CHỦ ĐỀ 3.4.BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Với

và

đó ta cũng gọi

Nếu có số nguyên
là số bị chia,

sao cho

là số chia,

thì ta ta có phép chia hết

là thương). Khi đó ta nói

chia hết cho

.
Khi

(

,

) ta còn gọi

là bội của

và

là ướccủa

.

2. Nhận xét
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và

là ước của mọi số nguyên.

3. Tính chất
Có tất cả các tính chất như trong tập
-Nếu

chia hết cho

và

.

chia hết cho

thì

cũng chia hết cho

.

và
- Nếu

chia hết cho

thì bội của

cũng chia hết cho

.

(
- Nếu

,

chia hết cho

- Nếu

,

chia cho

)

thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho

cùng số dư thì

chia hết cho

.

.

Nhận xét:
- Nếu

chia hết cho

,

chia hết cho

- Nếu

chia hết cho hai số

nguyên tố cùng nhau thì

- Nếu

chia hết cho số nguyên tố

- Nếu

chia hết cho

- Trong

và

thì

thì

chia hết cho

chia hết cho
.

nguyên tố chung nhau thì

số nguyên liên tiếp có đúng một số chia hết cho

II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1. Tìm bội và ước của số nguyên
1

.

chia hết cho
.

.

(trong
, kí hiệu là

I. Phương pháp giải
-Tập hợp các bội của số nguyên a có vô số phần tử và bằng
- Tập hợp các ước số của số nguyên

luôn là hữu hạn.

Cách tìm:
Trước hết ta tìm các ước số nguyên dương của phần số tự nhiên
chẳng hạn là

Khi đó

(làm như trong tập số tự nhiên),

cũng là ước số của a. Do đó các ước của a là

.
Như vậy số các ước nguyên của

gấp đôi số các ước tự nhiên của nó.

- Số ước nguyên dương của số

là

II. Bài toán
A. TRẮC NGHIỆM
Bài 1.Khi nào ta nói

là bội của

A.

?

B.

C.

D.

Lời giải
Đáp án: A
Bài 2.Hãy nêu cách tìm bội của một số:
A. nhân số đó lần lượt với

C. chia số đó lần lượt cho

B. nhân số đó lần lượt với

D. chia số đó lần lượt cho

Lời giải
Đáp án: B
Bài 3.Hãy chỉ ra số là ước của tất cả các số:

Lời giải
Đáp án: C
Bài 4.Số 28 có bao nhiêu ước nguyên?

Lời giải
Đáp án: D
Giải thích: ta có
2

,

Số các ước nguyên dương của số 28 là
Số các ước của 28 là
Bài 5. Các số có 2 chữ số là ước của 60 là:

Lời giải
Đáp án: C
Bài 6. Hãy tìm các số

và

Lời giải
Đáp án: A
B. TỰ LUẬN
Bài 1.Tìm năm bội của:

.

Lời giải
Cả 3 và -3 đều có chung các bội dạng

(

), nghĩa là:

Chẳng hạn, năm bội của 3 và – 3 là :

.

Bài 2. Tìm năm bội của 2 và -2.
Lời giải
Muốn tìm một bội của 2, (-2) ta nhân 2, (-2) với một số nguyên nào đó. Chẳng hạn:
Năm bội của 2 là :
Năm bội của -2 là :

.

Tổng quát: Các bội của 2 và -2 có dạng là

với

:

Bài 3. Tìm các bội của
Lời giải

Bài 4. Tìm tất cả các ước của
Lời giải
Các ước của -2 là :
3

Cấc ước của 4 là :
Các ước của 13 là :
Các uớc của 15 là :
Các ước của 1 là :
Bài 5.Tìm tất cả các ước của
Lời giải
Kí hiệu

  là tập hợp các ước của số nguyên

, ta có:

hoặc viết gọn là:

;

;     
Bài 6.Tìm tất cả các ước của 36.
Lời giải
Phân tích 36 ra thừa số  nguyên tố:
Để tìm tất cả các ước của 36 không bị sót, bị trùng, ta có thể làm như sau:

4

; 

Ta viết:
    
     

      
         

     hay           
 

    hay          

Các ước nguyên dương của 36  là :

Tất cả có 9 ước  nguyên dương là:  

.

Tập hợp tất cả các ước nguyên của 36 là :

Bài 7. Tìm tất cả các ước của 12 mà lớn hơn – 4.
Lời giải
Các ước của 12 là:
Các ước của 12 mà lớn hơn – 4 là
Bài 8.Tìm các số tự nhiên

sao cho:

.
là ước của 28

Lời giải
Ta có:
, ta có bảng sau:

Vì

Vì

.

là số tự nhiên nên

Bài 9. Tìm các bội của -13 lớn hơn -40 nhưng nhỏ hơn 40.
Lời giải
Các bội của -13 là
Các bội của -13 lớn hơn -40 nhưng nhỏ hơn 40
Bài 10.Tìm các số tự nhiên x là bội 75 đồng thời là ước của 600
Lời giải

Đáp
án:
Bài 11. Chứng tỏ rằng số có dạng

là bội của 37

Lời giải
Đáp án: Ta có:

nên

Bài 12. Tìm các chữ số

và

sao cho

là bội của 37

vừa là bội của 5, vừa là bội của 6

Lời giải
Ta có

nên

Số

chia hết cho cả 2 và 5 nên

Ta có

nên

hay

Vậy

, do đó

cả 3 số này vừa là bội của 5, vừa là bội của 6

Bài 13.
a) Tìm năm bội của:

;

b) Tìm các bội của

, biết rằng chúng nằm trong khoảng từ

đến 24.

Lời giải
a) Các bội số của

đều có dạng

(

).

Chẳng hạn chọn năm bội số của

là:

( ứng với

lần lượt bằng

).
b) Các bội số của –12 có dạng 12.k (
Tức là:
Vậy các bội của

). Cần tìm

sao cho:

.

, chọn
nằm trong khoảng từ

đến 24 là

Bài 14. Tìm tất cả các ước của:
a)

;

Lời giải

b)

;

c) 12.

a) Các ước tự nhiên của 3 là 1, 3.Do đó các ước của
b) Các ước tự nhiên của 25 là

là

.Do đó các ước của 25 là

c) Các ước tự nhiên của 12 là

.Do đó các ước của 12 là

Nhận xét:
Số tự nhiên a phân tích ra thừa số nguyên tố có dạng
nhiên của a là

(p, q, r là số nguyên tố) thì số ước tự

Khi đó mỗi số nguyên

đều có

ước nguyên.
Số nguyên tố

có 4 ước nguyên là

Bài 15. Tìm số nguyên
a)

chia hết cho

để:
;

c) 9 chia hết cho

b) 8 chia hết cho
;

d)

chia hết cho 17.

Lời giải
a)

chia hết cho

Vậy

(

b) 8 chia hết cho

, nên

là bội của 2 ( vì 5 không chia hết cho 2).

là số nguyên tùy ý).
, nên

là ước của 8.

Vậy
c) 9 chia hết cho

, nên

là ước của 9.

Suy ra
Với

suy ra

hay

Với

suy ra

hay

Với

suy ra

hay

Với

suy ra

hay

Với

suy ra

hay

Với

suy ra

hay

;

Vậy
d)

chia hết cho 17, nên

Vậy

(

là bội của 17. Do đó

(

).

).

III. Bài tập có hướng dẫn
Bài 1.
a) Tìm bốn bội của
b) Tìm các bội của

.
, biết rằng chúng nằm trong khoảng từ 100 đến 200.

HD
a) Chẳng hạn là: –18; –9; 0; 9
b) 120; 144; 168; 192
Bài 2. Tìm tất cả các ước của:
a)

;

b) 49;

c)

HD

a)
b)
c)
Bài 3.
a) Tìm tập hợp

;

b) Tìm tập hợp

.

HD

a)

suy ra

b)

suy ra

Bài 4. Tìm số nguyên
a)
c)

để:

chia hết cho 3;
chia hết cho

b)
;

d)

chia hết cho

;

chia hết cho 18.

