Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...
BÀI 4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
(5 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Mô tả sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến
thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị).

-

Khảo sát được tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên
và vẽ đồ thị của các hàm số; hàm bậc ba, hàm phân thức hữu tỉ đơn giản.

-

Nhận biết được tính đối xứng (trục đối xứng, tâm đối xứng) của đồ thị các hàm
số trên.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá.

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm.

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Năng lực mô hình hóa toán học: mô tả các dữ kiện bài toán thực tế, giải quyết
bài toán liên quan đến khảo sát đồ thị hàm số.

-

Năng lực giải quyết vấn đề toán học: Khảo sát được tập xác định, chiều biến
thiên, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số; hàm bậc
ba, hàm phân thức hữu tỉ đơn giản.

-

Năng lực giao tiếp toán học: Mô tả sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập
xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ
đồ thị).

1

-

Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán: Sử dụng được máy tính cầm
tay, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Năng lực số:
-

1.1.NC1b: Áp dụng được kỹ thuật tìm kiếm để lấy được dữ liệu, thông tin và
nội dung trong môi trường số.

-

2.1.NC1a: Sử dụng được nhiều công nghệ số để tương tác.

-

5.2.NC1b: Áp dụng được các công cụ số khác nhau và các giải pháp công nghệ
có thể có để giải quyết vấn đề.

-

6.2.NC1a: Lựa chọn và sử dụng được các công cụ AI phù hợp để nâng cao hiệu
suất và giải quyết các vấn đề phức tạp.

3. Phẩm chất
-

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
-

GV: KHBD, SGK, SBT Toán 12, bài trình chiếu (Slide), phòng thực hành máy
tính kết nối Internet, máy chiếu, video AI tạo bằng công cụ AI được dùng để
khởi động bài học, bộ câu hỏi trắc nghiệm trên phần mềm Quizizz.

-

HS: SGK, SBT Toán 12 – Kết nối tri thức, vở ghi.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
a) Mục tiêu:
- Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS đưa ra được nhận định ban đầu về câu hỏi mở đầu.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

2

- GV yêu cầu xem video AI được thiết kế để phục vụ bài dạy và trả lời câu hỏi xuất
hiện trong video đó.
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:
Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi
phí sản xuất để sản xuất x đơn vị sản phẩm là
C ( x )=2 x +45 (triệu đồng). Khi đó, chi phí trung

bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là f ( x )=

C ( x)
. Hãy
x

giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo x
nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm.
Điều này thể hiện trên đồ thị hàm số f (x) trong
Hình 1.27 như thế nào?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS xem video và suy nghĩ câu trả lời.
- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm đôi hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV nhận xét, đánh giá và kết luận.
[6.2.NC1a: HS sử dụng công cụ AI hoặc sản phẩm số do GV cung cấp để tiếp nhận
thông tin, trả lời câu hỏi đơn giản.
2.1.NC1a: HS thực hiện các tương tác cơ bản với học liệu số (xem video, trả lời câu
hỏi trên môi trường số).
1.1.NC1a: HS tiếp cận, khai thác được thông tin từ nguồn học liệu số dưới sự hướng
dẫn của GV.]
- GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới: “Bài học
này sẽ giúp các em thấy được trong thực tế có rất nhiều tình huống được mô hình hóa
dưới dạng hàm số và cần khảo sát hàm số để giải quyết các tình huống đó.”.

3

Bài mới: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Sơ đồ khảo sát hàm số
a) Mục tiêu: Mô tả sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều
biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị).
b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ
trả lời câu hỏi, thực hiện HĐ1.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS trình bày được cách khảo sát hàm số.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN
1. Sơ đồ khảo sát hàm số

NLS
-

5.2.NC1b:

- GV cho HS quan sát và thảo luận với HĐ1

HS biết cách

bạn cùng bàn để trả lời câu hỏi trong a) Ta có:

sử dụng phần

HĐ1.

mềm để vẽ

y ' =2 x−4 ; y ' =0 ⇔ x=2 .

Cho hàm số y=x 2−4 x +3. Thực hiện b)

đồ thị và lập

lần lượt các yêu cầu sau:

+ Trên khoảng ( 2 ;+∞ ) , y ' > 0 nên hàm số bảng

a) Tính y ' và tìm các điểm tại đó y ' =0 .

