BAØI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN


B. BÀI TẬP
Bài 1:
1. Tính :
a./ (- 4xy)(2xy2 – 3x2y) b./ (- 5x)(3x3 + 7x2 – x)
2. Rút gọn:
A = x2(a – b) + b(1 – x) + x(bx + b) – ax(x + 1)
B = x2(11x – 2) + x2(x – 1) – 3x(4x2 - x – 2)
3. Tìm hệ số của x3 và x2 trong đa thức sau:

Bài 2:
1) Tính :
2) Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

3) Tìm x, biết : 2x3(2x – 3) – x2(4x2 – 6x + 2) = 0
4) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y:
M = 3x(x – 5y) + (y – 5x)(- 3y) – 3(x2 – y2) – 1.
5) Cho S = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5.Cm : xS – S = x6 - 1
Bài 3:
1. Tính (3a3 – 4ab + 5c2)(- 5bc).
2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
A = 4a2( 5a – 3b) – 5a2(4a + b),với a = -2,b = -3.
3. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
B = x(x2 + x + 1) – x2( x + 1) – x +5.
4. Tìm x,biết : x(x – 1) – x2 + 2x = 5
5. Tìm m,biết: ( x2 – x + 1)x – ( x + 1)x2 + m = - 2x2 + x + 5.
Bài 4:
1. Rút gọn: 9y3 – y(1 – y + y2) – y2 + y
2. Tìm hệ số của x2 trong đa thức:
3.
4. Tìm m, biết: 2 – x2(x2 + x + 1) = - x4 – x3 – x2 + m.
5. Chứng minh : khi a = 10, b = -5 giá trị biểu thức :
A = a( 2b + 1) – b(2a – 1) bằng 5.
6. Tìm x,biết: 10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) = 25.
Bài 5:
1. Tính : ( -a4x5)(- a6x + 2a3x2 – 11ax5).
2. Tính biểu thức : A = mx( x – y) + y3(x + y) tại x = -1,y = 1
3. Tìm x, biết: 8(x – 2) – 2(3x – 4) = 2.
4. Tìm hệ số của x2 trong đa thức :
Q = 5x( 3x2 – x + 2) – 2x2( x – 2) + 15(x – 1).




A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN



B. BÀI TẬP
Bài 1:
1. Tính : ( 2a – b)(4a2 + 2ab + b2).
2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

3. Tìm x, biết : (3x + 2)(x – 1) – 3(x + 1)(x – 2) = 4
4. Tìm hệ số của x4 trong đa thức: P = ( x3 - 2x2 +x – 1)( 5x3 – x).
Bài 2:
1. Chứng minh: với a = - 3,5 giá trị biểu thức
bằng – 29.
2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

3. Biết (x – 3)(2x2 + ax + b) = 2x3 – 8x2 + 9x – 9 .Tìm a,b.
Bài 3:
1. Tính :
a./ (2 + x)(2 – x)(4 + x2) b./ ( x2 – 2xy + 2y2)(x – y)(x + y)
2. Tìm x,biết : x(x – 4) – ( x2 - 8) = 0
3. Tìm m sao cho: 2x3 – 3x2 + x + m = (x + 2)(2x2 – 7x + 15).
Bài 4:
1. Rút gọn :
A = ( 5x – 1)(x + 3) – ( x – 2)(5x – 4)
B = (3a – 2b)( 9a2 + 6ab + 4b2).
2. Chứng minh biểu thức : n( 2n – 3) – 2n( n + 2)
luôn chia hết cho 7,với mọi số nguyên n.
3. Biết : x4 – 3x +2 = ( x – 1)(x3 + bx2 + ax – 2).
Bài 5:
1. Tìm m,biết : x4 – x3 + 6x – x + m = (x2 – x + 5)(x2 + 1).
2. Rút gọn : ( 2x – 1)(3x + 2)(3 – x).
3. Chứng minh: ( x – y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) = x5 – y5.



A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN













B. BÀI TẬP
Bài 1:
1. Chứng minh : ( a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
2. Rút gọn: ( a +2)2 – ( a + 2)(a – 2)
3. Tìm x,biết : ( 2x + 3)2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49
4. Tìm giá trị biểu thức:


Bài 2:
1. Rút gọn biểu thức :
2. Chứng minh: (7x + 1)2 – (x + 7)2 = 48(x2 – 1)
3. Tìm x,biết : 16x2 - (4x – 5)2 = 15
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 + 2x + 3
Bài 3:
1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào m:

2. Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp là một số lẻ
3. Rút gọn biểu thức : P = (3x +4)2 – 10x – (x – 4)(x +4).
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x2 – 4x +5.
Bài 4:
1. Chứng minh rằng: (x – y)2 – (x + y)2 = - 4xy
2. Chứng minh: (7n – 2)2 – (2n – 7)2 luôn luôn chia hết cho 9,
với mọi n là giá trị nguyên
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x2 + 6x +1.
4. Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2
thì ay – bx = 0
Bài 5:
1. CMR: nếu a + b + c = 2p thì b2 + c2 + 2bc – a2 = 4p(p – a).
2. CMR nếu a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca thì a = b = c.
3. Tìm x,y biết : x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0.
Bài 6:
1. Chứng minh : (a + b)3 – 3ab(a +b) = a3 + b3
2. Tính x3 + y3,biết x + y = 3 và xy = 2
3. Cho a + b = 1.Chứng minh : a3 + b3 = 1 – 3ab.
Bài 7:
1. Chứng minh : (a – b)3 + 3ab(a - b) = a3 + b3
2. Rút gọn: (x – 3)3 – (x + 3)3.
3. Cho a - b = 1.Chứng minh : a3 - b3 = 1 + 3ab.
Bài 8 :
1. Rút gọn :.
2. Tìm x,biết : x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0.
3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

Bài 9 :
1. Rút gọn biểu thức : (x + 5)3 – x3 – 125.
2. Tìm x, biết : (x – 2)3 + 6(x + 1)2 - x3 + 12 = 0
3. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

Bài 10:
1. Tìm x,biết : x3 + 6x2 + 12x +8 = 0
2. Cho a +b +c = 0.Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc.
3. Chứng minh rằng: (a + 2)3 – (a +6)(a2 +12) + 64 = 0,với mọi a.
Bài 11 :
1. Rút gọn biểu thức :
A = (m – n)(m2 + mn + n2) - (m + n)(m2 - mn + n2)
2. Chứng minh: (a – 1)(a – 2)(1 + a + a2)(4 + 2a + a2) = a6 – 9a3 + 8
3. Tìm x, biết : (x +2 )(x2 – 2x + 4) – x(x -3)(x + 3) = 26.
Bài 12 :
1. Tính giá trị biểu thức:
A = x(x – 2)(x + 2) – (x – 3)(x2 + 3x +9),với
2. Tìm x,biết ( 4x + 1)(16x2 – 4x +1) – 16x(4x2 – 5) = 17.
3. Rút gọn : Q = (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 +a +1).
Bài 13:
1. Tính giá trị biểu thức :
Q = (2x – 1)(4x2 + 2x +1) – 4x(2x2 – 3),với x =
2. Tìm x, biết : (x – 3)(x2 + 3x +9) – (3x – 17) = x3 – 12.
3. Cho x + y = 1 và xy = -1.Tính x3 + y3.
Bài 14 :
1. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x.

