CHUYÊN ĐỀ 31: QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG TAM GIÁC
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
I. Góc đối diện với cạnh lớn hơn trong một tam giác
Định lí 1:
“ Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn “.
A

C

B

VD:
Cho

ABC,  AC  AB . Khi đó:

+ Cạnh AB là cạnh đối diện với góc C .
+ Cạnh AC là cạnh đối diện với góc B .
AC  AB  B  C

II. Cạnh đối diện với góc lớn hơn trong một tam giác
Định lí 2: “ Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn ”.
VD:
Cho

ABC, AC  AB . Khi đó:

+ Góc C là góc đối diện với cạnh AB .
+ Góc B là góc đối diện với cạnh AC .
B  C  AC  AB

Chú ý:
+ Đối diện với cạnh là góc, mà đối diện với góc là cạnh.
+ Trong tam giác tù hoặc tam giác vuông thì góc tù và góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối
diện với góc vuông (cạnh huyền), cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.
+ Định lí 1 và 2 chỉ đúng khi ta áp dụng trong 1 tam giác.
+ Trong tam giác cạnh nhỏ nhất đối điện với góc nhọn.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. So sánh các góc trong một tam giác
I. Phương pháp giải:
+ TH1: Nếu các góc cần so sánh nằm trong cùng một tam giác thì ta áp dụng định lí 1:
So sánh các cạnh đối diện với các góc đó.
+ TH2: Nếu các góc cần so sánh không cùng nằm trong cùng một tam giác
1

Thì ta dùng góc trung gian để so sánh

2

II. Bài toán.
Bài 1. So sánh các góc của ABC biết rằng: AB  4cm ,
BC

Lời giải:

 6cm ,CA  5cm .

ABC có AB  AC  BC (4  5  6)  C  B  A (Định lí 1 – quan hệ giữa góc và cạnh đối diện

trong tam giác).
Bài 2. So sánh các góc của DEF biết rằng: DE  2cm , DF  3 cm EF  4cm .
Lời giải:
DEF có DE  DF  EF (2  3  4)  F  E  D (Định lí 1 – quan hệ giữa góc và cạnh đối

diện
trong tam giác).

Bài 3. So sánh các góc của ABC biết rằng: AB  2 2cm , BC


Lời giải:
ABC có AB  BC  AC
3
(2
2 

11cm ,CA  3cm .

11)  C  A  B (Định lí 1 – quan hệ giữa góc và cạnh đối

diện trong tam giác).
Bài 4. So sánh các góc của ABC biết độ dài các cạnh AB, BC, CA lần lượt tỉ lệ nghịch với
3, 4,5 .
Lời giải:
ABC có: Độ dài các cạnh
 AB.3  BC.4  CA.5

AB, BC, CA lần lượt tỉ lệ nghịch với 3, 4,5 .

 AB  BC  AC
 ACB  BAC  ABC hay C  A  B (Định lý 1).

Bài 5. So sánh các góc của ABC biết độ dài các cạnh AB, BC, CA lần lượt tỉ lệ với 3, 4,5 .
Lời giải:
ABC có: Độ dài các cạnh



AB, BC, CA lần lượt tỉ lệ với 3, 4,5 .

AB BC
AC


3
4
5

 AB  BC  AC
 ACB  BAC  ABC hay C  A  B (Định lý 1)

Bài 6. Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện để chứng minh định lí: Trong một tam giác
cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
Lời giải:
Cho ABC cân tại A nên AB  AC  C  B (Định lý 1)
Vậy trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
3

Bài 7. Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện để chứng minh định lí: Trong một tam giác
đều, ba góc bằng nhau.
Lời giải:
Cho ABC đều nên AB  AC  BC  C  B  A (Định lý 1)
Vậy trong một tam giác đều, ba góc bằng nhau.
Bài 8. Trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc gì (nhọn, vuông, tù)? tại sao?
Lời giải: Trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất. Góc nhỏ nhất của
tam giác là góc nhọn (tam giác nào cũng có ít nhất một góc nhọn)
Bài 9. Cho tam giác ABC có AB  AC . So sánh hai góc ngoài tại các
đỉnh
Lời giải:

B;C

Trước hết ta so sánh các góc trong tại hai đỉnh B;C
Vì AB  AC nên C2  B2 (Định lí 1)
Mà B1  B2  C1  C2 
180

(Tính chất hai góc kề bù)

Do đó C1  B1
Bài 10. Cho tam giác ABC có AB là cạnh nhỏ nhất. Chứng minh rằng C  60
Lời giải

Vì tam giác ABC có AB là cạnh nhỏ nhất nên C là góc nhỏ nhất
Do đó C  B,C  A
Suy ra 3C  C  B  A  180  C  60

4

Bài 11. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB  AC . Kẻ BD vuông góc với AC tại D , CE
vuông góc với AB tại E . So sánh DBC và ECB .
Lời giải

Tam giác ABC có AB  AC suy
ra

ACB  ABC ( quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác).

Tam giác DBC có DBC  90  ACB (1).
( Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau)
Tam giác ECB có ECB  90  ABC (2)
( Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau)
Mà ACB  ABC ( GT ) (3)
Từ (1),(2),(3)  DBC  ECB
Bài 12. Cho tam giác ABC có AB  AC . Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh
MAB  MAC .
Lời giải
A

B

C

M

E

Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao
cho

AM  ME

ABM  ECM ( c.g.c )
 AB  EC ( hai cạnh tương ứng )

 BAM  CEM ( hai góc tương ứng) (1)

Xét AEC có CE  AC ( vì EC  AB  AC(gt))
 EAC  AEC ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ) (2)
5

Từ (1),(2)  MAB  MAC ( đ.p.c.m).
Bài 13. Cho ABC đều. Trên cạnh BC lấy điểm M sao
cho

BM 

1
3

BC . Chứng minh rằng

BAM  20 .

Lời giải

Gọi N là điểm trên BC sao cho BM  MN  NC
ABC đều nên và BAC  ABC  ACB  60
ABM  ACN ( c.g.c)

 BAM  CAN ( hai góc tương ứng).

Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho
ABM  ENM(c.g.c)

AM  ME

 AB  EN ( hai cạnh tương ứng).
ABM có B  60; BAM  30

( Vì ABC
đều

BM 
BC

1
3

BC  BM 

nên BAM  300 )
2

 AMB  90
 ABM  AMB  AM  AB ( quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác )
 EN  AM mà
 EN  AN hay

AM  AN(ABM  ACN)

EAN  AEN  MAN  BAM

Mà BAM  MAN  NAC  60  MAN  2BAM  60
Mặt

khác
6

MAN  BAM 
3BAM  60 
BAM  20

( đ.p.c.m )

7

Bài 14. Cho ABC cân tại A . Gọi M là một điểm nằm trên cạnh BC sao cho MB  MC . Lấy
điểm O trên đoạn thẳng AM . Chứng minh
rằng

AOB  AOC .

Lời giải
A

E
O
B

x

C

M

Xét AMB và AMC có:
AB  AC(gt)

AM cạnh chung
MB  MC(gt)  MAB  MAC

Trên nửa mặt phẳng bờ AC , không chứa điểm B , vẽ tia Ax sao cho CAx  MAB .
Trên Ax lấy điểm E sao cho
Ta có AEC  AOB
( c.g.c)

AE  AO

 EC  OB ( hai cạnh tương ứng )

 AEC  AOB ( hai góc tương ứng )
AEC và AOC có AC cạnh

chung;

AE  AO

EAC  OAC

và

Nên EC  OC suy ra EOC  OEC (1)
AOE cân tại A nên AOE  AEO (2)

Từ (1), (2)  AOC  AEC , do đó AOC  AOB
Dạng 2. So sánh các cạnh trong một tam giác
I. Phương pháp giải:
+ TH1: Nếu các cạnh cần so sánh nằm trong cùng một tam giác thì ta áp dụng định lí 2:
So sánh các góc đối diện với các cạnh đó
+ TH2: Nếu các góc cần so sánh không cùng nằm trong cùng một tam giác
Thì

ta

dùng

góc

sánh
II. Bài toán.
8

trung

gian

để

so

Bài 1. So sánh các cạnh của ABC , biết: A  450; B  550

9

Lời giải
ABC có: A  450; B  550

Mà A  B  C 
1800

(tổng 3 góc của một tam giác)



 450  550  C  1800  C  1800  450  550

  80

0

 C  B  A (Vì 800  550  450 )
 AB  AC  BC (Định lý 2)

Bài 2. So sánh các cạnh của ABC vuông tại A , biết B  550
Lời giải
ABC có: A  900; B  550

Mà B  C 
900

(tổng 3 góc của một tam giác)

 550  C  60  C  90 55  35
 A  B  C (Vì 900  550  350 )
 BC  AC  AB (Định lý 2)

Bài 3. So sánh các cạnh của ABC , biết góc ngoài tại đỉnh A bằng 1000 B  550
,
Lời giải
Vì góc ngoài tại đỉnh A bằng 1200  A  1800 1000  800
ABC có: A  800; B  550

Mà A  B  C 
1800

(tổng 3 góc của một tam giác)



 800  550  C  1800  C  1800  800  550

  45

0

 A  B  C (Vì 800  550  450 )
 BC  AC  AB (Định lý 2)

Bài 4. Chứng minh trong tam giác vuông, cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông.
Lời giải
Trong tam giác vuông có một góc vuông và hai góc nhọn, góc vuông là góc lớn nhất, đối diện
với góc vuông là cạnh huyền, hai cạnh còn lại là hai cạnh góc vuông . Nên trong tam giác
vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất.
Bài 5. So sánh các cạnh của △ABC , biết ABC cân tại A,  B  C (t/c tam giác cân)
Lời giải
ABC cân tại A .

10

A  600 .

11

ABC
1800

(tổng 3 góc của một tam giác)

 A  2B  1800  A  1800  2B

Mà A  600 1800  2B  600 1200  2B  600  B
 B  C  A (Vì B  C  600  A )
ABC có B  C  A

 AC  AB  BC (Định lý 2)

Bài 6. So sánh các cạnh của △ABC , biết số đo các góc
Lời giải

A, B,C lần lượt tỉ lệ với 2,3, 4 .

Vì A : B : C  2 : 3 : 4


A B C
 
2 3 4

Theo tính chất dãy tỉ số bằng

A B C
A  B  C 1800
 0 23 4
2  3 49
 20

nhau: giác)

(tổng 3 góc của một tam

 A  2.200  400
B  3.200  600
C  4.200  800
ABC có: C  B  A (Vì 800  600  400 )

 AB  AC  BC (Định lý 2)

Bài 7: So sánh các cạnh của ABC biết rằng: A 
400
Lời giải
Ta có ABC biết rằng: A 
400
ABC
1800

và số đo
góc

B,C tỉ lệ với 3, 4 .

(tổng 3 góc của một tam giác)

 40 B  C  1800  B  C  1800  40  140

Do đó B  C  B  C  140 
3
4
34

20

Suy ra

7

B  3.20  60,C  4.20  80
 A  B  C 40  60  80
 BC  AC  AB

(Định lí 2)

và số đo
góc

12

B,C tỉ lệ với 3, 4 .

Bài 8: So sánh các cạnh của ABC biết rằng: A 
400
Lời giải
Ta có ABC biết rằng: A 
400
ABC
1800

và số đo
góc

và số đo
góc

B,C tỉ lệ nghịch với 3, 4 .

B,C tỉ lệ nghịch với 3, 4 .

(tổng 3 góc của một tam giác)

 40 B  C  1800  B  C  1800  40  140

Do
đó

3B 
4C



B C
B  C 140
4  3
 4  37

20

Suy ra B  4.20  80,C  3.20  60
 A  C  B 40  60  80
 BC  AB  AC

(Định lí 2)
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A ,
biết

B  45

a) So sánh các cạnh của tam giác ABC .
b) Tam giác ABC còn gọi là tam giác gì? Vì sao?
Lời giải
a) Tam giác ABC cân tại A nên C  B  45  A  90 .
Vậy A  90  B  C 
45

 BC  AC  AB .

b) Tam giác ABC vuông cân tại A vì A  90,B  C .
Bài 10: Cho ABC vuông tại A , điểm K nằm giữa A và C . So sánh BK và BC .
Lời giải

Ta
có

AKC  A (góc ngoài ABK ) nên AKC  90

13

Xét BKC có AKC  90
nên

BC  BK

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A , C  30 . Điểm D thuộc cạnh AC sao
cho
So sánh BA, BD, BC, AD, DC

14

ABD  20 .

