Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...
BÀI 33. ĐẠO HÀM CẤP HAI
(1 tiết)
I. MỤC TIÊU:
1. Kiến thức, kĩ năng:
Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
-

Nhận biết khái niệm đạo hàm cấp hai cả một hàm số.

-

Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm số đơn giản.

-

Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải quyết một số bài toán thực tiễn.

2. Năng lực
Năng lực chung:
-

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

-

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm

-

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:
-

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu, đưa ra lập luận
trong quá trình hình thành khái niệm, nhận biết ý nghĩa cơ học của đạo hàm
cấp hai và cách tính đạo hàm cấp hai; thực hành và vận dụng về đạo hàm
cấp hai.

-

Mô hình hóa toán học: Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải quyết một số bài
toán thực tiễn.

-

Giải quyết vấn đề toán học: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số, giải các bài
toán liên quan đến đạo hàm cấp hai của hàm số.

-

Giao tiếp toán học: đọc, hiểu, trao đổi thông tin toán học.

-

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

Năng lực số:

-

1.2.NC1b: Phân tích, diễn giải và đánh giá thông tin từ video mô phỏng để
giải quyết tình huống bài học.

-

2.1.NC1a: Sử dụng các nền tảng số để giao tiếp, thảo luận và làm bài tập
(Mentimeter, Padlet).

-

3.1.NC1a: Sáng tạo và biên tập nội dung số (Chụp ảnh, chỉnh sửa ảnh bài
làm để nộp trực tuyến).

-

5.3.NC1a: Khai thác tính năng của phần mềm chuyên dụng (Sử dụng
Symbolab/Máy tính khoa học để kiểm tra kết quả tính đạo hàm; Desmos để
vẽ đồ thị hàm vận tốc và gia tốc).

-

6.2.NC1a: Khai thác công cụ trí tuệ nhân tạo (Sử dụng AI Chatbot để giải
thích ý nghĩa vật lí của đạo hàm cấp hai).

3. Phẩm chất
-

Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc
nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

-

Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến
thức theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
1. Đối với GV:
-

SGK, Tài liệu giảng dạy, KHBD.

-

Đồ dùng dạy học.

-

Hệ thống bài tập trắc nghiệm trên Quizizz/Azota.

-

Video AI được tạo bằng các công cụ AI để khởi động bài học.

-

Phần mềm vẽ đồ thị (Desmos/GeoGebra).

2. Đối với HS:
-

SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp.

-

Đồ dùng học tập (bút, thước...).

-

Bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.

-

Điện thoại thông minh (Smartphone) có cài đặt ứng dụng GeoGebra và trình
duyệt web.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)
a) Mục tiêu: Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
c) Sản phẩm: HS trả lời được câu hỏi mở đầu.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV yêu cầu xem video AI được thiết kế để phục vụ bài dạy.
- GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi xuất hiện trong video đó.
- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu: Chuyển động của một vật gắn trên con
lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản không khí) được cho bởi phương trình sau:

(

x (t )=4 cos 2 πt +

π
3

)

ở đó x tính bằng centimets và thời gian t tính bằng giây. Tìm gia
tốc tức thời của vật tại thời điểm t=5giây (làm tròn kết quả đến
hàng đơn vị).
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm
đôi hoàn thành yêu cầu.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ
sung.
Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt
HS vào bài học mới.
[1.2.NC1b: HS thực hiện phân tích, diễn giải và đánh giá được dữ liệu, thông tin số
được xác định rõ ràng để đưa ra nhận định đúng.]
2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Hoạt động 1: Khái niệm đạo hàm cấp hai
a) Mục tiêu:
-

Nhận biết khái niệm đạo hàm cấp hai cả một hàm số.

-

Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm số đơn giản.

b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy
nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện các hoạt động.

c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các
câu hỏi.
d) Tổ chức thực hiện:
HĐ CỦA GV VÀ HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

NLS

1. Khái niệm đạo hàm cấp hai

5.3.NC1a:

- GV yêu cầu HS thực hiện HĐ 1, HĐ 1:

Sử

dụng

sử dụng công thức đạo hàm nào a)

phần

mềm

đã học?
- GV giới thiệu về đạo hàm cấp
hai của hàm số và kí hiệu.

(

) (

(

) (

)

(

toán
)
đại số máy

π '
π
π
'
'
g ( x ) = y = 2 x + ⋅ cos 2 x + =2 cos 2 x + tính
4
4
4

b)
'

)

(

tính (CAS -

)

π
π
π
'
+ Lưu ý: đạo hàm cấp hai của một g ( x ) =−2 2 x+ 4 ⋅ sin 2 x+ 4 =−4 sin 2 x +Symbolab/
4

hàm số chính là đạo hàm của đạo Kết luận
hàm cấp hai của hàm số đó.
Giả sử hàm số y=f (x ) có đạo hàm tại
Do đó để tính đạo hàm cấp hai, ta mỗi điểm x ∈( a ;b). Nếu hàm số

GeoGebra)

thực hiện đạo hàm liên tiếp 2 lần.

thực

hiện

- HS đọc, trình bày Ví dụ 1: thực đạo hàm của y ' là đạo hàm cấp hai của phép
đạo
hiện lần lượt các bước: tính f ' ( x ) hàm số y=f (x ) tại x , kí hiệu là y ' '

tính

y ' =f ' ( x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi

trên thiết bị
di động để

hàm,

rồi tính f '' ( x ) .

hoặc f ' ' (x ).

đối chiếu và

- HS thực hành Luyện tập 1.

Ví dụ 1 (SGK -tr.95)

tự đánh giá
kết quả học

- GV giới thiệu và hướng dẫn HS Luyện tập 1
sử dụng trang web/ứng dụng a)

tập cá nhân.

Symbolab hoặc GeoGebra CAS y ' =e 2 x +2 x e 2 x
trên điện thoại để kiểm tra lại kết ⇒ y' ' =2 e 2 x +2 ( e2 x +2 x e2 x ) =4 e2 x + 4 x e2 x b
quả bài toán đạo hàm vừa tính.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe,
tiếp nhận kiến thức, hoàn thành
các yêu cầu, thảo luận nhóm.
- GV quan sát hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

) y ' =¿ ¿
''

⇒ y =−2. ¿ ¿

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ
sung cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
GV tổng quát lưu ý lại kiến thức
trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép
đầy đủ vào vở.
Hoạt động 2: Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
a) Mục tiêu:
-

Nhận biết ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.

-

Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải quyết một số bài toán thực tiễn.

b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV,
chú ý nghe giảng, thực hiện các hoạt động.
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các
câu hỏi.
d) Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

NLS

HS
Bước 1: Chuyển giao nhiệm 2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm 6.2.NC1a: Khai
vụ:

cấp hai

thác công cụ trí

- GV cho HS thảo luận nhóm Xét một chuyển động có vận tốc tuệ nhân tạo (AI
đôi, tìm hiểu về gia tốc tức thời tức thời v ( t ) .

Chatbot) để tra

(mục 2), đặt câu hỏi:

cứu,

+ Số gia ∆ t tại t .

kết

nối

+ Gia tốc tức thời của chuyển + ∆ v=v ( t +∆ t )−v (t)

kiến thức Toán

động tại thời điểm t được tính + ∆ v : Gia tốc trung bình trong
∆t
như thế nào? Hàm gia tốc có
khoảng thời gian ∆ t .
mối quan hệ gì với hàm vận tốc
∆v '
+ a ( t )= lim ∆ t =v ( t ) : gia tốc tức
v (t )?

học với ý nghĩa

∆ t →0

Vật lí, giúp hiểu
sâu sắc hơn về
tính chất của

- HS thực hiện HĐ 2 theo yêu thời của chuyển động tại thời điểm hàm số.

cầu. Từ đó nhận xét mối quan hệ t .
của hàm gia tốc tức thời và HĐ 2:
phương trình chuyển động s ( t ) .

a)

- GV giới thiệu ý nghĩa cơ học Ta có
của đạo hàm cấp hai.

v=s ' =−4.2 π sin ⁡2 πt =−8 π sin ⁡2 πt

+ Đạo hàm của quãng đường là Vậy vận tốc tức thời của chuyển
vận tốc, đạo hàm của vận tốc là động tại thời điểm t là −8 π sin ⁡2 πt .
gia tốc. Do đó đạo hàm cấp hai b)
'

a (t)=v (t)=¿

của quãng đường là gia tốc.

- GV chia lớp thành các nhóm, Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp
yêu cầu một HS đại diện dùng hai
Chatbot AI (ChatGPT/Gemini) Một chuyển động có phương trình
với câu lệnh: "Trong Vật lí, nếu s=f (t ) thì đạo hàm cấp hai (nếu có)
gia tốc a(t) mang dấu dương của hàm số f (t) là gia tốc tức thời
hoặc mang dấu âm thì điều đó của chuyền động. Ta có:
cho biết tính chất gì của chuyển
động? Giải thích ngắn gọn."

a (t)=f ' ' (t)

Ví dụ 2 (SGK -tr.96)

- GV hướng dẫn HS làm Ví dụ Vận dụng
Vận tốc tại thời điểm t là
2, HS tự làm Vận dụng.

'
3
+ Ví dụ 2: HS giải thích tại sao v (t)=s =4 t +2t
Gia tốc tức thời của vật tại thời
có dấu âm ở a ( 5 ) .

t
+ Vận dụng: vận dụng ý nghĩa điểm là

cơ học của đạo hàm cấp hai vào
bài toán.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS theo dõi SGK, chú ý nghe,
tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả
lời câu hỏi, hoàn thành các yêu
cầu.
- Đại diện HS dùng AI tra cứu,

a (t)=v ' (t )=4+6 t 2

Tại thời điểm t=4 giây, gia tốc của
vật là
2
2
a ( 4 ) =4+ 6.4 =100 ( m/ s )

thu được kết quả: a(t) cùng dấu
với v(t) thì xe chuyển động
nhanh dần; trái dấu thì chậm
dần.
- GV: quan sát và trợ giúp HS.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- HS giơ tay phát biểu, lên bảng
trình bày
- Một số HS khác nhận xét, bổ
sung cho bạn.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
GV tổng quát lưu ý lại kiến thức
trọng tâm và yêu cầu HS ghi
chép đầy đủ vào vở.
3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập 9.13 đến 9.16
(SGK-tr.96) và các câu hỏi TN.
c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS. HS tính đạo hàm cấp hai, ước lượng,
xác định đạo hàm cấp hai.
d) Tổ chức thực hiện:
Nhiệm vụ 1: Trả lời câu hỏi trắc nghiệm:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
- GV tổ chức trò chơi trắc nghiệm trên Quizizz.
- GV cung cấp mã QR hoặc đường Links cho HS chơi và làm bài tập:
Câu 1. Cho hàm số f ( x)=x 4−4 x 2+3 . Đạo hàm cấp hai của hàm số f (x) là:
A. 12 x2−8
B. 4 x3 −8 x 2
C. 4 x2 −8 x

D. 12 x2−8 x
−2 x 2 +3 x
Câu 2. Cho hàm số y=f (x ) =
. Đạo hàm cấp 2 của f ( x) là:
1−x

A. y ' ' =2+ 1
¿¿
B. y ' '= 2
¿¿
C. y ' ' =−2
¿¿
D. y ' '= 2
¿¿
Câu 3. Giả sử h ( x )=5 ( x+ 1 )3+ 4 ( x +1 ). Tập nghiệm của phương trình h ' ' ( x )=0 là:
A. [–1; 2]
B. (–; 0]
C. {–1}
D. 
Câu 4. Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp hai là 6x?
A. y=3 x 2 .
B. y=2 x 3 .
C. y=x 3 .
D. y=x 2 .
2 sin x

Câu 5. Nếu f ¿/¿(x)= cos x ¿, thì f ( x) bằng:
3

1

A. cos x
1

B. – cos x
C. cotx
D. tanx
Câu 6. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s ( t )=t 3 −3 t2 +8 t+ 1, trong
đó t >0, t tính bằng giây và s ( t ) tính bằng mét. Gia tốc tức thời của chất điểm tại
thời điểm t 0=2 (s) là:
A. 0
B. 2

C. 6
D. 3
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS sử dụng điện thoại truy cập, nhập tên và làm bài trong 10 phút.
- Hệ thống tự động chấm điểm.
- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải thích, các HS chú ý lắng nghe sửa lỗi
sai.
- GV chiếu bảng xếp hạng.
- Chữa các câu HS sai nhiều dựa trên báo cáo thống kê của Quizizz.
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét
bài trên bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương các hoạt động tốt, nhanh và chính xác.
Đáp án trắc nghiệm
1

2

3

4

5

6

A

B

C

C

D

C

[2.1.NC1a: HS sử dụng thiết bị cá nhân để thực hiện tương tác (trả lời câu hỏi, xem
bảng xếp hạng) thông qua công nghệ số].
Nhiệm vụ 2: Hoàn thành bài tập trong SGK tr.96
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
- GV tổng hợp các kiến thức cần ghi nhớ cho HS.
- GV tổ chức cho HS hoạt động thực hiện Bài 9.13 – 9.16 (SGK - tr.96).
- GV tạo một bảng trên Padlet. Các nhóm làm bài tập ra giấy nháp hoặc bảng phụ,
sau đó dùng điện thoại chụp ảnh, sử dụng tính năng chỉnh sửa ảnh (cắt viền, chỉnh
sáng) để đảm bảo ảnh rõ nét, sau đó nộp lên cột của nhóm mình trên Padlet.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn thành các bài tập GV yêu
cầu.

- GV quan sát và hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nhận xét
bài trên bảng.
Bước 4: Kết luận, nhận định:
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các học sinh, ghi nhận và
tuyên dương
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRONG SGK
9.13.
'

'

Ta có f ' ( x)=( x 2 ) e x + x2 ( e x ) =2 x e x + x 2 e x và
f (x )=¿¿ 2 e x +2 x e x +2 x e x + x 2 e x = ( 2+ 4 x + x 2 ) e x.
''

Vậy f '' (0)=2.
9.14.
'
a) Tacó y =

( x +1)
1
=
và y ' ' =−(1+ x) .
¿¿
x +1 x +1

b) Ta có y ' =¿ ¿ và
'

y' '=

−2⋅ ( cos 2 ⁡2 x )
=−2 ⋅2⋅ cos ⁡2 x ⋅ ¿ ¿.
cos 4 ⁡2 x

9.15.
Ta có P' (x)=2 ax+b và P' ' (x )=2 a. Do P' (1)=0 và P' ' (1)=−2 ta thu được các
phương trình 2 a+b=0 và 2 a=−2.
Từ đây ta tìm được a=−1 , b=2 .
9.16.

( ) ( ( )) =4 ⋅sin ⁡( x + π4 ) cos ⁡( x+ π4 )=2 sin ⁡(2 x + π2 ).

π
π
f ( x)=2 ⋅ 2 ⋅sin ⁡ x + ⋅ sin ⁡ x+
4
4
'

Khi

''

đó

|

(

'

(

f ( x )=2 ⋅ 2 x+
π

)

'

(

)

(

)

π
π
π
⋅cos ⁡ 2 x + =4 cos ⁡ 2 x+ .
2
2
2

)|

''
Vậy |f (x )|=4 cos ⁡ 2 x+ 2 ≤ 4 với mọi x .

[3.1.NC1a: Sử dụng thiết bị di động để chụp ảnh, thao tác cắt cúp (crop) và chỉnh
sửa độ sáng giúp biên tập nội dung số học tập rõ nét trước khi nộp bài.]

4. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG
a) Mục tiêu: Học sinh thực hiện làm bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức.
b) Nội dung: HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập.
c) Sản phẩm: Kết quả thực hiện các bài tập.
d) Tổ chức thực hiện:
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
- GV yêu cầu HS hoạt động hoàn thành bài tập 9.17 – SGK tr.96.
- GV yêu cầu HS: Sử dụng ứng dụng Desmos hoặc GeoGebra trên điện thoại
thông minh/máy tính bảng. Hãy nhập hàm số biểu diễn phương trình chuyển động
s(t), sau đó sử dụng tính năng tính đạo hàm cấp hai trực tiếp của phần mềm (ví dụ
gõ s''(5)) để đối chiếu với kết quả tính tay.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS suy nghĩ, trao đổi, thảo luận thực hiện nhiệm vụ.
- GV điều hành, quan sát, hỗ trợ.
Bước 3: Báo cáo, thảo luận
- Bài tập: đại diện HS trình bày kết quả, các HS khác theo dõi, đưa ý kiến.
Bước 4: Kết luận, nhận định
- GV nhận xét, đánh giá, đưa ra đáp án đúng, chú ý các lỗi sai của học sinh hay
mắc phải.
Gợi ý đáp án:
9.17.

(

'
Ta có s (t )=0,5⋅ 2 πt+

)

(

)

(

)

π '
π
π
⋅cos ⁡ 2 πt+ =πcos ⁡ 2 πt + .
5
5
5

( )
π
Gia tốc của hạt tại thời điểm t=5 giây là a (5)=−2 π ⋅sin ⁡(10 π + 5 ) ≈−11,6 ( m/s ).
π
''
2
Gia tốc của hạt được cho bởi phương trình a (t)=s (t)=−2 π ⋅sin ⁡ 2 πt+ 5 .
2

2

[5.3.NC1a: Khai thác tính năng tính toán đạo hàm tại một điểm của phần mềm
chuyên dụng (Desmos/GeoGebra) trên thiết bị di động để kiểm chứng, đánh giá độ
chính xác của kết quả tính toán tự luận đối với biểu thức phức tạp có chứa hàm
lượng giác.]

* HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ghi nhớ kiến thức trong bài.
 Hoàn thành các bài tập trong SBT
 Chuẩn bị bài tập cuối chương IX.
 HS hoạt động nhóm (4 – 6 người/1 nhóm) thực hiện vẽ sơ đồ tóm tắt lí
thuyết chương IX.