữ liệu, sử dụng nguyên hàm giải quyết
một số bài toán thực tiễn.
 Giải quyết vấn đề toán học: Tìm nguyên hàm của một số hàm thường gặp, giải
quyết bài toán thực tế liên quan đến nguyên hàm.
 Giao tiếp toán học.
 Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.
- Năng lực số:
 5.3.NC1a: Sử dụng phần mềm toán học (GeoGebra, Desmos) để vẽ đồ thị, trực
quan hóa họ các nguyên hàm (sự tịnh tiến của đồ thị).

1

 1.1.NC1b: Sử dụng các công cụ tính toán trực tuyến (WolframAlpha,
Symbolab, Photomath) để kiểm tra, đối chiếu kết quả tính nguyên hàm thủ
công.
 2.1.NC1a: Tương tác tích cực trên các nền tảng học tập trực tuyến
(Quizizz/Kahoot) để ôn tập công thức.
3. Phẩm chất
 Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.
 Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
theo sự hướng dẫn của GV.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với GV:
-

SGK, Tài liệu giảng dạy, KHBD.

-

Đồ dùng dạy học.

-

Hệ thống bài tập trắc nghiệm trên Quizizz/Azota.

-

Video AI được tạo bằng các công cụ AI để khởi động bài học.

2. Đối với HS:
-

SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp.

-

Đồ dùng học tập (bút, thước...).

-

Bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.

-

Điện thoại thông minh (Smartphone) có kết nối Internet (để tham gia hoạt động
tương tác).

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
TIẾT 1: NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ
1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.

2

c) Sản phẩm: HS trả lời được câu hỏi mở đầu.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu xem video AI được thiết kế để phục vụ bài dạy.
- GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi xuất hiện trong video đó.
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu: Một máy bay di chuyển ra đến đường băng
và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi
v (t)=5+3 t (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà.

Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di
chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?

Ta cần tìm quãng đường S(t) mà máy bay di chuyển được sau t giây kể từ lúc bắt đầu
chạy đà. Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm, ta biết rằng S '(t )=v( t). Như vậy, ta cần tìm
một hàm số có đạo hàm bằng hàm số v (t) đã cho. Bài toán này dẫn đến một khái niệm
quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm nguyên hàm.
- GV yêu cầu HS: Mở phần mềm GeoGebra, vẽ đồ thị hàm vận tốc v (t)=5+3 t . Yêu
cầu HS dự đoán hình dạng của đồ thị quãng đường s(t).
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu cầu.

3

- HS quan sát màn hình GeoGebra.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS
vào bài học mới: Chương này chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu khái niệm, tính chất cơ bản
của nguyên hàm và tích phân cũng như ứng dụng để tính diện tích hình phẳng, tính
thể tích vật thể. Bài học hôm nay chúng ta cùng đi tìm hiểu về nguyên hàm – Bài 11:
Nguyên hàm.
[1.2.NC1b: HS thực hiện phân tích, diễn giải và đánh giá được dữ liệu, thông tin số
được xác định rõ ràng để đưa ra nhận định đúng.
5.3.NC1a: Sử dụng phần mềm mô phỏng (GeoGebra) để trực quan hóa mối quan hệ
giữa hàm số và đạo hàm của nó.]
2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Nguyên hàm của một hàm số
a) Mục tiêu: Nhận biết được khái niệm nguyên hàm của một hàm số.
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện các hoạt động HĐ 1, 2, Luyện tập 1, 2, ví dụ 1, 2.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS nhận biết được nguyên hàm của một số hàm số.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

NLS

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

1. Nguyên hàm của một hàm số

1.1.NC1.a:

- GV yêu cầu HS hoàn thành HĐ 1.

HĐ 1:

Thao tác nhập

- GV giới thiệu về đẳng thức
F (x )=f ( x) .
'

a) Ta có
'

F ' ( x )=

(

)

'
dữ liệu và lệnh
1 3
x + x =x 2+1 .
3
2

b) Ta có F (x )=f ( x)=x +1.
Khi đó F ( x) được gọi là một nguyên
hàm của hàm số f (x).
- Từ đó giới thiệu khái niệm nguyên

Kết luận

tính toán trên

ứng dụng toán
học

chuyên

dụng.

4

hàm của một hàm số.

Cho hàm số f ( x) xác định trên một 5.3.NC1.a: Sử

Nhấn mạnh: F ' ( x )=f ( x ) với mọi x khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc dụng công cụ
thuộc K .

một nửa khoảng). Hàm số F (x) số

- GV đặt câu hỏi:

được gọi là một nguyên hàm của diện tính chất

Nếu

K=[a ;b]

để

nhận

thì hàm số f (x) trên K nếu F ' ( x )=f (x) hình học (sự

F ' ( a )=f ( a ) , F ' (b)=f (b) được hiểu như với mọi x thuộc K .

tịnh tiến) của

thế nào?

họ

Chú ý:

nguyên

Ta có chú ý. Nhấn mạnh: sự khác Trường hợp K=[a ;b] thì các đẳng hàm.
biệt giữa đẳng thức F ' ( x )=f ( x) với thức

'

và

F (a)=f (a)

'

F (b)=f (b)

mọi x thuộc K là một khoảng, nửa được hiểu là đạo hàm bên phải tại
khoảng, một đoạn.

điểm x=a và đạo hàm bên trái tại

- GV hướng dẫn Ví dụ 1: Lưu ý HS điểm x=b của hàm số F (x), tức là
lim

thực hiện lần lượt tính đạo hàm của

F ( x ) −F ( a )
x→ a
=f ( a ) ¿
x−a

¿

+¿

các hàm số đã cho.

  v à 

+ Yêu cầu HS đối chiếu định nghĩa

lim

x →b

−¿

F (x)−F (b)
= f (b )¿
x−b

¿

nguyên hàm để kết luận và giải thích
được cho kết luận đưa ra.

Ví dụ 1 (SGK -tr.5)

- HS thực hiện Luyện tập 1, tương Luyện tập 1
tự. Tính đạo hàm F ' ( x ) , G ' (x ).
Nhận biết nguyên hàm của f ( x ) .

Ta

có

'

(

G ( x)=

(

)

'
1 2
1
F (x )= x + ln ⁡x =x+ ,
2
x
'

2

)

'

x
1
−ln ⁡x =x− .
2
x

Vậy F (x) là một nguyên hàm của
f (x) trên khoảng ( 0 ;+ ∞ ) .

Hàm số G(x ) không là nguyên hàm
của f ( x) trên khoảng (0 ;+ ∞).
HĐ 2:

5

- HS thực hiện HĐ 2.
- Từ đó GV cho HS thấy tập hợp các

( )

4 '

x
=x 3=f (x) nên hàm
a) Vì F ( x )=
4
'

4

nguyên hàm của hàm số f (x) đã cho số F ( x)= x là một nguyên hàm của
có dạng F (x)+C , với C là hằng số và
F (x) là một nguyên hàm nào đó của
f ( x).

4

hàm số f ( x)=x3 trên R .

(

b) Vì G' ( x)=

4

)

'

x
+C =x 3=f ( x) nên
4
4

x
hàm số G(x )= +C (với C là hằng
4

số) có là một nguyên hàm của hàm
số f ( x) trên R .
- GV giới thiệu khái niệm họ nguyên Kết luận
Giả sử hàm số F (x) là một nguyên
hàm, kí hiệu.
Làm rõ: kí hiệu nguyên hàm ∫ f (x)d x hàm của f (x) trên K . Khi đó:
phải có dx thể hiện tìm nguyên hàm a) Với mỗi hằng số C , hàm số
theo biến x .

F (x)+C cũng là một nguyên hàm

của

f (x)

trên

K;

b) Nếu hàm số G(x ) là một nguyên
hàm của f (x) trên K thì tồn tại một
hằng số C sao cho G(x )=F( x)+C
với mọi x ∈ K .
Như vậy, nếu F (x) là một nguyên
hàm của f (x) trên K thì mọi nguyên
hàm của f (x) trên K đều có dạng
F (x)+C ( C là hằng số). Ta gọi
F (x)+C (C ∈ R) là họ các nguyên

- GV chú ý cho HS. Nhấn mạnh:

hàm của f ( x) trên K , kí hiệu bới

+ Cách tìm họ nguyên hàm.

∫ f (x)d x .

+ Sự tồn tại của nguyên hàm trên

6

một khoảng.

Chú ý:
a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi
tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số
f (x) trên K , ta chỉ cần tìm một

nguyên hàm F ( x) của f (x) trên K
và khi đó

∫ f ( x ) d x=F( x)+C , C  l à h ằ ng s ố .  
b) Người ta chứng minh được rằng,
nếu hàm số f (x) liên tục trên
khoảng K thì f (x) có nguyên hàm
trên khoảng đó.
c) Biểu thức f ( x)dx gọi là vi phân
của nguyên hàm F ( x), kí hiệu là
d F(x ).

Vậy

d F(x )=F ( x) d x=f ( x )d x .
'

d) Khi tìm nguyên hàm của một
hàm số mà không chỉ rõ tập K , ta
hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số
đó trên tập xác định của nó.
- HS quan sát Ví dụ 2: Khi tìm được
một nguyên hàm của f (x) thì làm thế
nào để tìm được họ nguyên hàm của
nó?
- HS làm tương tự với Luyện tập 2.
- GV nêu nhiệm vụ: Trên điện
thoại/máy tính bảng, mở ứng dụng
GeoGebra Graphing Calculator.

Ví dụ 2 (SGK -tr.6)
Luyện tập 2

7

+ Nhập hàm f(x) = cos x.
+ Nhập lệnh: Integral(cos(x)) hoặc
NguyênHàm(cos(x)) (tùy ngôn ngữ).

Vì

( )

4 '

4

x
x
=x 3 nên F (x)=
là một
4
4

nguyên hàm của hàm số f (x)=x3

+ Quan sát đồ thị kết quả và nhận trên

R.
4

xét về mối quan hệ giữa đồ thị này Do đó, ∫ x 3 dx= x +C .
và đồ thị hàm sin x.

4

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp
nhận kiến thức, hoàn thành các yêu
cầu, thảo luận nhóm.
- HS thao tác trên app.
- Nhận thấy đồ thị kết quả trùng khít
hoặc song song (dịch chuyển dọc)
với đồ thị sin x.
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày.
- HS phát biểu: Nguyên hàm của cos
x là sin x + C. Các đồ thị của nguyên
hàm là các đường cong song song
theo trục tung.
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng
tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ

8

vào vở.

9

TIẾT 2: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM
Hoạt động 2: Tính chất cơ bản của nguyên hàm
a) Mục tiêu:
-

Nhận biết được tính chất cơ bản của nguyên hàm của một hàm số.

-

Tìm được nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp.

b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú
ý nghe giảng, thực hiện các hoạt động HĐ 3, luyện tập 3, 4, ví dụ 3, 4, 5; vận dụng.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm để tìm được nguyên hàm của một
số hàm số.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, HĐ 3
hoàn thành HĐ 3:

a) Ta có: F ' (x)=f ( x ).

Áp dụng khái niệm họ nguyên hàm để

(kF (x )) '=k ( F (x))' =kf ( x).

biểu diễn ∫ k f ( x ) dx và

Vậy kF (x ) là một nguyên hàm của hàm số

k ∫ f ( x ) dx , từ đó so sánh.

kf ( x) trên K .

b) Ta có ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C

( F ( x ) +C )' =f ( x)
'

⇒ k ( F ( x )+ C ) =kf (x)

hay [k( F ( x ) +C ) ¿ ¿ ' =kf ( x )
⇒ ∫ kf (x )dx=k ( F (x)+C )=k ∫ f (x) dx .

- HS phát biểu tính chất. GV làm rõ phép Vậy ∫ kf ( x) dx=k ∫ f ( x ) dx.
nhân hằng số k với họ nguyên hàm.
Kết luận
- HS quan sát Ví dụ 3: sử dụng kết quả ví

∫ kf ( x ) dx=k ∫ f ( x ) dx (k ≠ 0)

dụ 2 và tính chất vừa học, ta đưa hệ số k Ví dụ 3 (SGK -tr.6)
ra ngoài dấu nguyên hàm.

10

- HS thực hiện Luyện tập 3.
+ a) chứng minh nguyên hàm bằng cách
đạo hàm hàm F (x) . Từ đó tìm họ nguyên
hàm.
+ b) sử dụng tính chất tìm ∫ k x n dx .

Luyện tập 3

( n+ 1 )

'

n +1
x
=x n nên hàm số
a) Vì F ' (x )=

F ( x)=

n+1

x
là một nguyên hàm của hàm số
n+1

f (x).

