Cánh Diều

CHƯƠNG 4
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

BÀI 1
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Cho góc nhọn

. Xét

vuông tại

có

.

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn

Công thức

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc

, kí hiệu

Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc

Chú ý: Với góc nhọn

, kí hiệu

, kí hiệu
, kí hiệu

, ta có:



2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Hai góc phụ nhau là hai góc nhọn có tổng bằng

.

Định lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
Nhận xét: Với

, ta có:





Trang 1

Cánh Diều

Bảng tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt:

Trang 2

Cánh Diều

DẠNG 1
TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC

Với góc nhọn

, ta có:










Bài 1. Tìm các tỉ số lượng giác còn lại của góc α, biết:
a)

b)

c)
Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:

Trang 3

Cánh Diều

c) Ta có:

Bài 2. Tìm góc nhọn α, biết:
a)

b)
Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:

Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau
a)

b)

c)

d)
Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:
c) Ta có:

d) Ta có:

Trang 4

Cánh Diều

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau
a)
Bài 5. Cho

b)
là góc nhọn, biết

. Tính

Bài 6.
a) Tính giá trị biểu thức

.

b) Rút gọn biểu thức

.

Bài 7. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần.
a)

b)

c)

d)

Bài 8. Cho

. Tính

Bài 9. Biết

. Tính giá trị của biểu thức :

Bài 10. Cho

là góc nhọn tính giá trị của biểu thức

Trang 5

.
.

Cánh Diều

DẠNG 2
TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 8, 9, 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+
KNTTVCS trắc nghiệm và tự luận có lời giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới
2025 của bộ giáo dục.
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Thầy, cô và các em học sinh cần xem thêm nhiều tài liệu mới khác hãy tham gia
 Tài liệu được cập nhật thường xuyên Nhóm: TÀI LIỆU TOÁN THCS VÀ THPT
Link:https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
 Hoặc facebook mình theo đường Link: https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Hoặc fanpange mình theo đường Link: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
Bài 1. Cho tam giác

vuông tại

có

, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc

. Tính các tỉ số lượng giác của góc

.
Lời giải

A

0,9

C

1,2

Trang 6

B

Cánh Diều

tam giác

vuông tại

nên theo Pythagone ta có:

Ta có:

Do

nên:

Bài 2. Cho tam giác
a) Chứng minh tam giác

có

,
vuông

b) Tính các tỉ số lượng giác của góc

, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc
Lời giải
A

C

B

a) ta có:

vuông tại

(định lý Pythagone đảo).

b) Ta có:

Trang 7

Cánh Diều

Do

nên:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 3. Cho tam giác

vuông tại

có

, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc

. Tính các tỉ số lượng giác của góc

.
Lời giải
C

1,2

1,6

A

B

Ta có:

Bài 4. Cho tam giác

vuông tại

có

. Tính các tỉ số lượng giác của góc

Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc
Lời giải

Trang 8

Cánh Diều
A

8

6

B

C

Ta có:
.
Bài 5. Cho tam giác

vuông tại

. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc
Lời giải
A

B

C

Ta có:

Do

nên:

Bài 6. Cho tam giác

vuông tại

, đường cao

a)
b)
Lời giải

Trang 9

. Tính

biết rằng

Cánh Diều
A

B

H

C

a) Ta có:
b) Ta có:

Trang 10

Cánh Diều

DẠNG 3
BÀI TOÁN THỰC TẾ

+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 8, 9, 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+
KNTTVCS trắc nghiệm và tự luận có lời giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới
2025 của bộ giáo dục.
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Thầy, cô và các em học sinh cần xem thêm nhiều tài liệu mới khác hãy tham gia
 Tài liệu được cập nhật thường xuyên Nhóm: TÀI LIỆU TOÁN THCS VÀ THPT
Link:https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
 Hoặc facebook mình theo đường Link: https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Hoặc fanpange mình theo đường Link: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
Bài 1. Một cây cau có chiều cao

. Để hái một buồng cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang

tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài
đến phút).

Lời giải

Trang 11

(làm tròn

Cánh Diều

Xét

vuông tại

, ta có:

(tỉ số lượng giác của góc nhọn)

Vậy góc giữa thang tre với mặt đất là
Bài 2. Một cột đèn điện

cao

.
có bóng in trên mặt đất là

đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất

B

6

A

3,5

C

Lời giải

B

6

A

3,5

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Trang 12

C

, ta có:

dài 3,5m. Hãy tính

(làm tròn

Cánh Diều

Bài 3. Tia nắng chiếu qua nóc của tòa nhà hợp với mặt đất một góc
bóng của nó trên mặt đất dài 15m. Tính góc

. Cho biết tòa nhà cao 21m và

(làm tròn đến phút) .

Lời giải
A

C

B

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

, ta có:

Bài 4. Một cái thang dài 6m được đặt dựa vào một bức tường sao cho chân thang cách tường 3m. Tính
góc

tạo bởi thang với bức tường.

C

Lời giải
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 5. Một máy bay đang bay ở độ cao

, ta có:

. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay

tạo một góc nghiêng so với mặt đất. Nếu cách sân bay
là bao nhiêu (làm tròn đến phút)?

Trang 13

máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng

Cánh Diều

Lời giải:

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Vậy góc nghiêng là

, ta có:

.

DẠNG 4
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Bài 1. Cho tam giác
,

vuông tại

,

, đường trung tuyến

. Chứng minh rằng:

a)
b)
c)
Lời giải
B
H
M

A

C

Trang 14

, đường cao

Cánh Diều

a) Ta có:

b)
c)
Bài 2. Cho tam giác nhọn
minh rằng

hai đường cao

và

cắt nhau tại

. Biết

. Chứng

.
Lời giải

A
E
H

B

C

D

Ta có:

(1)
(cùng phụ với

Do đó

);

.

(g.g), suy ra

, do đó

Từ (1) và (2) suy ra
Theo giả thiết

(3).
suy ra

Thay vào (3) ta được:
Bài 3. Cho tam giác

(2).

hay

, suy ra

.

.
có

. Chứng minh rằng:
Lời giải

Trang 15

.

Cánh Diều

A

I
B

Vẽ đường phân giác

C

D

của tam giác

.

Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có
.
Vậy

.

Vẽ

, suy ra

do đó

.

; hay

Bài 4. Cho tam giác

có

,

.
có ba góc nhọn,

. Chứng minh rằng:

.
Lời giải

A

H

B
Vẽ
vì trong

; vì trong
có

nên

C

có

nên
.

Trang 16

;

Cánh Diều

Do đó

.

Chứng minh tương tự ta có
Vậy

.
.

Bài 5. Cho DABC vuông tại A, Chứng minh rằng:

Trang 17

.