Lời giải

Tam giác ABC vuông tại A , C  30  ABC  90 
C

 90  30  60

 DBC  ABC  ABD  60 20 
40

Xét BDC :D  180(30 40)  110
 BDC  DBC  BCD (110  40  30)
 BC  DC  BD

Xét ABD :D  90  20  70
 BAD  ADB  ABD (90  70  20)
 BD  AB  AD

Vậy

BC  DC  BD  AB  AD

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tia phân giác góc B cắt AC ở D . Kẻ DH vuông góc
với BC tại H . So sánh:
a) BA với BH

b) DA với DC

Lời giải
B

H
A

D

C

a) Xét ABD và HBD có
BAD  BHD  90
ABD  HBD ( gt)

BD cạnh chung
 ABD  HBD ( Cạnh huyền-góc nhọn)

15

 BA  BH ( Hai cạnh tương ứng)

16

b) HDC có DHC  90  DC  DH ( cạnh huyền , cạnh góc vuông)
Mà AD  DH ( Vì ABD  HBD )
 DC  AD

Bài 13: Cho tam giác ABC có
Chứng minh
rằng

A  90 . Lấy điểm D thuộc cạnh AB điểm E thuộc cạnh AC .

DE  BC

Lời giải

Vì BDC là góc ngoài của DAC
Nên BDC  A  90 . Do đó BC là cạnh lớn nhất của DBC
 BC  CD (1)

Mặt khác DEC là góc ngoài của ADE
Nên DEC  A  90 . Do đó DC là cạnh lớn nhất của DEC
 DC  DE (2)

Từ (1) và (2) suy
ra

DE  BC

Bài 14. Cho tam giác ABC nhọn. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D và trên tia đối của tia CA
lấy điểm E sao cho CE  BD . Chứng minh
BC  DE .
rằng:
Lời giải
A

B

D

Ta có ACD
có

C

E

DCE  ADC ( góc ngoài của tam giác )

17

Xét BCD và CDE
Có BD  CE (gt)

18

CD : cạnh chung

DCE  ADC ( cmt)
 DE  BC ( Hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau và hai góc tạo bởi các cạnh

đó không bằng nhau thì góc nào lớn hơn thì có cạnh đối diện lớn hơn, ngược lại cạnh
nào lớn hơn thì góc đối diện với cạnh đó lớn hơn).
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. So sánh các góc trong một tam giác
Bài 1. So sánh các góc của ABC biết:
a) AB  4cm;

 6cm;
CA

BC

b) AB  9cm; AC


c) Độ dài các
cạnh

 5cm.

72cm; BC  8cm.
AB, BC, CA lần lượt tỉ lệ nghịch với 2,3, 4 .

Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB  AC . Kẻ AH vuông góc với BC tại H . So sánh
HAB và HAC .
Bài 3. Cho tam giác ABC . Có

AB  AC và AD là tia phân giác của góc A D  BC ). Kẻ AH
(
vuông góc với BC ( H  BC ) và gọi M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng:
Tia AD nằm giữa hai tia AH và AM .

Bài 4. Cho ABC , trung tuyến AM . Biết BAM  CAM hãy so sánh B với C .
Dạng 2. So sánh các cạnh trong một tam giác
Bài 1. So sánh các cạnh của △ABC , biết:
a) A  400; B  500
b) Góc ngoài tại đỉnh A bằng 1200 , B  540
c) ABC cân tại A, A  600 .
d) Số đo các
góc

A, B,C lần lượt tỉ lệ với 2,3, 4 .

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A có A  50 . So sánh độ dài AB và BC .
Bài 3. Cho tam giác ABC có A  90,C  30 . Điểm D thuộc cạnh AC sao
cho
sánh độ dài các cạnh của tam giác BDC .

ABD  20 .So

Bài 4. Tam giác ABC có AB  AC . Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE .
19

Gọi M là trung điểm của BC . So sánh MD với ME .
ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. So sánh các góc trong một tam giác

20

Bài 1. So sánh các góc của ABC biết:
a) AB

 4cm;
BC

 6cm;
CA

b) AB  9cm; AC

72cm; BC  8cm.



c) Độ dài các
cạnh

 5cm.

AB, BC, CA lần lượt tỉ lệ nghịch với 2,3, 4 .

Lời giải
a) ABC có: AB

 4cm;
BC

 6cm;
CA

 5cm.

 BC  CA  AB
 BAC  CBA  ACB hay A  B  C (Định lý 1)

b) ABC có: AB  9cm; AC

72cm  8,5cm;
BC



 8cm.

 AB  AC  BC
 ACB  ABC  BAC hay C  B  A (Định lý 1)

c) ABC có: Độ dài các cạnh
 AB.2  BC.3  CA.4

AB, BC, CA lần lượt tỉ lệ nghịch với 2,3, 4 .

 AB  BC  AC
 ACB  BAC  ABC hay C  A  B (Định lý 1)

Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB  AC . Kẻ AH vuông góc với BC tại H . So sánh
HAB và HAC .
Lời giải
A

B

Tam giác ABC
có

C

H

AB  AC suy

ra

ACB  ABC

( quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác )
Tam giác HBA có HAB  90  ABC (1)
( Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau)
21

Tam giác HAC có HAC  90  ACB (2)
( Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau)
Mà ACB  ABC ( GT ) (3)
Từ (1),(2),(3)  HAC  HAB

22

Bài 3. Cho tam giác ABC . Có AB  AC và AD là tia phân giác của góc A D  BC ). Kẻ AH
(
vuông góc với BC ( H  BC ) và gọi M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng:
Tia AD nằm giữa hai tia AH và AM .
Lời giải

Ta
có

D  BC; H  BC ( gt ). Suy H; B cùng thuộc một tia gốc C .

ra

Do đó các
tia

AM, AD, AH cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC .

Tia AD nằm giữa hai tia AH và AM . Khi CAM  CAD  CAH
Thật vậy ta có: CAD 

( 1)

BAC

2

Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho
ABM  ECM(c.g.c)

AM  ME

 AB  EC ( hai cạnh tương ứng )

 BAM  CEM ( hai góc tương ứng) (2)

Xét AEC có CE  AC ( vì EC  AB  AC(gt))
 EAC  AEC ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ) (3)

Từ (2),(3)  MAB  MAC
Nên CAM  CAM  BAM  CAM do đó
23

2CAM  BAC , hay CAM 
BAC

( 4)
2

Xét CAH vuông ta có

24

CAH
BAC  90  ACH 

BAC



2

ABC



ACB

2

 ACB 

2

BAC



2

ABC  ACB



2

2

(5) (vì ABC  ACB )

Từ (1), (4),(5)  CAM  CAD  CAH . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC , ta có
CAM  CAD  CAH nên tia AD nằm giữa hai tia AH và AM .

Bài 4. Cho ABC , trung tuyến AM . Biết BAM  CAM hãy so sánh B với C .
Lời giải
A

B

C

M

E

Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho AM  ME
ABM  ECM ( c.g.c )
 AB  EC ( hai cạnh tương ứng ) (1)

 BAM  CEM ( hai góc tương ứng)

Xét AEC
có

AEC  EAC (
vì

BAM  MEC  MAC(gt) )

 EC  AC ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ) (2)

Từ (1),(2)  AB  AC  C  B ( đ.p.c.m)
Dạng 2 . So sánh các cạnh trong một tam giác
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A
có

A  50 . So sánh độ dài AB và BC .

Lời giải

Tam giác ABC cân tại A có A  50 .
25

ABC  ACB 

180  A 180  50

 65
2
2

Tam giác ABC có BAC  ACB(50  65)  BC  AB ( Quan hệ giữa góc và cạnh trong
tam giác )
Bài 2. So sánh các cạnh của ABC , biết:
a) A  400; B  600
b)

Góc ngoài tại đỉnh A bằng 1200 , B  540

c)

ABC cân tại A , A  600 .

d)

Số đo các
góc

A, B,C lần lượt tỉ lệ với 3, 4,5 .

Lời giải
a) ABC có: A  400; B  600
Mà A  B  C 
1800

(tổng 3 góc của một tam giác)



 400  600  C  1800  C  1800  400  600

  80

0

 C  B  A (Vì 800  600  400 )
 AB  AC  BC (Định lý 2)

b) Vì góc ngoài tại đỉnh A bằng 1200  A  1800 1200  600
ABC có: A  600; B  550

Mà A  B  C 
1800

(tổng 3 góc của một tam giác)



 600  540  C  1800  C  1800  600  540

  66

 C  A  B (Vì 660  600  540 )
 AB  BC  AC (Định lý 2)

c) ABC cân tại A
 B  C (t/c tam giác cân)
ABC
1800

(tổng 3 góc của một tam giác)

 A  2B  1800  A  1800  2B

Mà A  600 1800  2B  600 1200  2B  B  600
 B  C  A (Vì B  C  600  A )
ABC có B  C  A

26

0

 AC  AB  BC (Định lý 2)

27

d) Vì A : B : C  3 : 4 : 5


A B C
 
3 4 5

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau: A B C A  B  C 1800
 34 5

3  4  5 (tổng 3 góc của một tam
 150
giác)
12
 A  3.150  450
B  4.150  600
C  5.150  750
ABC có: C  B  A (Vì 750  600  450 )

 AB  AC  BC (Định lý 2)

Bài 3. Cho tam giác ABC có A  90,C  30 . Điểm D thuộc cạnh AC sao
cho
sánh độ dài các cạnh của tam giác BDC .

ABD  20 .So

Lời giải

Tam giác ABC có A  90,C  30  B  90 30  60
Tia BD nằm giữa haitia BA; BC
,nên

DBC  ABC  ABD  60 20  40

Tam giác DBC có DCB  30, DBC  40  CDB  180 (30  40)  1100
Tam giác DBC có DCB  DBC  CDB ( Vì 30  40  110 )
 BD  CD  BC ( Quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác )

Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC có AB  AC . Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D . Chứng
minh DB  DC .
Lời giải
28

A
M

B

C

D

Trên cạnh AC lấy điểm M  M  AC sao
cho

AB  AM

ABD  AMD ( c.g.c)
 BD  DM ( hai cạnh tương ứng) ( 1)
ABD  AMD ( hai góc tương ứng )

Mặt
khác

AMD  DMC  180( hai góc kề bù )

Mà ABD  90 ( ABC nhọn)  AMD  90
 DMC  90

Xét DMC có DMC  90  MCD  90
hay

MCD  DMC

 DM  DC ( quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác) ( 2)

Từ(1),(2)  BD  DC
PHIẾU BÀI TẬP
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. So sánh các góc trong một tam giác
Bài 1. So sánh các góc của ABC biết rằng:
Bài 2. So sánh các góc của DEF

AB  4cm ,
BC

 6cm ,CA  5cm .

biết rằng: DE  2cm , DF  3 cm, EF  4cm .

Bài 3. So sánh các góc của ABC biết rằng: AB  2 2cm , BC


11cm ,CA  3cm .

Bài 4. So sánh các góc của ABC biết độ dài các cạnh
AB, BC, CA lần lượt tỉ lệ nghịch với
3, 4,5 .
Bài 5. So sánh các góc của ABC biết độ dài các cạnh AB, BC, CA lần lượt tỉ lệ với 3, 4,5 .
Bài 6. Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện để chứng minh định lí: Trong một tam giác
cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
Bài 7. Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện để chứng minh định lí: Trong một tam giác
đều, ba góc bằng nhau.
29

Bài 8. Trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc gì (nhọn, vuông, tù)? tại sao?
Bài 9. Cho tam giác ABC
có

AB  AC . So sánh hai góc ngoài tại các

đỉnh

B;C

Bài 10. Cho tam giác ABC có AB là cạnh nhỏ nhất. Chứng minh rằng C  60

30

Bài 11. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB  AC . Kẻ BD vuông góc với AC tại D , CE
vuông góc với AB tại E . So sánh DBC và ECB .
Bài 12. Cho tam giác ABC có AB  AC . Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh MAB 
.
MAC
Bài 13. Cho ABC đều. Trên cạnh BC lấy điểm M sao
cho

BM 

1
3

BC . Chứng minh rằng

BAM  20 .

Bài 14. Cho ABC cân tại A . Gọi M là một điểm nằm trên cạnh BC sao cho MB  MC . Lấy
điểm O trên đoạn thẳng AM . Chứng minh rằng AOB  AOC .
Dạng 2. So sánh các cạnh trong một tam giác
Bài 1. So sánh các cạnh của ABC , biết: A  450; B 
550

Bài 2. So sánh các cạnh của ABC vuông tại A , biết B  550
Bài 3. So sánh các cạnh của ABC , biết góc ngoài tại đỉnh A bằng 1000 B  550
,
Bài 4. Chứng minh trong tam giác vuông, cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông.
Bài 5. So sánh các cạnh của ABC , biết ABC cân tại A , A  600 .
Bài 6. So sánh các cạnh của ABC , biết số đo các góc A, B,C lần lượt tỉ lệ với 2,3, 4 .
Bài 7: So sánh các cạnh của ABC biết rằng: A 
400
Bài 8: So sánh các cạnh của ABC biết rằng:
A
400
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A , biết B  45

và số đo góc B,C tỉ lệ với 3, 4 .
và số đo góc B,C tỉ lệ nghịch với 3, 4 .

a) So sánh các cạnh của tam giác ABC .
b) Tam giác ABC còn gọi là tam giác gì? Vì sao?
Bài 10: Cho ABC vuông tại A , điểm K nằm giữa A và C . So sánh BK và BC .
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A , C  30 . Điểm D thuộc cạnh AC sao
cho
So sánh BA, BD, BC, AD, DC

ABD  20 .

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tia phân giác góc B cắt AC ở D . Kẻ DH vuông góc
với BC tại H . So sánh:
a) BA với BH

b) DA với DC

Bài 13: Cho tam giác ABC có A  90 . Lấy điểm D thuộc cạnh AB điểm E thuộc cạnh AC .
31

Chứng minh
rằng

DE  BC

Bài 14. Cho tam giác ABC nhọn. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D và trên tia đối của tia CA
lấy điểm E sao cho CE  BD . Chứng minh rằng: BC  DE .

32

Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. So sánh các góc trong một tam giác
Bài 1. So sánh các góc của ABC biết:
a) AB  4cm;

 6cm;
CA

BC

b) AB  9cm; AC

72cm; BC  8cm.



c) Độ dài các
cạnh

 5cm.

AB, BC, CA lần lượt tỉ lệ nghịch với 2,3, 4 .

Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc
nhọn,

AB  AC . Kẻ AH vuông góc với BC tại H . So sánh

HAB và HAC .

Bài 3: Cho tam giác ABC có A  90 . Lấy điểm D thuộc cạnh AB điểm E thuộc cạnh AC .
Chứng minh
DE  BC
rằng
Bài 4. Cho ABC , trung tuyến AM . Biết BAM  CAM hãy so sánh B với C .
Dạng 2. So sánh các cạnh trong một tam giác
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A có A  50 . So sánh độ dài AB và BC .
Bài 2. So sánh các cạnh của △ABC , biết:
a) A  450; B  550
b) Góc ngoài tại đỉnh A bằng 1200 , B  540
c) ABC cân tại A, A  600 .
d) Số đo các
góc

A, B,C lần lượt tỉ lệ với 2,3, 4 .

Bài 3. Cho tam giác ABC có A  90,C  30 . Điểm D thuộc cạnh AC sao
cho
sánh độ dài các cạnh của tam giác BDC .

ABD  20 .So

Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC có AB  AC . Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D . Chứng
minh DB  DC .

33