đồng biến.

biến

thiên.

b) Xét dấu y ' để tìm các khoảng đồng + Trên khoảng (−∞;2 ) , y ' <0 nên hàm số -

2.1.NC1a:

biến, khoảng nghịch biến và cực trị nghịch biến.

Tương

của hàm số.

trực tiếp với

+ Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 với

lim y , lim y và lập bảng biến y CT =−1.
c) Tính x→−∞
x →+∞

thiên của hàm số.
d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về
tính đối xứng của đồ thị.
(GV có thể mời HS lên thao tác lập
bảng biến thiên và vẽ đồ thị bằng phần

4

đồ

tác

thị

và

c) Giới hạn tại vô cực:

bảng

biến

lim y =+ ∞ , lim +∞ .
x→+ ∞

thiên

thông

qua

phần

x→−∞

+ Bảng biến thiên:

mềm.

mềm GeoGebra)
+ GV goi 4 HS làm 4 ý.
+ GV nhận xét và chốt đáp án.

d) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm
( 0 ; 3 ) , cắt trục hoành tại điểm ( 1 ;0 ) và ( 3 ; 0 ) ,

nhận đường thẳng x=2 làm trục đối xứng.

- GV chiếu nội dung kiến thức.

Ghi nhớ
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
-

Tính đạo hàm y ' . Tìm các điểm tại đó
'
y =0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

-

Xét dấu y ' để chỉ ra các khoảng đơn
điệu của hàm số.

- GV chú ý HS khi vẽ đồ thị.

5

-

Tìm cực trị của hàm số.

-

Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn
vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm

số (nếu có).
-

Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

thiên.

cầu, thảo luận nhóm.

tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp Chú ý: Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm
nhận kiến thức, hoàn thành các yêu một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

độ (khi có và việc tìm không quá phức
tạp). Ngoài ra, cần lưu ý đến tính đối xứng

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình của đồ thị (đối xứng tâm, đối xứng trục).
bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm
và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.
Hoạt động 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba
a) Mục tiêu:
- Khảo sát tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ
thị của hàm bậc ba.
- Nhận biết tính đối xứng (trục đối xứng, tâm đối xứng) của đồ thị các hàm bậc ba
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú
ý nghe giảng, thực hiện các Luyện tập 1 và đọc hiểu ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS trình bày được cách khảo sát tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận,

6

bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm bậc ba; Nhận biết tính đối xứng của đồ thị hàm
số.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

NLS

2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc đa -

5.2.NC1b:

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu thức bậc ba

HS biết cách

Ví dụ 1:

sử dụng phần

Ví dụ 1: SGK – tr.27

Khảo sat sự biến thiên và vẽ đồ thị của Hướng dẫn giải: SGK – tr.27

mềm để vẽ

hàm số y=−x3 +3 x 2−4.

đồ thị và lập

+ GV có thể hỏi một số câu hỏi:

bảng

 Các điểm đặc biệt của đồ thị hàm

thiên.
-

số là gì?

biến

2.1.NC1a:

Tương

 Đồ thì hàm số có tâm đối xứng, trục

tác

trực tiếp với

đối xứng không?
+ GV gọi một bạn đứng tại chỗ trình

đồ

bày lại cách làm.

bảng

biến

Chú ý: Đồ thì của hàm số bậc ba thiên
qua
- GV chú ý cho HS về tâm đối xứng, y=a x3 +b x 2 +cx +d ( a≠ 0);

thông

+ GV nhận xét và chốt đáp án.
tiệmc ận của hàm bậc ba.

- Có tâm đối xứng là điểm có hoành độ mềm.
−b

thỏa mãn y ' =0 , hay x= 3 a .
- Không có tiệm cận.
- GV cho HS nghiên cứu Ví dụ 2.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số y=x 3−2 x 2 +2 x−1.
+ GV gọi một bạn đứng tại chỗ trình
bày lại cách làm.

7

Ví dụ 2: SGK – tr.28
Hướng dẫn giải: SGK – tr.28

thị

và

phần

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

Luyện tập 1

- GV yêu cầu HS làm cá nhân Luyện 1) Tập xác định của hàm số: R .
tập 1

2) Sự biến thiên:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của + Ta có: y ' =−6 x 2 +6 x−5. Vậy y ' <0 với
hàm số y=−2 x 3 +3 x2 −5 x .

mọi x ∈ R.

+ GV gọi một bạn lên bảng trình bày.

