Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số:
CHUYÊN ĐỀ : CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC
I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC
1/ Cho biểu thức f( x ,y,...)
a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
f(x,y...)
M ( M hằng số) (1)
Tồn tại xo,yo ... sao cho:
f( xo,yo...) = M (2)
b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn :
Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì :
f(x,y...)
m ( m hằng số) (1’)
Tồn tại xo,yo ... sao cho:
f( xo,yo...) = m (2’)
2/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2. Mặc dù ta có A
0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau:
A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2
2
A = 2
x -2 = 0
x = 2
Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2
II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN
1/ Tam thức bậc hai:
Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c .
Tìm GTNN của P nếu a
0.
Tìm GTLN của P nếu a
0
Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 +
x ) + c = a( x +
)2 + c -

Đặt c -
=k . Do ( x +
)2
0 nên :
- Nếu a
0 thì a( x +
)2
0 , do đó P
k. MinP = k khi và chỉ khi x = -

-Nếu a
0 thì a( x +
)2
0 do đó P
k. MaxP = k khi và chỉ khi x = -

2/ Đa thức bậc cao hơn hai:
Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai
Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7)
Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)
Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36
-36
minA = -36
y = 0
x2 – 7x + 6 = 0
x1 = 1, x2 = 6.
3/ Biểu thức là một phân thức :
a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
.
Giải : A =
. =
=
.
Ta thấy (3x – 1)2
0 nên (3x – 1) 2 +4
4 do đó


theo tính chất a
b thì


với a, b cùng dấu). Do đó



A
-

minA = -

3x – 1 = 0
x =
.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm GTLN của BT :
HD giải:
.
2. Tìm GTLN của BT :
HD Giải:

3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức.
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
.
Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm
A =
= 2 +

2
minA = 2 khi và chi khi x = 2.
Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :
A =
= 3 -
+
= (
-1)2 + 2
minA = 2
y = 1
x – 1 = 1
x = 2
Bài tập áp dụng: ()
1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN