Chương II: TỔ HỢP - XÁC SUẤT

Bài 1: GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A hoặc B. Phương án A có thể thực hiện bởi m cách ; phương án B có thể thực hiện theo n cách. Khi đó, công việc có thể thực hiện bởi m + n cách.

Mở rộng: Nếu một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án. Phương án thứ j có thể thực hiện bởi
𝑛
𝑗 cách
𝑗=1,2,…,𝑘. Khi đó, công việc có thể thực hiện bởi
𝑛
1
𝑛
2
𝑛
𝑘 cách .

Cho tập hợp A có n phần tử, kí hiệu 𝑁
𝐴=𝑛.
Nếu 𝐴∩𝐵=∅⇒𝑁
𝐴∪𝐵=𝑁
𝐴+𝑁
𝐵
(1)
Nếu 𝐴∩𝐵≠∅⇒𝑁
𝐴∪𝐵=𝑁
𝐴+𝑁
𝐵−𝑁
𝐴∩𝐵
(2)

Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo m cách, công đoạn B có thể làm theo n cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo 𝑚.𝑛 cách.

Mở rộng: Nếu một công việc nào đó bao gồm k công đoạn. Công đoạn thứ j có thể làm theo
𝑛
𝑗 cách
𝑗=1,2,…,𝑘. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo
𝑛
1
𝑛
2
𝑛
𝑘 cách.
𝑁
𝐴.𝐵=𝑁
𝐴.𝑁
𝐵
(3)
Chú ý: Khi giải các bài toán về phép đếm, người ta có thể giải theo hai cách chính sau đây:
PP trực tiếp: là PP giải thẳng vào các yêu cầu bài toán đặt ra, nói một cách nôm na "hỏi gì, đếm nấy".
PP gián tiếp: dựa trên nguyên lí "đếm những cái không cần đếm, để biết những cái cần đếm". Đó chính là phép lấy phần bù.
Số phần tử của tập hợp A kí hiệu là:
𝐴

Phép đếm không lặp: mỗi phần tử cần đếm chỉ xuất hiện tối đa 1 lần, không có sự lặp lại.
Phép đếm có lặp: mỗi phần tử cần đếm có thể xuất hiện nhiều lần. Để giải các bài toán về phép đếm có lặp, người ta quy về phép đếm không lặp.

Dạng 1: Sử dụng quy tắc đếm
Cần phân biệt 2 hành động
Xảy ra độc lập: Quy tắc cộng (hay/ hoặc)
Xảy ra liên tiếp: Quy tắc nhân (và)

B1: Một hộp có chứa 8 bóng đèn màu đỏ và 5 bóng đèn màu xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được một bóng đèn trong hộp đó?
B2: Trong một lớp có 30 học sinh, trong đó có 18 em giỏi Toán, 14 em giỏi Văn và 10 em không giỏi môn nào. Hỏi có bao nhiêu em giỏi cả Văn lẫn Toán?
B3: Chợ Bến Thành có bốn cửa Đông, Tây, Nam, Bắc. Một người đi chợ (đi vào mua hàng rồi đi ra). Hỏi có bao nhiêu cách đi vào và đi ra biết rằng khi vào và ra phải đi hai cửa khác nhau?
B4: Một lớp học có 18 học sinh nam và 20 học sinh nữ.
Nếu GVCN chọn một HS tham dự trại thì có bao nhiêu cách chọn?
Nếu GVCN chọn một HS nam và một HS nữ thì có bao nhiêu cách chọn?
B5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có sáu chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.



Hoán vị: 1 phép hoán vị của n phần tử là một sự sắp xếp theo một thứ tự nhất định của n phần tử đó.
Số phép hoán vị của n phần tử là:
𝑃
𝑛=𝑛!=1.2.3….𝑛 (4)

Chỉnh hợp: Gọi 𝑁
𝐴=𝑛. Cho 1≤𝑘≤𝑛
Một phép chỉnh hợp chấp k của n phần tử là một sự sắp xếp theo một thứ tự nhất định của k phần tử lấy trong số n phần tử đã cho (hay là một cách sắp xếp thứ tự k phần tử khác nhau).

Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử là:
𝐴
𝑛
𝑘
𝑛
𝑛−𝑘=𝑛
𝑛−1
𝑛−2
𝑛−𝑘+1
(5)
Chú ý: Quy ước: 0!=1;
𝑃
𝑛
𝐴
𝑛
𝑛=𝑛!

Tổ hợp: Gọi 𝑁
𝐴=𝑛