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng

(GV có thể mời HS lên thao tác lập (−∞;+ ∞ ) .
bảng biến thiên và vẽ đồ thị bằng phần + Hàm số không có cực trị.
mềm GeoGebra)
+ GV sửa bài và chốt đáp án.

+

Giới

hạn

tại

vô

cực:

lim y=−∞; lim y =+ ∞.

x→+∞

x→−∞

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị: Đồ thị của hàm số đi qua gốc

(1 )

tọa độ và có tâm đối xứng là điểm 2 ;−2 .

8

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp
nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu
hỏi, hoàn thành các yêu cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm
và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.
Hoạt động 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ
a) Mục tiêu:
- Khảo sát tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ
thị của hàm phân thức hữu tỉ đơn giản.
- Nhận biết tính đối xứng (trục đối xứng, tâm đối xứng) của đồ thị các hàm phân thức
hữu tỉ đơn giản.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú
ý nghe giảng, thực hiện các Luyện tập 2, 3; Vận dụng và đọc hiểu ví dụ.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu
hỏi. HS trình bày được cách khảo sát tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận,

9

bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức hữu tỉ đơn giản; Nhận biết tính đối
xứng (trục đối xứng, tâm đối xứng) của đồ thị các hàm phân thức hữu tỉ đơn giản.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

NLS

3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân -

Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu hàm số phân thức hữu tỉ
ax +b

thức y= cx + d ( c ≠ 0 , ad−bc ≠0)
- GV cho HS quan sát và nghiên cứu

a)
y=

Hàm

5.2.NC1b:

HS biết cách
số

phân

thức sử dụng phần

ax +b
( c ≠ 0 , ad−bc ≠ 0 )
cx + d

Ví dụ 3.

Ví dụ 3: SGK – tr.29

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của

Hướng dẫn SGK – tr.29

mềm để vẽ
đồ thị và lập
bảng

biến

thiên.

x +1
hàm số y= x−2 .

-

2.1.NC1a:

- GV chỉ định một bạn đứng tại chỗ

Tương

trình bày lại cách làm.

trực tiếp với

- GV nhận xét, chốt đáp án.
- GV chú ý cho HS về giao điểm, trục
đối xứng và tâm đối xứng.

Chú ý: Đồ thị của hàm số phân thức
ax +b
y=
(c ≠ 0 , ad−bc ≠0):
cx + d

đồ

thị

và

bảng

biến

- Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và thiên
qua
tiệm cận ngang làm trục đối xứng;

thông

- Nhận hai đường phân giác của các góc mềm.
tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các
trục đối xứng.
2
a x +bx+ c
¿ đa
b) Hàm số phân thức y=

px +q

thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)
- GV cho HS suy nghĩ và làm bài Luyện tập 2
Luyện tập 2.

10

tác

phần

Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi Ta có: f ( x )= 2 x+ 45 =2+ 45 , x ≥1.
x
x
f (x) là hàm số xác định với x ≥ 1.
−45
'
f ( x )= 2 <0 với mọi x ≥ 1. Vậy
Khi
đó,
+ GV gọi một bạn lên bảng trình bày.
x

(GV có thể mời HS lên thao tác lập hàm số này nghịch biến trên khoảng
bảng biến thiên và vẽ đồ thị bằng phần (1 ;+∞ ), chứng tỏ chi phí trung bình giảm
mềm GeoGebra)

theo x .

+ HS dưới lớp theo dõi, nhận xét.

Hơn nữa ta thấy f ( x ) >2 với mọi x ≥ 1. Từ

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

đó, ta nhận thấy chi phí trung bình giảm
nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng /sản

- GV cho HS suy nghĩ và làm bài Vận
dụng.
Một bể nước ban đầu có 200 lít nước.
Sau đó, cứ mỗi phút, người ta bơm
thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể
20 gam chất khử trùng (hòa tan).
a) Tính thể tích nước và khối lượng
chất khử trùng có trong bể sau t phút.
Từ đó tính nồng độ chất khử trùng
(gam/lít) trong bể sau t phút.
b) Coi nồng độc hất khử trùng là hàm
số f(t) với t ≥ 0. Khảo sát sự biến thiên
và vẽ đồt hị của hàm số này.
c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất

phẩm. Ngoài ra, khi x càng lớn thì chi phí
trung bình càng gần 2.
Vận dụng
a)
Thể tích sau nước sau t

phút là

V =200+40 t ((lít).

