A.Tóm tắt lý thuyết

I. Định Nghĩa.

II. Tính chất của bất đẳng thức.
1.
2. Tính chất bác cầu.

3. Tính chất đơn điệu của phép cộng (liên hệ giữa thứ tự và phép cộng).

4. Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều, ta được bất đẳng thức
cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều ta được bất đẳng thức
cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
.
6. Tính chất đơn điệu của phép nhân (liên hệ giữa thứ tự và phép nhân)

Chú ý: Phép chia tương tự phép nhân .
1

7.Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều, mà các vế đều không âm

8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương.

9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số.
Với
thì

Chú ý: - Trong các bất đẳng thức trên, nhiều bất đẳng thức
thể thay bằng
- Áp dụng cho các biểu thức.

có

2

III. Các tính chất của hằng bất đẳng thức.
1.
2.
3.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.

4.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

5.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

.

Chú ý: Các tính chất trên áp dụng cho cả biểu thức.
6.

3

IV. Một số bất đẳng thức quen thuộc.
1.Bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm.
ta có

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cặp số.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

3.

4.

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi

.

6.
4

7.
8.

Với

9.

Với

: Nếu

thì

cùng dấu ta có:

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi

.
10.

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi

Hay:

.

11.

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi

12.
13.

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
Với

.
.

.Ta Có
.

14.

.

.

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi
15.

.
.

5

B. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
I.Ph¬ng ph¸p dïng §Þnh nghÜa
Để chứng minh
Ví dụ1:
Cho

Ta chứng minh
và

hoặc

Chứng minh:

Lời giải:
Ta có:

Vì

Suy ra:

, Mặy khác

vậy

Với

Tương tự như trên ta có thể xét
Ví dụ2:
Chứng minh:
a.

.

b.
Lời giải:
a. Ta chứng minh
Vậy

.

.

. Đẳng thức xảy ra
. Ta chứng minh
Ta có

Vậy
Vậy

. Đẳng thức xảy ra
. Đẳng thức xảy ra
6

b. Ta có
Vậy
Ví dụ3:
Chứng minh:
Lời giải:
Ta xét

Đẳng thức xảy ra
.

Đặt
Ta có

Đẳng thức xảy ra
hay

Vậy
Đẳng thức xảy ra
Ví dụ4:
Cho

Chứng minh

.

Lời giải: Xét hiệu

7

Vì
Đẳng thức xảy ra
Vậy với

thì

Đẳng thức xảy ra

Ví dụ5:
Chứng minh :
Lời giải: Xét hiệu

Vậy

Đẳng thức xảy ra

II.Ph¬ng ph¸p BiÕn §æi t¬ng ®¬ng
8

Để chứng minh
ta biến đổi
bất đẳng thức cuối cùng đúng, các pháp biến đổi là tương đương suy ra bất
đẳng thức ban đầu đúng.
Ví dụ6: chứng minh các bất đẳng thức sau;
a.
b.
Lời giải:
a.

Luôn đúng suy ra

.

Đẳng thức xảy ra
b.

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Đẳng thức xảy ra

9

Ví dụ7: Cho

Lời giải:

sao cho

Ta có

Bất đẳng thức cuối luôn đúng
và

Chứng minh

Thì

Bất đẳng thức đã cho đúng. Vậy

.

Đẳng thức xảy ra
Ví dụ8: Chứng minh bất đẳng thức .
Lời giải: Vì

Nên

Bất đẳng thức cuối đúng
. Vậy

Bất đẳng thức đã cho đúng. Đẳng thức xảy ra
. Đẳng thức xảy ra

.
10

Chú ý: (Có thể áp dụng bất đẳng thức Cosi)
Ví dụ9: Cho

. Chứng minh.

Lời giải: Ta có

Bất đẳng thức đúng mà các phép biến đổi là tương đương nên bất đẳng thức đã
cho đúng.
Dấu “=” xảy ra
.
Vậy với

thì

Ví dụ10: cho

Dấu “=” xảy ra
,

.

Chưng minh .

Lời giải: Ta có

(*) Đúng vì
thức đã cho đúng .

, các phép biến đổi trên là tương đương nên bất đẳng

11

Vậy với

,

Ví dụ11: Cho

Ta có

.

Chứng minh:

.

Lời giải: Ta có

Vì
Vậy
Các phép biến đổi trên là tương đương , bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất
đẳng thức đã cho đúng.
Vậy
Chú ý: Nếu

Thì
Thì

Ví dụ12: Cho

.

chứng minh

Hướng dẫn: Làm như ví dụ 9.
III.Sö dông tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc.
Ví dụ13: Cho

Chứng minh

Lời giải: Ta có
12

Mặt khác:

Vậy

Thì

Ví dụ14: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh :
Lời giải: Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

Tương tự như trên ta có
Cộng từng vế của ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được.
Ví dụ15: chưng minh:

(n dấu

)

Lời giải: Ta có
(n dấu
)
Ví dụ16: Cho

Lời giải: Vì

Chưng minh:

.

Ta có

13

Vậy với
Ví dụ17: Cho
chứng minh:
Lời giải:
Ta có

Thì

.

Tương tự ta có
Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

IV.ph¬ng ph¸p ph¶n chøng
Ta cần chứng minh
ta giả sử ngược lại là
rồi biến đổi dẫn đến
điều vô lý, hoặc trái với giả thiết, như vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ18: Cho
Lời giải: Ta giả sử
Ta lại có
Từ (1), (2) ta có
.

chứng minh

Trái với giả thiết là

14

Vậy

dấu “=” xảy ra
Ví dụ19: Cho
Lời giải: Giả sử

.
Chứng minh:

Vì
Điều này vô lí. Vậy điều ta giả sử là sai.
Vậy với
thì
dấu “=” xảy ra
.
Ví dụ20: Chứng minh rằng không có ba số dương a, b, c nào thoả mãn
đồng thời cả ba bất đẳng thức sau:

Lời giải: Giả sử các số dương a, b, c đều thoa mãn đồng thời cả ba bất
đẳng thức trên thì ta có:
Mặt khác ta có:

Tương tự như vậy ta có:

15

do đó ta có
Vì (1) mô thuẫn với (2) nên điều giả sử là sai. Vậy không có ba số
dương a, b, c nào thoả mãn đồng thời ba bất đẳng thức.

IV.ph¬ng ph¸p sö dông bÊt ®¼ng thøc ®· biÕt.
Các bất đẳng thức quan trọng là:
1. Bất đẳng thức Cosi
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
3. Các bất đẳng thức khác.

Ví dụ21: Cho

. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Lời giải:
a.Ta có

16

Vì

nên ta áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số

Vậy

Dấu “=” xảy ra

Ta được:

.

b. Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được

Dấu “=” xảy ra

Vậy với

thì

Dấu “=” xảy ra
.
Chú ý: Các bất đẳng thức trên còn viết dướ dạng với

thì

17

Ví dụ22: Cho

Chứng minh

.

Lời giải: Ta có

VÌ

áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có
.
Dấu “=” xảy ra

.Vậy

thì

Dấu bằng xảy ra

.

Ví dụ23:
a.Chứng minh bất đẳng thức
b.Cho
Lời giải:

Chứng minh

a. Ta có

18

nên

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, các phép biến đổi là tương đương

Dấu “=” xảy ra

.

b.Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Dấu bằng xảy ra

Vậy với

thì

.

Ví dụ24: Chứng minh ;
a.
b.
Lời giải:
a. Ta có

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng
Dấu “=” xảy ra
b. Áp dụng bất đẳng thức

Ta được :
19

Dấu “=” xảy ra

Vậy

Dấu “=” xảy ra

Ví dụ25: Cho

Chứng minh bất đẳng thưc sau:

Lời giải: Nếu
có :

.

trái dấu bất đẳng thực(1) luôn đúng.
Nếu
cùng dấu theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta

Ta chứng minh

Vì

cùng dấu nên

20

Dấu “=” xảy ra
Vậy
Ví dụ26: Cho

dấu “=” xảy ra

.

Chứng minh rằng

b. Cho
Chứng minh :
Lời giải:

a. Ta có

Vì
Do đó:
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng các phép biến đổi là tương đương do đó bất
đẳng thức đã cho luôn đúng.
Dấu “=” xảy ra

21

b. Áp dụng bất đẳng thức

Ta có

Tương tự như vậy ta có

Cộng từng vế của (1), (2), (3) ta có

Dấu “=” xảy ra
VI.ph¬ng ph¸p lµm tréi , lµm gi¶m.
1. Chứng minh lơn hơn ta làm giảm . Cần chứng minh
A Tức là
rồi chứng minh
.
2. Chứng minh nhỏ hơn thì làm trội . Cần chứng minh
rồi chứng minh
Ví dụ27: chứng minh rằng

Ta làm giảm
Ta làm trội

thì :

Lời giải:
Dùng phương pháp làm giảm.
Vì
nên1<2<3<......
22

Do đó
Vậy
Ví dụ28: Chứng minh với

thì

Lời giải: Ta chứng minh
Ta có

nên

23

Vậy
Ta chứng minh tiếp
ta có

Vậy với

thì

24

Ví dụ29: chứng minh với

Lời giải:
Ta có

Vậy

Do đó

VII.ph¬ng ph¸p dæi biÕn sè
25

Ví dụ30: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. với
thì
b. a, b c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì :
Lời giải:

a. Ta có

Vì

Dấu “ =” xảy ra
b. Bất đẳng thức này có nhiều cách chứng minh như áp dụng bất đẳng thức
Cosi. Ở đây ta chứng minh bằng cách đổi biến số.
Đặt

theo bất đẳng thức

ta có

Dấu “=” xảy ra
Ví dụ31: Cho

Chứng minh

Lời giải:
Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ngay kết quả .Ở đây ta dùng phương
pháp đổi biến số .

