CHUYÊN ĐỀ 2. TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
ĐS6.CHỦ ĐỀ 2.4 – ƯỚC VÀ BỘI CỦA SỐ TỰ NHIÊN
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Ước và bội:
 Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b thì ta nói a là bội của b, còn b là ước của a.


Tập hợp ước của a là: Ư

, tập hợp các bội của b kí hiệu: B

.

Ví dụ: Ư
B
.
2. Ước chung và ước chung lớn nhất
 Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.
 Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.


Ta kí hiệu: tập hợp các ước chung của a và b là: ƯC

,

tập hợp các ước chung lớn nhất của a và b kí hiệu: ƯC LN

.

Ví dụ:ƯC
, ƯCLN
.
Chú ý: ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.
 Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.
 Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.
 Cách tìm ƯCLN:
Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số chung
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn. mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là
ƯCLN phải tìm.
3. Bội chung và bội chung nhỏ nhất
 Số tự nhiên n được gọi là bội chung của hai số a và b nếu n vừa là bội của a vừa là bội của b.
 Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b.


Ta kí hiệu: tập hợp các bội chung của a và b là: BC

,

tập hợp các bội chung nhỏ nhất của a và b kí hiệu: BCNN
Ví dụ:BC

đó.

.

,

BCNN
.
Chú ý: Bội chung của nhiều số là bội của bội chung nhỏ nhất của chúng.
Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số




Cách tìm BCNN:
Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số chung và riêng
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn. mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là
BCNN phải tìm.
Nhận xét:
BCNN

BCNN
BCNN
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
A. ƯỚC VÀ BỘI, ƯỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN.
1

Dạng 1. Nhận biết một số là ước (bội) của một số cho trước.
I.Phương pháp giải.
+ Để xét có là ước của một số cho trước hay không, ta chia số đó cho
là ước của số đó.
+ Để xét
bội của số đó.

có là bội của một số khác

hay không, ta chia

. Nếu chia hết thì

cho số đó. Nếu chia hết thì

II.Bài toán.
Bài 1. Cho các số sau

, tìm các số

a) Là Ư

b) Là Ư

Lời giải
a) Vì trong các số đã cho
b) Vì trong các số đã cho

chia hết cho

nên

chia hết cho

Ư
nên

Ư

Bài 2. Cho các số sau

, chỉ ra các số thuộc tập hợp sau:

a) Là B

b) Là B

Lời giải
a) Vì trong các số đã cho

chia hết cho

b) Vì trong các số đã cho

nên

chia hết cho

B
nên

B

Dạng 2. Tìm tất cả các ước (bội) của một số.
I.Phương pháp giải.
+ Để tìm tất cả các ước của một số
Bước 1: Chia

lần lượt cho các số

Bước 2: Liệt kê các số mà
+ Để tìm bội của một số
Bước 1: Nhân

ta làm như sau:

chia hết. Đó là tất cả các ước của
ta làm như sau:

lần lượt cho các số

Bước 2: Liệt kê các số thu được. Đó là tất cả các bội của
Lưu ý: Nếu bài toán tìm ước (bội) của một số thỏa mãn điều kiện cho trước ta làm như sau:
Bước 1: Liệt kê các ước (bội) của số đó
Bước 2: Chọn ra các số thỏa mãn điều kiện đề bài.
II.Bài toán.
Bài 1.
2

là

a) Tìm tập hợp các ước của
b) Tìm tập hợp các bội của
Lời giải
a) Ư

Ư

Ư

Ư

b)

Bài 2. Tìm các số tự nhiên
a)

Ư

c)

và

sao cho

và

b)
d)

và

và

Lời giải
a) Ta có Ư
b)

Vì
và

Vì

Ư

và

nên

nên

Mặt khác
c)

và

Vì

nên

do đó

Mặt khác
d)

và

Vì

nên

Ư

và

Bài 3. Tìm tập hợp các số tự nhiên vừa là ước của

nên

vừa là bội của

.

Lời giải
Gọi

là số tự nhiên cần tìm. Ta có Ư

Vì

nên

Dạng 3. Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết.
I.Phương pháp giải.
Áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) và định nghĩa ước của một số tự nhiên.
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm số tự nhiên

sao cho:
3

a)

b)

c)

d)

Lời giải
a)

Ư

Vậy
b)

Ư

Vậy
c)
Ta có

và

.

Áp dụng tính chất chia hết của tổng (hiệu) ta có
Ư
Vậy
d)
Ta có

và

.

Áp dụng tính chất chia hết của tổng (hiệu) ta có
Ư
Vậy
Dạng 4. Viết tập hợp các ước chung (bội chung) của hai hay nhiều số.
I.Phương pháp giải.
Bước 1. Viết tập hợp các ước (bội) của các số đã cho.
Bước 2. Tìm giao của các tập hợp đó.
II.Bài toán.
Bài 1. Viết các tập hợp sau:
a) ƯC

b) ƯC

c) BC

d) BC

Lời giải
a) ƯC

b) ƯC
4

Ta có Ư

Ta có Ư

Ư

Ư

ƯC

ƯC

c) BC

d) BC

Ta có B

Ta có B

B
BC

B
BC

Dạng 5: Bài toán có lời văn.
I.Phương pháp giải.
Bước 1: Phân tích đề bài, chuyển bài toán về tìm ước (bội), ước chung, (bội chung) của các số cho
trước.
Bước 2: Áp dụng cách tìm ước (bội), ước chung, (bội chung) của các số cho trước.
II.Bài toán.
Bài 1.Có
viên bi. Bạn Minh muốn chia đều số viên bi vào các hộp. Tìm số hộp và số viên bi trong
mỗi hộp? Biết không có hộp nào chứa hay
viên bi.
Lời giải
Số hộp và số viên bi trong mỗi hộp phải là ước số của
Ta có Ư

.

.

Vì không có hộp nào chứa

hay

viên bi, nên số viên bi trong mỗi hộp chỉ có thể là

tương ứng với số hộp là
Bài 2. Năm nay Bình
tuổi. Tuổi của mẹ Bình là bội số của tuổi Bình. Tìm tuổi của mẹ Bình biết
tuổi của mẹ lớn hơn
và nhỏ hơn
.
Lời giải
Gọi

là số tuổi của mẹ Bình

Tuổi của mẹ Bình là bội số của tuổi Bình nên
Mà

nên

thỏa mãn đk. Vậy mẹ Bình

tuổi.

Bài 3. Học sinh lớp 6A nhận được phần thưởng của nhà trường và mỗi em nhận được phần thưởng như
nhau. Cô hiệu trưởng đã chia hết
quyển vở và
bút chì màu. Hỏi số học sinh lớp 6A là bao
nhiêu?
Lời giải
5

Ta thấy số phần thưởng phải là

ƯC

Có ƯC
nên số học sinh lớp 6A bằng

Vì số học sinh lớp 6A không thể bằng

Bài 4. Tính số học sinh của một trường biết rằng mỗi lần xếp hàng
vừa đủ hàng và số học sinh của trường trong khoàng từ
đến

, hàng , hàng
.

, hàng

đều

Lời giải
Gọi

là số học sinh của trường.

Vì mỗi lần xếp hàng

, hàng , hàng

, hàng

Tức là

đều vừa đủ hàng nên

Mà

Vậy số học sinh của trường là

chia hết cho

nên

học sinh.

B. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
Dạng 1. Tìm ước chung lớn nhất của các số cho trước.
I.Phương pháp giải.
Cách 1. Để tìm ƯCLN của các số cho trước ta thực hiện quy tắc 3 bước phía trên.
Chú ý

ƯCLN
dư

thì ƯCLN

ƯCLN

Cách 2. Sử dụng thuật toán Ơclit
Bước 1. Lấy số lớn chia số nhỏ. Giả sử
+ Nếu

ta thực hiện bước 2

+ Nếu

thì ƯCLN

Bước 2. Lấy số chia, chia cho số dư,
+ Nếu

ta thực hiện bước 3

+ Nếu

thì ƯCLN

Bước 3. Quá trình này được tiếp tục cho đến khi được một phép chia hết.
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm ƯCLN của các số
a) ƯCLN

b) ƯCLN

c) ƯCLN

d) ƯCLN
6

.

Lời giải
a) ƯCLN
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

b) ƯCLN
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Từ đó ƯCLN

Từ đó ƯCLN
d) ƯCLN
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

c) ƯCLN
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

.

.
Từ đó ƯCLN

Từ đó ƯCLN
Bài 2. Sử dụng thuật toán Ơclit để tìm

b) ƯCLN

a) ƯCLN
Lời giải
a) Ta thực hiện theo các bước:
Lấy

chia cho

Lấy

chia cho

Lấy

chia cho

ta được
ta được
ta được

Vậy ta được ƯCLN
b) Ta thực hiện theo các bước:
Lấy

chia cho

Lấy

chia cho

Lấy

chia cho

ta được
ta được
ta được

Vậy ta được ƯCLN
Dạng 2. Tìm các ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước.
I.Phương pháp giải.
Bước 1. Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước.
Bước 2. Tìm các ước của ƯCLN này.
Bước 3. Chọn trong số đó các ước thỏa mãn điều kiện đã cho.
Lưu ý: nếu không có điều kiện gì của bài toán thì ước chung của hai hay nhiều số là ƯCLN của các số
đó.
Cách tìm ước chung thông qua ƯCLN
Bước 1. Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số cho trước.
7

Bước 2. Tìm các ước của ƯCLN này.
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm các ước chung của

và

thông qua tìm ƯCLN

Lời giải
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

Từ đó ƯCLN
Mà Ư

.

Vậy ƯC
Bài 2. Tìm số tự nhiên

thõa mãn

và

.

Lời giải
Số tự nhiên

x thõa mãn

nên

ƯCLN

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

ƯCLN

Từ đó
Mà Ư

30  1; 2;3;5;6;10;15;30 .
nên

Vì

Tìm số tự nhiên

Bài 3.

biết ƯCLN

và

Lời giải
Ta có

ƯCLN

nên

và ƯCLN

. Ta có

Giả sử
TH1:
TH2:

Bài 4. Tìm số tự nhiên

để biểu thức

có giá trị là một số tự nhiên.
8

Lời giải
Để A là một số tự nhiên thì
Ta có Ư

phải là ước của

.

Do đó:
+ Với
+ Với
+ Với
+ Với
Bài 5. Tìm số tự nhiên
b)

a)
Lời giải
a)
Ta có bảng sau:

Vậy
b)
Ta có bảng sau:

Vậy
Dạng 3. Bài toán có lời văn đưa về tìm ƯCLN
I.Phương pháp giải.
Bước 1: Phân tích đề bài; suy luận để đưa về việc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số;
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 bước để tìm ƯCLN đó.
II.Bài toán.
9

Bài 1. Cô giáo chủ nhiệm muốn chia
quyển vở,
bút bi và
gói bánh thành một số phần thưởng
như nhau để trao trong dịp sơ kết học kì. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng? Khi
đó mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bút bi và gói bánh.
Lời giải
Gọi

là số phần thưởng để cô giáo chủ nhiệm trao trong dịp sơ kết học kì

Để số phần thưởng là nhiều nhất thì
Tức là

ƯCLN

phải là số lớn nhất sao cho

.

Ta có
Từ đó

.

.
ƯCLN

Vậy có thể chia được nhiều nhất

phần thưởng.

Trong đó có

gói bánh.

quyển vở,

bút bi,

Bài 2. Một hình chữ nhật có chiều dài
và chiều rộng
được chia thành các hình vuông có
diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh hình vuông lớn nhất trong cách chia trên ? (số đo cạnh là số tự
nhiên với đơn vị là )
Lời giải
Để chia hình chữ nhật thành các hình vuông có diện tích bằng nhau thì độ dài mỗi cạnh hình vuông
phải là ước chung của
và
Do đó độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là ƯCLN

.

Vậy độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là
Dạng 4. Chứng minh hai hay nhiều số là các số nguyên tố cùng nhau.
I.Phương pháp giải.
Bước 1: Gọi

là ƯCLN của các số.

Bước 2: Dựa vào cách tìm ƯCLN và các tính chất chia hết của tổng (hiệu) để chứng minh
II.Bài toán.
Bài 1. Chứng minh

và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
.Từ đó ƯCLN
Vậy

và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , các số sau là các số nguyên tố cùng nhau.
10

a)

và

c)

b)

và

d)

và
và

Lời giải
a)
Gọi

Từ đó

và
ƯCLN

ƯCLN

Vậy

và

b)

và

Gọi

Từ đó

Gọi

Từ đó
d)
Gọi

Từ đó

.

ƯCLN

ƯCLN

Vậy
c)

là các số nguyên tố cùng nhau với mọi

và

là các số nguyên tố cùng nhau với mọi

và
ƯCLN

ƯCLN
và
ƯCLN

ƯCLN

C. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
Dạng 1. Tìm bội chung nhỏ nhất của các số cho trước
11

.

I.Phương pháp giải.
Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng
Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung và riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn nhất.
Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được BCNN cần tìm
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm:
a) BCNN

c) BCNN

b) BCNN

d) BCNN

Lời giải
a) Ta có:

;

.

BCNN

;

;

BCNN

.

b) Ta có:

c) Ta có:

;

d) Ta có:

BCNN
Bài 2. Tìm:

BCNN

a) BCNN

c) BCNN

b) BCNN

d) BCNN

,

,

.
.

Lời giải
a) Ta có:

;

BCNN
b) Ta có:

.

c) Ta có:

.

BCNN

;

d) Ta có:

BCNN

;

;
,

,

BCNN

Dạng 2. Tìm bội chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước
I.Phương pháp giải.
Bước 1. Tìm BCNN của các số đó
Bước 2. Tìm các bội của BCNN này
Bước 3. Chọn trong các số đó các bội thỏa mãn điều kiện đã cho
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm các bội chung của 8 và 10 thông qua BCNN
Lời giải
Ta có BCNN

.
12

.
.

Vậy BC
Bài 2. Tìm các bội chung của 8; 12 và 15 thông qua BCNN
Lời giải
Ta có BCNN

.

Vậy BC
Bài 3. Tìm số tự nhiên x thỏa mãn

;

và

.

Lời giải
Vì

;

nên

Mà

BC

nên

Bài 4. Tìm số tự nhiên x thỏa mãn

;

và

.

Lời giải
Vì

;

Mà

nên

BC

nên

Bài 5. Tìm các bội chung của 7; 9 và 6 thông qua BCNN
Lời giải
Ta có BCNN

.

Vậy BC
Dạng 3. Tim các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước
I.Phương pháp giải.
Sử dụng định nghĩa về BCNN.
Khi tìm hai số biết ƯCLN và BCNN thì tích của hai số là tích của BCNN và ƯCLN.
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm số tự nhiên a,b biết rằng
a)

và BCNN

.

b) ƯCLN

Lời giải
a) BCNN

. Hay a, b là ước tự nhiên của 60.

Các ước tự nhiên của 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Vì

nên

Ta xét bảng sau

.
13

và BCNN

.

a
b

6
1
6

BCNN

Loại
Vậy cặp số tự nhiên cần tìm là 20 và 15.
b) ƯCLN

10
5
5

15
10
30

20
15
60

Loại

Loại

Nhận

và

Ta có

.

.

Ta có bảng sau:

Vậy các cặp số tự nhiên

1

12

3

4

a

5
12

60
1

15
4

20
3

b

60

5

20

15

cần tìm là:

.

Bài 2. Tìm số tự nhiên a, b biết rằng
a)

và BCNN

.

b) ƯCLN

và BCNN

.

Lời giải
a) BCNN

. Hay a, b là ước tự nhiên của 60.

Các ước tự nhiên của 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Vì

nên

.

Ta xét bảng sau
a
b

5
1
5

BCNN

6
2
6

10
6
30

Loại
Loại
Vậy không tìm được cặp số tự nhiên thỏa mãn đề bài.
b) ƯCLN

và

Ta có

Loại

.

.

Ta có bảng sau:
1

2

3

5

a

5
30

10
15

15 25
10 6

b

150

75

50 30

Vì vai trò của a, b như nhau nên ta có các cặ đảo ngược vị trí. Vậy các cặp số tự nhiên
là:

.
14

cần tìm

Bài 3. Tìm số tự nhiên a, b biết rằng
a)

và BCNN

.

b)

và BCNN

Lời giải
a) Gọi ƯCLN

với

Ta có:

. Mà BCNN

Suy ra

.

.

Ta có bảng sau:

Vậy các cặp số tự nhiên
b) Gọi ƯCLN

20

4

5

a

3
20

60
1

12 15
5 4

b

60

3

15 12

cần tìm là:
. Vì

.

mà

BCNN
Vậy

1

nên

.

.
.

Bài 4. Tìm số tự nhiên a, b biết rằng

và BCNN

.

Lời giải
Gọi ƯCLN

. Nên

.

Ta có
BCNN

(1)
(2)

Từ (1) và (2) suy ra

hay

ƯC

.

Thay k lần lượt các trường hợp trên ta thấy k = 3 hoăc k = 6
Khi đó: tìm được các cặp

là

,

.

Dạng 4: Bài toán có lời văn
I.Phương pháp giải.
Bước 1. Gọi ẩn, đặt đơn vị, điều kiện cho ẩn
Bước 2. Dựa vào đề bài biểu diễn các dữ kiện theo ẩn.
15

.

Bước 3. Tìm ẩn, so sánh điều kiện
Bước 4. Trả lời và kết luận

II.Bài toán.
Bài 1. Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ. Tìm tổng số sách biết
số sách trong khoảng 200 đến 500.
Lời giải
Gọi số sách cần tìm là x quyển, (

)

Vì khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ nên

,

,

suy ra

.
BCNN

.

BC

.

Suy ra

, mà

nên

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy số quyển sách cần tìm là 360 quyển.
Bài 2. Hai bạn A và B cùng học chung một trường nhưng ở hai lớ khác nhau. A cứ 10 ngày lại trực
nhật, B cứ 12 ngày lại trực nhật. Lần đầu tiên hai bạn trực nhật vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu
ngày hai bạn lại cùng trực nhật.
Lời giải
Do cứ 10 ngày A trực nhật một lần nên ngày trực của A là B

.

Do cứ 12 ngày B trực nhật một lần nên ngày trực của B là B

.

Lần đầu tiên hai bạn trực cùng 1 ngày, để đến lần gần nhất trực cùng nhau thì sẽ là BCNN
Vậy sau ít nhất 60 ngày hai bạn lại cùng trực nhật.
Bài 3. Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 300 đến 400. Biết rằng nếu xếp hàng 5, 8,
12 thì thiếu 1 em. Tính số học sinh khối 6 của trường.
Lời giải
Gọi số học sinh khối 6 của trường cần tìm là x học sinh, (
Vì khi xếp thành 5, 8, 12 thì thiếu 1 em nên
của 5, 8, 12 trừ 1.
BCNN
BC

,

.
.

16

)
,

suy ra x là 1 bôi chung

Suy ra

, mà
(thỏa mãn điều kiện)

nên

Vậy số học sinh khối 6 là 359 học sinh.
Bài 4. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 3 thì dư 2, khi chia cho 7 thì dư 6 khi chia cho 25
thì dư 24.
Lời giải
Gọi x là số cần tìm.
Vì x chia 3 dư 2, chia cho 7 thì dư 6, chia cho 25 thì dư 24. Nên
Do đó

BCNN

chia hết cho 2, 7, 25.

.

Vậy số cần tìm là 525 – 1 = 524.
Bài 5. Có ba chiếc hộp hình vuông: Hộp màu đỏ cao 8cm, hộp màu xanh cao 7cm, hộp màu vàng cao
12cm. Người ta xếp thành ba chồng bằng nhau, mỗi chồng một màu. Hỏi chiều cao nhỏ nhất của chồng
hộp đó.
Lời giải
Gọi chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp là x (cm).
Ta có:

BCNN

.

Vậy chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp là 168 (cm)
Bài 6. Tìm số tự nhiên x. Biết số đó chia hết cho 7 và khi chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư
1 và
.
Lời giải
Ta có:

BC

.

Do x chia hết cho 7 nên x = 301.
Bài 7. Một liênđội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều thừa 1 người. Tính số đội
viên của liên đội biết rằng số đó trong khoảng từ 100 đến 150.
Lời giải
Gọi số đội viên của liên đội là x (đội viên).
Vì xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều thừa 1 ngươi nên:
BCNN
BC

.

Mà số đội viên trong khoảng từ 100 đến 150.
17

BC

.

Nên

đội viên.

Bài 8. Một bộ phận của máy có hai bánh răng cửa khớp với nhau, bánh một có 18 răng cưa, bánh xe
hai có 12 răng cưa. Người ta đánh dấu “x” vào hai răng cửa khớp với nhau. Hỏi mỗi bánh xe phải quay
ít nhất bao nhiêu răng cưa để hai răng cưa đánh dấu ấy lại khớp với nhau ở vị trí giống lần trước? Khi
đó mỗi bánh xe đã quay được bao nhiêu vòng.
Lời giải
Gọi số răng cưa phải tìm là x (răng).
Ta có

. Vì x nhỏ nhất nên x là BCNN

.

Vậy mỗi bánh xe phải quay ít nhất 36 răng cưa để hai răng cưa đánh dấu ấy lại khớp với nhau ở vị trí
giống lần trước.
Khi đó:Bánh xe thứ nhất quay được 36 : 18 = 2 vòng
Bánh xe thứ hai quay được 36 : 12 = 3 vòng.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI
A. ƯỚC VÀ BỘI, ƯỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN.
Dạng 2. Tìm tất cả các ước (bội) của một số.
Bài 1. Tìm các số tự nhiên
a)

Ư

c)

và

sao cho

và

b)
d)

và
và

Bài 2. Tìm tập hợp các số tự nhiên vừa là ước của

vừa là bội của

.

Dạng 3. Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết.
Bài 3. Tìm số tự nhiên

sao cho:

a)

b)

c)

d)

Dạng 4. Viết tập hợp các ước chung (bội chung) của hai hay nhiều số.
Bài 4. Viết các tập hợp sau:
a) ƯC

b) ƯC

c) BC

d) BC

Bài 5. Viết các tập hợp sau:
a) Ư

c) B

,Ư
;B

, ƯC
và BC

b) B

,B

, BC
d) Ư

18

,Ư

, ƯC

Dạng 5: Bài toán có lời văn.
Bài 6. Có
chiếc bánh trung thu. Bạn Ngọc muốn chia đều số bánh vào các hộp. Tìm số hộp và số
bánh trong mỗi hộp, biết số bánh trong mỗi hộp phải nhiều hơn và ít hơn .
Bài 7. Bạn Ngọc mua cốc trà sữa. Số cốc trà sữa ở cửa hàng là bội số của số cốc bạn Ngọc mua.
Tìm số cốc trà sữa ở cửa hàng, biết số cốc trà sữa lớn hơn
và nhỏ hơn
.
Bài 8. Tổ I của lớp 6A nhận được phần thưởng của cô giáo chủ nhiệm và mỗi em nhận được phần
thưởng như nhau. Cô giáo chủ nhiệm đã chia hết
quyển vở và
bút bi. Hỏi số học sinh của tổ I
của lớp 6A là bao nhiêu?
Bài 9. Tính số đồng chí của một đội văn nghệ bội đội, biết rằng mỗi lần xếp hàng
hàng đều vừa đủ hàng và số học sinh của trường trong khoàng từ
đến
.
Bài 10. Một số sách khi xếp thành từng bó
sách đó, biết số sách trong khoảng
đến

cuốn,
.

cuốn,

cuốn,

Dạng 1. Tìm ước chung lớn nhất của các số cho trước.
Bài 1. Tìm ƯCLN của các số
b) ƯCLN

c) ƯCLN

d) ƯCLN

Dạng 2. Tìm các ước chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài 2. Tìm các ước chung của

và

thông qua tìm ƯCLN

Bài 3: Tìm ƯCLN rồi tìm ƯC của các số sau:
a)
c)

và

b)

và

d)

Bài 4. Tìm số tự nhiên

;

;

thõa mãn

và

Bài 5. Tìm số tự nhiên

biết ƯCLN

Bài 6: Tìm số tự nhiên ,

biết:

a)

và

và

và

b)
c)

và

d)

và

là số tự nhiên có hai chữ số

19

,

cuốn, đều vừa đủ bó. Tính số

B. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

a) ƯCLN

, hàng , hàng

e)

chia

dư

còn

Bài 7: Tìm các số tự nhiên

chia cho
,

thì dư

.

biết:

a)

b)

c)

d)

Bài 8. Tìm số tự nhiên

để các biểu thức saucó giá trị là một số tự nhiên.

Dạng 3. Bài toán có lời văn đưa về tìm ƯCLN
Bài 9. Bạn Hà có viên bi màu đỏ và
viên bi màu vàng. Hà có thể chia nhiều nhất vào bao nhiêu
túi sao cho số bi đỏ và bi vàng được chia đều vào các túi? Khi đó mỗi túi có bao nhiêu viên bi đỏ và
viên bi vàng?.
Bài 10. Một hình chữ nhật có chiều dài
và chiều rộng
được chia thành các hình vuông có
diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh hình vuông lớn nhất trong cách chia trên ? (số đo cạnh là số tự
nhiên với đơn vị là )
Bài 11: Ba khối

theo thứ tự có

học sinh,

học sinh,

học sinh xếp thành hàng dọc

để điều hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối như nhau. Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc
để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng? Khi đó ở mỗi khối có bao nhiêu hàng ngang?
Bài 12: Mỗi công nhân của hai đội 1 và 2 được giao nhiệm vụ trồng một số cây như nhau (nhiều hơn 1
cây). Đội 1 phải trồng

cây, đội 2 phải trồng

cây. Hỏi mỗi đội công nhân phải trồng bao nhiêu

cây và mỗi đội có bao nhiêu công nhân?
Dạng 4. Chứng minh hai hay nhiều số là các số nguyên tố cùng nhau.
Bài 13. Chứng minh

và là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 14. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , các số sau là các số nguyên tố cùng nhau.
a) n  3 và

b)

c) 2n  3 và

d)

và
và

Bài 15: Chứng minh các số sau nguyên tố cùng nhau:
a)

và

b)

và

C. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
Dạng 1. Tìm bội chung nhỏ nhất của các số cho trước
Bài 1. Tìm
a) BCNN
b) BCNN

f) BCNN
g) BCNN

20

c) BCNN

h) BCNN

d) BCNN

k) BCNN

e) BCNN

l) BCNN

Dạng 2. Tìm bội chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 2. Tìm số tự nhiên x thỏa mãn:
a)

;

và

b)

;

,

.
và

.

Dạng 3. Tim các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 3. Tìm số tự nhiên a, b biết rằng
a)
b) ƯCLN

và BCNN
và BCNN

.
.

Dạng 4: Bài toán có lời văn
Bài 4. Một công ty dùng ba ca nô để trở hàng. Ca nô thứ nhất 4 ngày cập bến một lần, ca nô thứ hai 6
ngày cậ bến một lần, ca nô thứ ba 8 ngày cập bến một lần. Hỏi nếu lần đầu ba ca nô đều cập bến cùng
lúc thì sau ít nhất bao nhiêu ngày ba ca nô lại cùng cập bến lần thứ hai?
Bài 5. Đội sao đỏ của một lớp 6 có ba bạn là An, Bình, Mai. Ngày đầu tháng cả đội trực cùng một
ngày. Cứ sau 7 ngày An lại trực một lần, sau 4 ngày Bình lại trực một lần và sau 6 ngày Mai lại trực
một lần. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì cả đội lại cùng trực vào một ngày ở lần tiếp theo? Khi đó mỗi bạn
đã trực bao nhiêu lần.
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI
A. ƯỚC VÀ BỘI, ƯỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN.
Bài 1.
a)
c)

b)
d)

Bài 2.
Bài 3.
a)

b)

c)

d)

Bài 4.
a) ƯC
c) BC

b) ƯC
d) BC
21

Bài 5.
a) Ư

Ư

ƯC
B

b) B

BC

B

c) B

BC

Ư

d) Ư

ƯC

Bài 6. Số bánh trong mỗi hộp là

tương ứng số hộp là

Bài 7. Số cốc trà sữa ở cửa hàng bằng
Bài 8. Số học sinh của tổ I của lớp 6A là

học sinh.

Bài 9. Số đồng chí của một đội văn nghệ là
Bài 10. Số sách là

đồng chí.

.

B. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
Bài 1

.

a)

Bài 2. ƯCLN
Bài 3. a) ƯCLN
b) ƯCLN
c) ƯCLN
d) ƯCLN

b)

c)

d)

ƯC
ƯC
ƯC
ƯC
ƯC

Bài 4.
Bài 5.
TH1:
Bài 6.

TH2:

a)

b)

c)

d)

Bài 7. a)

b)
22

e)

c)

d)

Bài 8.

Bài 9.Có thể chia được nhiều nhất

túi. Trong đó có

bi đỏ,

bi vàng.

Bài 10.
Bài 11.

hàng, Mỗi hàng khối

là

Bài 12. Mỗi công nhân trồng được

em. Mỗi hàng khối
cây. Đội

có

là

em. Mỗi hàng khối

công nhân. Đội

có

công nhân.

d) 693
k) 5460

e) 3240
l) 990

Bài 13.14,15 chứng minh tương tự.
C. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
Bài 1.
a) 40
f) 210

b) 48
g) 420

c) 420
h) 2720

Bài 2.a)

b)

Bài 3. a) a = 35, b =28.

b)

Bài 4. 24 ngày.
Bài 5. 8 lần và 4 ngày.

23

;

.

là

em.