Logich toán và cơ sở toán học

Cơ Sở Toán Học - là một bộ phận của toán học mà chỉ có khoảng 1% các nhà toán
học trên thế giới quan tâm tới nó. Trước khi có câu hỏi "tại sao lại thế", nên chăng
đặt câu hỏi "Cơ sở toán học là gì". Để phần nào tìm được câu trả lời cho những câu
hỏi đó, MrMATH xin phép giới thiệu với các bạn bài viết của Giáo sư Phan Đình
Diệu về lịch sử của môn khoa học này.
Phần I
Ta biết rằng Toán Học là một ngành khoa học lý thuyết được phát triển trên cơ sở tuân
thủ nghiêm ngặt các qui luật của tư duy logich hình thức. Các qui luật cơ bản của logich
hình thức đã được phát triển từ thời Aristote (384 - 322 trước Công Nguyên) và hệ tiên đề
đầu tiên của hình học đã được xây dựng bởi Euclid cũng vào khoảng 300 năm trước
Công Nguyên. Sau thời kì rực rỡ đó của nền văn minh cổ Hy Lạp, phải trải qua một giai
đoạn ngưng trệ hàng nghìn năm, mãi cho đến thế kỉ 16,17 các nganh khoa học đặc biệt là
Toán Học mới tìm lại được sự phát triển tiếp tục. Giai đoạn mới khởi đầu từ những phát
minh của Newton, Leibnitz về phép tính vi phân và giải tích toán học đã đưa toán học từ
phạm vi "bất biến, hữu hạn" sang địa hạt của "vận động, vô hạn, liên tục". Nhưng trong
suốt mấy thế kỉ phát triển, bên cạnh những thành tựu to lớn, Toán Học vẫn chứa trong
mình những "lỗ hổng" về cơ sở lý luận - cơ sở logich hình thức cho các khái niệm cơ bản
như số thực, đại lượng vô cùng bé, giới hạn, biến thiên liên tục v.v...
Cho đến cuối thế kỉ 19 bước sang đầu thế kỉ 20 lý thuyết tập hợp của Cantor ra đời đã
đưa đến cho Toán Học niềm hy vọng giải quyết được cuộc "khủng hoảng" về cơ sở lý
luận đó. Cái cốt lõi của lý thuyết tập hợp Cantor là sự hợp thức hóa phép trừu tượng về

"vô hạn thực tại", xem rằng trong Toán Học có thể hình dung mọi tập hợp bất kì dưới
dạng hoàn chỉnh, trong đó các phần tử tồn tại đồng thời, độc lập và bình đẳng với tư duy.
Và cùng với việc thừa nhận quan niệm "thực tại" đó về các tập hợp vô hạn, người ta cũng
đồng thời tuyệt đối hóa tính hợp lý của các qui luật logich hình thức: các qui luật của
logich hình thức dù có thể đã được hình thành cho các suy luận trên cái hữu hạn thì này
có thể dùng được cho cả các suy luận trên các tập hữu hạn hoặc vô hạn, không cần phân
biệt.
Lý thuyết tập hợp quả thực đã cung cấp một cơ cở tuyệt vời, không những cho việc giải
quyết cuộc khủng hoảng của cơ sở giả tích toán học, mà rộng hơn còn cung cấp một nền
tảng thống nhất cho việc xây dựng và phát triển hầu như toàn bộ các ngành toán học
khác. Tuy nhiên, oái ăm thay, ngay trong những năm đầu của thế kỉ 20 người ta liên tiếp
phát hiện trong lí thuyết "ngây thơ" về tập hợp có chứa đựng nhiều nghịch lý: nghịch lý
Russell về "tập hợp của tất cả các tập hợp không là phần tử của chính mình", nghich lý do
chính Cantor phất hiện về "tập hợp của tất cả các tập hợp", nghịch lý Bulari-Forti về
"ordinal của tập sắp thứ tự hoàn toàn của tất cả các ordinal" v.v... . Việc phát hiện ra các
nghịch lý như vật đã làm lung lay lòng tin của một số nhà toán học vào giá trị "nền tảng"
của lý thuyết tập hợp. và khó khăn mới đó đã dẫn tới những đề nghị khác nhau về cách
khắc phục. Cách khắc phục được nhiều người tán thành nhất là hạn chế ngoại diên của
khái niệm "tập hợp" bằng cách xây dựng cho lý thuyết tập hợp một hệ tiên đề, tức tiên đề
hóa lý thuyết tập hợp trong đó không thể có những tập hợp quá "tự do" như trong các
nghịch lý kể trên. Cách này đã chứng tỏ là rất hợp lý, nhiều lý thuyết tiên đề về tập hợp
đã ra đời và đáp ứng các yêu cầu hạn chế đó.
Cùng với tiên đề hóa lý thuyết tập hợp cũng như tiên đề hóa các lý thuyết toán học, người
ta cũng nghĩ nhiều đến việc tiên đề hóa các lý thuyết cơ sở về logich - việc tiên đề hóa
triệt để như vậy dẫn tới việc hình thức hóa, và ta được các hệ hình thức hóa của logich
(mệnh đề và tân từ) rồi trên cơ sở đó, các hệ hình thức hóa của Toán Học. Khi toàn bộ
một lý thuyết Toán Học (cùng với cơ sở logich của nó) đã được hình thức hóa, thì việc
làm toán có thể đóng khung trong phạm vi lí thuyết hình thức đó và làm toán chỉ còn là
việc thực hiện những thao tác trí tuệ trên các dòng ký hiệu hình thức theo các luật đã
được hình thức hóa trong lý thuyết đó (?!). Tuy nhiên có những vấn đề về các lý thuyết
Toán Học được hình thức đó thì lại không thể được xét bên trong chúng, chẳng hạn các
vấn đề về tính phi mâu thuẫn, về tính đầy đủ của lý thuyết, về tính độc lập của các tiên đề
v.v... . Những vấn đề như vậy có ý nghĩa quan trọng về các lý thuyết toán học được hình
thức và được xét trong 1 siêu toán học (metamathematics) tức là một siêu lý thuyết nằm
ngoài các lý thuyết hình thức nói trên.
Vào các thập niên đầu của thế kỉ 20, để cứu vãn nền tảng vững chắc cho Toán Học,
Hilbert đã đề xuất một chương trình có nội dung tóm lược như sau: Hilbert xem rằng lý
thuyết tập hợp (sau khi đã loại bỏ các yếu tố đưa đến nghịch lý) với quan niệm trừu tượng
hóa vô hạn thực tại và sự phổ quát hóa của các qui luật logich cổ điển(bao gồm qui luật
bài trung (nói rằng 1 điều gì đó chỉ có thể là đúng hoặc chỉ có thể là sai.ct) và phủ định
kép (nếu 1 ta có ((điều gì đó là sai) là sai) thì điều đó phải đúng.ct)) là cơ sở tin cậy của
Toán Học. Để bảo vệ Toán Học với cơ sở đó, ta hình thức hóa Toán Học thành một hệ
hình thức rồi sau đó chứng minh tính phi mẫu thuẫn của hệ toán học hình thức đó trong
một siêu toán, và không ai có thể công kích được. Hilbert đề nghị siêu toán đó sẽ là một

thứ Toán học không sử dụng khái niệm "vô hạn thực tại", chỉ hạn chế trong các kiến trúc
dùng một quan niệm hạn chế về vô hạn là "vô hạn tiềm năng", và cùng với nó cũng
không sử dụng phổ biến các qui luật logich như luật bài trung. Một siêu toán như vậy
được gọi là siêu toán hữu hạn luận (finitism). Vào những năm 30 của thế kỉ, nhà toán học
người Áo Godel đã xây dựng được cho "số học hình thức", một thứ siêu toán thỏa mãn
các yêu cầu của hữu hạn luận, đó là số học của các hàm và quan hệ đệ quy. Nhưng rồi bất
ngờ thay, chính với các phương tiện của siêu toán đó, Godel đã chứng minh được các
định lý vĩ đại: nếu số học hình thức phi mâu thuẫn thì nó không đầy đủ, và bản thân tính
phi mâu thuẫn của số học hình thức không thể tìm thấy trong số học hình thức đó (!!).
Nói cách khác, mưu đồ hình thức hóa Toán Học rồi tìm cách chứng minh tính phi mâu
thuẫn của nó bên trong hệ hình thức đó hay với sự trợ giúp của một siêu toán hữu hạn
luận là thất bại (!!). Các định lý của Godel có tác động to lớn đối với nhận thức luận khoa
học nói chung.
Một vấn đề khác cũng rất được quan tâm trong cơ sở Toán Học là vai trò của một vài giả
thuyết hay tiên đề của lý thuyết tập hợp, cụ thể là giả thuyết liên tục và tiên đề chọn.
Trong số 23 bài toán mà Hilbert đặt ra cho thế kỉ 20, bài toán về giả thuyết liên tục là bài
toán số 1. Đầu những năm 40. Godel xây dựng mô hình cho lý thuyết tập hợp gồm các
tập "kiến thiết được" và chứng minh trong mô hình đoa giả thuyết liên tục và tiên đề chọn
đều đúng. Và đến giữa những năm 60, Cohen bằng khái niệm "cưỡng bức" (forcing) độc
đáo của mình đã xây dựng được các mô hình của lý thuyết tập hợp trong đó giả thuyết
liên tục không đúng và tiên đề chọn đúng, hoặc cả hai cùng không đúng. Như vậy cả tiên
đề chọn và giả thuyết liên tục đều là vừa phi mâu thuẫn, vừa là độc lập đối với lý thuyết
tiên đề về tập hợp. Những kết quả này, về nguyên tắc có thể cho ta khả năng xây dựng
được những lý thuyết tập hợp trong đó tiên đề chọn (và giả thuyết liên tục) là đúng hoặc
không đúng, tương tự như ta đã có hình học Euclid và hình học phi Euclid.

Phần II

Logich toán và cở sở toán học - với nội dung như vừa được điểm lại - đã được hình thành
và phát triển chủ yếu vào cuối thế kỉ 19 và nừa đầu thế kỉ 20, trong 1 giai đoạn bùng phát
nhiều ý tưởng và kết quả nghiên cứu đặc sắc theo hướng tìm kiếm và xây dựng một nền
móng "vững chắc" cho lâu đài Toán Học.
Toán Học, như triết gia A.N. Whitehead từng nhận định: có thể coi là thành quả sáng tạo
độc đáo nhất trong hoạt động tinh thần của con người, toán học thuần túy đứng ở đỉnh
cao của tư duy duy lý, các kết quả của toán học được xem là khuôn mẫu của sự chính
xác, nghiệm ngặt và chắc chắn, người ta thường lấy lượng Toán Học được ứng dụng để
đo mức độ nghiệm ngặt của một lý thuyết khoa học. Nhưng dù Toán Học có đối tượng
trực tiếp là các ý tưởng, các khái niệm trừu tượng và phương pháp phát triển Toán học
chủ yếu là phương pháp suy luận logich một cách nghêim ngặt, thì Toán Học cũng là một
ngành khoa học, và trong quá trình tiến hóa biện chứng của mình, nó cũng có thể được
phát hiện là có những khiếm khuyết và phải tìm cách khắc phục những khiếm khuyết để
phát triển tiếp tục.

Như đã trình bày, cuộc khủng hoảng về cơ sở của Giải tích toán học vào cuối thế kỉ 19 đã
dẫn đến sự ra đời của lý thuyết Cantor về tập hợp, hợp thức hóa phép trừu tượng về vô
hạn thực tại, tạo các cơ sở nền móng cho Giải tích toán học và cho Toán Học nói chung.
Nhưng ngày sau đó, việc phát hiện những nghịch lý trong bản thân lý thuyết tập hợp đã
làm lung lay cái cơ sở nền móng vừa được xác lập. Và vấn đề xây dựng nền móng cho
Toán Học hóa ra phức tạp và khó khăn hơn nhiều, không chỉ đơn giản là tìm cách định
nghĩa hợp lý cho một số khái niệm nào đó. Nguời ta đặt vấn đề cần xem xét lại tính đúng
đắn của một số mệnh đề ban đầu vẫn được mặc nhiên coi là đúng, và cả tính đúng đắn
của một số qui tắc logich của suy luận mà trước đó chưa hề bị hoài nghi. Một số trường
phái đề xuất các giải pháp khác nhau cho việc xây dựng nền móng Toán Học đã xuất
hiện, nổi bật là ba phái lớn:
Phái chủ nghĩa logich (logicism) khởi đầu bởi G.Frege và tiếp tục bới B.Russell, A.
Whitehead xem rằng không có các đối tượng toán học tồn tại độc lập, đối tượng toán học
(như các con số) là các khái niệm trừu tượng, có thể được định nghĩa bởi một chuỗi các
định nghĩa, do đó có thể biểu diễn qua các thuật ngữ logich, từ đó mọi phán đoán, mọi
định lý toán học cũng là các phán đoán logich, bằng cách đó phái chủ nghĩa logich chủ
trương đưa toàn bộ Toán Học thành một bộ phận của logich, mà cái đúng của logich là
đúng trong mọi thế giới có thể, không phụ thuộc các đối tượng.
Phái chủ nghĩa trực giác (intuitionism) mà những người đề xướng chủ chốt là L.E.J.
Brouwer, A. Heyting không những không chấp nhận việc hợp thức hóa phép trừu tượng
về vô hạn "thực tại" trong Toán Học mà còn hoài nghi tính đúng đắn của nhiều quy luật
logich cổ điển dùng trong Toán Học liên quan đến các liên kết logich "không","hay là",
"tồn tại" như các qui luật phủ định kép, luật bài trung, qui luật:"nếu mệnh đề (với mọi a ta
có 1 "điều gì đó") là sai, thì mệnh đề sau là đúng (tồn tại a để "điều gì đó" là sai" (.ct).
Phái này đòi hỏi các đối tượng toán học phải được xây dựng rõ ràng một cách trực giác,
mọi chứng minh sự tồn tại của một đối tượng phải chỉ ra được cách tìm đối tượng đó một
cách trực giác..... phép trừu tượng hóa vô hạn thực tại và các qui luật logich kể trên là
nguồn gốc của việc nảy sinh ra nhiều kết quả về sự tồn tại thuần túy phi trực giác trong
Toán Học (kết luận về sự tồn tại của đối tượng nhưng không có cách gì để tìm ra đối
tượng cụ thể đó!). Thay cho phép trừu tượng hóa vô hạn thực tại, phái trực giác chỉ chấp
nhận phép trừu tượng về vô hạn "tiềm năng" (trong quá trình xây dựng các đối tượng
toán học, chấp nhận là sau mỗi bước đều có thể tiến hành thêm một bước tiếp theo), và
thay cho logich cổ điển chỉ được phép dùng một logich trực giác theo đó các qui luật kể
trên không còn được xem là có tính phổ biến. Phái trực giác cũng đã bắt đầu xây dựng
một Toán Học trực giác của mình với nhiều kết quả trái với Toán Học cổ điển, nhưng vì
nhiều quan niệm còn chưa được chính xác hóa, logich trực giác chưa được phát triển nên
việc xây dựng đó khó được tiếp tục tiến triển. Về sau này, khi các lý thuyết về "thuật
toán" ra đời, có thể gán cho khái niệm "tồn tại" hay "xây dựng được" một nội dung thuật
toán một cách chính xác, nhiều nhóm toán học đã phát triển các hưởng toán học kiến thiết
trên cơ sở các phê phán của phái chủ nghĩa trực giác và các thành tựu của lý thuyết thuật
toán, có những đóng góp và sự phát triển của Toán Học nói chung.
Khác với phái chủ nghĩa trực giác, phái chủ nghĩa hình thức (formalism) khởi xướng bởi
D. Hilbert và tiếp tục bởi P. Bernays, W. Ackermann, J.V.Neumann và nhiều người khác,

tuy thừa nhận rằng các mệnh đề toán học có sử dụng phép trừu tượng về vô hạn thực tại
là vượt ra ngoài giới hạn của tính hiển nhiên trực giác, nhưng không vì thế mà phủ nhận
toán học cổ điển. Hilbert chủ trương cứu toàn bộ toán học cổ điển thoát khỏi những phê
phán của chủ nghĩa trực giác bằng cách đề xuất và thực hiện một chương trình: tiên đề
hóa rồi hình thức hóa toàn bộ toán học cổ điển thành một lý thuyết tiên đề hình thức, rồi
sau đó chứng minh tính phi mâu thuẫn của lý thuyết hình thức đó. Toán Học, sau khi đã
được hình thức hóa sẽ được biến thành một hệ thống ký hiệu, làm toán trở thành thực
hiện các thao tác trên các ký hiệu hình thức tuân theo các luật suy diễn hình thức, tính phi
mâu thuẫn của một lý thuyết hình thức được định nghĩa như là tính không suy diễn được
trong lý thuyết đó hai công thức hình thức mâu thuẫn nhau dạng (A đúng) và (A sai) (ở
đây A là một mệnh đề nào đó, hay là 1 điều gì đó .ct). Định nghĩa đó mở đường cho khả
năng chứng minh tính phi mâu thuẫn của một lý thuyết mà không phải dùng đến phương
pháp mô hình vốn là phương pháp truyền thống khi chứng minh tính phi mâu thuẫn của
một lý thuyết tiên đề hóa (bằng cách xây dựng cho lý thuyết đó một mô hình trong một lý
thuyết khác). Ngoài ra, để đảm bảo thỏah khỏi mọi phê phán của phái chủ nghĩa trực
giác, Hilbert còn đề xuất việc dùng một siêu toán với những hạn chế hữu hạn luận để
nghiên cứu toán học hình thức.
Nếu chương trình của Hilbert được thực hiện mỹ mãn thì toàn bộ Toán Học cổ điển với
lý thuyết tập hợp và phép trừu tượng hóa vô hạn thực tại cùng với hệ thống logich cổ điển
được bảo vệ, Toán Học sẽ có được một nền tảng "vững chắc" để phát triển mà không sợ
lại gặp phải khủng hoảng !!. Cũng cần nói thêm rằng hướng phát triển Toán học như phái
hình thức bảo vệ được đa số các nhà toán học tán thành, nên về cơ bản Toán Học trong
thế kỉ 20 vẫn được phát triển chủ yếu với việc sử dụng lý thuyết tập hợp (có phép trừu
tượng vô hạn thực tại) và toàn bộ logich cổ điển.
Tuy nhiên, những kết quả của Godel - như đã điểm qua ở trên - đã giáng một đòn mạnh
vào chương trình của Hilbert. Các kết quả đó đã bác bỏ cái mà chương trình Hilbert tìm
kiếm. Và hơn thế còn bác bỏ mọi mưu toan tìm kiếm bên trong Toán Học một nền tảng
chắc chắn và vĩnh cửu của bản thân Toán Học, một lần cho mãi mãi. Không thể có một
nền tảng như vậy, bởi nếu có thì bản thân nó cũng không thể chứng minh được là mình
phi mâu thuẫn, tức là mình đúng. Nói rộng ra cái đúng của Toán Học không thể đuợc
chứng minh trong bản thân Toán Học mà phải tìm ở một thế giới bên ngoài.
Thay cho lời kết
Như vậy là con đường tìm kiếm nền tảng cho Toán Học trong những thập niên đầu của
thế kỉ 20 đã đi đến những kết quả trái với mong đợi, nhưng chính vì thế mà đã dẫn đến
những tư duy mới trong nhận thức về những vấn đề gọi là Cơ Sở Toán Học. Toán Học,
dù có đối tượng trực tiếp là những ý tưởng, những khái niệm trừu tượng nhưng đó không
phải là những ý tưởng chủ quan của các nhà toán học, cũng không phải là những ý niệm
khách quan tách rời hiện thực như những người thuộc trương phái Platon quan niệm, mà
là những ý tưởng những khái niệm được hình thành từ nhu cầu nhận thức thực tế. Toán
Học dù có nhũng đặc thù riêng của mình nhưng cũng là một ngành khoa học, tuân theo
các qui luật tiến hóa của khoa học nói chung. Và cũng như mọi ngành khoa học khác, nó
cũng là một sản phẩm có tính chất văn hóa, xã hội và lịc sử. Không có một thứ Toán Học
duy nhất đúng, có nền tảng chắc chắn được kiến tạo một lần cho mãi mãi, kiến thức Toán

Học cũng chịu sự chi phối của qui luật "có thể sai" như mọi kiến thức khoa học khác.
Hình học Euclid là tuyệt vời cho việc nhận thức các cấu trúc không gian trong thế giới
thông thường, nhưng khi nó không còn phù hợp với nhận thức về thế giới vĩ mô theo
thuyết tương đối thì ta có thể sử dụng các hình học phi Euclid, qui luật logich bài trung là
thích hợp với những lập luận thông thường, nhưng khi thấy nó không còn thích hợp với
những lập luận nhằm mục đich kiến thiết thì ta có thể không dùng nó mà thay bằng qui
tắc lập luận khác, cũng như vậy, các định lý Cohen cho ta căn cứ để chấp nhận một lý
thuyết tập hợp có tiên đề V nào đó mà cũng có thể chấp nhận một lý thuyết không có tiên
đề đó, một lý thuyết có tiên đề chọn (hoặc giả thuyết liên tục) hay không có tiên đề (hoặc
giả thuyết đo). Sau một giải đoạn cố công đi tìm kiếm một nền tảng cho Toán Học, ngày
nay toán học đã có những phát triển vượt bậc, không phải theo hướng mà các nhà sáng
lập của các trường phái "chủ nghĩa nền tảng" (foundationalism) đề xướng, mà là theo
những đòi hỏi của nhận thức thực tiễn, một nhận thức thực tiễn ngày càng tỏ ra phong
phú, đã dạng và hết sức phức tạp. Nhận thức về Toán Học, về những vấn đề triết học của
Toán Học đang có những đổi mới quan trọng, sẽ góp phần tích cực tạo nên cách nhìn
mới, cơ sở mới cho sự phát triển rực rỡ mới của Toán Học, làm cho Toán học có những
đóng góp ngày càng to lớn hơn nữa đối với sự phát triển của các ngành khoa học, và nói
chung là đối với yêu cầu nhận thức thực tiễn trong thời đại phát triển mới của loài người.
Hết!