TRƯỜNG THCS HÒA QUANG
ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 - 2021

Họ và tên:
Môn: Toán Khối: 8

Lớp: 8 …
Thời gian: 60 phút


Điểm
Lời phê của giáo viên
Xét duyệt của tổ
Xét duyệt của nhà trường










Bài 1: (2 điểm) Cho hai số nguyên a và b, biết 2a + b
3. Chứng minh rằng: a + 2b
3
Bài 2: (4 điểm) Tìm giá trị các số x, y sao cho thỏa mãn đẳng thức 2x2 + 2y2 + 2xy – 2x + 2y + 2 = 0.
Bài 3: (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẽ từ A đến BD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AH và DH. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành.
Chứng minh tam giác ANI là tam giác vuông.
BÀI LÀM:

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

ĐÁP ÁN

Bài
Ý
Nội dung
Điểm

Bài 1:

Ta có: a + 2b + 2a + b = 3(a + b)
3
Mà 2a + b
3
Vậy a + 2b
3
1 điểm

1 điểm

Bài 2:

 2x2 + 2y2 + 2xy – 2x + 2y + 2 = 0

(x2 + 2xy + y2 ) + ( x2 – 2x +1) + ( y2 +2y + 1) = 0

( x + y )2 + (x – 1)2 + ( y + 1)2 = 0






Vậy cặp giá trị (x; y) = (1; -1)

1 điểm
1 điểm


1 điểm


0,5 điểm


0,5 điểm

Bài 3:






a
Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành
Xét (ADH có:
MN đường trung bình
Nên MN // AD, MN =
(1)
AD // BC, AD = BC (2) (cạnh của hình chữ nhật)
BI =
(3) (gt)
Từ (1), (2), (3) suy ra MN // BI, MN = BI
Suy ra tứ giác BMNI là hình bình hành



0,5 điểm

0,5 điểm


0,5 điểm
0,5 điểm


b
Ta có MN // AD (cmt)
AD
AB (vì ABCD là hình chữ nhật)
Do đó MN
AB
Xét (ABN có:
MN
AB (cmt)
MN là đường cao của (ABN
AH
BN (vì AH
BD)
AH là đường cao của (ABN
Mà AH và MN giao nhau tại M
Nên H là trực tâm của (ABN
Suy ra BM
AN (*)
BM // NI (vì hai cạnh đối hình bình hành BMNI) (**)
Từ (*) và (**) suy ra AN
NI


Vậy (ANI là tam giác vuông


0,25 điểm

0,25 điểm
0,25 điểm

0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm