A. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG HAY SỬ DỤNG
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I. BỘ 2 SỐ:
1.
(Với mọi x, y)
Chứng minh:

(1)

(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
Vận dụng bất đẳng thức trên để chứng minh các bất đẳng thức 2, 3, 4 sau.
2.

Chứng minh:
+ Cách 1:


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
+ Cách 2:
VT =
= VP
3.

Chứng minh:
+ Cách 1:


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
+ Cách 2:
VT =
= VP
4.

Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức
, ta coi
và
khi đó ta có:


Áp dụng bất đẳng thức
vào bất đẳng thức trên, ta được:


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y (điều kiện là x, y phải khác 0)
5.

Chứng minh:


6.

Chứng minh:


7.

Chứng minh:
+ Cách 1:


Mà
, do đó ta có điều phải chứng minh
+ Cách 2:


Với x, y dương thì hiển nhiên bất đẳng thức cuối đúng. Do đó ta có điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
8.

Chứng minh:
Với x, y lớn hơn 0, ta có:


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
9.

Chứng minh:
Với x, y lớn hơn 0, ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
10.

Chứng minh:


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
11.

Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM liên tiếp ta sẽ có điều phải chứng minh:

(1)

(2)
Từ (1) và (2) ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
12.

13.

14.

15.

16.

17.

Các bất đẳng thức trên có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương đương. Xét về bản chất bất đẳng thức 12 và 13 là một, bất đẳng thức 14, 15, 16, 17 là một.
18.

Chứng minh:
19.

Chứng minh:
20. Hằng đẳng thức Lagrange:


II. BỘ 3 SỐ:
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. Bất đẳng thức tam giác:


III. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ HAY SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY:
1. Các đại lượng trung bình của hai số không âm:
Với hai số không âm a, b. Kí hiệu:

là trung bình cộng của hai số a, b.

là trung bình nhân của hai số a, b.

là trung bình toàn phương của hai số a, b.

là trung bình điều hòa của hai số dương a, b..
Ta có bất đẳng thức Q ( A ( G ( H.
Chứng minh:
Từ
hay A ( G (1)


hay
hay Q ( A (2)
Mặt khác
hay G ( H (3)
Kết hợp (1), (2), (3) ta có Q ( A ( G ( H.
Dấu “=” trong các bất đẳng thức này đều xảy ra khi a = b.
Mở rộng ra cho n số không âm
ta cũng có:

là trung bình cộng của n số
.

là trung bình nhân của n số
.

là trung bình toàn phương của n số
.

là trung bình điều hòa của n số dương
.
Ta cũng có bất đẳng thức Q ( A ( G ( H.
Dấu “=” xảy ra khi
.
* Chú ý: A, G, Q, H theo thứ tự là viết tắt của các từ Arithmetic mean (trung bình cộng), Geometric mean (trung bình nhân), Quadratic mean (trung bình toàn phương) và Harmonic mean (trung bình điều hòa).
2. Các bất đẳng thức phụ:
n = 2: ( x, y ≥ 0 khi đó:
n = 3: ( x, y, z ≥ 0 khi đó:

2.1




2