ĐỊNH LÍ PYTHAGORE
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định lý Pythagore:
Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai
cạnh góc vuông.
vuông tại

.

2. Định lý Pythagore đảo:
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương
của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
có
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính độ dài cạnh của tam giác vuông
Ví dụ 1. Cho tam giác
a) Tính độ dài cạnh
b) Kẻ

vuông tại

, có

cm,

cm.

.

vuông góc với

tại

. Biết

cm. Tính

.

Lời giải
a)

vuông tại

vuông tại

nên theo định lí Pythagore ta có :

nên theo định lí Pythagore ta có :

Từ đó tính được

cm.

Ví dụ 2. Cho tam giác
điểm

sao cho

vuông tại

, có

cm,

cm. Tính độ dài các cạnh

Lời giải
vuông tại

nên theo định lí Pythagore ta có

1

.

cm. Trên tia đối của

lấy

vuông tại

nên theo định lí Pythagore ta có

Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn
cm,

, kẻ

cm,

vuông góc với

. Tính chu vi tam giác

biết

cm.

Lời giải
Để tính được chu vi

, ta cần xác định độ dài của

Trong

vuông tại

, ta có

Trong

vuông tại

, ta có

.

.
Khi đó. chu vi

được tính bởi
cm.

Ví dụ 4. Hai đoạn thẳng
độ dài

vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn thẳng. Tính
biết

cm,

cm.

Lời giải
Gọi

là giao điểm của

và

. Khi đó

cm,

.

Ta có

(c.g.c).
(các cạnh tương ứng).

Áp dụng định lí Pythagore, ta có

Vậy

cm.
2

cm,

Dạng 2: Nhận biết tam giác vuông


Nếu một tam giác được cho với độ dài 3 cạnh của nó thì sử dụng định lý Py-ta-go đảo để
kết luận tam giác vuông.
Cụ thể kiểm tra bình phương của độ dài cạnh lớn nhất so với tổng bình phương của hai
cạnh còn lại.



Ví dụ 5. Kiểm tra xem tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài sau:
a)

cm,

cm,

cm;

b)

cm,

cm, cm.

Lời giải
a) Ta có

nên tam giác này không phải là tam giác vuông.

c) Ta có

nên tam giác này là tam giác vuông.

Ví dụ 6. Kiểm tra xem tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài sau:
a)

cm,

cm,

cm;

b)

cm,

cm,

cm.

Lời giải
a) Ta có

nên tam giác này vuông.

b) Ta có

nên tam giác không vuông.

Ví dụ 7. Cho tam giác
cm,

vuông tại

, có

cm. Chứng minh

cm,

cm.

là một điểm sao cho

không thể là tam giác vuông.

Lời giải
Tam giác

vuông tại

nên theo định lý Pythagore ta có

Tam giác

không thể là tam giác vuông vì

Ví dụ 8. Cho tam giác
, đường cao
tam giác
là tam giác gì?

.
. Biết

Lời giải
Tam giác

vuông tại

nên theo định lý Pythagore ta có

Tam giác

vuông tại

nên theo định lý Pythagore ta có
3

cm,

cm,

cm. Hỏi

Tam giác
Do đó

có

.

vuông tại

.

Dạng 3: Dùng định lý Pythagore giải quyết một số bài toán thực tế liên quan.

Ví dụ 9:

Một bạn học sinh thả diều ngoài đồng, cho biết đoạn dây
diều từ tay bạn đến diều dài 170m và bạn đứng cách nơi
diều được thả lên theo phương thẳng đứng là 80m. Tính độ
cao của con diều so với mặt đất, biết tay bạn học sinh cách
mặt đất 2m.
Lời giải

Áp dụng định lí Pythagore vào
vuông tại A:

+ Độ cao của con diều so với mặt đất 150 + 2 = 152m

Ví dụ 10:

Hai cây A và B được trồng dọc trên đường, cách nhau 24m và cách đều cột đèn D. Ngôi trường
C cách cột đèn D 9m theo hướng vuông góc với đường (xem hình vẽ). Tính khoảng cách từ mỗi
cây đến ngôi trường.
Lời giải

Vì D là trung điểm của AB ( gt)
Theo định lý Pythagore ta có:
CD vừa là đường cao đồng thời là đường trung
tuyến suy ra tam giác CAD cân tại C suy ra
AC = BC = 25m
4

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tính độ dài đoạn thẳng trong các hình sau:
G

M

E
A
3

12

9

45°

C

B

F

D

H

45°

4

4

60°

32

K

N

P

Lời giải:

a)
b)

cân tại

c)

đều

d)

.

cân tại
. Vậy

Bài 2. Cho tam giác nhọn
cm. Tính
.

,

cm,

cm. Kẻ

. Biết

Lời giải:
Tam giác

vuông tại

nên theo định lí Pythagore ta có :

Tam giác

vuông tại

nên theo định lí Pythagore ta có :

Bài 3. Cho tam giác
. Tính độ dài

vuông cạnh huyền

cm,

cm. Gọi

là trung điểm của

.

Lời giải
Tam giác

có cạnh huyền

Tam giác

vuông tại

nên

vuông tại

nên

5

. Do

đó

Bài 4: Cho tam giác
, đường cao
giác
là tam giác gì?

. Biết

cm,

cm,

cm. Hỏi tam

tại

Tính độ dài cạnh

Lời giải:
Tam giác

vuông tại

Do đó

nên theo định lí Py-ta-go ta có

nên

cân tại

Bài 5: Cho tam giác
biết

.

nhọn, cân tại

Kẻ

vuông góc với

a)
b)
Lời giải

A

a)
Dùng định lý Py-ta-go ta có

H
B

Từ đó

C

b) Làm tương tự câu a, tính được
Bài 6: Cho

vuông ở A có

,

. Tính

Lời giải

Áp dụng định lý Pythagore cho

vuông tại

Có

Vậy

;

.
6

có:

Bài 7: Các tam giác cho dưới đây có phải là tam giác vuông không? Chứng minh.
Nếu tam giác là tam giác vuông hãy chỉ rõ vuông tại đỉnh nào?
a)

b)

c)
Lời giải:

a) Có:
Vậy
b) Có:
Vậy
c) Ta có:
Mà
Vậy

.
vuông tại

(Định lý Pythagore đảo).
.

vuông tại
.

(Định lý Pythagore đảo).
.

không phải là tam giác vuông.

Bài 8:
Lăng Chủ tich Hồ Chí Minh (Lăng Bác) tại Quảng trường Ba Đình Hà Nội là nơi hội tụ tình cảm, niềm tin của đồng bào và bầu bạn Quốc
tế đối với Chủ tịch Hồ Chí Minh và đất nước, con người Việt Nam.
Ngay từ ngày khánh thành công trình Lăng Chủ tịch Hồ Chí Minh
(29/8/1975), trước Lăng Bác đã có một cột cờ rất cao, trên đỉnh cột cờ
luôn tung bay lá cờ Tổ quốc Việt Nam. Vào một thời điểm có tia nắng
mặt trời chiếu xuống ta thường nhìn thấy bóng của cột cờ dưới sân
Quảng trường Ba Đình, bằng kiến thức hình học người ta đo được
chiều dài cái bóng của cột cờ này là đoạn BH = 40m và tính được
khoảng cách từ đỉnh cột cờ đến đỉnh cái bóng của nó là đoạn AB = 50m
(như hình vẽ bên). Em hãy tính chiều cao của cột cờ trước Lăng Bác
(độ dài đoạn AH)? Biết rằng cột cờ được dựng vuông góc với mặt đất.
Lời giải:
Xét

vuông tại H có :
(Định lí Pythagore)

(m) .
(m).
Vậy chiều cao cột cờ trước Lăng Bác là 30m.
7

Bài 8:
Cho hình vẽ bên. Tính chiều dài của cánh
(Làm tròn đến hàng phần trăm).

buồm ?

B

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A
BC=

A

C

( định lí Pythagore)

Chiều dài của cánh buồm 6,60
Bài 9:

Một bạn học sinh thả diều ngoài đồng, cho biết đoạn dây diều từ
tay bạn tới diều là 130m và bạn đứng cách con diều theo phương
thẳng đứng là 120m. Tính độ cao của con diều so với mặt đất.
Biết tay bạn học sinh cách mặt đất 1,5m. (Hình bên)
Lời giải:

Áp dụng định lý Pytago, vào ΔABC vuông tại B, có
2
2
2
A C =B C + A B (định lý Pythagore)

AB = 50m
Vậy chiều cao con diều so với mặt đất là 51,5 m
Bài 10: Tính chiều dài đường trượt AC trong hình vẽ trên
(kết quả làm tròn hàng phần mười).
Lời giải:

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AHB vuông tại H.

8

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHC vuông tại H.

Vậy chiều dài đường trượt AC là 6,7m.
Bài 11:

Một cây cao 12m mọc cạnh bờ sông. Trên
đỉnh cây có một con chim đang đậu và
chuẩn bị sà xuống bắt con cá trên mặt nước
(như hình 1 và được mô phỏng như hình 2).
Hỏi con chim sẽ bay một đoạn ngắn nhất
bằng bao nhiêu mét thì bắt được con cá?
(Biết con cá cách gốc cây 5m và nước cao
mấp mé bờ sông)
Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại A, ta có :
BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Pythagore)
BC2 = 52+122 = 25 + 144
BC2 = 169
BC = 13cm
Vậy con chim bay được một đoạn bằng 13m thì bắt được con cá .
Bài 12:
Nhà bạn An (vị trí A trên hình vẽ) cách nhà bạn
Châu (vị trí C trên hình vẽ) 600m và cách nhà bạn
Bình (vị trí B trên hình vẽ) 450m. Biết rằng 3 vị trí:
nhà An, nhà Bình và nhà Châu là 3 đỉnh của một tam
giác vuông (xem hình vẽ). Hãy tính khoảng cách từ
nhà Bình đến nhà Châu
Lời giải:

ABC vuông tại B nên ta có:
BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pythagore)
9

BC2 = 4502 + 6002
BC2 = 562500
 BC = 750m
Khoảng cách từ thành phố B đến trạm phát sóng là 750 m

Bài 13:

Theo quy định của khu phố, mỗi gia đình sử dụng bậc tam cấp di động để dắt xe vào
nhà không được lấn chiếm vỉa hè quá 85 cm ra phía vỉa hè. Biết rằng nhà bạn Nam có
nền cao 60 cm so với vỉa hè và có chiều dài bậc tam cấp là 1 m. Theo em nhà bạn Nam
có thực hiện đúng quy định của khu phố không ? Vì sao ?

Lời giải:
Δ

ABC vuông tại A theo định lý Pythagore ta có :
AC2 = BC2 – AB2 = 1002 – 602 = 6400.
.

Vậy nhà bạn Nam đã thực hiện đúng quy định của khu phố.
Bài 14:

Một công ty muốn xây dựng một đường ống dẫn dầu từ điểm A
trên bờ biển đến một điểm C trên một hòn đảo như hình vẽ. Giá
để xây dựng đường ống trên bờ là 40 000 USD mỗi km và 130
000 USD mỗi km để xây dưới nước. Hỏi công ty nên xây đường
ống theo phương án nào để tiết kiệm chi phí nhất? Biết rằng
công ty đưa ra ba phương án:

10

Phương án 1: Xây đường ống từ điểm A trên bờ đến điểm C trên đảo.
Phương án 2: Xây đường ống từ điểm A đến điểm M trên bờ biển, rồi xây đường ống từ
điểm M đến điểm C trên hòn đảo.
Phương án 3: Xây đường ống từ điểm A đến điểm B trên bờ biển, rồi xây đường ống từ
điểm B đến điểm C trên hòn đảo. Biết: BC = 60km, AB = 100km, AM = 55km

Lời giải:

Độ dài đoạn BM: BM = AB – AM = 100 -55 = 45 km.
Xét tam giác MBC vuông tại B.
Áp dụng định lý Pythagore ta có :

CM =
Xét tam giác ABC vuông tại B.
Áp dụng định lý Pythagore ta có :

AC =
Tổng số tiền xây dựng theo phương án 1:
T1 = 130000.116,62 = 15160474,93(USD)
Tổng số tiền xây dựng theo phương án 2:
T2 = 40000.55 + 130000.75 = 11950000 (USD)
Tổng số tiền xây dựng theo phương án 3:
T3 = 40000.100 + 130000.60 = 11800000 (USD)
Do  T1 > T2 > T3 nên phương án 3 là phương án xây dựng đường ống mà tiết kiệm chi
phí nhất.
Bài 15:

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ nhà máy C
trên bờ đến một điểm B trên đất liền. Điểm A đảo cách bờ
biển ở điểm B là 9km. Giá để xây dựng đường ống từ nhà
máy trên biển điểm B đến diểm C trên bờ là
5000USD/km. Khoảng cách từ A đến C là 12km. Em hãy
11

tính chi phí làm đường ống từ điểm B tới điểm C của công ty trên bằng tiền VND. Biết 1
USD= 23150 VND.
Lời giải:

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ABC vuông tại B ta có :

Chi phí làm đường ống từ B tới điểm C của công ty trên bằng tiền VND là :

Bài 16:
Để xác định chiếc điện thoại là bao nhiêu inch,
các nhà sản xuất đã dựa vào độ dài đường chéo
của màn hình điện thoại, biết 1

,

điện thoại có chiều rộng là 7cm; chiều dài là
15,5 cm. Hỏi chiếc điện thoại theo hình vẽ là
bao nhiêu inch ? (Làm tròn kết quả đến hàng
đơn vị ).
Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có :

Vì 1

nên chiếc điện thoại theo hình vẽ có :

Bài 17:

A

Một chiếc thang có chiều dài AB = 3,7m đặt cách
một bức tường khoảng cách BH = 1,2m.

AB = 3,7m
BH = 1,2 m

a/ Tính chiều cao AH.
b/ Khoảng cách đặt thang cách chân tường là BH có
“an toàn” không ? Biết rằng khoảng cách “an toàn”
khi

(xem hình vẽ).
12

B

H

Lời giải:
a/ Áp dụng định lí Pytthagore vào tam giác ABH vuông tại H ta có :

b/ Ta có :
Mà 2,9 > 2,2 nên khoảng cách đặt thang cách chân tường là không an toàn.

Bài 18:
Khi xây móng nhà, để kiểm tra xem 2 phần móng có
vuông góc với nhau hay không, người thợ xây
thường lấy AB = 3cm, AC = 4cm (A là điểm chung
của hai phần móng nhà hay còn gọi là góc nhà), rồi

4cm

A

C
5cm

3cm

B

đo đoạn BC nếu BC = 5cm thì hai phần móng đó
vuông góc với nhau. Hãy giải thích vì sao ?
Lời giải:

Xét tam giác ABC ta có :

Theo định lý Pythagore đảo thì tam giác ABC vuông tại A.
Vậy hai phần móng đó vuông góc với nhau
Bài 19:
Trên hình là một khung mái nhà tam giác cân
tại A, được làm từ các thanh thép bằng cách
hàn chúng lại với nhau. Biết độ dài cạnh
AH = 10dm (AH

BC) , độ dài cạnh

BC = 48dm. Để hoàn thành khung mái nhà
này người thợ cắt các đoạn thẳng AB; AC;
ME; MH; NH; NF. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng trên để giúp chú thợ hàn cắt chuẩn kích

13

thước. Biết rằng 4 điểm M; N; E; F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB; AC; HB; HC
và ME // AH // NF.
Lời giải:

Vì H là trung điểm BC
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABH vuông tại H

(Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A).
E là trung điểm BH
M là trung điểm AB

; F là trung điểm HC
; N là trung điểm AC

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác MBE vuông tại E

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác NFC vuông tại F

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác MEH vuông tại E

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác NHF vuông tại F

Vậy AB = AC = 26dm; ME = NF = 5dm; MH = NH = 13dm.

14

15