Khối lượng chất khử sau t phút là
m=20 t (gam)
⇒ Nồng độ chất khử trùng sau t phút là

20 t
(gam/lít).
200+40 t
t

b) Ta có: f ( t )= 10+2 t ,t ≥ 0.
- Tập xác định: [ 0 ;+ ∞ ) .
- Sự biến thiên:

10
'
f
(
t
)
=
> 0với mọi t ≥ 0.
+
khử trùng tăng theo t nhưng không
( 10+2t )2

vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

+ Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0 ;+ ∞ ).

+ GV gọi một bạn lên bảng trình bày.

+ Hàm số không có cực trị.

+ HS dưới lớp theo dõi, nhận xét.

11

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

1

+ Tiệm cận: lim f ( t )= 2
t →+ ∞

1

Do đó y= 2 là tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số.
+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:

Nhiệm vụ 2: Tìm hiểu hàm số phân
thức y=

a x 2 +bx+ c
¿ đa thức tử không
px +q
c) Do f ( t ) là hàm tăng nên nồng độc hất

chia hết cho đa thức mẫu)

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu
Ví dụ 4.
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
y=

x 2−x−1
.
x −2

+ GV gọi một bạn đứng tại chỗ trình
bày lại cách làm.
+ GV nhận xét.
- GV cho HS quan sát và nghiên cứu

12

khử trùng tăng theo thời gian. Tuy nhiên,
f ( t )=0,5 nên nồng độ này không
do tlim
→+ ∞

vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.
2
a x +bx+ c
¿ đa
b) Hàm số phân thức y=

px +q

thức tử không chia hết cho đa thức
mẫu)
Ví dụ 4: SGK – tr.30

Ví dụ 5.

Hướng dẫn giải: SGK – tr.30

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
y=

2

x + x−2
.
x+1

+ GV gọi một bạn đứng tại chỗ trình
bày lại cách làm.
+ GV nhận xét và rút ra chú ý cho HS
về giao điểm, trục đối xứng.

Ví dụ 5: SGK – tr.31
Hướng dẫn giải: SGK – tr.31

Chú ý: Đồ thị của hàm số phân thức
y=

- GV cho HS hoạt động nhóm đôi hoàn
thành yêu cầu Luyện tập 3.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
2

−x +3 x−1
hàm số y=
.

2

a x +bx+ c
¿, đa thức tử không chia hết
px +q

cho đa thức mẫu):
- Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và
tiệm cận xiên làm tâm đối xứng;

x−2

- Nhận hai đường phân giác của các góc

+ GV gọi 1HS lên bảng trình bày.

tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các

(GV có thể mời HS lên thao tác lập trục đối xứng.
bảng biến thiên và vẽ đồ thị bằng phần Luyện tập 3
mềm GeoGebra)

- Tập xác đinh: R/{2 }.

+ HS dưới lớp theo dõi, nhận xét, bổ - Sự biến thiên:
1

sung.
+ GV tổng kết.

Ta có: y=−x+1+ x−2 .
'
+ y =−1−

1
<0 với mọi x ≠ 2.
( x−2 )2

+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng
(−∞; 2 ) và ( 2 ;+∞ ) .

13

+ Hàm số không có cực trị.
+ Tiệm cận: y=−x+1 là tiệm cận xiên,
x=2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục tung tại

( )
( 3+2√ 5 ;0) và ( 3−2√5 ; 0). Đồ thị có tâm đối

1
điểm 0 ; 2 , cắt trục hoành tại các điểm

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp
nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu
hỏi, hoàn thành các yêu cầu.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình
bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ sung
cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV
tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm
và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

14

xứng là điểm ( 2 ;−1 ).

3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập 1.21; 1.22; 1.23
(SGK – tr.32).
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổ chức cho HS hoạt động thực hiện bài tập 1.21; 1.22; 1.23 (SGK – tr.32).
- GV tổ chức trò chơi trắc nghiệm nhanh trên Quizizz để củng cố toàn bài.
- GV cung cấp mã QR hoặc đường Links (Google Forms/Live Worksheets) cho HS
làm phiếu bài tập.
PHIẾU BÀI TẬP TOÁN 12
BÀI 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Phần 1 : Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
Câu 1: Cho hàm số y=a x3 +3 x 2+ d (a ;d ∈ R) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?

A.a> 0 , d> 0.

