UBND HUYỆN YÊN LẬP ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2015-2016

(Đề chính thức)

MÔN THI: TOÁN, LỚP 9
Ngày thi: 26/11/2015
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (3,0 điểm):
a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S =

và
.
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
b) Cho A =
(với
n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương.
Câu 2 (4,0 điểm):
a) Tính giá trị A =

b) Cho
. Chứng minh:

Câu 3 (4,0 điểm): Giải các phương trình sau:
a)
b)


Câu 4 (7,0 điểm): Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại M và N.
a) Biết BC = 8cm và MN = 3cm. Tính diện tích tam giác AMN.
b) Chứng minh rằng: MN2 = AM2 + AN2 – AM.AN.
c) Chứng minh rằng:
.
Câu 5 (2,0 điểm): Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x2015 + y2015 + z2015 = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x2 + y2 + z2

Hết

Họ và tên học sinh:……………………………….,số báo danh:……………..
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
UBND HUYỆN YÊN LẬP HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHON HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GD&ĐT CẤP HUYỆN, NĂM HỌC 2015-2016

MÔN : TOÁN, LỚP 9
Ngày thi: 26/11/2015
Câu 1 (3,0 điểm):
a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S =

và
.
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
b) Cho A =
(với
n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương.

Đáp án
Điểm

a) (1,5 điểm):
Với
thì a3 – a = (a – 1)a(a + 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3. Mà (2.3)=1 nên a3 – a
6


Vậy



0,5

0,5
0,5

b) (1,5 điểm): Ta có:
A = n6 – 2n5 + 2n4 + 2n5 – 4n4 + 4n3 + n4 – 2n3 + 2n2
= (n4 + 2n3 + n2) (n2 – 2n + 2)
= n2(n + 1)2(n2 – 2n + 2)
+ Với
n > 1 thì n2 – 2n + 2 = (n – 1)2 + 1 > (n – 1)2
và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n – 1) < n2
=> (n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 => n2 – 2n + 2 không phải là số chính phương.
Vậy A không phải là số chính phương (ĐPCM)




0,5

0,5

0,25
0,25


Câu 2 (4,0 điểm):
a) Tính giá trị A =

b) Cho

Chứng minh:


Đáp an
Điểm

a) (2 điểm)
Đặt a =
=> a2 = 8 +

=> a =

=> A = a -


1,0
0,5

0,5

b) (2 điểm):
Đặt
= k
=>
;
;

Do đó:
=

Tương tự ta có:



=> ĐPCM

0,25

0,25



0,75

0,25

0,25
0,25


Câu 3 (4,0 điểm): Giải các phương trình sau:
a)
b)

Đáp án
Điểm

a) (2 điểm): ĐK:

Phương trình đã cho tương đương với:


Đặt
ta được phương trình:

hoặc

Với
ta có:
(Vô nghiệm)
Với
ta có:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã