Phân
thức đại
số

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN
TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG
ĐẲNG THỨC .

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
 Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức dưới dạng tích của những đa
thức.
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
 Ngoài cách đặt nhân tử chung ta còn sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để
phân tích đa thức thành nhân tử. Cụ thể :
(1)

;

(2)

(3)

;

(4)

(5)

;

.
;

(6)

;

(7)
.
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử các biểu thức
a)

.

b)

.

c)

.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp vận dụng trực tiếp
hằng đẳng thức
 Bước 1: Biến đổi đa thức đã cho về đúng dạng hằng đẳng thức cần sử dụng.
 Bước 2: Phân tích thành nhân tử.
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1

a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)

.

b)

ĐS:

.

ĐS:

c)

.

d)

ĐS:
.

ĐS:

Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
b)
c)
d)

.

ĐS:
.

ĐS:
.

ĐS:
.

ĐS:

Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp vận dụng hằng đẳng
thức thông qua nhóm số hạng và đặt nhân tử chung.
 Nhóm các số hạng xuất hiện hằng đẳng thức thành một nhóm , các số hạng
còn lại thành một nhóm
 Dùng hằng đẳng thức để viết nhóm các số hạng xuất hiện hằng đẳng thức
thành tích
 Đặt nhân tử chung ở các nhóm ra ngoài để viết thành tích
Ví dụ 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2

a/

ĐS:

b/

ĐS:

c/

ĐS:

Dạng 3**: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách áp dụng nhiều hằng đẳng
thức
 Sử dụng các phép phân tách hoặc thêm bớt hợp lý để đưa biểu thức về dạng
hằng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.
 Lưu ý: có thể áp dụng nhiều hằng đẳng thức trong một bài toán.
Ví dụ 6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)

.

b)

.

c)

.

ĐS:
ĐS:
ĐS:

d)

.

ĐS:

Ví dụ 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)

.

ĐS:

b)

.

ĐS:

c)

.

ĐS:

d)

.

ĐS:

Dạng 4: Chứng minh các bài toán chia hết

3

Biểu thức A chia hết cho biểu thức B khi và chỉ khi có biểu thức Q khác 0 sao
cho
.
Ví dụ 8. Chứng minh:
a)

chia hết cho

.

b)

chia hết cho

.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1)

.

3)

.

5)

ĐS:

ĐS:

ĐS:

.

ĐS:
ĐS:

.

7)

ĐS:
.

ĐS:

8)

.

9)

.

10)

.

ĐS:
ĐS:
ĐS:

11)

.

12)

.

14)

4)

.

.

6)

13)

2)

ĐS:
ĐS:

.

ĐS:
.

ĐS:

4

15)

.

16)

ĐS:

.

17)

ĐS:

.

ĐS:

18)

.

19)

.

ĐS:

20)

.

ĐS:

21)

.

25)

.

ĐS:

22)

.

23)

26)

.

27)

.

24)

.

. 28)

.

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1)

.

2)

.

ĐS:

3)

.

4)
5)
6)

ĐS:
.

ĐS:

.

ĐS:
.

7)

ĐS:
.

8)
9)

ĐS:

ĐS:
.

ĐS:

.

ĐS:

5

10)

.

11)

.

12)

ĐS:
ĐS:
.

13)

ĐS:

.

ĐS:

14)

.

15)

.

16)

ĐS:
ĐS:
.

ĐS:

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử
1)

;

2)

4)
7)

;

;

8)
;
;
;

16)

17)

;

18)
;

23)

;

.

12)

.

.
.
;

19)

21)
;

.

9)

14)

15)

.

6)

;

11)

13)

20)

3)

5)

;

10)

26)

;

;

24)

28)

22)
;

;

27)
.

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử
6

.
.

25)

.
;

a)

;

c)
e/

b)
;

;

d)

;

;

f)

;

Bài 5. Tính giá trị của biểu thức
a)

với

b)

với

;
.

Bài 6. Tính giá trị của biểu thức
a)

với

b)

;

với

.

Bài 7. Chứng minh:
a)

chia hết cho

.

b)

chia hết cho .

.

b)

chia hết cho

Bài 8. Chứng minh:
a)

chia hết cho

Bài 9. Chứng minh rằng

chia hết cho

.

.

Bài 10. Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho
.
Bài 11. Chứng minh rằng
Bài 12. Tìm

chia hết cho

để biểu thức

với mọi

.

có giá trị là một số nguyên tố.

Bài 13 Chia một hình vuông thành các hình vuông và
hình chữ nhật (hình vẽ). Tính diện tích mỗi hình vuông
và mỗi hình chữ nhật được chia theo x và y rồi tính tổng
của chúng và phân tích kết quả vừa tìm được thành nhân
tử.

7

Bài 14 Một cánh cửa sổ có dạng như hình ảnh bên . Ô cửa sổ
được cấu tạo bao gồm 1 hình vuông cạnh x (m) và một nữa
hình tròn.
a/ Tính diện tích S của cánh cửa đó.
b/ Phân tích S thành nhân tử sau đó tính diện tích của cánh của
đó với x = 1,2 m.
Bài 15 Một khối gỗ dạng hình lập phương
có cạnh là x (cm). Người ta cắt bỏ đi một
phần gỗ cũng có dạng hình lập phương có
thể tích là 1728 (cm ).
a/ Tính thể tích V của phần gỗ còn lại rồi
sau đó phân tích V thành nhân tử.
b/ Tính thể tích V của phần gỗ còn lại biết
x = 26 (cm).
Bài 16 Bác Lan gửi tiết kiệm với số tiền 400 triệu đồng vào một ngân hàng, kì hạn 12
tháng và theo thể thức lãi kép. Nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi
năm, số tiền lãi sẽ được nhập làm vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo. Giả sử
lãi xuất cố định là x% /năm, x > 0. Tính x biết rằng sau 2 năm gửi tiết kiệm , bác Hoa
nhận được số tiền (bao nhiêu gồm cả gốc lẫn lãi) là 449,44 triệu đồng.

8