- HS thực hiện HĐ 4.
Từ kết quả HĐ 4, ta có tính chất của
nguyên hàm.

x
Ta có ∫ x n dx=

n+1

n+1

+C .

n+1
x
+ C.
b) Ta có ∫ k x n dx=k ∫ x n dx=k

n+1

HĐ 4:
a) Ta có: F ' ( x )=f (x) ; G' ( x)=g ( x).
¿.

Do đó F ( x)+G( x ) là một nguyên hàm của hàm
số f (x)+ g( x ) trên K .
b)
+) Ta có ∫ [f (x )+ g ( x)]dx=F ( x)+G( x )+C với C
là hằng số bất kì.
+) Có ∫ f (x) dx=F ( x )+C 1 ; ∫ g ( x) dx=G(x )+C2
với C 1 ; C 2 là các hằng số bất kì.
Do

∫ f (x)dx + ∫ g( x) dx=F (x)+C1 +G( x )+C2=F ( x )+G (x)+ ( C 1+C 2

Do đó ∫ f ( x)dx + ∫ g( x)dx=F ( x)+G( x)+C .
(Viết C=C 1+C 2 ¿ .
- HS phát biểu tính chất.

Vậy ∫ [f (x )+ g (x)]dx= ∫ f (x )dx+ ∫ g ( x)dx .
Kết luận

- HS đọc hiểu Ví dụ 4: sử dụng kết quả

∫ [f (x )+ g (x)]dx= ∫ f (x )dx+ ∫ g ( x)dx .

11

của luyện tập 3 và tính chất vừa học, ta ∫ [ f ( x ) −g ( x ) ] dx= ∫ f ( x ) dx− ∫ g (x) dx .
đưa các nguyên hàm cần tính về tổng Ví dụ 4 (SGK-tr.7)
(hiệu) các nguyên hàm.
x
Gợi ý sử dụng ∫ x n dx=

n+1

n+1

+C .

- HS làm Luyện tập 4.

Luyện tập 4
b) Ta có thể viết hàm f ( x) dưới dạng tổng
a) ∫ ( 3 x 2 +1 ) dx=3 ∫ x 2 dx+ ∫ dx=x 3+ x+C .
các đơn thức được không?
b) ∫ ¿.
Ví dụ 5 (SG -tr.7)

- HS quan sát Ví dụ 5: GV hướng dẫn.
+ Bước 1: Viết phương trình chuyển động
(mô hình hoá bài toán).
+ Bước 2: Tìm nguyên hàm từ phương
trình chuyển động để có biểu thức tỉnh
quãng đường khi biết biểu thức vận tốc
(sử dụng ý nghĩa cơ học của đạo hàm).
+ Bước 3: Thay các giá trị tại thời điểm
ban đầu (khi máy bay bắt đầu chạy đà) và
khi cất cánh. Từ đó tính ra quãng đường
chạy đà.

Vận dụng
'
R ( x ) =M R (x ) nên R ( x ) là một nguyên hàm của

MR( x) .

+) Ta có:
1

2
- HS thực hiện Vận dụng, thảo luận nhóm R( x )= ∫ (300−0,1 x )dx=300 x− 20 x +C .

đôi.
Vận dụng ý nghĩa của đạo hàm đã học ở
lớp dưới, thì tốc độ biến đổi của doanh thu
là M R ( x )=R' ( x ).
Vận dụng nguyên hàm, muốn tìm doanh

+) Vì R( 0)=0 nên C=0.
1

2

Do đó R( x )=300 x− 20 x .
+) Doanh thu của công ty khi đã bán 1000 con
chíp là:

12

thu ta tìm nguyên hàm của M R ( x ) .
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận

R ( 1000 )=300.1000−

1
2
⋅1000 =250000 (triệu
20

đồng).

kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn
thành các yêu cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho
bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng
quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu
cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

13

TIẾT 3: NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Hoạt động 3: Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
a) Mục tiêu: Nhận biết cách tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.
b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi,
thực hiện các hoạt động 5, 6, 7, Luyện tập 5, 6, 7, các ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS tính được nguyên hàm của một số hàm sơ cấp.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

- HS nhắc lại về hàm số y=x α , với a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
α ∈ R.

Nhắc lại:

+ Tập xác định với các trường hợp - Hàm số y=x α , với α ∈ R được gọi là hàm số lũy
α nguyên dương, nguyên âm hoặc thừa.

bằng 0, không nguyên.

