268 BÀI TẬP TOÁN NÂNG CAO LỚP 9

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI

1. Giả sử
là số hữu tỉ (
(tối giản). Suy ra
(1). Đẳng thức này chứng tỏ
mà 7 là số nguyên tố nên m
7. Đặt m = 7k (k ( Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại có n2
7 và vì 7 là số nguyên tố nên n
7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số
không tối giản, trái giả thiết. Vậy
không phải là số hữu tỉ; do đó
là số vô tỉ.
2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a) ( b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.
3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.
Vậy min S = 2 ( x = y = 1.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có :
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ( 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S ( S ≥ 2. ( mim S = 2 khi x = y = 1
4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương
, ta lần lượt có:
;
cộng từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có :
.
( (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) ( 122 ≥ 60P ( P ≤
( max P =
.
Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 ( a = 2 ; b = 6/5.
5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . Dấu “=” xảy ra khi a = ½ .
Vậy min M = ¼ ( a = b = ½ .
6. Đặt a = 1 + x ( b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3.
Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta lại có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.
Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.
7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b).
8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b | ( a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2
( 4ab > 0 ( ab > 0. Vậy a và b là hai số cùng dấu.
9. a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0.
b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức này có hai vế đều dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.
10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn, ta được :
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).
11. a)

b) x2 – 4x ≤ 5 ( (x – 2)2 ≤ 33 ( | x – 2 | ≤ 3 ( -3 ≤ x – 2 ≤ 3 ( -1 ≤ x ≤