Chuyên đề 22. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

A. Kiến thức cần nhớ

Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn. Để giải phương trình vô tỉ, ta thường làm như sau:

+ Đặt điều kiện cho ẩn

+ Bình phương hai vế khi hai vế đều dương.

+ Đặt ẩn phụ, giải phương trình ẩn mới.

+ Đánh giá hai vế của phương trình.

+ Sau khi tìm được nghiệm cần kiểm tra lại điều kiện của nghiệm, chọn thích hợp.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình:

_(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Quảng Trị năm học 2012 - 2013)_

_Giải_

_T__ìm__ cách gi__ả__i_. Quan sát đề bài, chúng ta nhận thấy bài toán có dạng: . Do đó nên đặt: . Giải phương trình ẩn y.

_Trình bày lời giải_

Đặt , suy ra .

Phương trình có dạng: .

Giải ra ta được: .

*

Với y = 1 thì *

Với thì
Vậy tập nghiệm của phương trình là :

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

_(Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hồ Chí Minh, năm học 2007 - 2008)_
_Giải_

a) Đặt , phương trình đã cho trở thành .

Giải ra ta được: .

- Với y = -1 ta có giải ra ta được

- Với y = 7 ta có giải ra ta được

Vậy tập nghiệm của phương trình là :

b) Điều kiện .

Đặt phương trình đã cho trở thành:
Giải ra ta được (thỏa mãn); (không thỏa mãn)

Với ta có:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.

Nhận xét: Ngoài cách giải trên, ta có thể chuyển một dấu căn sang vế kia (cô lập căn thức). Sau đó bình phương hai vế.

c) Điều kiện

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:

 
Dấu bằng xảy ra khi

Hệ trên vô nghiệm nên dấu bằng không xảy ra. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 3. Giải phương trình:

_(Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học )_

_Giải_

_Tìm cách giải._ Quan sát phương trình ta có thể tiếp cận cách giải theo các hướng sau:

- _Hướng 1_. Quan sát nếu nâng lên lũy thừa để khử căn thì được phương trình bậc bốn, nên nếu có nghiệm thì hoàn toàn giải được bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử.

- _Hướng 2._ Bài toán có dạng nên có thể đưa về . Từ đó giải tiếp được phương trình đơn giản.

- _Hướng 3._ Bài toán có dạng nên có thể chuyển về giải hệ phương trình đối xứng, bằng cách đặt ta được hệ phương trình:
_Trình bày lời giải_

Cách 1. Ta có: có điều kiện

Bình phương hai vế ta được:
.

Giải phương trình: ta được

Giải phương trình: ta được

Kết hợp với tập xác định ta được, nghiệm của phương trình là:
Cách 2. Xét
- Giải phương trình (1): đk

Suy ra ta được

- Giải phương trình (2): với điều kiện
Giải ra ta được: (thỏa mãn), (loại).

Kết hợp với tập xác định ta được, nghiệm của phương trình là:
Cách 3. Đặt

Kết hợp với phương trình đề bài ta có hệ phương trình

Từ phương trình (3) và (4) vế trừ vế ta được:
• Trường hợp 1. Xét x = y, thay vào phương trình (3) ta được:

.

Giải ra ta được

• Trường hợp 2. Xét thay vào phương trình (3) ta được:

.

Giải ra ta được: (thỏa mãn), (loại).

Kết hợp với điều kiện ta được, nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 4. Giải phương trình: .

_Giải_

Điều kiện .

Cách 1. Đặt phương trình có dạng:

x = 0, không phải là nghiệm của phương trình nên . Giải phương trình ẩn t, ta được:

• Trường hợp 1. (loại) vì .

• Trường hợp 2. , bình phương hai vế ta được: với ,

vì (thỏa mãn), (loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

Cách 2.
• Trường hợp 1. vô nghiệm.

• Trường hợp 2. với điều kiện .

.

Giải ra ta được x = 3 (thỏa mãn), x = 8 (không thỏa mãn).

Vậv tập nghiệm của phương trình là .

Ví dụ 5. Giải phương trình:

_(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2009 - 2010) _

_Giải_

_Tìm cách giải._ Quan sát đặc điểm của phương trình, ta thấy có hai hướng suy nghĩ:

• Cách 1. Vì vế phải xuất hiện dạng: còn vế trái xuất hiện , nên tìm cách đưa về hằng đẳng thức: . Sau đó giải tiếp.

• Cách 2. Đưa về hệ phương trình đối xứng loại hai.

_Trình bày lời giải_

Cách 1. . Điều kiện .
• Giải phương trình (1):

Điều kiện

.

Giải ra ta được: (thỏa mãn) (loại).

• Giải phương trình (2): vì và nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:

Cách 2. Điều kiện

Đặt điều kiện . kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ phương trình

Vế trừ vế ta được

• Trường hợp 1. Xét x = y suy ra: .

Giải ra ta được: (thỏa mãn), (loại).

• Trường hợp 2. Xét x = - y suy ra . Với thì vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: . 

Nhận xét. Kĩ thuật của bài là việc chọn ẩn phụ từ việc làm ngược.

Đặt và .

Để được hệ đối xứng thì ta chọn . Từ đó ta có cách giải trên. Ngoài ra ta có thể bình phương hai vế rồi giải phương trình bậc 4. Thật vậy

từ đó ta cũng giải được.

Ví dụ 6. Giải phương trình.

_(Thi học sinh giỏi Toán 9, thành phố Hồ Chí Minh, năm 2008 - 2009)_

_Giải_

_Tìm cách giải_. Để giải dạng toán này, ta thường có hai cách:

• Cách 1. Chuyển thành hệ phương trình đối xứng loại 1, bằng cách đặt phần chứa căn bằng y.

• Cách 2. Nhận thấy: x2 và có tổng là hằng số, đồng thời trong phương trình xuất hiện , nên chúng ta có thể đặt: . Sau đó biểu diễn phần còn lại theo y.

_Trình bày lời giải_

Cách 1. Đặt .

Từ đó, ta có hệ phương trình

Đặt . Hệ phương trình có dạng

Từ phương trình (2) ta có thay vào phương trình (1) ta được:

Giải ra ta được: .

• Trường hợp 1. Xét u = 5; v = 4 ta có

x, y là nghiệm của phương trình (3). Giải hệ phương trình (3) ta được  

Suy ra

• Trường hợp 2. Xét u = -7; v = 16 ta có

x, y là nghiệm của phương trình (4).

Phương trình này vô nghiệm.

Suy ra hệ phương trình này vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

Cách 2.

Đặt:

Phương trình đã cho có dạng: .

Giải ra ta được .

• Trường hợp 1. Với y = 5 ta có .

điều kiện
Giải ra ta được x = 1; x = 4 (thỏa mãn).

• Trường hợp 2. Với y = -7 ta có

điều kiện . Suy ra vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

C. Bài tập vận dụng

1.1. Giải phương trình:

_(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2009 - 2010)_

Hướng dẫn giải – Đáp số
Đặt với

Phương trình có dạng

Giải ra ta được y1 = 1; y2 = 3

- Với y = 1 thì

- Với y = 3 thì

Giải ra ta được x = -1, x = 3.

Vậy tập nghiệm của phương trình là

1.2. Giải phương trình:

_(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2008 - 2009)_

Hướng dẫn giải – đáp số

Đặt , phương trình có dạng

Giải ra ta được y = 3 (thỏa mãn); y = - 4 (không thỏa mãn)

Với

Giải ra ta được

1.3. Giải phương trình .

Hướng dẫn giải – đáp số

Điều kiện
với điều kiện

Giải ra ta được .

So sánh với điều kiện, ta được (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là .

1.4. Giải phương trình:

a) ;

b) .

Hướng dẫn giải - Đáp số

a/

Điều kiện

Đặt phương trình có dạng:
- Trường hợp 1. Xét

với . Giải ra ta được x = -1 (loại), x = 2 (thỏa mãn).

- Trường hợp 2. Xét
Vậy tập nghiệm của phương trình là

b) Đặt
giải ra ta được (loại); (thỏa mãn)

Với

1.5. Giải phương trình: .

_(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2009 - 2010)_

Hướng dẫn giải – đáp số

Đặt

hay

Từ đó, ta có hệ phương trình

Trừ từng vế các phương trình ta được
- Trường hợp 1. Xét t = x ta có

Giải ra ta được (loại)

- Trường hợp 2. Xét t + x + 4 = 0 ta có

Giải ra ta được x = 0 (loại), x = -4.

Vậy nghiệm của phương trình là

1.6. Giải phương trình: .

Hướng dẫn giải – Đáp số

Đặt với

Từ đó ta có hệ phương trình
Với

Giải ra ta được (loại); (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là

1.7. Giải phương trình:

_(Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Nghệ An, năm học 2011 - 2012)_

Hướng dẫn giải – Đáp số

Đặt

Điều kiện

Ta có hệ phương trình

Suy ra

Do nên

Suy ra

Thử lại thỏa mãn.

(không thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2.

1.8. Giải các phương trình:

a) ;

b) ;

c) .

_(Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hà Nội, năm học 2010 - 2011)_

Hướng dẫn giải – Đáp số

a/ điều kiện

Đặt

Phương trình có dạng:
- Trường hợp 1. Xét

Suy ra vô nghiệm.

- Trường hợp 2. Xét

Suy ra .

Giải ra ta được

Vậy phương trình có tập nghiệm là :

b/ điều kiện

Đặt

Phương trình có dạng :
- Trường hợp 1. Xét . Suy ra:
Giải ra ta được:

- Trường hợp 2. Xét

Suy ra vô nghiệm.

Vậy phương trình có tập nghiệm là:

c/ điều kiện

Đặt . Phương trình có dạng:
- Trường hợp 1. Xét .

Suy ra vô nghiệm.

- Trường hợp 2. Xét
Giải ra ta được: (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình:

1.9. Giải phương trình:

_(Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2013 - 2014)_

Hướng dẫn giải – Đáp số

Điều kiện xác định:

Phương trình tương đương với

Đặt

Ta có phương trình hoặc b = -3a

Khi đó hoặc

- Với , điều kiện x > 0, ta có:

hoặc (loại)

- Với , điều kiện , ta có:

hoặc (loại)

Vậy phương trình có hai nghiệm

1.10. Giải phương trình:

_(Thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP. __Hồ Chí Minh, năm học 2014- 2015)_

Hướng dẫn giải – Đáp số

ĐKXĐ:
Vậy tập nghiệm của phương trình là:

1.11. Giải phương trình:

_(Tuyển sinh lớp 10, THPTchuyên Toán, tỉnh Hưng Yên, năm học 2013-2014)_

Hướng dẫn giải – đáp số

Nhận xét:

ĐKXĐ:

Phương trình viết dưới dạng

Đặt

Phương trình có dạng

Trường hợp 1. Xét a = b, ta có:

Phương trình có hai nghiệm: (thỏa mãn), (thỏa mãn)

Trường hợp 2. Xét 2a = b, ta có:

Phương trình có hai nghiệm: (thỏa mãn), (không thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: ; ;