PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP



(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 15 tháng 10 năm 2014


Bài 1 (4 điểm).
a) Cho ab =1. Chứng minh rằng: a5+b5 = (a3+b3)(a2+b2) - (a+b)
b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n, ta có
25n4 + 50n3 – n2 – 2n chia hết cho 24.
Bài 2 (5 điểm).
a) Giải phương trình: x2-10x+ 27

b) Tìm x, y , z thỏa mãn điều kiện:


Bài 3 (2 điểm).
Cho
và
là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức
.
Chứng minh rằng
là một số hữu tỉ.
Bài 4 (3 điểm).
Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c. Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC , CA và AB tương ứng là ha , hb , hc . Gọi O là một điểm bất kỳ trong tam giác đó và khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA và AB tương ứng là x , y và z .
Tính

Bài 5 (3 điểm).
Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM.
Bài 6 (3 điểm).
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:


b) Cho

Chứng minh rằng :



Họ tên học sinh: .................................................................; Số báo danh: .......................
Giám thị 2: ......................................................................... Ký tên ......................................
PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP

(Đề thi gồm có 04 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán


Bài
Nội dung
Điểm

Bài 1
(4 đ)



a)
2 đ
Biến đổi vế phải:
(a3 +b3)(a2+b2) - (a+b) = a5 + b5 + a3b2 + a2b3 -(a+b)
= a5 + b5 + b2 a2 (a+b) - (a+b)
= a5 + b5 + 1 (a+b) - (a+b)
= a5 + b5


0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

b)
2 đ
 25n4 + 50n3 – n2 – 2n
= n( 25n3 + 50 n2 – n – 2 )
= n( n + 2 )( 25n2 – 1 )
= n( n + 2 )24n2 + n( n + 2 )( n2 – 1 )
= 24n3( n + 2 ) + ( n – 1 ). n( n + 1 )( n + 2 )
Biểu thức cuối cùng này có số hạng thứ nhất chia hết cho 24. Còn số hạng thứ hai có là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 1. 2. 3. 4 = 24


0,5
0,5

0,25
0,25

0,5





Bài 2
(5 đ)



a)
3,0 đ
  +  = x2 - 10x + 27. Đk : 4 ( x ( 6.
Áp dụng BĐT Cosi cho 2số không âm , ta được :
 +  =  +  (  +  = 2
Dấu “ = ” xảy ra (

Mặt khác : x2 - 10x + 27 = ( x2 - 10x + 25 ) + 2 = ( x - 5 )2 + 2 ( 2
Dấu “ = ” xảy ra ( x - 5 = 0 ( x = 5.
Do đó :  +  = x2 - 10x + 27 ( x = 5

0,25 đ


0,75 đ


0,75 đ

0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ

b)
2,0 đ
Điều kiện:

Cộng từng vế ta có :


Kết luận : vậy

0,5 đ




0,5 đ




0,5 đ



0,5 đ

Bài 3