- Tập xác định của hàm số luỹ thừa y=x n tuỳ thuộc

+ Đạo hàm với trường hợp vào giá trị của α . Cụ thể:
y=x n ( n∈ N ¿ ) và hàm căn thức

 Với a nguyên dương, tập xác định là R;  

y= √ x .

 Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là
R ∖ {0} ;

 Với a không nguyên, tập xác địinh là (0 ;+ ∞).
- Đạo hàm của các hàm số y=x n ( n∈ N ¿ ) và y= √ x
là:
'

( x n ) =n x n−1
¿

- Từ đó có trường hợp tổng quát.
Nhấn mạnh: điều kiện x >0 ứng

Tổng quát:
Hàm số luỹ thừa y=x α (α ∈ R) có đạo hàm với mọi
x >0 và

14

với số mũ α tổng quát.

'

( x α ) =α x α−1
Câu hỏi:

- HS suy nghĩ trả lời câu hỏi: Biến
đổi về dạng x α .

1
4
x

+) y=
y=

1
−4
'
−4 '
−5 −4
=x ⇒ y =( x ) =−4 x = 5
4
x
x

+) y=x √ 2
'

y ' =( x √ 2 ) =√ 2 x √ 2−1
1
√x

+) y= 3

1
y= 3 =x
√x

- HS thực hiện HĐ 5.

'

−1
3

( )

−1 '

⇒y= x3 =

−4

−1 3 −1
−1
x = 4= 3 4
3
3√ x
3 x3

HĐ 5:
a) y ' =

( )

'

α

( α+1)⋅ x
x α +1
=
=x α
α +1
α +1

b)
+¿ Với x >0 thì y=ln ¿ x ∨¿=ln x ¿. Do đó y ' =¿ .

- Từ kết quả HĐ 5, có công thức
tính nguyên hàm hàm số

∫ x α d x , ( α ≠−1 ) và
1

∫ x d x.
Nhấn mạnh: trường hợp α ≠−1 và

+) Với x <0 thì y=ln ⁡∨ x ∨¿ ln ⁡(− x). Do đó
y ' =¿ .

Kết luận
xα+ 1
∫ x d x= α +1 +C (α ≠−1)
α

1

∫ x d x=ln|x|+C

α =−1.

- HS đọc hiểu Ví dụ 6: sử dụng
tính chất cơ bản của nguyên hàm

Ví dụ 6 (SGK -tr.8)

và công thức tìm nguyên hàm với

15

dạng lũy thừa.
- HS thực hiện Luyện tập 5 tương Luyện tập 5
−3

tự: viết các hàm số dưới dạng hàm a) ∫ 14 dx =∫ x−4 dx= x +C= −13 +C
−3
x
3x
số lũy thừa rồi tìm nguyên hàm.
3
+1

3
2

5

x2
2
2 2
∫
x
√
x
dx=
∫
x
dx=
+C= x 2 +C= x √ x+ C
b)
3
5
5
+1
2

c) ∫

(

)

1

3
1
3
−5 √ x dx=3 ∫ dx−5 ∫ x 3 dx
x
x
1

+1

4

x3
−15 3
−15 3
¿ 3 ln ⁡∨ x∨−5 ⋅
+C=3 ln ⁡∨ x∨
x +C=3 ln ⁡∨ x∨
x √ x+C
1
4
4
+1
3

b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác
- HS thực hiện HĐ 6.

HĐ 6:

Từ đó tổng hợp có công thức tính a)
nguyên hàm các hàm lượng giác
cơ bản.

F (x)

sin ⁡x

cos ⁡x

tan ⁡x

cot ⁡x

F ' (x )

cos ⁡x

−sin ⁡x

1
2
cos ⁡x

−1
2
sin ⁡x

f (x)

cos ⁡x

sin ⁡x

b)

∫ f ( x) dx

1
cos2 ⁡x

sin ⁡x +C −cos ⁡x+C tan ⁡x +C

1
sin 2 ⁡x
−cot ⁡x +C

Kết luận

∫ cos x d x=sin x +C
∫ sin xdx=−cos ⁡x +C
1

∫ cos 2 x dx=tan x+C
1

∫ sin2 x dx=−cot x +C
Ví dụ 7 (SGK -tr.9)

16

- HS quan sát Ví dụ 7: sử dụng
tính chất nguyên hàm và công Luyện tập 6
a)
thức vừa học.
- HS làm Luyện tập 6: sử dụng

a) ∫ (3 cos ⁡x−4 sin ⁡x) dx=3 ∫ cos ⁡xdx−4 ∫ sin ⁡xdx

tính chất nguyên hàm và công

¿ 3 sin ⁡x+ 4 cos ⁡x+ C b)

thức vừa học.

∫

( cos1 ⁡x − sin1 ⁡x ) dx= ∫ cos1 ⁡x dx −∫ sin1 ⁡x dx
2

2

2

2

¿ tan ⁡x +cot ⁡x +C

- Nếu còn thời gian, GV có thể
giao thêm bài 4.4 cho HS thực
hiện.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe,
tiếp nhận kiến thức, hoàn thành
các yêu cầu, thảo luận nhóm.
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ
sung cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
GV tổng quát lưu ý lại kiến thức
trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép
đầy đủ vào vở.

17

TIẾT 4: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ
Hoạt động 4: Nguyên hàm của hàm số mũ
a) Mục tiêu:
- HS nhận biết nguyên hàm của hàm số mũ, tính nguyên hàm một số hàm sơ cấp.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú
ý nghe giảng, thực hiện các hoạt động 7, ví dụ 8, luyện tập 7.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS tìm được nguyên hàm của hàm mũ, hàm sơ cấp.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

c) Nguyên hàm của hàm số mũ

- GV yêu cầu HS làm HĐ 7.

HĐ 7:
a)
F ( x)
'

F (x)

e

x

e

x

x

a
(0< a ≠1)
ln ⁡a
a

x

b)

- Từ kết quả HĐ7, ta có nguyên hàm của các
hàm số mũ.

x

f (x)

e

∫ f ( x) dx

e +C

a x (0< a≠ 1)

x

x

a
+C
ln ⁡a

Kết luận

∫ e x dx=e x+ C

∫ ax dx=

- HS quan sát Ví dụ 8, thực hiện Luyện tập
7: sử dụng công thức vừa học và tính chất
của nguyên hàm.

ax
+C ( 0< a ≠1 )
ln a

Ví dụ 8 (SGK -tr.10)
Luyện tập 7
а) ∫ 4 x dx =

4x
+C ;
ln ⁡4

18

b) ∫

1
−x
−x
dx =∫ e dx=−e + C
x
e

(

)

- GV cho HS tổng hợp các công thức tính

1 x
1 x
x
x
c) ∫ 2.3 − 3 ⋅ 7 dx=2 ∫ 3 dx− 3 ∫ 7 dx

nguyên hàm.

¿2⋅

- GV chữa một số bài tập (nếu còn thời
gian).
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

x

x

3
1 7
− ⋅
+ C.
ln ⁡3 3 ln ⁡7

Bảng nguyên hàm của một số hàm số
thường gặp

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận
kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn
thành các yêu cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

- Chữa một số bài tập
(Xem phần Luyện tập)

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng
quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu
HS ghi chép đầy đủ vào vở.

19

TIẾT 4 (TIẾP) + TIẾT 5 : LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG
3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập 4.1 đến 4.5 (SGK tr.11) và các câu hỏi thêm.
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS.
d) Tổ chức thực hiện:
Nhiệm vụ 1: Trả lời câu hỏi trắc nghiệm:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
- GV tổ chức trò chơi trắc nghiệm trên Quizizz.
- GV cung cấp mã QR hoặc đường Links cho HS chơi và làm bài tập:
Phần 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (Khoanh vào chữ cái đặt trước
câu trả lời đúng).
Câu 1. Hàm số y=x 20 là nguyên hàm của hàm số:
A. y=x 19 .
B. y=20 x 21.
C. y=20 x 19 .
21

x
D. y= .
21

Câu 2. ∫

1
dx bằng
si n (−x)
2

A. tan x +C .
B. cot x +C .
C.−tan x +C .
D.−cot x +C .
3

Câu 3. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )=e x + 2 x thỏa mãn F ( 0 )= 2 . Tìm
F(x)

20

3

x
2
A. F ( x )=e + x + 2 .

1

x
2
B. F ( x )=2 e + x − 2 .

5

x
2
C. F ( x )=e + x + 2 .