2. Tìm x,biết: 5x – (4 – 2x + x2)(x + 2) + x(x – 1)(x + 1) = 0.
3. Cho x + y = 1.Tính giá trị biểu thức:Q = 2(x3 + y3) – 3(x2 + y2).
Bài 15 :
1. Rút gọn biểu thức : A = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)
2. Tìm x, biết: (4x2 + 2x + 1)(2x – 1) – 4x(2x2 – 3) = 23.
3. Cho a – b = 1 và ab = 6.Tính a3 – b3.
Bài 16: Ruùt goïn:
a)
b)
c)
d)
Bài 17: CM caùc bieåu thöùc sau khoâng phuï thuoäc vaøo bieán x, y:
a)
b)
c)
d)
Bài 18: Tìm x:
a)
b)
c)
d)
Bài 19:Chöùng minh bieåu thöùc luoân döông:
a) A=
b)
c)
d)
Bài 20: Tìm Min hoaëc Max cuûa caùc bieåu thöùc sau:
a)
b)
Bài 21:Thu goïn:
a) . . . . .
b) . . . . .
ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
(Thùc hiÖn trong 6 tiÕt)

A. ThÕ nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ?
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ biÕn ®æi ®a thøc ®ã thµnh mét tÝch cña nh÷ng ®¬n thøc vµ ®a thøc kh¸c.
Bµi to¸n 1.
Trong c¸c c¸ch biÕn ®æi ®a thøc sau ®©y, c¸ch nµo lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ?T¹i sao nh÷ng c¸ch biÕn ®æi cßn l¹i kh«ng ph¶i lµ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ?
2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5) - 3 (1)
2x2 + 5x – 3 = x(2x + 5 -) (2)
2x2 + 5x – 3 = 2(x2 + x - ) (3)
2x2 + 5x – 3 = (2x - 1)(x - 3) (4)
2x2 + 5x – 3 = 2(x - )(x + 3) (5)
B. Nh÷ng ph­¬ng ph¸p nµo th­êng dïng ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö?
- Ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung.
- Ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc.
- Ph­¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö.
Mét sè ph­¬ng ph¸p kh¸c nh­ :
- Ph­¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö.
- Ph­¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö.
- Ph­¬ng ph¸p gi¶m dÇn luü thõa cña sè h¹ng cã bËc cao nhÊt.
- Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô(®æi biÕn).
- Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh.
- Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng.
- Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
Ph­¬ng ph¸p 1: §Æt nh©n tö chung
• Néi dung c¬ b¶n cña ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung lµ g× ? Ph­¬ng ph¸p nµy dùa trªn tÝnh chÊt nµo cña c¸c phÐp to¸n vÒ ®a thøc? Cã thÓ nªu ra mét c«ng thøc ®¬n gi¶n cho ph­¬ng ph¸p nµy kh«ng ?
• NÕu tÊt c¶ c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã mét nh©n tö chung th× ®a thøc ®ã biÓu diÔn ®­îc thµnh mét tÝch cña nh©n tö chung ®ã víi mét ®a thøc kh¸c.
• Ph­¬ng ph¸p nµy dùa trªn tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng c¸c ®a thøc.
C«ng thøc : AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F)
• Ph­¬ng ph¸p: T×m nh©n tö chung.
- LÊy ¦CLN cña c¸c hÖ sè.
- LÊy c¸c biÕn chung cã mËt trong tÊt c¶ c¸c h¹ng tö.
- §Æt nh©n tö chung ra ngoµi ngoÆc theo c«ng thøc
AB + AC + … + AF = A(B + C +… + F)
• Chó ý:
- Ph­¬ng ph¸p nµy ¸p dông khi c¸c h¹ng tö cña ®a thøc cã nh©n tö chung.
- NhiÒu khi muèn cã nh©n tö chung ta ph¶i ®æi dÊu c¸c sè h¹ng b»ng c¸ch ®­a sè h¹ng vµo trong ngoÆc hoÆc ®­a vµo trong ngoÆc ®»ng tr­íc cã dÊu céng hoÆc trõ.
VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) 3x2 + 12xy.
b) 5x(y + 1) - 2(y + 1).
c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 - 3y).
Gi¶i
a) 3x2 + 12xy = 3x(x + 4y).
b) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2).
c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 – 3y)
= 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2)
= (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y).
Ph­¬ng ph¸p 2: Dïng h»ng ®¼ng thøc
• Néi dung c¬ b¶n cña ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc lµ g× ?
NÕu ®a thøc lµ mét vÕ cña h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí nµo ®ã th× cã thÓ dïng h»ng ®¼ng thøc ®ã ®Ó biÓu diÔn ®a thøc nµy thµnh mét tÝch c¸c ®a thøc.
• Ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc:
- NhËn d¹ng c¸c h»ng ®¼ng thøc.
- KiÓm tra xem cã ph¶i ®óng lµ h»ng ®¼ng thøc kh«ng.
• Chó ý: NhiÒu khi ph¶i ®æi dÊu míi ¸p dông ®­îc h»ng ®¼ng thøc.

VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x2 – 4x + 4. b) 8x3 + 27y3. c) 9x2 - (x - y)2.
Gi¶i
a) x2 – 4x + 4 = (x - 2)2
b) 8x3 + 27y3 = (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2)
c) 9x2 – (x - y)2 = [3x – (x –y)][3x + (x - y)] = (3x –x +y)(3x + x - y)
= (2x + y)(4x - y).
VÝ dô 2
a, (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
HD: nhãm 2 h¹ng tö ®Çu  a3 + b3
= 3(x – z)(x- y)(z – y)
b, (x2 +y2)3 + (z2- x2) – (y2 + z2)3
= 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x – z)(x + z)
c, a3 + b3 + c3 – 3abc
= (a + b)3 + c3 – 3ab(a +b + c)
= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
d, x3 + y3 – z3 + 3xyz
= (x + y)3 – z3 – 3xy( x + y – z) = .....
Ph­¬ng ph¸p 3: Nhãm nhiÒu h¹ng tö
• Néi dung c¬ b¶n cña ph­¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö lµ g× ?
Nhãm nhiÒu h¹ng tö cña mét ®a thøc mét c¸ch hîp lÝ ®Ó cã thÓ ®Æt ®­îc nh©n tö chung hoÆc dïng ®­îc h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.
• Chó ý:
- Mét ®a thøc cã thÓ cã nhiÒu c¸ch nhãm
- Sau khi nhãm ta cã thÓ ¸p dông ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung, ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc ®Ó xuÊt hiÖn nh©n tö chung míi hoÆc h»ng ®¼ng thøc míi.
VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x2 - 2xy + 5x - 10y. b) x(2x -3y) - 6y2 + 4xy. c) 8x3 + 4x2 - y3 - y2
Gi¶i
a) x2 – 2xy + 5x – 10y = ( x2 – 2xy) + ( 5x – 10y)
= x(x – 2 y) + 5 (x – 2y) = (x – 2 y)(x + 5)
b) x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy = x(2x – 3y) + (4xy - 6y2
= x(2x – 3y) + 2y(2x - 3y)
= (2x – 3y)(x + 2y)
c) 8x3 + 4x2 – y3 – y2 = (8x3 - y3) + (4x2 – y2)
= (2x -y)( x2 + xy + y2) + (2x – y)( 2x +y)
= (2x -y)( x2 + xy + y2 + 2x +y).
Ph­¬ng ph¸p 4: Phèi hîp nhiÒu ph­¬ng ph¸p
• Khi cÇn ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö, chØ ®­îc dïng riªng rÏ tõng ph­¬ng ph¸p hay cã thÓ dïng phèi hîp c¸c ph­¬ng ph¸p ®ã ?
Cã thÓ dïng phèi hîp c¸c ph­¬ng ph¸p ®· biÕt.
VÝ dô 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) a3 - a2b - ab2 + b3 b) ab2c3 + 64ab2 c) 27x3y - a3b3y.
Gi¶i
a) a3 – a2b – ab2 + b3 = a2(a – b) – b2(a - b) = (a - b)(a2 - b2) = (a - b) 2 (a + b).
b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3+64) = ab2(c3+ 43) = ab2(c + 4)(c2 – 4c + 16).
c) 27x3y – a3b3y = y(27x3 – a3b3) = y(3 - ab) (9x2 – 3ab + a2b2).

KiÕn thøc N©ng cao.
Ph­¬ng ph¸p 5: Ph­¬ng ph¸p t¸ch
• Khi ph©n tÝch ®a thøc : ax2 + bx + c thµnh nh©n tö
C¸ch 1: T¸ch ax2 + bx + c = a x2 + b1x + b2x + c
Víi b = b1+ b2 vµ b1.b2 = a.c
C¸ch 2: T¸ch ax2 + bx + c = X2 - B2
VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) 2x2 - 3x + 1.
b) 6x2 + x - 2
c) x2 - 2x - 3
Gi¶i
a) 2x2 – 3x + 1 = 2x2 – 2x – x + 1 = 2x(x – 1) – (x – 1)
= (x – 1)(2x – 1).
b) 6x2 + x – 2 = 6x2 + 4x – 3x – 2 = 2x(3x + 2) – (3x + 2)
= (3x + 2) (2x – 1)
c) x2 – 2x - 3 = x2 + x – 3x – 3 = ....
VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x2 – 2x – 3
b) x2 - 10x + 16
Gi¶i
a)x2 – 2x – 3 = x2 – 2x + 1 – 4 = (x- 1)2 – 22 = (x – 3)(x+1)
b)x2 – 10x + 16 = x2 – 10x + 25 – 9 = (x – 5)2 – 32 = (x – 8)(x – 2)
Ph­¬ng ph¸p 6: Ph­¬ng ph¸p thªm bít
VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) y4 + 64.
b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
c) a2b2(b -a) + b2c2(c - b) - a2c2( c - a)
Gi¶i
a) y4 + 64 = y4 +16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8) 2 - (4y) 2
= (y2 + 8 - 4y) (y2 + 8 + 4y).
b) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = x( y2 – x2 + x2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
= x( y2 – x2) + x(x2 – z2) - y(x2-z2 ) - z( y2 – x2)
= (y2- x2) ( x – z) + (x2 – z2)(x – y)
= (y – x)( x – z) (y +x – x – z)
c) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a)
= a2b2(b- c + c – a) + b2c2(c – b) – a2c2( c – a)
=......................
= (b – c) (a – c)(b- a) (ab + bc + ca)
Ph­¬ng ph¸p 7: §Æt biÕn phô
• Trong ®a thøc cã biÓu thøc xuÊt hiÖn nhiÒu lÇn ta ®Æt biÓu thøc ®ã lµm biÕn phô ®­a vÒ ®a thøc ®¬n gi¶n. Sau khi ph©n tÝch ®a thøc nµy ra nh©n tö råi l¹i thay biÕn cò vµo vµ tiÕp tôc ph©n tÝch
VÝ dô 1:
A , (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2
B , (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 3) -5
C , ( x2 - 2x + 2)4 - 20x2(x2 - 2x + 2)2 + 64 x4
D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15
E , (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
F , (x2 + x)(x2 + x + 1) - 2.
Gi¶i
A.§Æt y = x2 + 4x + 8 råi dïng ph­¬ng ph¸p t¸ch ph©n tÝch
KÕt qu¶: A = (x2 + 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4)
B. ®Æt y = x2 + 3x +1
B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4)
C.§Æt y = x2 – 2x + 2
C = (x2 + 2)(x2 – 4x + 2)(x2 – 6x + 2)(x2 + 2x + 2)
D = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15
= (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
F. (x2 + x)(x2 + x + 1) – 2. (*)
§Æt(x2 + x) = y Th× (*)
trë thµnh: y(y + 1) – 2 = y2+ y - 1 – 1 = (y2 - 1) + (y – 1)
= (y + 1)(y – 1) + (y – 1)
= (y – 1)(y + 2). (**)
Thay trë l¹i vµo (**) ta cã : (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2).
VËy(x2 + x)(x2 + x + 1) – 2 = (x2 + x - 1) )(x2 + x + 2).
VÝ dô 2:
a. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24
b. 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) - 3x2
c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2
HD:
c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y2z2 = 4x (x+y+z) (x+y) (x+z)+ y2z2
= 4 (x2 +xy+xz)(x2 +xy +xz +yz)+ y2z2
(§Æt t = x2 +xy+xz)
= 4t (t + yz) + y2z2
= (2t + yz)2
VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh
a. (2x2 + x)2 - 4(2x2 + x) + 3 = 0
b. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 = 0
HD: Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö, ®­a Pt vÒ d¹ng PT tÝch
a.  (t - 1)(t- 3) = 0
*. t = 1  2x2 + x = 1  (x +1)(2x-1)= 0
*. t = 3  2x2 + x = 3 (x -1)(2x+ 3)= 0
Ph­¬ng ph¸p 8: Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng
• KiÕn thøc:
1. x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x)  f(a) = 0
2. x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) =>
• L­îc ®å Hoor ne
. S¬ ®å Hoãc - ne
NÕu ®a thøc bÞ chia lµ a0x3 + a1x2 + a2x + a3, ®a thø chia lµ x - a ta ®­îc th­¬ng lµ b0x2 + b1 x + b2. Theo s¬ ®å Hoãc - ne ta cã:

