SH6. CHUYÊN ĐỀ 2.3-PHÉP CHIA HẾT
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Phép chia hết
Với a, b là số tự nhiên, b khác 0.
Ta nói a chia hết b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b.q
2. Tính chất chia hết của một tổng
a) Tính chất 1: Nếu

thì

b) Tính chất 2: Nếu

thì

c) Tính chất 3: Nếu

và

.
.

thì

.

Lưu ý: Nếu
thì
chưa chắc có chia hết cho
hay không? Do đó ta cần tính tổng để
kết luận.
3. Dấu hiệu chia hết
a) Dấu hiệu chia hết cho 2:
Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9):
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3(hoặc 9).
Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9)
cũng dư bấy nhiêu và ngược lại.
c) Dấu hiệu chia hết cho 5:
Một số chia hết cho 5
chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.
4. Số nguyên tố:
a) Số nguyên tố. Hợp số
- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước.
- Chú ý:
+ Số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số.
+ Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất cũng là số nguyên tố nhỏ nhất.
+ Các số nguyên tố nhỏ hơn
.
b) Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
- Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số
nguyên tố.
- Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố.
- Muốn phân tích một số ra thừa số nguyên tố ta dùng dấu hiệu chia hết cho các số nguyên tố 2,3,5, …
Phép chia dừng lại khi có thương bằng 1.
- Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng ta cũng được cùng một kết
quả.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1.Tính chất chia hết cảu một tổng, hiệu, tích, luỹ thừa
Dạng 1.1. Tính chia hết của một tổng, hiệu
I. Phương pháp giải.: Áp dụng tính chất
Nếu
• Nếu

chia hết cho
chia hết cho

• Nếu hai số

,

và

chia hết cho

thì bội của

chia hết cho

thì

cũng chia hết cho

cũng chia hết cho

Hay

hay

thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho
1

và
.
.

và

.

II. Bài toán.
Bài tập trắc nghiệm.Hãy chọn câu trả lời đúng.
Câu 1. Điền các từ thích hợp (chia hết, không chia hết) vào chỗ trống (…)
A. Nếu

thì

B. Nếu

thì

C. Nếu
thì
D. Nếu
thì tích
Câu 2. Các khẳng định sau đúng hay sai?
A. Nếu mỗi số hạng của tổng không chia hết cho 5 thì tổng không chia hết cho 5.
B.Nếu một tổng chia hết cho 6 thì mỗi số hạng của tổng chia hết cho 6.
C.Nếu

và

thì tích

Câu 3. Nếu
và
thì
chia hết cho
A.4
B.6
C.10
D.2
Lời giải
Câu 1.
A. chia hết.
B. Không chia hết
C. Chia hết
D. Không chia hết.
Câu 2.
A. Sai
B. Sai
Câu 3. A.
Bài tập tự luận
Bài 1. Áp dụng tính chất chia hết, xét xem mỗi tổng (hoặc hiệu) sau có chia hết cho 8 không?
a)

d)

b)

e)

c)
Lời giải

f)

a) Tổng

không chia hết cho

vì

b) Hiệu

chia hết cho 8 vì

;

c) Vì

nhưng

d) Hiệu

chia hết cho

e) Hiệu
f) Vì

;

 ;

.

nên ta xét
vì

không chia hết cho
nhưng

;

. Từ đó suy ra

;
vì

.
;

.

nên ta xét

. Từ đó suy ra

Bài 2. Áp dụng tính chất chia hết, xét xem mỗi tổng sau có chi hết cho
a)
;
Lời giải

b)

a) Tổng

chia hết cho

vì

;

.

b) Tổng

chia hết cho

vì

;

.

c)
Lời giải

;

b)

;

d)
2

không?

.

Bài 3. Áp dụng tính chất chia hết, xét xem mỗi tổng sau có chia hết cho
a)

.

;
.

không?

a) Tổng

chia hết cho

b) Tổng

không chia hết cho
chia hết cho

c) Tổng

vì

;

;

vì

vì

;

;

;

d) Tổng
chia hết cho vì
;
;
Bài 4: Không làm tính , xét xem tổng sau có chia hết cho 12 không ? Vì sao ?
a)
Lời giải:

b)

a) 120 và 36 cùng chia hết cho 12 nên tổng

(với

chia hết cho 12

b)
và
và
tổng
chia hết cho 12
Bài 5. Điền dấu x vào ô thích hợp trong các câu sau và giải thích
Câu
Đúng Sai
Giải thích
a)

chia hết cho

b)

chia hết cho

c)

chia hết cho

Lời giải:
Câu

Đúng Sai

a)

chia hết cho

b)

chia hết cho

c)

x

chia hết cho

Bài 6. Cho tổng
a) A chia hết cho số 3;
Lời giải:

với

Vì
x

Vì

;

x

Vì

;

. Tìm

để:
b) A không chia hết cho số 3.

Ta có nhận xét

. Do đó:

a) Để A chia hết cho 3 thì

. Vậy

b) Để A không chia hết cho 3 thì
Bài 7. Cho tổng
a) A chia hết cho số 2;
Lời giải:
Ta có nhận xét

Giải thích

với

có dạng:
. Vậy

.

có dạng:

. Tìm

hoặc

.

để:
b) A không chia hết cho số 2.

. Do đó:

a) Để A chia hết cho 2 thì

. Vậy

có dạng:

.

b) Để A không chia hết cho 2 thì
. Vậy có dạng:
.
Dạng 1.2. Tính chia hết của một tích
I. Phương pháp giải.:
Để xét một tích có chia hết cho một số hay không, ta làm như sau:
Cách 1. Xét xem có thừa số nào của tích chia hết cho số đó hay không. Nếu tồn tại thì thì tích đã cho
chia hết cho số đó.
3

Cách 2. Tính tích của các thừa số và xét tích đó có chia hết cho số đã cho hay không.
II. Bài toán.
Bài 8. Các tích sau đây có chia hết cho 7 không?
a)

b)

c)
Lời giải:

d)

a) Tích

chia hết cho 7 vì

b) Tích

chia hết cho 7 vì

c) Tích

.

không chia hết cho 7 vì

.

d) Tích
chia hết cho 7 vì
Bài 9. Các tích sau đây có chia hết cho 3 không?
a)

;

b)

c)
Lời giải:

;

a) Tích

d)
chia hết cho 3 vì

b) Tích

chia hết cho 3 vì

c) Tích

.

.
.

chia hết cho 3 vì

d) Tích

;

.

không chia hết cho 3 vì

Bài 10. Tích
Lời giải:

có chia hết cho 100 không?

A chia hết cho 100 vì
Bài 11. Tích
Lời giải:

có chia hết cho 30 không?

Tích

chia hết cho 30 vì

Bài 12: Cho
Lời giải:

.

. Hỏi A có chia hết cho 6 ; cho 8 ; cho 20 không ? Vì sao?

+ Ta có tích

nhưng 40 không chia hết cho 6 => A không chia hết cho 6

+ Ta có tích

và

=> số A chia hết cho 8

+ Ta có tích
và 10 => Tích
và
=> số A chia hết cho 20
Bài 13: Khi chia số tự nhiên a cho 36 ta được số dư 12 . Hỏi a có chia hết cho 4 ; cho 9 không vì sao ?
Lời giải:
a : 36 được thương là k và dư 12
+ Ta có

và

Số a chia hết cho 4

+ Ta có
và 12 không chia hết cho 4 => Số a không chia hết cho 4
Bài 14: Điền dấu X và ô thích hợp :
Câu
Nếu

và

thì

Nếu
và
thì
Nếu tổng của hai số chia hết cho 9 và một trong hai số chia hết cho 3 thì số còn
lại chia hết cho 3
4

Đ

S

Nếu hiệu của hai số chia hết cho 6 và số thứ nhất chia hết cho 6 thì số thứ hai
chia hết cho 3
Nếu

;

Nếu

không chia hết cho 5 thì
;

không chia hết cho 5

không chia hết cho 6 thì

không chia hết cho 3

chia hết cho 25
không chia hết cho 7
Nếu cả hai số hạng của một tổng không chia hết cho 5 thì tổng không chia hết
cho 5
Để tổng

thì

Lời giải:
Câu
Nếu

và

Đ
X

thì

Nếu
và
thì
Nếu tổng của hai số chia hết cho 9 và một trong hai số chia hết cho 3 thì số còn
lại chia hết cho 3
Nếu hiệu của hai số chia hết cho 6 và số thứ nhất chia hết cho 6 thì số thứ hai
chia hết cho 3
Nếu
Nếu

;

không chia hết cho 5 thì
;

không chia hết cho 3

X
X
X
X
X

chia hết cho 25
không chia hết cho 7
Nếu cả hai số hạng của một tổng không chia hết cho 5 thì tổng không chia hết
cho 5
Để tổng
thì
Bài 15: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
Lời giải:
.

Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là:
chia hết cho 3 (Tính chất chia hết của một tổng).
Bài 16: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ?
Lời giải:
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là

X

không chia hết cho 5

không chia hết cho 6 thì

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là:

S

.

Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:
Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên
không chia hết cho 4.
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Kết luận: Vậy không phải lúc nào tổng n số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho n
5

X
X
X

Bài 17: Khi chia một số cho 255 ta được số dư là 170. Hỏi số đó có chia hết cho 85 không? Vì sao?
Lời giải:
Gọi số đó là ( là số tự nhiên).
Vì

chia cho 255 có số dư là 170 nên

Ta có 255 chia hết cho 85 nên

.

chia hết cho 85; 170 chia hết cho 85.

chia hết cho 85 (Tính chất chia hết của một tổng).
chia hết cho 85.

Do vậy

Bài 18. Tìm

sao cho:

a) 6 chia hết cho
Lời giải
a) 6 chia hết cho

b) 8 chia hết cho

;Vì

c) 10 chia hết cho

.Vì

a)

c) 10 chia hết cho

. Vì

b) 8 chia hết cho

Bài 19. Tìm

;

sao cho:

chia hết cho

;

b)

a)

chia hết cho

;Vì

b)

chia hết cho

chia hết cho

;

c)

chia hết cho

Lời giải
nên

khi

;Ta có :

Vì

nên

khi

.Từ đó tìm được :
c)

chia hết cho

Vì

.Ta có :

nên

Bài 20. Biết

khi

. Từ đó tìm được :

chia hết cho 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6:

a)

b)

Lời giải:
a) Ta có:
Vậy

. Mà
chia hết cho 6 (đpcm).

b) Ta có:
Vậy

Mà
để

Ta có

Do đó

nên

chia hết cho 6 (đpcm).

Bài 21: Tìm số tự nhiên
Lời giải:

Mà

Nên

chia hết cho

.

.
chia hết cho
chia hết cho

chia hết cho
6

là ước của 4.

.

.
Vậy với

thì

chia hết cho

Bài 22: Cho các chữ số
. Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba số trên. Chứng minh
rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 211.
Lời giải:
Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ
Tổng của các số đó là:

là:

.

chia hết cho 211.
Dạng 1.3. Xét tính chia hết của một tổng các lũy thừa cùng cơ số
I. Phương pháp giải.:
Để xét một tổng các lũy thừa cùng cơ số có chia hết cho một số hay không, ta làm như sau:
Cách 1. Xét mỗi số hạng của tổng có chia hết cho số đó hay không. Nếu tất các các số hạng đều chia
hết cho số đó thì tổng cũng chia hết cho số đó.
Cách 2. Sử dụng phương pháp tách ghép, ta làm theo 2 bước:
- Bước 1. Tách ghép các số hạng của tổng sao cho mỗi nhóm tồn tại thừa số chia hết cho số đó.
- Bước 2. Áp dụng tính chất chia hết của tổng (hiệu) để xét.
II. Bài toán.
Bài 1. Cho

. Chứng minh rằng:

a)
chia hết cho 2;
Lời giải:

b)

a)

chia hết cho 3;

c)

chia hết cho 5.

chia hết cho 2 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 2.

b) Ta tách ghép các số hạng của

thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho

3. Khi đó:

.
Từ đó

chia hết cho 3.

c) Ta có:

.
Từ đó

chia hết cho 5.

Bài 2. Cho

. Chứng minh rằng:

a)
chia hết cho 3;
Lời giải:

b)

a)

chia hết cho 4;

chia hết cho 3 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 3.
7

c)

chia hết cho 13.

b) Ta tách ghép các số hạng của

thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho

4. Khi đó:

.
Từ đó

chia hết cho 4.

c) Ta có:

.
Từ đó

chia hết cho 13.

Bài 3. Cho

. Chứng minh rằng:

a)
chia hết cho 5;
Lời giải:
a)

b)

chia hết cho 6;

c)

chia hết cho 13

chia hết cho 5 vì tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho 5.

b) Ta tách ghép các số hạng của

thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho

6. Khi đó:

.
Từ đó

chia hết cho 6.

c) Ta có:

.
Từ đó
chia hết cho 13
Bài tập về nhà
Bài 1. Áp dụng tính chất chia hết, xét xem mỗi tổng (hoặc hiệu) sau có chia hết cho
a)

;

b)

c)
;
Hướng dẫn giải:

d)

a) Tổng

chia hết cho

vì

;

b) Hiệu

chia hết cho 12 vì

;

.
8

;
.

không?

c) Vì

;

nhưng

d) Hiệu

. Từ đó suy ra

;

Bài 2. Cho

.

. Từ đó suy ra
với

.

. Tìm x để:

a)
chia hết cho 5;
Hướng dẫn giải:

b)

không chia hết cho 5,

a) Ta có nhận xét để A chia hết cho 5 thì
Vậy

có dạng:

.

b) Để A không chia hết cho 5 thì

.

Vậy có dạng:
hoặc
Bài 3. Xét các tích sau có chia hết cho 9 không?
a)

.

;

b)

c)
;
Hướng dẫn giải:
a) Tích

d)

;
.

chia hết cho 9 vì

b) Tích

chia hết cho 9 vì

c) Tích

không chia hết cho 9 vì không có thừa số nào chia hết cho 9.

d) Tích

.

không chia hết cho 9 vì

Bài 4. Cho
hết cho 5; chia hết cho 3.
Hướng dẫn giải:
A chia hết cho 2 và 5
B chia hết cho 2
C chia hết cho 2; 3 và 5

. Hỏi biểu thức nào chia hết cho 2; chia

Bài 5. Cho
Hướng dẫn giải:

. Chứng tỏ rằng

Ta tách ghép các số hạng của

thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho 3.

Khi đó:

.
Từ đó

chia hết cho 3.

Bài 6. Cho
Hướng dẫn giải:
Ta nhóm các số hạng của

. Chứng tỏ rằng

.

thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa số chia hết cho 4. Khi

đó:
9

.
Từ đó

chia hết cho 4.

Bài 7. Cho
Hướng dẫn giải:

. Chứng tỏ rằng

.

+ Xét
Tương tự bài 6: Ta nhóm 2 số hạng liên tiếp của
số chia hết cho 5.

thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa

+ Xét
Tương tự bài 6: Ta nhóm 3 số hạng liên tiếp của
số chia hết cho 21.
Bài 8. Cho
Hướng dẫn giải:

thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa
. Chứng tỏ rằng

.

Tương tự bài 6: Ta nhóm 2 số hạng liên tiếp của
thành các nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện thừa
số 6 chia hết cho cả 2 và 3.
Dạng 2. Dấu hiệu chia hết cho 2, 5
Dạng 2.1. Dấu hiệu chia hết cho 2, 5
I. Phương pháp giải:
Để nhận biết các số có chia hết cho 2, cho 5, ta sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5:
- Các số chia hết cho 2 là các số có chữ số tận cùng là
.
- Các số chia hết cho 5 là các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
- Các số chia hết cho cả 2 và 5 là các số có chữ số tận cùng là 0.
II. Bài toán.
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Điền các từ thích hợp (chữ số lẻ, chữ số chẵn) vào chỗ trống (...)
A.Các số có chữ sô tận cùng là ... thì chia hết cho 2
B. Các số có chữ số tận cùng là ... thì không chia hết cho 2.
Câu 2. Khẳng định sau đúng hay sai ?
A. Số có chữ số tận cùng là 4 thì chia hết cho 2.
B.Số chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 4.
C. Số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 5.
D. Số có chữ số tận cùng là 5 thì chia hết cho 5.
Câu 3. Số nào sau đây chia hết cho 5 mà không chia hết cho 2
A.
.
B.
.
C.
.
Câu 4. Số nào sau đây chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5

D.

A.
.
B.
Lời giải
Câu 1. A. Chữ số chẵn
Câu 2. A. Đúng
C.Sai

D.

.

C.

.

B. Chữ số lẻ
B. Sai
D. Đúng
10

Câu 3. B.
Câu 4. D.
Bài tập tự luận
Bài 1. Trong các số sau:
a) Số nào chia hết cho 2?
b) Số nào chia hết cho 5?
c) Số nào chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5?
d) Sốnào chiahết cho cả 2 và 5?
Lời giải:
a) Các số

.

chia hết cho 2 vì có chữ số tận cùng là các số chẵn.

b) Các số

chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

c) Các số

chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5.

d) Các số

chia hết cho cả 2 và 5 vì có chữ số tận cùng là 0.

Bài 2. Trong các số sau:
a) Số nào chia hết cho 2 ?
b) Số nào chia hết cho 5 ?
c) Số nào chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2?
d) Số nào chia hết cho cả 2 và 5?
Lời giải:
a) Các số

.

chia hết cho 2 vì có chữ số tận cùng là các số chẵn.

b) Các số

chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

c) Các số

chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5.

d) Các số
chia hết cho cả 2 và 5 vì có chữ số tận cùng là 0.
Dạng 2.2. Xét tính chia hết cho 2, cho 5 của một tổng (hiệu)
I. Phương pháp giải:
Để xét một tổng (hiệu) có chia hết cho 2, cho 5 hay không, ta thường làm như sau:
Cách 1. Xét mỗi số hạng của tổng (hiệu) có chia hết cho 2, cho 5 hay không.
Cách 2. Xét tổng (hiệu) các số hạng có chia hết cho 2, cho 5 hay không.
II. Bài toán.
Bài 1. Xét các tổng (hiệu) sau có chia hết cho 2 không, có chia hết cho 5 không?
a)

;

c)
Lời giải:
a)

b)
;

;

d)

.

chia hết cho 2 vì
chia hết cho 5 vì

b)

không chia hết cho 2 vì
chia hết cho 5 vì

c)

chia hết cho 2 vì
không chia hết cho 5 vì

d)

không chia hết cho 2 vì

;
11

không chia hết cho 5 vì
Bài 2. Xét các tổng (hiệu) sau có chia hết cho 2 không, có chia hết cho 5 không?
a)
c)
Lời giải:
a)

;

b)
;

;

d)

.

chia hết cho 2 vì
khôngchia hết cho 5 vì

b)

không chia hết cho 2 vì
chia hết cho 5 vì

c)

chia hết cho 2 vì
chia hết cho 5 vì

d)

không chia hết cho 2 vì

;

không chia hết cho 5 vì
Bài tập về nhà
8. Cho các số: 175; 202; 265; 114; 117; 460; 2020; 3071; 263. Trong các Số đó:
a) Số nào chia hết cho 2?
b) Số nào chia hết cho 5?
c) Số nào chia hết cho cả 2 và 5?
9. Xét các tổng (hiệu) sau có chia hết cho 2 không, có chia hết cho 5 không?
a) A = 16 + 58;
b) B = 115 + 20;
c) C = 136-26+50;
d) D = 233 + 42 + 76.
Dạng 2.3. Lập các số chia hết cho 2, cho 5 từ những chữ số cho trước
I. Phương pháp giải:
Để lập các số chia hết cho 2, cho 5, ta thường làm như sau:
- Bước 1. Lập chữ số cuối cùng của số cần tìm từ các chữ số đã cho;
Nếu số cần tìm chia hết cho 2 thì chữ số cuối cùng phải là một trong các số
Nếu số cần tìm chia hết cho 5 thì chữ số cuối cùng phải là 0 hoặc 5.
Nếu số cần tìm chia hết cho cả 2 và 5 thì chữ số tận cùng phải là 0.
- Bước2. Lập nốt các chữ số còn lại sao cho thỏa mãn điều kiện đề bài;
- Bước 3. Liệt kê các số thỏa mãn bài toán
II. Bài toán.
Bài 1. Dùng cả bốn chữ số
thỏa mãn:
a) Số lớn nhất chia hết cho 2;
Lời giải:

.

hãy viết thành số tự nhiên có bốn chữ Số khác nhau sao cho số đó
b) Số nhỏ nhất chia hết cho 5;

c) Số chia hết cho 2 và 5.

a) Vì số đó chia hết cho 2 nên sẽ tận cùng là
.
Số có bốn chữ số lớn nhất nên số hàng nghìn là 7 và số hàng trăm là 5.
Ta có hai số

thỏa mãn chia hết cho 2.

Vì
nên số lớn nhất chia hết cho 2 là 7540.
b) Lập luận tương tự câu a) ta có đáp số: 4075.
c)
.
Bài 2. Dùng cả ba chữ số 9; 0; 5 hãy viết thành số tự nhiên có ba chữ số khác nhau sao cho số đó thỏa
mãn:
12

a) Số lớn nhất chia hết cho 2;
Lời giải:

b) Số nhỏ nhất chia hết cho 5;

c) Số chia hết cho 2 và 5.

a) Vì số đó chia hết cho 2 nên sẽ tận cùng là .
Số có bốn chữ số lớn nhất nên số hàng nghìn là 9 và số hàng trăm là 5.
Ta có số

thỏa mãn là số lớn nhất chia hết cho 2.

b) Lập luận tương tự câu a) ta có đáp số:

.

c)
.
Dạng 2.4. Tìm các chữ số của một số thỏa mãn điều kiện chia hết cho 2, cho 5
I. Phương pháp giải:
Để tìm các chữ số của một số thỏa mãn điều kiện chia hết cho 2, cho 5, ta thường sử dụng dấu hiệu
chia hết cho 2, cho 5 để xét chữ số tận cùng.
II. Bài toán
Bài 1. Điền chữ số thích hợp vào dấu * để số
a) Chia hết cho 2
b) Chia hết cho 5;
Lời giải:
a) Vì

chia hết cho 2 nên chữ số cuối cùng phải là số chẵn.Từ đó

b) Vì

chia hết cho 5 nên chữ số cuối cùng phải là 0 hoặc 5. Từ đó

c) Vì

chia hết cho cả 2 và 5 nên chữ số cùng cuối cùng phải là 0. Từ đó

Bài 2. Điền chữ số thích hợp vào dấu * để số
a) Chia hết cho 2
b) Chia hết cho 5
Lời giải:
a) Vì

chia hết cho 2 nên chữ số cuối cùng phải là số chẵn.Từ đó

b) Vì

chia hết cho 5 nên chữ số cuối cùng phải là 0 hoặc 5. Từ đó

c) Vì

chia hết cho cả 2 và 5 nên chữ số cùng cuối cùng phải là 0. Từ đó

Bài 3. Điền chữ số vào dấu * để được số
a)
chia hết cho 2;
Lời giải:
a) Vì chữ số tận cùng của

b)

c) Chia hết cho cả 2 và 5.

c) Chia hết cho cả 2 và 5.

thỏa mãn điều kiện:
chia hết cho 5;

là chữ số lẻ nên

c)

chia hết cho 2 và 5

không chia hết cho 2. Từ đó

.

b) Vì

tận cùng là 5 nên

luôn chia hết cho 5.Từ đó

c) Vì

không chia hết cho 2 nên không có chữ số nào điền vào dấu * thỏa mãn điều kiện.

Vậy
Bài 4 . Điền chữ số vào dâu * để được số
a)
chia hết cho 2;
Lời giải:
a) Vì chữ số tận cùng của

b)

thỏa mãn điều kiện:
chia hết cho 5;

là chữ số lẻ nên

c)

không chia hết cho 2. Từ đó

chia hết cho 2 và 5.
.

b) Vì

tận cùng là 5 nên

luôn chia hết cho 5.Từ đó

c) Vì

không chia hết cho 2 nên không có chữ số nào điền vào dấu * thỏa mãn điều kiện.
13

Vậy
Bài 5. Tìm các chữ số
Lời giải:
Vì

và

sao cho

và

chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5.

chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 nên

. Lại có

nên ta tìm được

.
Vì

là số có hai chữ số nên

(loại).

Vậy ta có các sốthỏa mãn điều kiện là:

.