26

Đặt

Ta có

Dấu bằng xảy ra
Vậy

Dấu bằng xảy ra

Ví dụ32: Cho

và

chứng minh

Lời giải:
Ta liên tưởng tới bất đẳng thức :
Đặt
theo
Ta lại có
vì

và

nên

Vậy
27

Dấu “=” xảy ra
Vậy
Dấu bằng xảy ra

28

bµi tËp
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Ta sử dụng bất đẳng thức :
c

Để chứng minh câu a, b,

d. Biến đổi tương đương .
Chu ý: Có thể chuyển thành bài toán cực trị.
Bài 2: Cho
Chứng minh
Biến đổi tương đương .
Ta có
Vì
Bài 3: Cho

Đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Chứng minh

Biến đổi tương đương

29

Ta có

Vì
đúng vậy ta có điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
bất kỳ .
Bài 4: Cho
So sánh
Hướng dẫn giải: Giả sử

Theo bất đẳng thức Cosi
Vì
Vậy (*) đúng suy ra
Chú ý : Có thể dùng máy tính để tính (*).
Bài 5: Cho

Chứng minh

Hướng dẫn giải:
Ta có

vì

nên (*) đúng vậy ta có điều phải chứng minh
30

ssBài 6: Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải:
Ta có

(Bunhiacopxki)

Bất đẳng thức (*) đúng với
Khi

thì

là hiển nhiên đúng , vậy bất

đẳng thức đã cho được chứng minh .
Bài 7: Cho

chứng minh

Hướng dẫn giải: Ta có

Ta sẽ chứng minh

31

Dấu (*) đúng các phép biến đổi là tương đương nên bất đẳng thức đã cho đúng .
Dấu “=” xảy ra
Bài 8: Chứng minh rằng :
Hướng dẫn giải: Nếu
ta có :

Vì

trái dấu bất đẳng thức luôn đúng với

cùng dấu

cùng dấu nên theo bất đẳng thức Cosi ta có

Vậy
Dấu “=” xảy ra
Bài 9: Cho

Vậy

Dấu “=” xảy ra
Chứng minh bất đẳng thức:

Hướng dẫn giải: Vì
mặt khác

32

Vì
Bài 10: Cho
. Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải: Đây là bất đẳng thức Bunhiacopxki với bốn số :

ở đây ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này

đặt

Ta có

vì
Dấu “=” xảy ra
Vậy
Tổng quát:

Bài 11: Cho
Hướng dẫn giải:
Ta có

Dấu “=” xảy ra
thì

. Chứng minh

33

Bất đẳng thức (*) đúng các phép biến đổi là tương đương vậy ta có điều phải
chứng minh , dấu “=” xảy ra
Bài 12: Chứng minh các bất đẳng thức:
b. Với

thì

Hướng dẫn giải:
a.

Ta có

Bất đẳng thức (*) đúng, các phép biến đổi là tương đương nên bất đẳng thức đã
cho đúng .
Dấu “ = “ xảy ra
.
b. Ta có
Mặt khác ta có:
Vậy ta có
Dấu “=” xảy ra
Chú ý: ý b, có thể chuyển thành cực trị của những tổng luỹ thừa bậc chẵn cao
hơn.
Bài 13: Chứng minh bất đẳng thức sau:
34

Hướng dẫn giải: Biến đổi tương đương ta có
Dấu “=” xảy ra
Bài 14: Cho

chứng minh

Hướng dẫn giải: Ta có

Bất đẳng thức (*) đúng các phép biến đổi là tương đương vậy bất đẳng thức đã
cho đúng.
Dâu “=” xảy ra
.
Bài 15: Cho
Chứng minh
Hướng dẫn giải:
Ta có

Vì

Bài 16: Cho

chứng minh bất đẳng thức

Hướng dẫn giải: Ta có
35

Bất đẳng thức (*) đúng các phép biến đổi là tương đương nên bất đẳng thức đã
cho đúng .
dấu “=” xảy ra
.
Bài 17: Cho
chứng minh
Hướng dẫn giải: Ta có
mặt khác
Vậy suy ra
Từ
(1)
mà
(2)
Tù(1), (2)
.
Tổng quát:

Bài 18: Cho

chứng minh bất đẳng thức

Hướng dẫn giải:

(*)đúng

ĐPCM dấu “=” xảy ra

Bài 19: Chứng minh với

.

thì
36

Hướng dẫn giải:
Ta có

Bất đẳng thức(*) đúng
Bài 20: Cho

ĐPCM dấu “=” xảy ra

.

chứng minh

Hướng dẫn giải:
Cách 1: Ta có

dấu “=” xảy ra
Cách 2: Đổi biến số
Đặt

.

