B:phÇn thø hai : h×nh häc
I.
chøng minh tø gi¸c néi tiÕp
Bµi 1 : Cho ®êng trßn (O) vµ mét ®iÓm A ë bªn ngoµi ®êng trßn, tõ A kÎ hai tiÕp tuyÕn
AB vµ AC víi ®êng trßn (O). M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn d©y BC (M≠B ; M≠ C) ®êng
th¼ng vu«ng gãc víi OM t¹i M c¾t AB, AC lÇn lît ë D vµ E. CMR
a. Tø gi¸c ODBM vµ tø gi¸c ABOC néi tiÕp mét ®êng trßn.
b. M lµ trung ®iÓm cña DE.
Bµi 2 : Cho ®êng trßn (O) mét cung AB vµ S lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung ®ã . Trªn d©y
AB lÊy hai ®iÓm E vµ H. C¸c ®êng th¼ng SH , SE c¾t ®êng trßn (O) lÇn lît t¹i C vµ D.
CMR tø gi¸c EHCD néi tiÕp mét ®êng trßn.
Bµi 3 : Cho tø gi¸c ACDB (AB>CD) néi tiÕp ®êng trßn (O). Gäi S lµ ®iÓm chÝnh gi÷a
cña cung nhá CD.®êng th¼ng AD c¾t BS ë E. ®êng th¼ng BC c¾t AS ë F CMR
a. Tø gi¸c AFEB néi tiÕp mét ®êng trßn.
b. ED.EA= ES.EB
c. DC song song víi EF.
Bµi 4 : Cho ∆ ABC nhän c¸c ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc vµ gãc
gÆp nhau ë S .
c¸c ®êng ph©n gi¸c ngoµi vµ gÆp nhau ë E
a. CMR: tø gi¸c BSCE néi tiÕp ®êng trßn.
b. Gäi M lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c BSCE. CMR tø gi¸c ABMC néi tiÕp
Bµi 5: cho ®êng trßn (0) vµ mét ®iÓm A ë ngoµi ®êng trßn. C¸c tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn
(0) kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®êng trßn (0) ë B vµ C gäi M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®êng trßn
( M≠B ; M≠C ).Tõ M kÎ MH vu«ng gãc víi BC, MK vu«ng gãc víi AC, MI vu«ng gãc
víi AB
a. chøng minh tø gi¸c ABOC néi tiÕp
b. chøng minh tam gi¸c MIH ®ång d¹ng víi tam gi¸c MHK
c. chøng minh MI.MK= MH2
Bµi 6: Cho ®êng trßn t©m O, ®êng kÝnh AB .M lµ mét ®iÓm trªn ®êng trßn(M≠A; M≠
B).
C lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AB (C≠A; C≠0;C≠B) ®êng vu«ng gãc MC t¹i M c¾t hai tiÕp
tuyÕn kÎ tõ A vµ B víi ®êng trßn (0) t¹i E va F chøng minh
a. Tø gi¸c BCMF néi tiÕp mét ®íng trßn
b. Tam gi¸c ECF vu«ng t¹i C
Bµi 7: cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O , hai ®êng cao BB' vµ CC' c¾t
nhau t¹i H
a)chøng minh tø gi¸c BCB'C' néi tiÕp . T×m t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c BCB'C'.
b)Tia AO c¾t ®êng trßn (O) ë D, c¾t B'C' ë I. CMR tø gi¸c B'IDC néi tiÕp,
tõ ®ã suy ra AO  B'C'
c)Chøng minh H ®èi xøng víi D qua trung ®iÓm M cña BC
Bµi 8 : cho (O; R) hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. E lµ ®iÓm chÝnh gi÷a
cña cung nhá BC. AE c¾t OC ë F, DE c¾t AB ë N.
a. Chøng minh tø giøac CFMB néi tiÕp, t×m t©m ®êng trßn ®ã
b. Chøng minh : OE ; BF ; CM ®ång quy

Bµi 9 : cho hai ®êng trßn (O1) ; (O2) c¾t nhau t¹i E vµ F ; O1O2 c¾t (O1) t¹i A, C ; c¾t (O2)
t¹i B, D (s¾p xÕp theo thø tù A, B, C, D) vµ c¾t EF t¹i H. P lµ mét ®iÓm trªn tia ®èi cña
tia EH. CP c¾t (O1) t¹i M ; BP c¾t (O2) t¹i N ; AM c¾t DN t¹i I chøng minh r»ng :
a. Tø gi¸c MPNI néi tiÕp
b. HA. HC = HB. HD
c. Tø gi¸c BNMC néi tiÕp
d. H ; I ; P th¼ng hµng vµ tø gi¸c ANMD néi tiÕp.
II.
Chøng minh ®¹i lîng a.b=c.d
(a,b,c,d lµ ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng)

Bµi 1 : cho ®iÓm A ë ngoµi ®êng trßn (O) tõ A kÎ tiÕp tuyÕn AT tíi ®êng trßn vµ c¸c c¸t
tuyÕn AEF ; APQ. CMR : AT2 = AE . AF = AP. AQ.
Bµi 2: Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn t©m O.Gäi I lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo AC
vµ BD.CMR :IA.ID = IB .IC .
Bµi 3 :
Cho ∆ BAC vu«ng ë A,®êng cao AH, gäi P,Q theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña H trªn AB
vµ AC.
a. Chøng minh r»ng : tø gi¸c BPQC néi tiÕp mét ®êng trßn
b. Chøng minh r»ng : AP. AB = AQ. AC
c. Gäi O vµ O' thø tù lµ trung ®iÓm cña BH vµ HC. Gäi I lµ giao ®iÎm cña PQ vµ
AH.
d. CMR : OI2 = OH. OO'
Bµi 4: Cho ®êng trßn (O;R) hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau.Trªn cung nhá
BC lÊy ®iÓm M.Gäi dao ®iÓm cña AM vµ CD lµ K.
CMR :AM.AK =AD2 = BD2 = 2R2
Bµi 5 : Cho ®o¹n th¼ng AB , kÎ Bx  AB . Trªn Bx lÊy mét ®iÓm O sao cho BO =

.

Tia AO c¾t ®êng trßn (O ; OB) ë D vµ E ( D n»m gi÷a A vµ O). ®êng trßn (A ; AD) c¾t
AB ë C
a. T×m vÞ trÝ t¬ng ®èi cña (A ; AC) víi ®êng trßn ( O ; OE)
b. Chøng minh r»ng : DE2 = AD. AE
c. AC2 = BC. AB.
Bµi 6 : cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O). Gäi K lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam
gi¸c ABC . AK c¾t BC ë I' vµ c¾t ®êng trßn (O) ë P. KÎ ®êng kÝnh PQ. Gäi E vµ F thø tù
lµ giao ®iÓm cña BK vµ CK víi ®êng th¼ng AQ. Chøng minh r»ng
a. PC2 = PI. PA
b. 4 ®iÓm B, C, E, F cïng thuéc mét ®êng trßn.
Bµi 7:Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) (AC>AB) gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña
cung nhá BC, P lµ giao ®iÓm cña AB vµ CD, tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i C c¾t tiÕp tuyÕn
t¹i D vµ c¾t AD thø tù t¹i E vµ Q.
a. Chøng minh r»ng : DE // BC
b. Chøng minh : DP. DC = DA. DQ
c. Chøng minh : DE // PQ
d. Gäi F lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. Chøng minh
III. Chøng minh mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn

Bµi 1 : Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ hai tia tiÕp tuyÕn Ax, By cña nã. Mét
®êng th¼ng d tiÕp xóc víi nöa ®êng trßn (O) t¹i C (c ≠ A, B) c¾t Ax, By lÇn lît t¹i E, F
a. Chøng minh OE vu«ng gãc víi OF
b. Chøng minh tam gi¸c EOF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACB.
c. T×m t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OEF. Tõ ®ã chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn
cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OEF.
Bµi 2 : Cho ®êng trßn (O), ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi ®êng trßn t¹i A vÏ ®êng trßn (I) ®êng kÝnh OA.
a. Chøng minh hai ®êng trßn (O) vµ (I) tiÕp xóc víi nhau.
b. Qua A vÏ mét c¸t tuyÕn c¾t ®êng trßn (I) vµ ®êng trßn (O) lÇn lît ë M vµ C.
CMR : MA= MC
c. §êng th¼ng OM c¾t d t¹i B. Chøng minh r»ng : BC lµ tiÕp tuyÕn cña (O).
Bµi 4 : cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB vµ C ; D lµ hai ®iÓm trªn ®ã (C n»m gi÷a A vµ
D). AC vµ AD c¾t tiÕp tuyÕn Bx cña nöa ®êng trßn lÇn lît t¹i E vµ F.
a. Chøng minh ABD = AEF ; ABC = AEB
b. Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp mét ®êng trßn
c. Gäi I lµ trung ®iÓm cña FB.Chøng minh r»ngDI lµ tiÕp tuyÕn cña nöa ®êng trßn.
d. Gi¶ sö CD c¾t Bx ë G, ph©n gi¸c cña CGE c¾t AE vµ AF thø tù t¹i M vµ N. Chøng
minh tam ti¸c AMN c©n.
Bµi 5 : Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong ®êng trßn (O) vµ E lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung
AB. Hai d©y EC, ED c¾t AB thø tù t¹i P vµ Q c¸c d©y AD vµ EC kÐo dµi c¾t nhau ë I.
C¸c d©y BC vµ ED kÐo dµi c¾t nhau ë K. Chøng minh r»ng
a. Tø gi¸c CDIK néi tiÕp
b. Tø gi¸c CDPQ néi tiÕp
c. IK song song víi AB
d. §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AQP tiÕp xóc víi EA t¹i A
Bµi 6 : Cho tam gi¸c c©n ABC(CA=CB) I lµ trung ®iÓm cña AB, ®êng trßn (O) tiÕp xóc
víi AB t¹i A, c¾t CI t¹i H
a. Chøng minh r»ng : H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC.
b. Gäi B' lµ ®iÓm ®èi xøng víi B qua AC. Chøng minh r»ng B' còng thuéc ®êng trßn
(O).
c. Chøng minh ngîc l¹i r»ng : nÕu H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC th× ®êng trßn
ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHC tiÕp xóc víi AB.
Bµi 7 : Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R vµ mét d©y cung thay ®æi MN=R
(M n»m ë gi÷a cung AN) AM c¾t BN ë C ; AN c¾t BM ë D.
a. Chøng minh tø gi¸c AMDN néi tiÕp mét ®êng trßn t×m t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp
tø gi¸c CMDN.
b. Chøng minh r»ng CD vu«ng gãc víi AB.
c. Chøng minh r»ng OM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CMDN
d. Chøng minh r»ng CD =AB vµ CD song song víi mét ®êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 8: Cho ba ®iÓm th¼ng hµng theo thø tù lµ A, B, C. VÏ hai nöa ®êng trßn ®êng kÝnh
AB vµ BC ( vÏ cïng mét phÝa cña AC). trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AC t¹i B lÊy
®iÓm D sao cho gãc ADC = 900 .gäi giao ®iÓm cña DA vµ DC víi 2 nöa ®êng trßnl µ E
vµ F .Chøng minh r»ng
a. EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn
b. Tø gi¸c AEFC néi tiÕp mét ®êng trßn
c. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm B trªn ®o¹n th¼ng AC ®Ó tø gi¸c DEBF lµ h×nh vu«ng.

Bµi 9 : Cho tam gi¸c ABC nhän vµ AB < AC néi tiÕp trong ®êng trßn (O,R) H lµ giao
®iÓm cña c¸c ®êng cao AM ; BN ; CP cßn Q lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm E
cña c¹nh BC.