Bài 6. Tìm các chữ Số a và b sao cho
Lời giải:

và

Vì

chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2.

chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 nên

. Lại có

nên ta tìm được

Vậy ta có sốthỏa mãn điều kiện là: .
Dạng 2.5. Tìm tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2, 5 thỏa mãn điều kiện cho trước
I. Phương pháp giải:
Để tìm tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2, cho 5, ta thường sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5
và liệt kê tất cả các số thỏa mãn điều kiện đã cho.
II. Bài toán.
Bài 1. Tìm tập hợp các số
thỏa mãn:
a) Chia hết cho 2 và

;

b) Chia hết cho 5 và

;

c) Vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 và
Lời giải:
a)

.
.

b)

.

c)
.
Bài 2. Tìm tập hợp các số

thỏa mãn:

a) Chia hết cho 2 và

;

b) Chia hết cho 5 và

;

c) Vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 và
Lời giải:
a)
b)

.
.

.

c)
.
Bài tập về nhà
Bài 1. Cho các số:
a) Số nào chia hết cho 2?
b) Số nào chia hết cho 5?
c) Số nào chia hết cho cả 2 và 5?
Hướng dẫn giải:

. Trong các Số đó:

14

a) Các số chia hết cho 2 là: 202; 114; 460; 2020.
b) Các số chia hết cho 5 là: 175; 265; 460; 2020.
c) Các số chia hết cho cả 2 và 5 là: 460; 2020.
Bài 2. Xét các tổng (hiệu) sau có chia hết cho 2 không, có chia hết cho 5 không?
a)

;

c)
Hướng dẫn giải:

b)
;

;

d)

a) A 2; A 5.

.

b) B 2; B 5.

c) C 2; C 5.

d) D 2; D 5.

Bài 3. Dùng cả bốn chữ số
hãy viết thành số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau sao cho số đó
thỏa mãn:
a) Số lớn nhất chia hết cho 2;
b) Số nhỏ nhất chia hết cho 5;
c) Số chia hết cho 2 và 5.
Hướng dẫn giải:
a) 6540.
b) 4065.
c) 4560; 4650; 5640; 5460; 6450; 6540.
Bài 4. Điền chữ số thích hợp vào dấu để số
:
a) Chia hết cho 2;
b) Chia hết cho 5;
Hướng dẫn giải:

c) Chia hết cho cả 2 và 5.

a)

c)

b)

Bài 5. Điền chữ số vào dấu * để được số

thỏa mãn:

a)
chia hết cho 2.
Hướng dẫn giải:

b)

a)

b)

Bài 6. Tìm các chữ số
Hướng dẫn giải:
Vì

chia hết cho 5.

và

sao cho

và

chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 nên

chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5.
. Lại có

nên ta tìm được
Vậy ta có các sốthỏa mãn điều kiện là:
Bài 7. Tìm tập hợp các số thỏa mãn:
a) Chia hết cho 2 và

;

b) Chia hết cho 5 và

;

.

c) Vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 và
.
Hướng dẫn giải:
a) x {468;470;472;474;476;478;480}.
b) x {470;475;480}.
c) x {470; 480}.
Dạng 3. Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9.
Dạng 3.1. Dấu hiệu chia hết cho 3, 9
I. Phương pháp giải:
Để nhận biết một số có chia hết cho 3 (cho 9) hay không, talàm như sau:
15

và a;b là chữ số

Bước 1. Tính tổng các chữ số của số đã cho;
Bước2. Kiểm tra xem tổng đó có chia hết cho 3 (cho 9) hay không.
Lưu ý: Nếu số đó chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3.
II. Bài toán.
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Các khẳng định sau đúng hay sai ?
A. Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3.
B. Số chia hết cho 3 có thể không chia hết cho 9.
C. Số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó bằng 9.
D. Nếu tổng các chữ số của một số mà chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 9.
Câu 2. Số nào sau đây chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9
A.
B.
Câu 3. Số nào sau đây chia hết cho 9 và chia hết cho 3

C.

D.

A.
Lời giải
Câu 1. A. ĐÚNG
Câu 2. A
Câu 3. C
Bài tập tự luận

B.

C.

D.

B. ĐÚNG

C. SAI

D. ĐÚNG

Bài 1. Trong các số sau:
a) Số nào chia hết cho 3?
b) Số nào chia hết cho 9?
c) Số nào chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9?
Lời giải:
Xét số 178 có

mà

.

.

Xét số 567 có
mà
.
Tương tự với các số khác thì ta được đáp số.
a)
b)
c)
Bài 2. Cho các số:
.
a) Viết tập hợp A các số chia hết cho 3 có trong các số trên.
b) Viết tập hợp B các số chia hết cho 9 có trong các số trên.
Lời giải:
a)
b)
Dạng 3.2. Xét tính chia hết cho 3, cho 9 của một tổng (hiệu)
I. Phương pháp giải:
Để xét một tổng (hiệu) có chia hết cho 3, cho 9 hay không, ta thường làm. như sau:
Cách 1. Xét mỗi số hạng của tổng (hiệu) có chia hết cho 3, cho 9 hay không.
Cách 2. Xét tổng (hiệu) các số hạng có chia hết cho 3, cho 9 hay không.
Lưu ý: Ta nên xét tổng (hiệu) chia hết cho 9 trước. Từ đó suy ra chia hết cho 3.
II. Bài toán.
16

Bài 5. Xét các tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3 không, có chia hết cho 9 không?
a)

b)

c)
Lời giải:
a) Cách 1.

d)

.

Ta có
Ta có
Cách 2.
Ta có
b)
c)
d)
Dạng 3.3. Lập các số chia hết cho 3, cho 9 từ những chữ số cho trước
I. Phương pháp giải:
Để lập các số chia hết cho 3 (cho 9) ta thường làm như sau:
Bước 1. Chọn nhóm các chữ số có tổng chia hết cho 3 (cho 9);
Bước 2. Từ mỗi nhóm liệt kê các số thỏa mãn điều kiện đề bài.
II. Bài toán.
Bài 1. Từ bốn chữ số
hãy ghép thành các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau thỏa mãn:
a) Chia hết cho 3;
b) Chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Lời giải:
a) Tìm bộ ba số có tổng chia hết cho 3, ta được:

Từ đó ta có các số chia hết cho 3 là:

.
b) Tìm bộ ba số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Từ đó ta có các số thỏa mãn:

.

Bài 2. Từ bốn chữ số
hãy ghép thành các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau thỏa mãn:
a) Chia hết cho 9;
b) Chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Lời giải:
a) Tìm bộ ba số có tổng chia hết cho 3, ta được:

Từ đó ta có các số chia hết cho 3 là:

.
b) Tìm bộ ba số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Từ đó ta có các số thỏa mãn:
.
Dạng3.4. Viết các số chia hết cho 3, 9 từ các số hoặc chữ số cho trước.
I. Phương pháp giải:
Để tìm các chữ số của một số thỏa mãn điều kiện chia hết cho 3, cho 9, ta thường làm như sau:
Bước 1. Tính tổng các chữ số đã biết;
Bước 2. Tìm chữ số chưa biết thỏa mãn chữ số đó cộng với tổng trên chia hết cho 3, cho 9.
Lưu ý: - Đối với bài điền dấu * để được số chia hết cho
17

thì xét điều kiện chia hết cho 2 và 5

trước, sau đó xét điều kiện chia hết cho 3; 9.
- Đối với bài chia hết cho các số khác
số để đưa về các số

(chẳng hạn chia hết cho 45, cho 18,...) thì ta tách

.

Ví dụ: 45 tách thành
(5 và 9 không cùng chia hết cho số nào khác ngoài 1);
Để chia hết cho 45 thì phải chia hết cho cả 5 và 9.
II. Bài toán.
Bài 1. Điền chữ số thích hợp vào dấu * để được Số
a)

chia hết cho 3;

b)

chia hết cho 9

thỏa mãn điều kiện:

c)
chia hết cho 3 nhưng không chia hết 9
Lời giải:
a) Để
Tương tự.
b)
c)

.
.
.

Bài 2. Cho 1số có 4 chữ số:

. Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có 4 chữ số

khác nhau chia hết cho tất cả 4 số :
.
Lời giải:
Số đó đảm bảo chia hết cho 2 nên số đó là số chẳn.
Số đó chia hết cho 5 nên số đó phải có chữ số tận cùng là số 0 hoặc 5.
Số đó vừa chia hết cho 3 và 9 nên số đó phải có tổng các chữ số chia hết cho 9.
Vậy: Chữ số tận cùng của số đó là 0
Do đó số đã cho là 1260
Bài 3. Tìm các chữ số a, b để:
a)
c)
Lời giải:
a) Vì

chia hết cho cả

;

chia hết cho 45;
chia hết cho

nên

. Vì

b) Tương tự câu a) ta tìm được
c) Vì

chia hết cho 45 nên

chia hết cho cả

d)

chia hết cho 5 và 18.

chia hết cho

chia hết cho

nên

Trường hợp 2.

.

.

và

chia hết cho

sao cho

. Từ đó ta tìm được
và

chia hết cho 9.

Để
Trường hợp 1.

;

.

chia hết cho 5 và 18 nên

Bài 4. Tìm các chữ số
Lời giải:

b)

.

Từ đó ta tính được
d) Vì

. Chữ số đầu là số 1

mà

.

mà

(loại).
18

.

Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số
Lời giải:
Giả sử ba số viết thêm là

chia hết cho

Mặt khác:

.

.

Ta có:

Mà

ba chữ số nào để được số chia hết cho

= 579000 +

.

= (315.1838 + 30 +

chia hết cho

) chia hết cho 315.

chia hết cho

Do

.
.

Vậy ba số có thể viết thêm vào là
Bài tập về nhà

.

Bài 1. Cho các số:
Trong các số đó:
a) Số nào chia hết cho 3?
b) Số nào chia hết cho 9?
c) Số nào chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9?
Hướng dẫn giải:
a) 864; 357; 756; 1248; 6390.
b) 864;756; 6390
c) 357; 1248.
Bài 2. Cho các số:

.

.

a) Viết tập hợp

các số chia hết cho 3 có trong các số trên

b) Viết tập hợp

các số chia hết cho 9 có trong các số trên

c) Dùng kí hiệu
Hướng dẫn giải:

để thể hiện quan hệ giữa hai tập hợp

a)

b)

và

ở trên
b)

Bài 3. Xét các tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3 không, có chia hết cho 9 không
a)

b)

c)
Hướng dẫn giải:

d)

a)

b)

c)

d)

Bài 4. Từ bốn chữ số
hãy ghép thành các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau thỏa mãn:
a) Chia hết cho 3;
b) Chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Hướng dẫn giải:
a) 126; 162; 216; 261; 612; 621; 120; 102; 210; 2.01.
b) 120; 102; 210; 201.
Bài 5. Điền chữ số thích hợp vào dấu

để được số
19

thỏa mãn điều kiện:

a)

chia hết cho 3;

b)

chia hết cho 9;

c)
chia hết cho 3 nhưng không chia hết 9.
Hướng dẫn giải:
a)

b)

Bài 6. Tìm các chữ số

để:

a)

chia hết cho

b)

chia hết cho 45;

c)

c)

chia hết cho

;
;

d)
chia hết cho
Hướng dẫn giải:

nhưng không chia hết cho 2.

a) Vì
chia hết cho 18 nên
chia hết cho
.
Từ đó ta tính được (b = 0; a = 4); (b = 2; a = 2);(b = 4; a = 0); (b = 4; a = 9).
b) Vì chia hết cho 45 nên
chia hết cho
.
Từ đó ta tính được (b = 0; a = 0); b= 0; a = 9); (b = 5; a = 4).
c) Vì

chia hết cho

nên

d) Vì

chia hết cho 15 nên

. Vì

chia hết cho

nên

.

chia hết cho nhưng không chia hết cho 2. Từ đó ta tính được

Vì chia hết cho 3 nên tổng các chữ số của D chia hết cho 3. Từ đó ta tính được
Vậy: (b = 5; a = 2); (b = 5; a = 5); (b = 5; a = 8).
Bài 7*. Từ đến
có bao nhiêu số:
a) Chia hết cho 3;
b) Chia hết cho 9.
Hướng dẫn giải:
a) Có (2019 - 3): 3 +1 = 673 số chia hết cho 3.
b) Có (2016 - 9): 9+1 = 224 số chia hết cho 9
Dạng 4. Số nguyên tố. Hợp số.
Dạng 4.1. Nhận biết số nguyên tố, hợp số
I. Phương pháp giải:
Để nhận biết một số là số nguyên tố hay hợp số, ta làm như sau:
Bước 1. Kiểm tra điều kiện số đó phải lớn hơn 1;
Bước2. Tìm hai đến ba ước của số đó.
- Nếu số đó chỉ có hai ước là 1 và chính nó thì đó là số nguyên tố.
- Nếu số đó có ba ước (trở lên) thì đó là hợp số.
II. Bài toán.
Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Các khẳng định sau đúng hay sai ?
A. Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
B. Hợp số là sô tự nhiên có nhiều hơn hai ước.
Câu 2. Có bao nhiêu số nguyên tố có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị là 1?
A. 4 số
B. 5 số
C. 6 số
D. 7 số
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Câu 3. Điền vào chỗ trống (...)
A. Có hai số tự nhiên liên tiếp đều là số nguyên tố là ...
B. Có ba số lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố là ...
C. Có một số nguyên tố chẵn là ...
20

Câu 4. Các khẳng định sau đúng hay sai ?
A. Mọi số nguyên tố đều là số lẻ.
B. Không có số nguyên tố nào có chữ số hàng đơn vị là 5.
C. Không có số nguyên tố lớn hơn 5 nào có chữ sô tận cùng là 0, 2, 4, 5, 6, 8.
Lời giải
Câu 1. A. ĐÚNG
B. ĐÚNG
Câu 2. A.
Câu 3.
A.
B.
C.
Câu 4.
A.Sai
B. Sai
C. Đúng
Bài tập tự luận
Bài 1. Dùng bảng số nguyên tố ở cuối SGK, tìm các số nguyên tố trong các số sau :
.
Lời giải:
Các số nguyên tố là : 

.

Bài 2. Trong các số sau, số nào là số nguyên tố, số nào là hợp số:
Lời giải:
Các số

.

là các số nguyên tố vì các số đều lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Các số
Cụ thể là: 2

là hợp số vì các số đều lơn hơn 1 và có nhiều hơn hai ước.
Ư(12), Ư(110); 3 Ư(63).

Bài 3. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số:
Lời giải

.

Các số
và 417 là hợp số vì chúng lớn hơn 3 và chia hết cho 3.
Số 3311 là hợp số vì số này lớn hơn 11 và chia hết cho 11.
Số 67 là số nguyên tố vì nó lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
Bài 4. Gọi p là tập các số nguyên tố. Điền kí hiệu 
,       
Lời giải:

,         

  hoặc 

vào chỗ trống cho đúng :

,         

,       
,         
,         
.
Bài 5. Không tính kết quả, xét xem tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số?
;

;

;

.

Lời giải:
Vì

đều chia hết cho 2 nên

Mà

nên

là hợp số vì
là hợp số vì

có nhiều hơn hai ưóc. Vậy

.
là hợp số

.
.

là hợp số vì
.
Bài 6. Không tính kết quả, xét xem tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số?
a) 53

b)
21

;

c) 151
Lời giải:

d)

....