CHUYÊN ĐỀ 4-
ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ CÁC BÀI TOÁN
TỒN TẠI NGHIỆM TRONG ĐS-GT KHỐI 11

A-.Lý thuyết.
I- Định lý Lagrange : Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a;b], có đạo hàm trong (a,b) thì tồn tại ít nhất một số c a,b) sao cho :   
     f(b)−f(a) =f′(c).(b−a)
Như vậy : Nếu f(b)=f(a) thì phương trình f′(x)=0 có nghiệm x = c a,b)
II-Tính chất của hàm số liên tục.
1-Định lý 2- Giả sử hàm số f liên tục trên [a;b] .Nếu f(a) ≠ f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c( (a;b) sao cho:
f(c) = M.
*Hệ quả : Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ( (a;b) sao cho : f(c) = 0.

B-Các bài tập
I-Các bài tập cơ sở
1-Bài 1- Chứng minh rằng phương trình :
(1)
có ít nhất 1 nghiệm.
Giải.
Đặt :

Hàm số f(x) liên tục trên R, nên liên tục trên [0;1]
Tính :

(( Phương trình
có ít nhất 1 nghiệm trên (0;1)
Vậy : Phương trình
có ít nhất 1 nghiệm

-------------------
2-Bài 2- Chứng minh rằng phương trình :
(1)
có ít nhất 2 nghiệm.

Giải.
Đặt :

Hàm số f(x) liên tục

trên R, nên liên tục trên [-1;1]
Tính :

(( Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm trên (-1;0)
Tính :


(( Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm trên (-1;0)

Vậy : Phương trình
có ít nhất 2 nghiệm trên (-1;1)

-------------------

3-Bài 3- Chứng minh rằng phương trình :
(1)
có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng

Giải.
Đặt :

Hàm số f(x) liên tục trên R, nên liên tục trên

Tính :

(( Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm trên

Tính :
(( Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm trên

Vậy : Phương trình
có ít nhất 2 nghiệm trên

-------------------


4-Bài 4- Chứng minh rằng phương trình :
(1)
có đúng 3 nghiệm.


Giải.
Đặt :

Hàm số f(x) liên tục trên R, nên liên tục trên
Tính :
(( Phương trình (1) có 3 nghiệm trên

Vậy : Phương trình
có đúng 3 nghiệm.
(Có thể dùng máy tính , tìm được 3 nghiệm)
------------------

5-Bài 5- Chứng minh rằng phương trình :
(1)

có 1 nghiệm thuộc khoảng (0; π).

Giải.
Đặt :

Hàm số f(x) liên tục trên R, nên liên tục trên

Tính :
(( Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm trên

Vậy : Phương trình
có ít nhất 1 nghiệm trên


-------------------
6-Bài 6- Chứng minh rằng phương trình :
(1)
luôn có 1 nghiệm với mọi m.

Giải.

-------------------


7-Bài 7- Chứng minh rằng phương trình :
(1)
luôn có 1 nghiệm với mọi m.

Giải.
-------------------



8-Bài 8- Chứng minh rằng phương trình :
(1)
luôn có 1 nghiệm duy nhất thuộc khoảng


Giải.
-------------------



9-Bài 9- Chứng minh rằng phương trình :
(1)
luôn có nghiệm với mọi m.


Giải.
-------------------



10-Bài 10- Chứng minh rằng phương trình :
(1)
luôn có nghiệm với mọi m.

Giải.

-------------------



II-Các bài tập nâng cao.
1-Bài 1-Chứng minh phương trình sau có 5 nghiệm phân biệt:


(*)
Giải.
Đặt :

Hàm số f(x) liên tục trên R, nên liên tục trên [-2;3]
1)-Tính :

((