.

HD
a)

mà (7; 3) = 1 nên

b)

do đó

nên

c)

nên

Vậy
d)

nên

suy ra

Bài 5. Tìm tập hợp

.

HD

Suy ra
Bài 6. Cho hai tập hợp

và

a) Viết tập hợp gồm các phần tử có dạng

với

b) Trong các tích trên có bao nhiêu tích chia hết cho 5?
HD
a) C =

=

( Chú ý: Các phần tử trong tập hợp phải khác nhau đôi một)
b) Trong các tích trên có 3 tích chia hết cho 5 ứng với

và

Dạng 2. Vận dụng tính chất chia hết của số nguyên
I. Phương pháp giải
Để chứng minh một biểu thức A chia hết cho số nguyên a;
- Nếu A có dạng tích
n chia hết cho

thì cần chỉ ra m (hoặc n, hoặc p) chia hết cho a. Hoặc m chia hết cho

, p chia hết cho

trong đó

- Nếu A có dạng tổng m + n + p thì cần chỉ ra m, n, p cùng chia hết cho a, hoặc tổng các số dư khi
chia m, n, p cho a phải chia hết cho a.

- Nếu A có dạng hiệu m – n thì cần chỉ ra m, n chia cho a có cùng số dư. Vận dụng tính chất chia hết
để làm bài toán về tìm điều kiện để một biểu thức thỏa mãn điều kiện cho hết.
II. Bài toán
Bài 1. Chứng minh rằng:

chia hết cho

.

Lời giải
Nhóm tổng S thành tổng của các bội số của

Mỗi số hạng của tổng S đều chia hết cho
Bài 2. Cho số

bằng cách:

, nên S chia hết cho

Hỏi số a có chia hết cho

.

không?

Lời giải

.
Số hạng đầu của

chia hết cho 9, còn 7 không chia hết cho 9 nên

cũng không chia hết cho
Bài 3. Cho

không chia hết cho 9. Do đó

.

là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu

chia hết cho 31 thì

cũng

chia hết cho 31. Điều ngược lại có đúng không?
Lời giải
Ta có:

(*)
và

Do đó

từ (*) suy ra

Mà 6 và 31 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra
Ngược lại, nếu

, mà

từ (*) suy ra

Vậy điều ngược lại cũng đúng.
Ta có thể phát biểu bài toán lại như sau:
“Cho

là các số nguyên. Chứng minh rằng

chia hết cho 31 khi và chỉ khi

cho 31”.
Bài 4. Tìm số nguyên
a)

chia hết cho

sao cho:
b)

là ước số của

chia hết

Lời giải
a) Nhận thấy
Do

nên

Suy ra

khi và chỉ khi

hay

Vậy

b) Nhận thấy
Do

nên

khi và chỉ khi

Suy ra
Vậy
III. Bài tập có hướng dẫn
Bài 1. Chứng minh rằng:

chia hết cho

HD

=
= 39 + 33.39 + 36.39 = 39.(1 + 33 + 36)
Suy ra

nên

Bài 2. Cho số

(gồm 20 chữ số 1). Hỏi số a có chia hết cho 111 không?

HD
Nhận thấy:
=
Suy ra là tổng của hai số hạng trong đó có 1 số chia hết cho 111, 1 số không chia hết cho 111 nên
không chia hết cho 111.
Vậy

không chia hết cho 111.

Bài 3. Cho

là các số nguyên. Chứng minh rằng

chia hết cho 17 khi và chỉ khi

chia hết cho 17.
HD
Xét hiệu
Nhận thấy

nên:

Nếu

thì

, mà

nên

Nếu

thì

, mà

nên

Bài 4. Tìm số nguyên
a)

sao cho:

chia hết cho

;

b)

là ước số của

HD
a)

nên

do đó

Vậy
b) Do

nên

Do đó
Vậy
Bài 5. Tìm cặp số nguyên
a)

sao cho:
b)

c)

HD
a) Vì 5 = 5.1 =

nên ta có các trường hợp sau:

1)

và

và

2)

và

và

3)

và

và

4)

và

và

b)
c)
Do đó tìm được

.

Bài 6. Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho 20x + 10y = 2010.
HD
Từ điều kiện đề bài suy ra
201 là số lẻ và 2x là số chẵn, suy ra y là số lẻ. Khi đó y có dạng:

Chẳng hạn, bốn cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

Bài 7. Tìm số nguyên

sao cho

là bội của 15 và

là ước số của 1001.

HD

Ta có:
Mà

là bội của 15 nên

(

là ước của 1001 nên kiểm tra thấy

) suy ra

(

)

hay

Vậy
Dạng 3. TÌM SỐ NGUYÊN

THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ CHIA HẾT

I. Phương pháp giải.
Áp dụng tính chất: Nếu

chia hết cho

và

II. Bài toán.
Bài 1.Tìm các số tự nhiên

sao cho

Lời giải
Ta có

Ta có bảng sau:

khi đó

là ước của 10

chia hết cho

thì

chia hết cho

.

Suy ra

(

Bài 2.Tìm
a)

)

sao cho :

chia hết cho

;

b)

chia hết cho

Lời giải
a) Ta có:

.

Ta có:
Do đó

chia hết cho

.

chia hết cho

khi 5 chia hết cho

Ước của 5 gồm các số

, tức là

.

Ta có bảng sau:

Suy ra
b)
Ta có:

chia hết cho

Do đó
Do đó

chia hết cho
là ước của 7.

Ước của 7 gồm các số

.

Ta có bảng sau:

Suy ra:
Bài 3.Tìm các số nguyên

.
thoả mãn:

khi 7 chia hết cho

là ước của 5.

.

Lời giải
a) Ta có
nên

khi

, tức là

Vì

ĐS :

là ước của 3.

, ta có bảng sau:

.

b) HD: Ta có
nên

khi

Đáp số:
Bài 4.Tìm
a)

, tức là

là ước của 11.

.
  sao cho :
chia hết cho

b)

chia hết cho

.

Lời giải
a) Ta có:
Ta có:
Do đó

.
chia hết cho

.

chia hết cho

Ước của 1 gồm các số

khi 1 chia hết cho

. Suy ra

, tức là

là ước của 1.

.

b) Ta có:
Ta có:
Do đó

chia hết cho
chia hết cho

Ước của 4 gồm các số
Bài 5.Tìm các số tự nhiên
Lời giải

.
khi 4 chia hết cho
. Suy ra
sao cho

, tức là

là ước của 4.
.

là bội của

là bội của
mà
Do đó

Mà

nên

Bài 6.Tìm số nguyên

biết rằng

chia hết cho

.

Lời giải
Ta có:

chia hết cho
chia hết cho

Mà

chia hết cho

⇒ 7 chia hết cho
thuộc ước của 7
mà

Vậy
Bài 7.Tìm số nguyên dương
Lời giải
là bội của

Mà

Mà

. Do đó

nên

sao cho

là bội của

.

Bài 8. Có hai số nguyên

, khác nhau mà chia hết cho

và

chia hết cho

không ?

Lời giải
chia hết cho
chia hết cho

hoặc
Vì

nên

. Do đó:

Vậy mọi cặp số nguyên đối nhau và khác  0 đều có tính chất

chia hết cho (

và chỉ những cặp số đó.
Bài 9. Cho hai tập hợp số:
a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng

với

b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho

?
?

Lời giải
Giải
a) Ta lập bảng cộng sau :

Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng được tạo thành, trong đó có 7 tổng khác nhau:
.
b) Có 7 tổng chia hết cho 2 là :
(Có 3 tổng khác nhau chia hết cho 2 :

).

Bài 10.Cho hai tập hợp số 
a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng

với

b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho 3?
Lời giải
Lập bảng ta thấy :
a) Ta lập bảng cộng sau:

?

) và (

) chia hết cho

Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng được tạo thành, trong đó có 7 tổng khác nhau :
.
b) Trong đó có 5 tổng chia hết cho 3 là :

.

Như vậy có hai tổng khác nhau chia hết cho 3 là 18 và 21.