CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC (LỚP 7)
Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA
Phương pháp:
So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn
chứng minh lớn hơn 1 giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, và ngược lại

Bài 1: Chứng minh rằng:
HD:
Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng A như sau:
Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn.

Bài 2: Chứng minh rằng:
HD:
Ở bài toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ nhất ta cần chứng minh:
và Chứng minh
Ta có:
đến đây, ta sẽ so sánh
Ta có:

Chiều thứ hai, ta cần chứng minh:
Ta làm tương tự như sau :

Từ (1) và (2) ta có :
Bài 3: Chứng minh rằng:
HD :

như sau:

bằng cách ta nhân cả tử và mẫu của phân số

cùng tử rồi so sánh khi đó ta có:

=>

với

(2)

với 96 để được hai phân số
(1)

Ta biến đổi:

Bài 4: Chứng minh rằng:
HD :
Nhận thấy bài này là tổng cùng lũy thừa nhưng cơ số lại chẵn, nên ta sẽ đưa về tổng lũy thừa hai liên
tiếp như sau :

=>
Bài 5: Chứng minh rằng:
HD :
Nhận thấy bài này có dạng tổng lũy thừa cùng cơ số, nên ta sẽ thực hiện phép tính tổng A
Việc tính chính xác được tổng A sẽ giảm bớt sự sai số, tuy nhiên không phải tổng nào cũng có thể
tính được,
Ta tính tổng A như sau:
Sau đó lấy 2A trừ A theo vế và nhóm các phân số có cùng mẫu ta được :
, đặt
được :

và tính tổng B theo cách như trên ta

, thay vào A ta được :

Bài 6: Chứng minh rằng:
HD :
Tính tượng tự như bài 5, ta có:
Đặt

,

, và tính B rồi thay vào tổng A ta được

Bài 7: Chứng minh rằng:
HD :
Ta có :
Bài 8: Chứng minh rằng:
HD :
Ta có :
Bài 9: So sánh
HD :

với

Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên n>2 thì
HD :
Ta có : 

không là số tự nhiên

mặt khác ta thấy A>1 vậy ta có : 1
Bài 11: Chứng minh rằng:
HD :

Bài 12: Chứng minh rằng:
HD :

Bài 13: Chứng minh rằng:
HD :
, Đặt tổng trong ngoặc bằng B rồi tính B ta có :
, thay vào A ta được :
(1)
Mặt khác :
Từ (1) và (2) ta được ĐPCM

(2)

Bài 14: Chứng minh rằng:
HD :
Tính tổng A , ta được :

Bài 15: Chứng minh rằng:
HD :
Ta có :

Bài 16: CMR :
HD :
Ta có :

, Đặt tổng trong ngoặc bằng B

Bài 17: Chứng minh rằng:
HD :
=>
Bài 18: Chứng minh rằng:
HD :
=>
Bài 19: Chứng minh rằng:
HD :
Tính

Bài 20
HD :

có giá trị không nguyên

nên M < 1 và M > 0 vậy M không có giá trị nguyên

: Chứng minh rằng:

Bài 21: Chứng minh rằng:
HD :
A
Bài 22: Chứng minh rằng:
HD:
, Đặt tổng trong ngặc bằng B ta có:

Bài 23: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:
=0.2
Bài 24: Chứng minh rằng:
HD:
Ta có :
Mặt khác :

thì

Vậy
Bài 25: Cho
HD:

, CMR:

CMR:

=>

TH1:
Bài 26: Cho
HD:

TH2:
, CMR: A < 2

Ta có:
Bài 27: CMR:
a,
HD:

b,

a, Ta có:
Nên
b, Ta có:
Đặt

, Thay vào A ta được:

Bài 28: CMR :
HD:
Đặt

Nhân 49 A =>

Bài 29: Cho

, CMR:

Bài 30: CMR :
Bài 31: CMR:
Bài 32: CMR:
HD:
Ta có:

,

, tương tự như vậy :

Mặt khác:
Tương tự như vậy:

,

,

Bài 33: CMR: CMR :
HD:
Ta có :

vậy

Bài 34: CMR:
HD:

Bài 35: Cho
HD:
CMR:
TH1:
Bài 36: CMR :
Bài 37: CMR:
HD:
Xét số hạng tổng quát:
Do đó:
Với n=2500 ta có:
Bài 38: Chứng minh rằng:
HD:

> 48

, CMR:

=>
TH2:

Bài 39: Chứng minh rằng:
HD:

Bài 40: CMR:
Bài 41: CMR:

Dạng 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN
Phương pháp:
Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp 6 -7 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu
cuối và so sánh giữa các nhóm với nhau, để tạo ra các ngoặc có cùng tử, rồi so sánh bình thường

Bài 1: CMR:
HD:

Bài 2: CMR:
HD:

Bài 3: CMR:
HD:
hoặc
Bài 4: CMR:
HD:
Nhóm thành 2 ngoặc: Khi đó ta có:

Bài 5: So sánh A và B biết :
HD:

và

Tổng B có 15 số
Bài 6: Cho
HD:
Ta có:
Bài 7: Cho
HD:

, CMR: M<2

và
, CMR:

Tổng M có 13 số

Bài 8: Cho
HD:
Tổng trên có 30 số hạng:

, CMR: 3
Ta có:
Ngược lại:
Bài 9: Chứng minh rằng:
thì
HD:
Ta thấy tổng A có 100 số, như vậy ta sẽ nhóm thành 50 ngoặc, mỗi ngoặc sẽ có hai phân số,
gốm 1 phân số đứng đầu và 1 phân số đứng cuối, cứ như vậy dồn sâu vào trong tổng
( 50 ngoặc)
, lúc này ta sẽ so sánh tất cả với chung 1 phân số đầu

hoặc cuối,
TH1: Ta chứng minh

thì ta có:
(1)

TH2: Ta chứng minh

ta có:
(2)

Từ (1) và (2) => ĐPCM
Bài 10: Chứng minh rằng:
HD:
Nhận thấy tổng
Nên ta chứng minh được

chính là tổng bài 1
, mà

Bài 11: Cho
Chứng minh rằng:
HD :
Thấy rằng tổng A có 60 số hạng
TH1: Ta chứng minh

bằng cách nhóm 2 số một ngoặc thông thường

Ta có:

(30 ngoặc)

TH2: Tuy nhiên để chứng minh
, nếu chúng ta làm như trên thì sẽ không chứng minh được
Lý do: vì việc chứng minh nhỏ hơn mà chúng ta so sánh lớn hơn lượng dư thừa, dẫn đến tổng A lớn
hơn

, do đó để giảm bớt lượng dư, tùy vào bài toán, chúng ta nên nhóm thành 6 ngoặc

=
Bài 12: Cho
HD:
Nhóm tổng S thành 3 ngoặc

=

, Chứng minh rằng:

Mặt khác:
Bài 13: Cho
HD:
Tách tổng A thành:

, Chứng minh rằng: 0,2
Và:
Bài 14: Chứng minh rằng:
HD:
Thấy rằng tổng A có 2003 số hạng, số hạng ở giữa là
TH1:

TH2:

=

Bài 15: Cho
HD:
Tổng A có 50 số hạng

, Chứng minh rằng

Ta có:

(25 ngoặc)
(1)

Mặt khác:
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
Bài 16: Cho
HD:

(2)

, Chứng minh rằng: 1< A <2

Tổng A có 60 số hạng:

(30 ngoặc)

Mặt khác:
Bài 17: Chứng minh rằng:
HD:
Nhận thấy các mẫu của tổng A là bình phương cảu các số tự nhiên liên tiếp, còn tử số kém mẫu số là
1
nên ta tách A như sau:

Mà
Bài 18: Chứng minh rằng:
HD :
Nhận thấy tổng A có phân số cuối có dạng
sao cho phân số có dạng
Ta có :

ở cuối ngoặc :

, nên muốn Chứng minh tổng A lớn hơn 1 số ta nhóm

Bài 19: Cho :
HD :

, chứng minh rằng A>50 và A<100

Nhận thấy tổng A giống với bài 10, muốn chứng minh lớn hơn ta để phân số dạng

Mặt khác muốn chứng minh A <100, ta nhóm sao cho phân số có dạng

vậy A<100
Bài 20: Chứng minh rằng:
HD :

Bài 21: Cho
HD:

, So sánh A với 2007

Ta có:

Xét

Khi đó:
Bài 22: Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên n để:
HD :
Chọn
Bài 23: Cho

Khi đó :
, So sánh B với 50

ở cuối ngoặc :

nằm ở đầu ngoặc :

HD :

: Chứng minh rằng:
Bài 24
HD :
, có

số hạng
vậy A>1

Bài 25: Chứng minh rằng:
HD:
Tổng này là 1 trường hợp của bài 15: Áp dụng cách làm bài 15 ta có:

Bài 26: Chứng minh rằng:
HD:
Tương tự tổng này có dạng của bài 15, nên ta có:

Bài 27
HD:

: Chứng minh rằng:

Ta có:

Bài 28: CMR luôn tồn tại số tự nhiên n để
HD:
Chọn
Bài 29: CMR:
HD:

Bài 30: CMR:

Bài 31: CMR:
HD:

>

=

Bài 32: CMR:
Bài 33: CMR:

Dạng 3: TÍCH CỦA 1 DÃY

Phương pháp:

Với dạng tích ta sử dụng tính chất:

Bài 1: Cho
HD:

với m>0, và ngược lại

Chứng minh rằng: 14 < A < 20

Ta thấy: Phân số

nên ta có:
khi đó :

Mặt khác :

nên ta có :
khi đó :

Bài 2: Cho
HD :

Chứng minh rằng A

Ta thấy A có dạng

,

Bài 3: Cho
HD :

Chứng minh rằng

A có dạng

Mặt khác :

khi đó ta có :
khi đó :

=>
Bài 4: Chứng minh rằng
HD :
=>
Bài 5: Chứng minh rằng:
HD :
Ta có :

Chứng minh rằng

Bài 6: Cho
HD :

Chứng minh rằng:

Ta có :
Mặt khác :

Bài 7: Cho
HD :
Ta thấy tích A gồm 99 số âm :

So sánh A với

, Mà :
Vậy

Bài 8: Chứng minh rằng với n là số thự nhiên thì:

Dạng 4: BẤT ĐẲNG THỨC CHỮ
Phương pháp:
Với chương trình lớp 6-7 các dạng bài toán chứng minh bất đẳng thức chữ, ta thường sử dụng tính
chất:

hoặc ngược lại và đưa về cùng mẫu

Bài 1: Cho a, b, c > 0, Chứng minh rằng:
HD:

Ta có:

và

có giá trị không nguyên

, Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
, hay

Vậy M không nguyên

,

Bài 2: Cho x, y, z, t là số tự nhiên khác 0, Chứng minh rằng:
có giá trị không nguyên

HD:

Ta có:

và
, Vậy M không nguyên

, Cộng theo vế ta được:

Bài 3: Cho a, b, c, d Chứng minh rằng:
Có giá trị không nguyên
HD:

Ta có:

và

Cộng theo vế ta được:

Vậy A có giá trị không nguyên
Bài 4: Cho a, b, c là các số dương, và tổng hai số luôn lớn hơn số còn lại.

HD:

Chứng minh rằng:
Chúng ta có thể làm theo cách ở trên, hoặc làm theo cách thứ hai như sau:
Giả sử:

Khi đó:

, cộng theo vế ta được:

Bài 5: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
HD:

Ta có:

và

Cộng theo vế ta được:

Bài 6: Cho a, b, c, d > 0, Chứng minh rằng:
HD:
Ta có:

Cộng theo vế ta được: 2
Bài 7: Cho các số x,y,z nguyên dương, CMR:
HD:
Ngoài hai cánh như trên, ta cũng có thể hướng dẫn học sinh làm theo cánh như sau:
Ta có:
Mà

, Tương tự ta cũng có:
Nên

Bài 8: Cho các số x,y,z nguyên dương, CMR:
HD:
Ta có:

, Tương tự ta cũng có:

Mà

Nên

Bài 9 : Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác : CMR :
HD :
Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại nên ta có :
Tương tự ta có :
và
Cộng theo vế ta được :
Bài 10: Cho ba số dương
HD:

, CMR:

Vì
=>
Mà
Chứng minh tương tự ta có:
Cộng theo vế ta được:

và
(ĐPCM)