1

x
2
D. F ( x )=e + x + 2 .

1

Câu 4. Nếu ∫ f ( x ) d x= x +ln ⁡x +C thì f (x) là:
A. f ( x )= √ x +ln ⁡x +c .
B. f ( x)=−√ x + 1x + c ⋅
C. f ( x)=

−1
+ln ⁡x +C .
x2

D. f ( x)=

x−1
2 .
x

x
Câu 5. ∫ 17 dxbằng

A. 17 x ln 17
x

17
B.
ln 17

C. 17 x ln17+ C
D.

x

17
+ C.
ln 17

Phần 2: Câu trắc nghiệm đúng sai (Đúng ghi Đ, sai ghi S)
Câu 1: Cho hàm số f (x)=

7

x +8
.
x

8

6
a) f ( x)=x + x .

8

6
b) ∫ f (x) d x=∫ x d x− ∫ x d x .

8

6
c) ∫ f (x) d x=∫ x d x + ∫ x d x .

21

x7
d) ∫ f (x) d x= +8 ln ⁡∨ x∨¿.
7

Câu 2: Cho hàm số f ( x )=4 x 3−3 x 2
a) ∫ f (x) d x=∫ 4 x 3 d x− ∫ 3 x 2 d x .
b) f ' ( x )=12 x2 −6 x
c) f ' ( x )=x 4 −x3 .
d) ∫ f ( x ) d x=x 4 + x 3+ C .
Câu 3: Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuần, sau đó bắt đầu tăng trưởng.
Gọi P(t) là số lượng vi khuần của quần thể đó tại thời điểm t , trong đó t tính theo
ngày (0 ≤ t ≤ 10). Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuần đó cho bởi hàm số
'
P (t)=k √ t , trong đó k là hằng số. Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã

tăng lên thành 600 vi khuẩn.
a) P(t) là một nguyên hàm của hàm số f (t)=k √ t .
2k

b) P(t)= 3

√t 3 +C với 0 ≤ t ≤10 và k , C là hằng số.

c) P(t)=100 √t 3 +500 với 0 ≤ t ≤10 .
d) Số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là 3352 con.
Câu 4: Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số
ngày công. Gọi m(t) là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ t (kể từ khi khởi
công dự án). Gọi M (t) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ t (kể từ khi khởi
công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng M ' (t)=m(t) .
Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân
được sử dụng cho bởi hàm số m(t)=800−2 t , trong đó t tính theo ngày ¿), m(t) tính
theo người.
Đơn giá cho một ngày công lao động là 400 000 đồng.
a) M (t) là một nguyên hàm của hàm số m(t)=800−2 t .
b) M (t)=800 t−t2 +C với 0 ≤ 1≤ 400 và C là một hãng số.
c) Số ngày công được tính đến hết ngày thứ 400 là 160 000.

22

d) Chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành) là 640 000
000 đồng.
Phần 3: Trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn
bằng hàm số B' (t)=20−300 t ²+1000 t , trong đó t tính bằng giờ (0 ≤ 1≤ 15), B' (t) tính
bằng khách/giờ. Sau một giờ, đã có 500 người có mặt tại lễ hội.
Hỏi sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?
Câu 2: Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn
bằng hàm số B' (t)=20−300 t ²+1000 t , trong đó t tính bằng giờ (0 ≤ 1≤ 15), B' (t) tính
bằng khách/giờ. Sau một giờ, đã có 500 người có mặt tại lễ hội.
Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?
Câu 3: Gọi F ( x ) +C là họ các nguyên hàm của hàm số f ( x )=

x 2+ 7 x+12
(C là hằng số).
x +3

Tìm F ( x ) .
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS sử dụng điện thoại truy cập, nhập tên và làm bài trong 10 phút.
- Hệ thống tự động chấm điểm.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải thích, các HS chú ý lắng nghe sửa lỗi sai.
- GV chiếu bảng xếp hạng.
- Chữa các câu HS sai nhiều dựa trên báo cáo thống kê của Quizizz.
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét
bài trên bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
Kết quả:
Phần 1:

23

1

2

3

4

5

C

D

D

D

D

Phần 2:
Câu

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

a)

Đ

Đ

Đ

Đ

b)

S

Đ

Đ

Đ

c)

Đ

S

Đ

Đ

d)

S

S

S

S

P