B. a>0 , d< 0.

C. a< 0 , d> 0.

D. a< 0 , d< 0.
x +a

Câu 2: Cho hàm số y= bx +c (a , b , c ∈ R , c−ab ≠ 0) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao
nhiêu số dương trong các số a , b , c ?

15

A.1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.
3 x+ 2

Câu 3: Tìm tọa độ điểm I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y= 2 x−1 .

(3 )
1 2
C. I ( 2 ;− 3 ) .
A. I 2 ;−2 .

(1 3 )
−3 1
D. I ( 2 ; 2 ).
B. I 2 ; 2 .

Câu 4: Đồ thị dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. y=x 3 +5 x−2.

B. y=x 4 −7 x+ 2.

C. y=−x3 +2.

D. y=−x3 −3 x +2.

Câu 5: Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

16

x +3

A. y= x−2 .
C. y=

x 2+ 2 x−4
.
x−2

B. y=x 3−3 x 2−2.
D. y=

x 2+ 2 x=2
.
x−1

Phần 2: Trắc nghiệm đúng sai
Câu 1: Cho đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây:

a) Hàm số có dạng y=a x3 +bx +cx + d .
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2 ; 2 ).
c) Hàm số cắt trục tung tại điểm ( 0 ;−2 ).
d) Hàm số có tâm đối xứng là điểm ( 0 ; 2 ).

17

x 2+ 4 x +5
Câu 2: Cho hàm số y=
có đồ thị (C).
x+ 2

a) Đồ thị hàm số đã cho không có cực trị.
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x=−2.
c) Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=x +2 làm tiện cận ngang.
d) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là (−2 ; 0 ) .
Phần 3: Trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=2 x 3−5 x 2+ 4 x−1
2
x −6 x +7
Câu 2: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=

x −2

- GV sử dụng ứng dụng kenhhoctap.edu.vn để tham khảo và cho học sinh làm trắc
nghiệm online.
Link:

https://kenhhoctap.edu.vn/bai-tap/trac-nghiem-toan-12-ket-noi-bai-4-khao-sat-

su-bien-thien-va-ve-do-thi-cua-ham-so
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn thành các bài tập GV yêu cầu.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét
bài trên bảng.
Đáp án bài tập:
1.21
a) Tập xác định: D=R .
Ta có: y ' =−3 x 2+ 3 , y ' =0khi x=± 1.
+ Hàm số đồng biến trên khoảng (−1 ; 1 ) và nghịch biến trên từng khoảng (−∞;−1) và
( 1 ;+∞ ) .

+ Hàm số đạt cực đại tại x=1 với y CĐ =3 , đạt cực tiểu tại x=−1 với y CT =−1.
lim y =+ ∞ , lim y=−∞.
+ Giới hạn tại vô cực: x→−∞
x→+ ∞

18

+ Bảng biến thiên:
x

−∞

y'

y

−1
−¿

0

1

+

+∞

0

+∞
−¿

3
−1

−∞

+ Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm ( 0 ; 1 ), điểm này đồng thời là tâm đối
xứng của đồ thị.

b) Tập xác định: D=R .
Ta có: y ' =3 x 2+ 6 x−1.
Do đó y ' =0 khi x=x 1=−1+

2
2
hoặc x=x 2=−1− .
√3
√3

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞ , x 1) và (x 2 ;+ ∞) .
+ Hàm số đạt giá trị cực đại tại x=x 1 với y CĐ =f ( x1 ), đạt cực tiểu tại x=x 2 với y CT =f ( x2 ) .
lim f ( x ) =−∞ , lim f ( x )=+ ∞ .
+ Giới hạn tại vô cực: x→−∞
x →+∞

+ Bảng biến thiên:

19

x

−1−

−∞

y'

+

y

2
√3

0

−1+
−¿

2
√3

0

+∞

+

y CĐ

+∞
y CT

−∞

+ Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm ( 0 ;−1 ), tâm đối xứng là điểm (−1 ; 2 ).