a0
a1
a2
a3
a
b0 = a0
b1 = ab0 + a1
b2 = ab1 + a2
r = ab2 + a3


• §iÒu kiÖn ®Ó tam thøc bËc hai ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö.
§èi víi tam thøc bËc hai d¹ng ax2 + bx + c, muèn xÐt xem ®a thøc nµy cã ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö hay kh«ng th­êng dïng ph­¬ng ph¸p sau:
- TÝnh  = b2 – 4ac.
- NÕu   0 th× ph©n tÝch ®­îc.
- NÕu  < 0 th× kh«ng ph©n tÝch ®­îc.
VÝ dô 1: f(x) = x3 -x2 - 4
LÇn l­ît kiÓm tra víi ­íc cña – 4 lµ 1, - 1, 2, - 2, - 4, 4.
f(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 4 = - 4 => x= -1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm.
f(1) = (1)3- (1)2 - 4 = - 4 => x = 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm.
f(2) = 23 - 22 - 4 = 0.
f(-2) = -16 => x = - 2 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm.
f(4) = 44 => x = 4 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm.
f(- 4) = - 48 => x = - 4 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm.
§a thøc cã nghiÖm x = 2 do ®ã ®a thøc chøa thõa sè (x – 2).
Sö dông l­îc ®å Hoor ne ta cã: f(x) = (x – 2)(x2 – x + 2).
VÝ dô 2:
Ph©n tÝch f(x) = x3 - 2x - 4
Gi¶i
Ta cã f(2) = 0 => x = 2 lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x)
=>
=> f(x) = (x - 2)(x2 + 2x + 2)
VÝ dô 3: g(x) = 4x3 - 7x2 -x - 2
= (x - 2)(4x2 + x +1)
VÝ dô 4 : H(x) = x3 - x2 - 14x + 24
= (x-2)(x - 3)(x + 4)
VÝ dô 5
P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y).
P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y).
Ta thÊy nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× ®a thøc P kh«ng thay ®æi.
Do ®ã ®a thøc P cã d¹ng: P = k(x - y)(y - z)( z - x). (k lµ h»ng sè).
=> P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)( z - x). §óng víi mäi x, y, z, nªn ta cho c¸c biÕn x, y, z gi¸ trÞ riªng,
ch¼ng h¹n x = 2, y = 1, z = 0 (gi¸ trÞ riªng cña c¸c biÕn x, y, z tuú chän sao cho (x - y)(y - z)( z - x)  0). Ta ®­îc: k = -1
VËy P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = - (x - y)(y - z)( z - x)
= (y - x)(y - z)( z - x).
VÝ dô 6
A = x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
Gi¶i
+.NÕu x = y => A = 0 => A (x - y)
+.V× vai trß cña x,y,z nh­ nhau
=>A (y-z); (z-x)
=>A (x - y)(y-z)(z-x)
+.V× cã bËc cao nhÊt lµ 3 cßn bËc cña (x - y)(y-z)(z-x) lµ 3
=> A = k (x - y)(y-z)(z-x) ®óng víi mäi x, y, z
Cho x = 0; y = 1; z = 2 thay vµo => k = 1
VËy A = (x - y)(y-z)(z-x)
VÝ dô 7
P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a)
HD: lµm t­¬ng tù nh­ VD6, thay a = 2; b = 1; c = o t×m ®­îc k = -1
Ph­¬ng ph¸p 9: Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh
VÝ dô 1: Ph©n tÝch : x3 – 15x – 18 thµnh ®a thøc bËc nhÊt vµ bËc hai
Gi¶i
Gi¶ sö ®a thøc trªn ®­îc ph©n tÝch th×
x3 – 15x – 18 = (x+ a)(x2 + bx + c)
 x3 – 15x – 18 = x3 + (a+b)x2 + (ab+ c)x + ac
§ång nhÊt 2 ®a thøc ë 2 vÕ ta ®­îc:
Tõ (3)chän a = 3; th× c = -6; b = -3 tho¶ m·n (2)
VËy: x3 – 15x – 18 = (x + 3) (x2 – 3x – 6)
VÝ dô 2
Ph©n tÝch : x3 – 19x - 30 thµnh ®a thøc bËc nhÊt vµ bËc hai
Gi¶i
Gi¶ sö ®a thøc trªn ®­îc ph©n tÝch th×
x3 – 19x - 30 = (x + a) (x2 + bx + c)
 x3 – 19x - 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab+ c)x + ac
§ång nhÊt 2 ®a thøc ta cã
Tõ (3) chän a = 2 th× c =- 15; b = -2 tho¶ m·n (2)
VËy x3 – 19x - 30 = (x +2)(x2 – 2x - 15)
VÝ dô 3
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3.
Gi¶i
Ta thÊy kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc
▪ ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ,
▪ nªn ®a thøc cã d¹ng
§Ó ph©n tÝch ®a thøc nµy thµnh thõa sè th× ph¶i cã d¹ng:
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a+c)x3 + (ac + b +d)x2 +(ad + bc)x + bd.
§ång nhÊt ®a thøc nµy víi ®a thøc ®· cho, ta ®­îc hÖ ®iÒu kiÖn:
 
VËy ®a thøc x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3).
C¸ch 2
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
= x4 – 4x3 – 2x3 + x2 + 8x2 + 3x2– 2x - 12x + 3
= x2 (x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1)
= (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3).
VÝ dô 4
a. x3 + 4x2 + 5x +2
b. 2x4 - 3x3 -7x2 + 6x + 8
Gi¶i
a.ta cã x = - 1; x = -2 lµ nghiÖm cña ®a thøc
=> x3 + 4x2 + 5x +2 (x+1);(x+2)
=> x3 + 4x2 + 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b)
.............................. b = 1
b.Ta cã x = 2; x = -1 lµ nghiÖ cña ®a thøc
=> 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 (x+1);(x-2)
=> 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x2 + a x+ b)
§ång nhÊt 2 ®a thøc ta cã a = -1; b =- 4

Ph­¬ng ph¸p 10: Ph­¬ng ph¸p h¹ bËc
VÝ dô 1:
a) a5 + a +1.
Gi¶i
a) a5 + a +1= a5 + a4 – a4 + a3 – a3 + a2 – a2 + a + 1
= (a5 + a4 + a3 ) – ( a4+a3 + a2) + ( a2 + a + 1)
= a3( a2 + a + 1) – a2( a2 + a + 1) + ( a2 + a + 1)
= ( a2 + a + 1) (a3– a2 + 1).

C. øng dông
ViÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cã thÓ cã Ých cho viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ t×m nghiÖm cña ®a thøc, chia ®a thøc, rót gän ®a thøc.
I. T×m x
VÝ dô 1. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) 2(x + 3) - x(x + 3) = 0 b) x3 + 27 + (x + 3)(x - 9) = 0
c) x2 + 5x = 6.
Gi¶i
a) 2(x + 3) – x(x + 3) = 0  (x + 3)(2 – x) = 0
  S ={-3; 2}.
b) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0  (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = 0
 (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x – 9) = 0
 (x + 3)(x2 - 3x + 9 + x – 9) = 0
 (x + 3)(x2 - 2x) = 0
 x(x + 3)(x - 2) = 0
  S ={-3; 0; 2}.
c) x2 + 5x = 6  x2 + 5x – 6 = 0
 x2 - x + 6x – 6 = 0
 (x2 - x) + (6x – 6) = 0
 x (x - 1) + 6(x – 1) = 0
 (x + 6)( x – 1) = 0   S = {-6; 1}.
VÝ dô 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau
a. (x2 + 2x)2 - x2 - 2x - 2 = 0
b. x4 - x3 - x2 - x - 2 = 0 [ (x+1)(x-2)(x2+1)= 0]
c. x3 - 2x2 - 9x +18 = 0 [(x-3)(x+3)(x-2) = 0 ]
VÝ dô 3. T×m c¸c cÆp sè (x; y) tho¶ m·n
a. x2 + y2 = 0
b. (x-1)2 + (y+2)2 = 0
c. 4x2 + y2 - 2(2x+y - 1) = 0
d. x2 + 2y2 + 2y(1-x) = -1
e. 2x2 (1 - y) + y(y + xy -2x) = 0
HD:
§­a vÒ d¹ng A2 + B2 = 0
e.(x -y)2 + x2(y +1)2 = 0 hoÆc
VÝ dô 4. T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh
a.x+ xy + y + 2 = 0
b. x + y = xy
c. x2 + 21 = y2
HD: BiÕn ®æi vÒ d¹ng X.Y = a (const)
=> X, Y ¦(a)
VÝ dô 5. T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh
a. x2 + 21 = y2
b.(x + 1)y - 2x = 8
HD: a.  (y- x)(y+ x) = 21 > 0
▪ y +x > y – x > 0
▪ hoÆc
II.TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc
Ph­¬ng ph¸p : Thu gän biÓu thøc
T×m gi¸ trÞ cña biÕn thay vµo
VÝ dô 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc
A = (x2 + 2)2 – (x+ 2)(x - 2)(x2 + 4) víi x = -1/2
+. Rót gän A = 4x2 + 20
+.Thay A = 21
VÝ dô 2. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc.
a) A = 9x2 +42x + 49 víi x = 1
b) B = víi x= : y = - 5
c) C = víi x = - 8; y = 6
d) D = víi x = - 10
e) E = víi x = 13
g) G = v
íi x = - 2

h) H = víi x = 1


VÝ dô 3 : Cho x - y = 7 . TÝnh
A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37
B = x2(x + 1) - y2 (y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1) - 95
( = (x-y)3 + (x -y)2 - 95 = 297 )
VÝ dô 4:
a) Cho x + y = 7, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc.
M = (x + y)3 + 2x2 + 4xy + 2y2
M = (x + y)3 + 2(x + y)2 = 441.
b) Cho x - y = - 5, tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc.
N = (x - y)3 - x2 + 2xy - y2
N = (x - y)3 - (x - y)2 = - 150
VÝ dô 5
Chøng minh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña biÕn.
a) P = (x + 2)3 + (x - 2)3 - 2x(x + 12) P = 0
b) Q = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6x(x + 1)(x - 1) Q = - 8
c) A = y(x2 - y2)(x2 + y2) - y(x4 - y4) A = 0
d) B = (x - 1)3 - (x - 1)(x2 +x + 1) - 3(1 - x)x B = 2
e) M = M =
D. Bµi tËp ¸p dông
Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) (3x - 1)2 - (5x + 3)2
b) (2x + y - 4z)2 - (x + y - z)2
c) ( x2 + xy)2 - (x2 - xy - 2y2)2
d) x4 - x2-2x-1
Bµi 2. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau: a) A = 2x2 + 4x + xy + 2y. víi x=88 vµ y=-76
b) B = x2 + xy -7 x - 7y. víi x= vµ y=
Bµi 3.
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x2 - (a + b)xy + aby2
b) ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2)
c) (xy + ab)2 + (ay - bx)2
d) a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b)
Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) - 6x2 - 5y + 3xy + 10x b) x2 + y2 - 2xy - x + y
c) (x - z)2 - y2 + 2y - 1 d) x3 + y3 + 3y2 + 3y + 1
Bµi 5. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau:
A = x2 - 5x - 2xy + 5x + y2 + 4, biÕt x - y = 1
B = x2(x + 1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1), biÕt x - y = 7.
Bµi 6. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) (1 + x2)2 - 4x(1 - x + x2) b) x2 - y2- 2yz - z 2
c) 3a2 - 6ab + 3b 2 - 12c2 d) x2 - 2xy + y2 - m2 + 2mn - n2
Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) a 2- 10a + 25 - y2 - 4yz - 4z2 b) x4 - 2x3 + 2x - 1 ROI
c) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 d) x3 + 4x2 + 5x + 2
Bµi 8. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau:
a) A = x2- 5x - 2xy + 5y + y2 + 4, biÕt x - y=1 ROI
b) B = x2(x +1) - y2(y - 1) + xy - 3xy(x - y +1), biÕt x - y=7
Bµi 9. Cho x = y = z = 0. Chøng minh r»ng x3+ x2y - y2x - xyz + y3 = 0
Bµi 10. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c th×.
2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 - c4 > 0.
Bµi 11. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
b) 5x4 + 9x3 - 2x2 - 4x - 8
Bµi 12. T×m c¸c hÖ sè a,b,c,d sao cho ®a thøc:
f(x) = x4 + ax3 + bx2 - 8x + 4 lµ b×nh ph­¬ng ®óng cña
®a thøc g(x) = x2 + cx + d
Bµi 13. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) (x2 - 8)2 + 36.
b) 81x4 + 4. c) x5 + x + 1
Bµi 14. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
A = (x2 + 2x)2 + 9x2 +18 + 20
B = x2 - 4xy + 4y2 - 2x + 4y - 35
C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
D = (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2
Bµi 15. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) (x2 + x +1)(x2 + x + 2) - 12
b) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24
Bµi 16. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó ph©n thøc sau b»ng 0.
a) b)
Bµi 17. Cho biÓu thøc: A=
a) T×m ®iÒu kiÖn cña biÕn x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc ®­îc x¸c ®Þnh.
b) TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt
Bµi 18 a) T×m x ®Ó .
b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 19. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. a) x2 + 25 +10x - y2 - 2y – 1
b) x2 + 4y2 - 4xy - z2 + 6z - 9
Bµi 20. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña c¸c biÕn: (x + y – z - t)2 - (z + t – x - y)2.

Chuyªn ®Ò: mét sè ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc
mét biÕn thµnh nh©n tö.
C¸c ph­¬ng ph¸p:
• T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö.
• Thªm, bít cïng mét h¹ng tö.
• §æi biÕn sè.
• HÖ sè bÊt ®Þnh.
• XÐt gi¸ trÞ riªng (§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu biÕn).
I) Ph­¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö:
§èi víi c¸c ®a thøc mµ c¸c h¹ng tö kh«ng cã nh©n tö chung, khi ph©n tÝch ra nh©n tö ta th­êng ph¶i t¸ch mét h¹ng tö nµo ®ã ra thµnh nhiÒu h¹ng tö kh¸c ®Ó nhãm víi c¸c h¹ng tö ®· cã trong ®a thøc ®Ó cho trong c¸c nhãm cã nh©n tö chung, tõ ®ã gi÷a c¸c nhãm cã nh©n tö chung míi hoÆc xuÊt hiÖn c¸c h»ng ®¼ng thøc quen thuéc.
VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
f(x) = 2x2 - 3x + 1.
Gi¶i:
C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö thø hai: -3x = -2x - x.
Ta cã f(x) = (2x2 - 2x) - (x - 1) = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1).
C¸ch 2:
Ta cã f(x) = (x2 - 2x + 1) + (x2 - x) = (x - 1)2 + x(x - 1) = (x - 1)[(x - 1) + x]
= (x - 1)(2x - 1).
Tæng qu¸t: §Ó ph©n tÝch tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c ra nh©n tö, ta t¸ch h¹ng tö bx thµnh b1x + b2x sao cho b1b2 = ac
Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö:
a) 4x2 - 4x - 3;
b) 2x2 - 5x - 3;
c) 3x2 - 5x - 2;
d) 2x2 + 5x + 2.
VÝ dô 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
f(x) = x3 - x2 - 4.
Gi¶i:
Ta lÇn l­ît kiÓm tra víi x = 1; 2; 4 ta thÊy f(2) = 0.
§a thøc f(x) cã nghiÖm x = 2, do ®ã khi ph©n tÝch ra nh©n tö, f(x) chøa nh©n tö x - 2.
Tõ ®ã: f(x) = x3 - x2 - 4 = (x3 - 2x2) + (x2 - 2x) + (2x - 4)
= x2(x - 2) + x (x - 2) + 2 (x - 2)
= (x - 2)(x2 + x + 2).

Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 cã nghiÖm nguyªn lµ
x = x0 th× x0 lµ mét ­íc cña hÖ sè tù do a0, khi ph©n tÝch f(x) ra nh©n tö th× f(x) cã
chøa nh©n tö x - x0. V× vËy ®èi víi nh÷ng ®a thøc mét biÕn bËc cao, ta nªn t×m lÊy
mét nghiÖm cña nã ®Ó ®Þnh h­íng viÖc ph©n tÝch ra nh©n tö.
Bµi tËp 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö:
a) x3 + 2x - 3;
b) x3 - 7x + 6;
c) x3 - 7x - 6; (NhiÒu c¸ch)
d) x3 + 5x2 + 8x + 4;
e) x3 - 9x2 + 6x + 16;
f) x3 - x2 - x - 2;
g) x3 + x2 - x + 2;
h) x3 - 6x2 - x + 30.
VÝ dô 3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5.
Gi¶i:
Theo vÝ dô 2, ta thÊy c¸c sè 1; 5 kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc. Nh­ vËy ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, tuy vËy ®a thøc cã thÓ cã nghiÖm h÷u tØ kh¸c.
Ta chøng minh ®­îc ®iÒu sau ®©y:
Tæng qu¸t: NÕu ®a thøc f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 cã nghiÖm h÷u tØ lµ
x = (d¹ng tèi gi¶n) th× p lµ mét ­íc cña hÖ sè tù do a0 cßn q lµ ­íc d­¬ng cña
hÖ sè cao nhÊt an. Khi ph©n tÝch f(x) ra nh©n tö th× f(x) cã chøa nh©n tö qx - p.
Trë vÒ vÝ dô 3: XÐt c¸c sè , ta thÊy lµ nghiÖm cña ®a thøc, do ®ã khi ph©n tÝch ra nh©n tö, ®a thøc chøa nh©n tö 3x - 1.
Tõ ®ã: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = (3x3 - x2) - (6x2 - 2x) + (15x - 5)
= x2(3x - 1) - 2x(3x - 1) + 5(3x - 1)
= (3x - 1)(x2 - 2x + 5).
Bµi tËp 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö:
a) 6x2 - x - 1;
b) 6x2 - 6x - 3;
c) 15x2 - 2x - 1;
d) 2x3 - x2 + 5x + 3;
e) 2x3 - 5x2 + 5x - 3
f) 2x3 + 3x2 + 3x + 1;
g) 3x3 - 2x2 + 5x + 2;
h) 27x3 - 27x2 + 18x - 4;
§¸p sè:
a) (2x - 1)(3x + 1);
b) (2x + 3)(3x - 1);
c) (3x + 1)(5x - 1);
d) (2x + 1)(x2 - x + 3);
e) (2x - 3)(x2 - x + 1);
f) (2x + 1)(x2 + x + 1);
g) (3x + 1)(x2 - x +2);
h) (3x - 1)(9x2 - 6x + 4);

II) Ph­¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö:
Môc ®Ých: Thªm, bít cïng mét h¹ng tö ®Ó nhãm víi c¸c h¹ng tö ®· cã trong ®a thøc nh»m xuÊt hiÖn nh©n tö chung míi hoÆc xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc, ®Æc biÖt lµ xuÊt hiÖn hiÖu cña hai b×nh ph­¬ng.

III) Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn:
Mét sè ®a thøc cã bËc cao, nhê ®Æt biÕn phô ®­a vÒ ®a thøc cã bËc thÊp h¬n ®Ó thuËn tiÖn cho viÖc ph©n tÝch ra nh©n tö, sau khi ph©n tich ra nh©n tö ®èi víi ®a thøc míi, thay trë l¹i biÕn cò ®Ó ®­îc ®a thøc víi biÕn cò.
VÝ dô 4: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
f(x) = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128.
Gi¶i:
Ta cã: f(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128.
§Æt x2 + 10x + 12 = y, ®a thøc trë thµnh:
f(y) = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y - 4)(y + 4)
= (x2 + 10x + 8)( x2 + 10x + 16) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8).

VÝ dô 4': Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1.
Gi¶i:
C¸ch 1: f(x) = x4 + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2.
= (x2 + 3x - 1)2.
C¸ch 2: Gi¶ sö x ≠ 0; Ta cã:
f(x) = x2(x2 + 6x + 7 - ) = x2[(x2 + ) + 6(x - ) + 7].
§Æt x - = y, suy ra: x2 + = y2 + 2. Do ®ã ®a thøc trë thµnh:
f(x; y) = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2
= [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x - 1) 2.
Bµi tËp 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö:
a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15;
b) (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12;
c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24;
d) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12;
e) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4;
f) (x2+y2+z2)(x+y+z)2 + (xy+yz+zx)2;
g) A = 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.

§¸p sè:
a) §Æt x2 + x = y. Ta ph©n tÝch ®­îc thµnh: (x2 + x - 5)(x2 + x + 3).
b) §Æt x2 + x + 1 = y. §¸p sè: (x2 + x + 5)(x+2)(x-1).
c) BiÕn ®æi thµnh: (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24;
§Æt x2 + 7x + 11 = y. §¸p sè: (x2 + 7x + 16)(x + 1)(x + 6).
d) §Æt x + y = z. §¸p sè: (x + y + 3)(x + y -4)
e) §Æt x2 + 5ax + 5a2 = y. §¸p sè: (x2 + 5ax +5a2)2.
f) §Æt x2+y2+z2 = a; xy + yz + zx = b. Ta ®­îc: a(a + 2b) + b2 = (a + b)2 = …
g) §Æt c¸c biÓu thøc ®èi xøng: x4 + y4 + z4 = a; x2 + y2 + z2 = b; x + y + z = c.
Ta cã: A = 2a - b2 -2bc2 + c4 = (2a - 2b2) + (b2 - 2bc2 + c4) = 2(a - b2) + (b - c2)2.
Thay a - b2 = -2(x2y2 + x2z2 + y2z2); b - c2 = -2(xy + xz + yz).
Ta ®­îc M = -4(x2y2 + x2z2 + y2z2) + 4(xy + xz + yz)2
= 8x2yz + 8xy2z + 8xyz2 = 8xyz(x + y + z).

IV) Ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh:
VÝ dô 5: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3.
Gi¶i:
NhËn xÐt: C¸c sè 1; 3 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) nªn ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn, còng kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ. Nh­ vËy nÕu f(x) ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö th× ph¶i cã d¹ng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d), víi a, b, c, d  Z.
Khai triÓn d¹ng nµy ra ta ®­îc ®a thøc: x4 + (a+c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd. §ång nhÊt ®a thøc nµy víi f(x) ta ®­îc hÖ ®iÒu kiÖn:

XÐt bd = 3, víi b, d  Z, b  {1; 3}. Víi b = 3 th× d = 1, hÖ ®iÒu kiÖn trë thµnh:

Tõ ®ã t×m ®­îc: a = -2; c = -4. VËy f(x) = (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1).
Ta tr×nh bµy lêi gi¶i nh­ sau:
f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x4 - 4x3 + x2) - (2x3+ 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3)
= x2(x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1)
= (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x +3).

Bµi tËp 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö, dïng ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh:
a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1;
b) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1;
c) x4 - 8x + 63;
d) (x+1)4 + (x2 + x +1)2.

§¸p sè:
a) (2x2 + x + 1)2. Cã thÓ dïng ph­¬ng ph¸p t¸ch: 5x2 = 4x2 + x2.
b) (x2 - 3x + 1)(x2 - 4x + 1).
c) (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9).
d) (x2 + 2x + 2)(2x2 + 2x +1).
C¸ch kh¸c: (x+1)4 + (x2 + x +1)2 = (x+1)4 + x2(x +1)2 + 2x(x + 1) + 1
= (x + 1)2[(x + 1)2 + x2] + (2x2 + 2x + 1)
= (x2 + 2x + 1)(2x2 + 2x + 1) + (2x2 + 2x + 1)
= (2x2 + 2x + 1)(x2 + 2x +2).
V) Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng:
(§èi víi mét sè ®a thøc nhiÒu biÕn, cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh)
VÝ dô 6: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Gi¶i:
NhËn xÐt: NÕu thay x bëi y th× P = 0, nªn P chia hÕt cho x - y
H¬n n÷a nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× P kh«ng thay ®æi (Ta nãi ®a thøc P cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh). Do ®ã: P chia hÕt cho x - y th× P còng chia hÕt cho
y - z vµ z - x.
Tõ ®ã: P = a(x - y)(y - z)(z - x); trong ®ã a lµ h»ng sè, kh«ng chøa biÕn v× P cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn, cßn tÝch (x - y)(y - z)(z - x) còng cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn.
Ta cã: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*) ®óng víi mäi x, y, z  R nªn ta chän c¸c gi¸ trÞ riªng cho x, y, z ®Ó t×m h»ng sè a lµ xong.
Chó ý: C¸c gi¸ trÞ cña x, y, z ta cã thÓ chän tuú ý, chØ cÇn chóng ®«i mét kh¸c nhau ®Ó tr¸nh P = 0 lµ ®­îc.
Ch¼ng h¹n: Chän x = 2; y = 1; z = 0 thay vµo ®¼ng thøc (*), ta t×m ®­îc a = - 1
VËy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z).

Bµi tËp 6: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö:
Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b).
Gi¶i:
NhËn xÐt: víi a = 0 th× Q = 0, cho nªn a lµ mét nh©n tö cña Q. Do vai trß b×nh ®¼ng cña a, b, c nªn b vµ c còng lµ nh©n tö cña Q, mµ Q cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn nªn Q = k.abc.
Chän a = b = c = 1 ®­îc k = 4. VËy Q = 4abc.

Bµi tËp tù luyÖn:

Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (173):
a) 4x4 - 32x2 + 1;
b) x6 + 27;
c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2;
d) (2x2 - 4)2 + 9;
Bµi tËp 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (174):
a) 4x4 + 1; b) 4x4 + y4; c) x4 + 324.
Bµi tËp 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (175):
a) x5 + x4 + 1;
b) x5 + x + 1;
c) x8 + x7 + 1;
d) x5 - x4 - 1;
e) x7 + x5 + 1; ROI
f) x8 + x4 + 1;
Bµi tËp 4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (176):
a) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; b) * x3 + 3xy + y3 - 1.
Bµi tËp 5: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (172):
A = (a + b + c)3 - 4(a3 + b3+ c3) - 12abc b»ng c¸ch ®æi biÕn: ®Æt a + b = m, a - b = n.
Bµi tËp 6**: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau ra nh©n tö (178):
a) x8 + 14x4 + 1; b) x8 + 98x4 + 1.
Bµi tËp 7: Chøng minh r»ng tÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp céng thªm 1 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng. (180)
Bµi tËp 8*: Chøng minh r»ng: sè A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hÕt cho mét sè chÝnh ph­¬ng
kh¸c 1 víi mäi sè n nguyªn d­¬ng. (181)
Bµi tËp 9: T×m c¸c sè nguyªn a, b, c sao cho khi ph©n tÝch ®a thøc (x + a)(x - 4) - 7 ra nh©n tö ta ®­îc (x + b)(x + c). <182>
Bµi tËp 10: T×m c¸c sè h÷u tØ a, b, c sao cho khi ph©n tÝch ®a thøc x3 + ax2 + bx2 + c thµnh nh©n tö ta ®­îc (x + a)(x + b)(x + c). <183>
Bµi tËp 11:(184)Sè tù nhiªn n cã thÓ nhËn bao nhiªu gi¸ trÞ, biÕt r»ng khi ph©n tÝch ®a thøc
x2 + x - n ra nh©n tö ta ®­îc (x - a)(x + b) víi a, b lµ c¸c sè tù nhiªn vµ 1 < n < 100 ?
Bµi tËp 12: (185)Cho A = a2 + b2 + c2, trong ®ã a vµ b lµ hai sè tù nhiªn liªn tiÕp vµ c = ab.
CMR: lµ mét sè tù nhiªn lÎ.

Chñ ®Ò 1: TÝnh chia hÕt trong tËp hîp sè nguyªn
A. KiÕn thøc c¬ b¶n
• N¾m ®­îc tÝnh chÊt chia hÕt trong tËp hîp sè nguyªn
• VËn dông tèt tÝch chÊt ®Ó lµm c¸c bµi tËp
B. Ph­¬ng ph¸p chung
I. Chøng minh tÝnh chia hÕt trong tËp hîp sè nguyªn
Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (n  N hoÆc n  Z)
§Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho mét sè m, ta th­êng ph©n tÝch A(n) thµnh thõa sè, trong ®ã cã mét thõa sè lµ m. Nõu m lµ mét hîp sè ta ph©n tÝch m thµnh tÝch c¸c thõa sè ®«i mét nguyªn tè cïng nhau, råi chøng minh A(n) chia hÕt cho tÊt c¶ c¸c sè ®ã
NhËn xÐt: Trong k sè nguyªn liªn tiÕp bao giê còng tån t¹i mét béi cña k
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng:
A = n3(n2 - 7)2 - 36n chÝ hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n
Gi¶i:
Ph©n tÝch ra thõa sè: 5040 = 24.32.5.7
Ta cã:
A = n[n2(n2 - 7)2 - 36]
= n[(n3 - 7n)2 - 62]
= n(n3 - 7n - 6)(n3 - 7n + 6)
Ta l¹i cã:
n3 - 7n - 6 = (n + 1)(n + 2)(n - 3)
n3 - 7n + 6 = (n - 1)(n - 2)(n + 3)
Do ®ã: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3)
§©y chÝnh lµ tÝch cña b¶y sè nguyªn liªn tiÕp. Trong b¶y sè nguyªn liªn tiÕp
• Tån t¹i mét béi cña 5 nªn A chia hÕt cho 5
• Tån t¹i mét béi cña 7 nªn A chia hÕt cho 7
• Tån t¹i hai béi cña 3 nªn A chia hÕt cho 9
• Tån t¹i ba béi cña 2, trong ®ã cã mét béi cña 4 nªn A chia hÕt cho 16
A chia hÕt cho c¸c sè 5, 7,9,16 ®«i mét nguyªn tè cïng nhau nªn A chia hÕt cho 5.7.9.16 = 5040
¸p dông:
Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th×
a) a2 - a chia hÕt cho 2
b) a3 - a chia hÕt cho 3
c) a5 - a chia hÕt cho 5
d) a7 - a chia hÕt cho 7
Gîi ý: Ph©n tÝch thµnh tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn tiÕp, khi ®ã tån t¹i c¸c sè lµ béi cña 2, 3, 5, 7

VÝ dô 2: Sè chÝnh ph­¬ng
a) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph­¬ng chia cho 3 chØ cã thÓ cã sè d­ b»ng 0 hoÆc 1
b) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph­¬ng chia cho 4 chØ cã thÓ cã sè d­ b»ng 0 hoÆc 1
Gi¶i:
Gäi A lµ sè chÝnh ph­¬ng A = n2 (n  N)
a) XÐt c¸c tr­êng hîp:
n = 3k (k N)  A = 9k2 chia hÕt cho 3
n = 3k  1 (k N)  A = 9k2  6k +1 chia cho 3 d­ 1
VËy sè chÝnh ph­¬ng chi cho 3 chØ cã thÓ cã sè d­ b»ng 0 hoÆc 1
b) XÐt c¸c tr­êng hîp
n = 2k (k N) )  A = 4k2 chia hÕt cho 4
n = 2k + 1 (k N)  A = 4k2 + 4k +1 = 4k(k + 1) + 1 chia cho 4 d­ 1
VËy sè chÝnh ph­¬ng chi cho 4 chØ cã thÓ cã sè d­ b»ng 0 hoÆc 1
¸p dông:
Trong c¸c sè sau cã sè nµo lµ sè chÝnh ph­¬ng kh«ng?
M = 19922 + 19932 + 19942
N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952
P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100
L­u ý: C¸c h»ng ®¼ng thøc hay dïng ®Ó chøng minh tÝnh chia hÕt cña mét luü thõa.
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2.b + an-3 .b2 +....+ a.bn-2 + bn-1) víi n  N*
an + bn = (a + b)(an-1 - an-2.b + an-3 .b2 - .... - a.bn-2 + bn-1) víi mäi n lÎ C«ng thøc Niu-t¬n
(a + b)n = an + c1an-1b + c2an-2b2 + ... + cn-1abn-1 + bn
C¸c hÖ sè ci ®­îc x¸c ®Þnh bëi tam gi¸c Pa-xcan
¸p dông vµo tÝnh chÊt chia hÕt ta cã:
an - bn Chia hÕt cho a - b (a  b)
a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a  - b)
(a + b)n = BS a + bn (BS a lµ béi sè cña a)
VÝ dô:
Bµi tËp ¸p dông:
1/ Cho A = 11100 -1
Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 10, chia hÕt cho 1000
2/ Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n - 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n
3/ Chøng minh r»ng víi n  N:
a) 11n+1 + 122n+1 chia hÕt cho 133
b) 34n+2 + 2.43n+1 chia hÕt cho 17
c) 3.52n+1 + 23n+1 chia hÕt cho 17
II. T×m sè d­
VÝ dô: T×m sè d­ khi chia 2100
a) Cho 9
b) Cho 25
c) Cho 125
Gi¶i:
a) Luü thõa cña 2 s¸t víi béi cña 9 lµ 23 = 8 = 9 - 1
Ta cã: 2100 = 2.(23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 = BS 9 + 7
Sè d­ khi chia 2100 cho 9 lµ 7
b) Luü thõa cña 2 s¸t víi mét béi sè cña 25 lµ 210 = 1024 = BS 25 - 1
Ta cã: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + 1
VËy sè d­ khi chia 2100 cho 25 lµ 1
c) Dïng c«ng thøc Niu-t¬n:
2100 = (5 - 1)50 = 550 - 50.549 + ... + .52 - 50.5 + 1
Ta thÊy 48 sè h¹ng ®Çu tiªn chøa luü thõa cña 5 víi sè mò lín h¬n 3 nªn chia hÕt cho 125. hai sè h¹ng tiÕp theo còng chia hÕt cho 125, sè h¹ng cuèi cïng lµ 1
VËy sè d­ khi chia 2100 cho 125 lµ 1
Bµi tËp ¸p dông:
a) T×m sè d­ cña phÐp chia Sn = 1n + 2n + 3n + 4n cho 4
b) Chøng minh r»ng:
52n + 5n + 1 chia hÕt cho 31 víi mäi n kh«ng chia hÕt cho 3
III. T×m ch÷ sè cuèi cïng trong biÓu diÔn thËp ph©n cña mét sè
Ph­¬ng ph¸p:
XÐt sè tù nhiªn A = nk víi n, k  N
C¸ch 1:
Muèn t×m ch÷ sè cuèi cïng cña A ta chØ cÇn biÓu diÔn A d­íi d¹ng:
A = 10a + b =
Th× b lµ ch÷ sè cuèi cïng cña A
Ta viÕt A = nk = (10q + r)k = 10t + rk
Th× ch÷ sè cuèi cïng cña A còng chÝnh lµ ch÷ sè cña cïng cña rk
• NÕu A = 100b + = th× lµ hai ch÷ sè cuèi cïng cña A
• ...............
C¸ch 2:
Khi lÊy k lÇn l­ît nh÷ng gi¸ trÞ tù nhiªn kh¸c nhau th× trong biÓu diÔn thËp ph©n cña sè A = nk ch÷ sè cuèi cïng hoÆc mét ch÷ sè cuèi cïng xuÊt hiÖn tuÇn hoµn. Ta chØ cÇn t×m chu k× cña hiÖn t­îng nµy vµ A ë tr­êng hîp nµo víi gi¸ trÞ k ®· cho
C¸ch 3: Dïng phÐp chia cã d­
VÝ dô: T×m 3 ch÷ sè tËn cïng cña 2100 khi viÕt trong hÖ thËp ph©n
Gi¶i:
Ba ch÷ sè tËp cïng cña 2100 lµ sè d­ cña phÐp chia 2100 cho 1000
Theo vÝ dô trªn ta cã 2100 = BS 125 + 1, mµ 2100 lµ sè ch½n, nªn b