37

Ta có

Dấu “=” xảy ra
Bài 21: Cho

.
Chứng minh

Hướng dẫn giải:
Đặt

Tương tự ta có

38

Bài 21: Cho

Chứng minh các bất đẳng thức.

Hướng dẫn giải:
a. Cách 1: Ta có
Tương tự ta có

Vậy

39

Dấu “=” xảy ra
Cách 2: Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Dấu “=” rảy ra
Chý ý : Còn nhiều cách giải khác có thể tim giá trị nhỏ nhất .
b. Chứng minh hoàn toàn như câu a.
Bài 22: Cho
Chứng minh

Hướng dẫn giải:
Có thể giải được theo hai cách như bài 21.
Ta có

40

Do đó

Dấu “=” xảy ra
Chú ý: Mở rộng được ra n số hạng
Chuyển thành giá trị nhỏ nhất
Bài 23: Cho

Chứng minh bất đẳng thức

Hướng dẫn giải:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cosi cho ba sô không âm

thì

Cách 1: Sử dụng hàng đẳng thức
Ta có

hay
41

Cách 2: Ta đã có
Áp dụng bất đẳng thức dấu (*) ta có

Ta có
nếu có thừa số bằng 0 trong các thừa số
nếu

thì bất đẳng thức đúng

ta có

Dấu “=” xảy ra
Bây giờ ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số để chứng minh bài 23
Ta dễ dàng chứng minh được:
nên
Vì

theo bất đẳng thức Cosi ta có

Do đó

42

Dấu “=” xảy ra
Bài 24: Cho
Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Có thể dùng bất đẳng thức
Bằng cách đặt
Hoặc vẫn dùng bất đẳng thức trên nhưng
không đổi biến .
Cách 2 : hoặc dùng bất đẳng thức Cosi
vì
theo bất đẳng thức Cosi ta có

Dấu “=” xảy ra
Bài 25: Cho

Chứng minh

Hướng dẫn giải:
a. cách 1: Bất đẳng thức Cosi
ta có

Tương tự ta có
Cộng từng vế của (1), (2), (3) ta được

43

Dấu “=” xảy ra

Vô nghiệm do đó dấu “=” không xảy ra

Vậy
Cách 2: dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki
ta có
(Vì

)

b. theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Dấu “=” xảy ra

Bài 26: Cho

Chứng minh

Hướng dẫn giải:
Theo bất đẳng thức Cosi ta có
lại áp dụng bất đăng thức Cosi ta có :

dấu “=” xảy ra
Bài 27: Cho

Chứng minh
44

Hướng dẫn giải:
Theo bất đẳng thức Cosi ta có

dấu “=” xảy ra
Bài 28: Cho
Chứng minh
Hướng dẫn giải:
Theo bất đẳng thức Cosi ta có

Dấu “=” xảy ra
Bài 29: Cho

Chứng minh

Hướng dẫn giải:
Vì
áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có
Tương tự ta có

Do đó ta có

45

dấu “=” xảy ra
Chú ý: Áp dụng đưa về bài toán cực trị
Bài 30: Cho

và

chứng minh

Hướng dẫn giải:
Ta liên tưởng tới bất đẳng thức :
Dễ ràng chứng minh được
Ta có
Dấu “=” xảy ra
Tổng quát :
nếu
Bài 31:
Cho

Chứng minh

Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức:

46

Dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức
Ta có

Dấu “=” xảy ra
Chú ý: Có thể trình bày bằng ẩn phụ cho gọn

Bài 32:
Cho

Chứng minh

Hướng dẫn giải:
Theo bất đẳng thức Cosi ta có

Ta đi chứng minh

47

Bất đẳng thức (2) đúng suy ra bất đẳng thức (1) đúng

Dấu “=” xảy ra
Chú ý
Ta cũng chứng minh được bất đẳng thức :

thì

bằng cách biến đổi tương đương hay xét hiệu :

Bài 33:
Cho

Chứng minh

Hướng dẫn giải:
Ta có

Vậy

Cộng tứng vế của (1), (2), (3) Ta được

Dấu “=” xáy ra
48

Chú ý :có thể đưa thành bài toán cực trị .
Bài 34:
Cho
Chứng minh
Hướng dẫn giải:
Vì

Vậy
Mặt khác
Vì
nên
Vậy
Có thể đưa thành bài toán cực trị.

Bài 35: Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải:
Với
theo bất đẳng thức Cosi ta có
nếu

thì

Ta có

49

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Chú ý
Mở rộng ra n cặp số bất kì
Bài 36:
n là số nguyên dương chứng minh

Hướng dẫn giải:
a. Ta có

b. Ta có

50