1.22
a) Tập xác định: D=R ¿−1 }¿ .
'
Ta có: y =

1
>0 với mọi x ≠−1.
( x+1 )2

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞;−1 ) và (−1 ;+∞ ) .
+ Hàm số không có cực trị.
+ Tiệm cận:
−¿

lim

x→ (− 1 ) y=+ ∞ ;

lim
+¿

x→ (−1 ) y=−∞ ¿

¿¿

¿

, nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=−1.

lim y =2; lim y=¿ 2 ¿, nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=2.
x→+ ∞

x→−∞

20

+ Bảng biến thiên:
x

−∞

y'

−1

+∞

+

y

+
+∞

2

2
−∞

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm ( 0 ; 1 ), cắt trục hoành tại điểm
(−1 ;2 ) là tâm đối xứng của đồ thị.

b) Tập xác định: D=R ¿ 1 }¿ .
'
Ta có: y =

4
>0 với mọi x ≠ 1.
( 1−x )2

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞; 1 ) và ( 1 ;+∞ ).
+ Hàm số không có cực trị.
+ Tiệm cận:

21

( −12 ; 0). Điểm

−¿

lim

x→ 1 y=+ ∞ ;

lim
+¿

x→ 1 y=−∞ ¿

¿¿

¿

, nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1.

lim y =−1; lim y=¿−1 ¿, nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=−1.
x→ +∞

x→−∞

+ Bảng biến thiên:
x

−∞

1

y'

+∞

+

y

+
+∞

−1

−1

−∞

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm ( 0 ; 3 ) , cắt trục hoành tại điểm (−3 ;0 ) . Điểm
( 1 ;−1 ) là tâm đối xứng của đồ thị.

1.23
a) Tập xác định: D=R ¿ 1 }¿.
'
5
Viết y=2 x +1+ x−1 , ta có y =2−

22

5
'
, y =0 khi x=1 ± √ 10 .
2
( x−1 )
2

(

) (

)

√ 10
√ 10 ;+ ∞
+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng −∞; 1−
và 1+
, nghịch biến trên

(

) (

2

2

)

√ 10 ;1
√10
từng khoảng 1−
và 1 ; 1+
.
2

2

10
10
+ Hàm số đạt cực đại tại x=x 1=1− √ , đạt cực tiểu tại x=x 2=1+ √ .
2

2

+ Tiệm cận:
lim [ y−( 2 x +1 ) ] = lim

x→ ±∞

x →± ∞

5
=0, nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng
x−1

y=2 x +1.
+¿

lim

x→ 1 y=+∞ ;

lim
−¿

x →1 y=−∞ ¿

¿¿

¿

, nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1.

+ Bảng biến thiên:
x

−∞

1−

+

f '(x)

√ 10

1

2

0

−¿

y CĐ

f (x)
−∞

1+
−¿

√10
0

+∞

−∞

+∞

2

+
+∞

y CT

+ Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (−4 ; 0), không cắt trục hoành, nhận ( 1 ; 3 ) làm
tâm đối xứng.

23

b) Tập xác định: D=R ¿−3 }¿.
'
4
Viết y=x −1+ x +3 . Khi đó y =1−

4
, y ' =0 khi x=−1 hoặc x=−5 .
2
( x +3 )

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞;−5 ) và (−1 ;+∞ ) , nghịch biến trên từng
khoảng (−5 ;−3 ) và (−3 ;−1 ).
+ Hàm số đạt cực đại tại x=−5 , đạt cực tiểu tại x=−1.
+ Tiệm cận:
lim [ y−( x−1 ) ]= lim

x→ ±∞

x →± ∞

4
=0, nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng
x +3

y=x −1.
+¿

lim

x→(−3) y=+∞ ;

lim

x →(−3)

−¿

y=−∞¿

¿¿

¿

, nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=−3 .

+ Bảng biến thiên:
x

−∞

+

f '(x)
f (x)

0

−3

−1

−¿

−¿

−8
−∞

24

−5

0

+∞
−∞

+∞

+
+∞

0

( )

1
+ Đồ thị : Đồ thị hàm số cắt trục tung tại 0 ; 3 , tiếp xúc với trục hoành tại (−1 ;0 ),

nhận (−3 ;−4 ) làm tâm đối xứng.

Đáp án phiếu bài tập:
Phần 1 : Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Câu 5

D

A

B

C

D

Phần 2: Trắc nghiệm đúng sai
Câu

Câu 1

Câu 2

a)

Đ

S

b)

S

Đ

c)

Đ

S

d)

S

Đ

Phần 3 : Trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1

25

Câu 2

( 56 ; 541 )

( 2 ;−2 )

Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
[2.1.NC1a: HS thực hiện các tương tác được xác định rõ ràng với công nghệ số (làm
bài tập online) trong lớp học.]
4. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

a) Mục tiêu:
- Học sinh thực hiện làm bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức.
b) Nội dung: HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập 1.24;
1.25 (SGK – tr.32).
c) Sản ph