BÀI TẬP ĐƯỜNG TIỆM CẬN

Dạng 1: Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số.
Ví dụ 1: Đồ thị hàm số sau có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
A. x = -2 và y = -3.      B. x = -2 và y = 1.
C. x = -2 và y = 3.      D. x = 2 và y = 1.
Giải:
Ta có:

nên đồ thị có tiệm cận đứng là x = -2
Ta có:


nên đồ thị có tiệm cận ngang là y = -3.
Vậy chọn đáp án A
Ví dụ 2: Đồ thị hàm số sau có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
A. x = 1; x = 2 và y = 0      B. x = 1; x = 2 và y = 2.
C. x = 1 và y = 0.      D. x = 1; x = 2 và y = -3.
Giải:
Ta có
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1.
Tính tương tự ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2
Ta có
nên đồ thị có tiệm cận ngang là y = 0.
Vậy chọn đáp án A
Ví dụ 3: Đồ thị hàm số sau có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
A. x = 3 và y = -3.      B. x = 3 và y = 0.
C. x = 3 và y = 1.      D. y = 3 và x = -3.
Ví dụ 4: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

A. y = 1 hoặc y = -1.      B. x = 1.
C. y = 1.      D. y = -1.
Giải:
* Vì tập xác định của hàm số là R nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
* Lại có:

nên đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1 và y = -1.
Ví dụ 5: Số tiệm cận của hàm số sau:
A. 3.     B. 2.
C. 1.     D. 4.
Giải:
Ta có
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1.
Mặt khác:
nên đồ thị có tiệm cận ngang là y = 2 và y = 0.
Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.
Ví dụ 6: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
A. 1      B. 4
B. 2      D. 3
Giải:
Điều kiện xác định  
⇔ x ∈ (-∞; -3] ∪ [3; +∞]\{5;-5}
* Khi đó có:
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0 và x = 2.
* Mặt khác có
⇒ đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng y = -5; y = 5.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.
Suy ra chọn đáp án B.
Ví dụ 8: Đồ thị hàm số sau có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận:
A. 1.     B. 2.
C. 4.     D. 3.
Giải:
Ta có nên y = 1 là tiệm cận ngang.
Xét phương trình:

⇒ x = 2 là tiệm cận đứng .

⇒ x = - 2 là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận.
Suy ra chọn đáp án D.
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số có tiệm cận.
Ví dụ 1: Cho hàm số   có đồ thị (C).
Kết luận nào sau đây đúng ?
A. Khi m = 3 thì (C) không có đường tiệm cận đứng.
B. Khi m = -3 thì (C) không có đường tiệm cận đứng.
C. Khi m ≠ 3 hoặc m ≠ -3 thì (C) có tiệm cận đứng x = -m; tiệm cận ngang y = m .
D. Khi m = 0 thì (C) không có tiệm cận ngang
Giải:
Xét phương trình: mx + 9 = 0.
* Với x = -m ta có: -m2 + 9 = 0 ⇔ m = 3 hoặc m = -3.
Kiểm tra thấy với m = 3 hoặc m = -3 thì hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
* Khi m ≠ 3 hoặc m ≠ -3 hàm số luôn có tiệm cận đứng x = m hoặc x = - m và tiệm cận ngang y = m.
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì đồ thị (C): có tiệm cận đứng đi qua điểm M(-1; ) ?
A. m = /2.      B. m = 0
C. m = 1/2.      D. m = 2.
Giải:
* Đặt f(x) = mx – 1.
Để hàm số không bị suy biến khi và chỉ khi:
luôn đúng
⇒ hàm số không bị suy biến với mọi giá trị của m.
* Khi đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = -m/2.
* Vậy để tiệm cận đứng đi qua điểm M(-1; ) thì
Suy ra chọn đáp án D.
Ví dụ 3: Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng khi
A. m ≠ 0.      B. ∀m ∈ R.
C. m ≠ -1.     D. m ≠ 1.
Giải:
Đồ thị hàm số
không có tiệm cận đứng khi
phương trình f(x) = x2 - (2m + 3)x + 2(m - 1) = 0 có nghiệm x = 2
⇔ f(2) = 0 ⇔ 4 – 2(2m + 3) + 2(m - 1) =0
⇔ -2m - 4 = 0 ⇔ m = -2
Suy ra chọn đáp án A.
Ví dụ 5: Xác định m để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng.
A. m < -13/12.      B. -1 < m < 1.
C. m > -3/2.      D. m > -13/12 .
Giải:
Đồ thị hàm số
có đúng hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình: 4x2 + 2(2m + 3)x + m2 - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ Δ' > 0 ⇔ (2m + 3)2 - 4(m2 - 1) > 0 ⇔ 12m > -13 ⇔ m > -13/12
Suy ra chọn đáp án D.
Dạng 3: Các bài toán liên quan đến tiệm cận của hàm số.
Ví dụ 1: Cho hàm số  có đồ thị (C).
Gọi M là một điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận của (C). Tính diện tích của tam giác IAB.
A. 2     B. 12
C. 4     D. 6
Giải:
Tập xác định D = R\{1}.
Đạo hàm 
(C) có tiệm cận đứng x = 1 (d1) và tiệm cận ngang y = 2 (d2) nên I(1; 2).
Gọi 
Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)

Δ cắt d1 tại 
và cắt d2 tại B(2x0 - 1 ; 2) .
Ta có 
IB = |(2x0 - 1) - 1| = 2|x0 - 1|
Do đó
Suy ra chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số  sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến trục hoành
A. M(0;-1); M(3;2).      B. M(2;1); M(4;3).
C. M(0;-1); M(4;3).      D. M(2;1); M(3;2.
Giải:
Tập xác định D = R\{1}.
Đạo hàm 
Do M thuộc đồ thị hàm số 
nên  với
Phương trình tiệm cận đứng là x - 1 = 0 (d).
Giải phương trình d(M; d) = d(M; Ox)

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là (0; -1) và (4; 3)
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Cho hàm số: 
Gọi d là tiếp tuyến bất kì của (C), d cắt hai đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại A, B. Khi đó khoảng cách giữa A và B ngắn nhất bằng
A. 4      B. 3
C. 2  D. 3
Giải:
Tập xác định D = R\{2}.
Đạo hàm 
Đồ thị hàm số (C) có tiệm cận đứng là x = 2 và tiệm cận ngang là y = 2.
Tọa độ điểm M bất kì thuộc đồ thị có dạng với
Do đó phương trình tiếp tuyến tại M là:

Tọa độ giao của tiệm cận và tiếp tuyến

Ta có:
⇒ AB ≥
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 4: Cho hàm số  với m là tham số thực. Gọi M là điểm thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (C) nhỏ nhất. Tìm tất cả các giá trị của m để giá trị nhỏ nhất đó bằng 2.
A. m = 0      B. m = 2
C. m = -2; m = 0      D. m = 1
Giải:
* Áp dụng công thức giải nhanh.
Điểm 
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 
tiệm cận ngang 
Ta có:
Khi đó
* Áp dụng công thức trên :
Yêu cầu bài toán trở thành:

Suy ra chọn đáp án C.
Dạng 4: Dựa vào bảng biến thiên tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R\{-1}, có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y = -1 và tiệm cận ngang x = -2
B. Đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận
C. Đồ thị hàm số có ba tiệm cận
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang y = -2
Giải:
Từ bảng biến thiên, ta có :

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng.

Suy ra y = -2 là tiệm cận ngang.
Suy ra chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R\ {-1} có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y = 2; y = 5 và một tiệm cận đứng x = -1
D. Đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận.
Giải:
Từ bảng biến thiên, ta có:
+ Vì 
nên x = -1 là tiệm cận đứng.
Do  nên y = 5 là tiệm cận ngang
 nên y = 2 là tiệm cận ngang.
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau kết luận nào sau đây đầy đủ về đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x)?

A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1 hoặc y = -1.
B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1.
C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1 hoặc y = -1, tiệm cận đứng x = -1.
D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1, tiệm cận đứng x = -1.
Giải:
+ Ta có 
Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
+ Lại có 
Suy ra y=- 1 là tiệm cận ngang
Và  nên y = 1 là tiệm cận ngang.
Suy ra chọn đáp án A.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R \ {0}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
C. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2.
D. Hàm số không có cực trị.
Giải:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét như sau:
* A đúng vì 
nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
* B sai vì tại x = 0 hàm số không xác định.
* C sai vì hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 trên khoảng (0; +∞) mà không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0; +∞).
* D sai vì đạo hàm y' đổi dấu từ “ + ” sang “ – ” khi đi qua điểm x = 1 nên x = 1 là điểm cực đại của hàm số.
Suy ra chọn đáp án A.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -3.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 3.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0 .
D. Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận.
Giải:
Từ bảng biến thiên, ta có:
+ Do  nên y = 0 là tiệm cận ngang.
+ Vì 
nên x = -3 là tiệm cận đứng .
+ Lại có 
nên x = 3 là tiệm cận đứng .
Vậy đồ thị hàm số có tất cả ba đường tiệm cận. Do đó D sai.
Suy ra chọn đáp án D.
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ tị hàm số đã cho có bao nhiêu tiệm cận.
A. 1      B. 2
C. 3      D. 4
Giải:
Từ bảng biến thiên, ta có:
+ Vì  nên y = 0 là tiệm cận ngang.
+ Vì  nên x = -2 là tiệm cận đứng .
+ Do  nên x = 0 là tiệm cận đứng .
Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng ba đường tiệm cận.
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu tiệm cận.
A. 1      B. 2
C. 3      D. 4
Giải:
Từ bảng biến thiên, ta có:
+ Vì  nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang;
+ Do  nên x = -2 là tiệm cận đứng.
+ Lại có  nên x = 1 là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng hai đường tiệm cận.
Suy ra chọn đáp án B.
Dạng 5: Vận dụng cao.
Ví dụ 1: Đồ thị hàm số sau có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1      B. 2
C. 3      D. 4
Giải:
Ta có:
nên x = 1 là tiệm cận đứng.
Ta có:
nên y = 2 là tiệm cận ngang.
Ta có:
nên y = 1 là tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận.
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Đồ thị hàm số  có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1      B. 2
C. 3      D. 0
Giải:
Tập xác định: D = (-1;1) ∪ (1;+∞). Ta có:

⇒ x = 1 là tiệm cận đứng.

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng.

Nên y = 0 là tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận.
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Cho hàm số: 
Gọi d, n lần lượt là số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. n + d = 1      B. n + d = 2
C. n + d = 3      D. n + d = 4
Giải:
* Để căn thức có nghĩa khi 2x2 - 1 ≥ 0
* Ta có:

Do đó tập xác định của hàm số:


* Ta có

Nên x = -1 là tiệm cận đứng.

Nên x = 1 không là tiệm cận đứng.
là tiệm cận ngang.
là tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.
Suy ra: d = 1; n = 2 nên d + n = 3
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 4: Biết rằng đồ thị hàm số sau nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm cận. Tính tổng S = m2 + n2 - 2

A. S = 2      B. S = 0
C. S = -1      D. S = 1
Giải:
Ta có:
Nên đường thẳng y = m - 2n – 3 là tiệm cận ngang.
nên x = n + m là tiệm cận đứng.
Từ giả thiết ta có

Suy ra: S = m2 + n2 – 2 = 0
Suy ra chọn đáp án B.
Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số sau có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng.

A. m < 4      B. m > 4
C. m = 4; m = -12      D. m ≠ 4
Giải:
* Ta có: 
nên y = 0 là tiệm cận ngang với mọi m.
* Do đó để đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng thì phương trình x2 – 4x + m = 0 có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng -2 ( khi đó hàm sẽ suy biến).

Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số sau có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng.

A. m = - 12      B. m > 4
C. m = -12; m > 4      D. m ≠ 4
Giải:
* Ta có 
nên y = 0 là tiệm cận ngang với mọi m.
* Do đó để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng thì phương trình x2 - 4x + m = 0 vô nghiệm
⇔ Δ' < 0 ⇔ m > 4
Suy ra chọn đáp án B.
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số sau có hai tiệm cận ngang.

A. m > 1      B. m < 0
C. m < -1      D. m > 0
Giải:
Khi m > 0 ta có
* Tiệm cận ngang:
là tiệm cận ngang
* Tiệm cận ngang:
là tiệm cận ngang
Với m = 0 suy ra , đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Với m < 0 thì hàm số có tập xác định là một đoạn nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Vậy với m > 0 thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
Suy ra chọn đáp án D.
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số sau có đúng một tiệm cận ngang.

A. m = 0; m = 1      B. m ≥ 0
C. m = 1      D. m = 0
Giải:
Ta có:
với
với

* Nếu m = 1 thì

Suy ra hàm số chỉ có đúng một tiệm cận ngang là y = 1/2

Do đó giá trị m = 1 thỏa yêu cầu bài toán.
* Nếu   , để đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang

Vậy m = 0; m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Suy ra chọn đáp án A.
Ví dụ 9: Cho hàm số sau với m là tham số thực và Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1     B. 2
C. 3     D. 4
Giải:
* Phương trình x2 + 2(m - 1)x + m2 = 0 có Δ' = (m - 1)2 - m2 = -2m + 1.
Suy ra với m > 1/2 thì phương trình trên vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
* Ta có
nên y = 1 là tiệm cận ngang

nên y = -1 là tiệm cận ngang.
Vậy khi m > 1/2 đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận.
Suy ra chọn đáp án B.
Ví dụ 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số sau có đường tiệm cận ngang.

A. m = 0      B. m < 0
C. m > 0      D. m ≥ 0
Giải:
Đồ thị hàm số  có đường tiệm cận ngang
khi và chỉ khi các giới hạn: và  tồn tại hữu hạn. Ta có:
* Với m = 0 thì hàm số trở thành: 
Khi đó 
suy ra đồ thị không có tiệm cận ngang.
* Với m < 0, hàm số xác định khi mx4 + 3 > 0. Khi đó hàm số các giới hạn và  không tồn tại. Do đó hàm số không có tiệm cận ngang.
* Với m > 0, khi đó hàm số có tập xác định D = R và

 là tiệm cận ngang.
Vậy với m > 0 thì hàm số đã cho có tiệm cận ngang.
Suy ra chọn đáp án C.