Chøng minh c¸c gãc PNB = BNM = CBQ
1. Chøng minh r»ng : Q thuéc ®êng trßn t©m (O)
2. Tõ A kÎ ®êng th¼ng xy song song víi NP ®êng th¼ng nµy c¾t ®êng th¼ng BC ë K.
Chøng minh r»ng xy lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) vµ AK2 = KB. BC
3. Gäi I lµ ®iÓm ®èi xøng cña O qua BC, tÝnh HI theo R.
III. Chøng minh hai ®êng th¼ng song song hoÆc vu«ng gãc
Bµi 1 : Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp ®êng trßn (O) ®êng cao AH c¾t ®êng trßn (O) ë
D, kÎ ®êng kÝnh AOE
a. Chøng minh r»ng : DE song song víi BC.
b. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung DE, OM c¾t BC t¹i I. Chøng minh r»ng I lµ
trung ®iÓm cña BC.
c. TÝnh b¸n kÝnh cña ®êng trßn (O) biÕt BC = 24 cm ; IM = 8cm
Bµi 2 :
Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB, gäi S lµ trung ®iÓm cña AO, vÏ ®êng trßn t©m S ®i qua
A.
a. Chøng minh r»ng c¸c ®êng trßn (O) vµ (S) tiÕp xóc víi nhau t¹i A
b. Mét ®êng th¼ng d ®i qua A c¾t ®êng trßn (S) t¹i M vµ ®êng trßn (O) t¹i P
Chøng minh r»ng : 1. SM // OP
2. M lµ trung ®iÓm cña AP vµ OM //BP
Bµi 3 : Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O') c¾t nhau t¹i hai ®iÓm A vµ B, vÏ mét ®êng th¼ng
qua A c¾t ®êng trßn (O) ë C c¾t ®êng trßn (O') ë D (A n»m gi÷a C vµ D), vÏ mét ®êng
th¼ng qua B c¾t ®êng trßn (O) ë E, c¾t ®êng trßn (O') víi F (B n»m gi÷a E, F). hai ®êng
th¼ng CD vµ EF kh«ng c¾t nhau ë bªn trong hai ®êng trßn. Chøng minh r»ng CE // DE.
Bµi 4 : Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB, Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax vµ By.
Qua mét ®iÓm M thuéc nöa ®êng trßn nµy kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t Ax, By thø tù ë C vµ
D. C¸c ®êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau ë N. Chøng minh r»ng
a. MN // AC
b. CD. MN= CM. BD
Bµi 5 :
Tam gi¸c ABC néi tiÕp trong ®êng trßn (O) c¸c ®êng ph©n gi¸c trong cña c¸c gãc B, C
lÇn lît c¾t ®êng trßn t¹i E, F. D©y cung EF c¾t AC, AB lÇn lît t¹i H, I.
a) Chøng minh c¸c tam gi¸c FKB vµ EAK c©n
b) Chøng minh tø gi¸c FIKN néi tiÕp. Tõ ®ã suy ra IK // AC
c) Cã nhËn xÐt g× vÒ tø gi¸c AIKH ?
Bµi 6 : cho nöa lôc gi¸c ®Òu ABCD néi tiÕp nöa ®êng trßn (O;R) hai tiÕp tuyÕn t¹i B vµ
D c¾t nhau ë T.
a. Chøng minh r»ng OT// AB
b. Chøng minh r»ng : ba ®iÓm O,C,T th¼ng hµng
c. tÝnh chu vi vµ diÖn tÝch tam gi¸c TBD theo R
Bµi 7: Trong ®êng trßn (O) cho hai d©y AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau t¹i I. Chøng
minh r»ng :

a) Kho¶ng c¸ch tõ O tíi AB b»ng nöa ®é dµi CD.
b) §êng th¼ng ®i qua I vµ trung ®iÓm cña BC vu«ng gãc víi AD.
Bµi 8:
Cho ®êng trßn ®êng kÝnh BC. Mét ®iÓm P ë ngoµi ®êng trßn cã h×nh chiÕu trªn BC lµ
mét ®iÓm A ë ngoµi ®êng trßn. Giao cña PB, víi PC víi ®êng trßn lÇn lît lµ M, N, giao
cña AN víi ®êng trßn lµ E. Chøng minh r»ng :
a) Bèn ®iÓm A, B, N, P n»m trªn mét ®êng trßn
b) EM vu«ng gãc víi BC.
Bµi 9:
Tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp trong mét ®êng trßn (O), ngoµi ra ACB = 45 0.
C¸c ®êng cao AH, BH cña tam gi¸c c¾t ®êng trßn lÇn lît t¹i P, Q. Hai ®êng th¼ng AQ vµ
BP giao nhau t¹i S.
a) Chøng minh PQ lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (O).
b) Chøng minh c¸c tam gi¸c ASH vµ APQ lµ h×nh b×nh hµnh
c) Chøng minh c¸c tam gi¸c ASH vµ APQ lµ b»ng nhau
d) NÕu tam gi¸c ABC cã gãc B tï th× c¸c kÕt qu¶ trªn cßn ®óng hay kh«ng ?
chøng minh c¸c ®iÒu ®ã.
Bµi 10: Tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O).C¸c ®êng ph©n gi¸c trong cña c¸c gãc
B,vµ C lÇn lît c¾t ®êng trßn t¹i E& F.D©y cung Ì c¾t AC,AB lÇn lît t¹i H; I .CMR:
a) MN//AC.
b) CD.MN = CM.BD
Bµi 11:Trong ®êng trßn (O) cho 12 d©y cung AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau t¹i I .CMR
a)Kho¶ng c¸ch tõ O t¬Ý AB b»ng nöa ®é dµi CD
b)§êng th¼ng ®i qua I vµ trung ®iÓm cña BC vuong gãc víi AD.
Bµi 12: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh BC.Mét ®iÓm P n»m ngoµi ®êng trßn cã h×nh chiÕu
trªn BC lµ mét ®iÓm trªn A ë ngoµi ®êng trßn .Giao ®iÓm cña PB vµ PC víi ®êng trßn
lÇn lît lµ M&N .Gäi giao ®iÓm cña AN víi ®êng trßn lµ E .CMR:
a)Bèn ®iiÓm A,B,N,P n»m trªn ®êng trßn.
b)EN vu«ng gãc víi BC.
Bµi 13:Tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O),ngoµi ra gãc ACB =450. C¸c
®êng cao AH,BH cña tam gi¸c c¾t ®ên trßn lÇn lît t¹i P,Q .Hai ®êng th¼ng AQ ,BP giao
nhau t¹i S. CMR:
a)PQ lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn(O).
b) ACBS lµ h×nh b×nh hµnh
c)C¸c
ASH vµ APQ lµ b»ng nhau:
d) NÕu ABC cã gãc B tï th× c¸c kÕt qu¶ trªn cßn ®óng hay kh«ng?Chøng minh
®iÒu ®ã.
V. chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng
Bµi 1cho hai ®êng trßn t©m O vµ O'c¾t nhau t¹i Avµ B. tõ B kÎ c¸c ®êng kÝnh BOC vµ
BO'D
a. chøng minh r»ng: ba ®iÓm C,A,D th¼ng hµng. suy ra CD = 2OO'

b. gäi M lµ trung ®iÓm cña d©y cung chung AB. CMR ba ®iªmt O,M,O' th¼ng hµng
c. biÕt OO'= 5cm ; O'B= 3cm ; OB= 4cm . tÝnh AB,AC vµ diÖn tÝch OBO'
Bµi 3:
Cho hai ®iÓm A, B cè ®Þnh trªn ®êng trßn (O). C¸c ®iÓm C, D di ®éng trªn ®êng trßn sao
cho AD//BC vµ C, D ë vÒ cïng mét phÝa víi d©y AB ; M lµ giao ®iÓm cña AC, BD c¸c
tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn t¹i A vµ D c¾t nhau t¹i I. Chøng minh
a. Ba ®iÓm I, O, M th¼ng hµng
b. Chøng minh bèn ®iÓm A, B, M, P cïng thuéc mét ®êng trßn
c. B¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MDC lµ h×nh sè.
Bµi 4: Cho M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Gäi H lµ ®iÓm
chÝnh gi÷a cña cung AM. Tia BH c¾t AM t¹i I vµ c¾t tiÕp tuyÕn t¹i A cña ®êng trßn (O)
t¹i K.
C¸c tia AH, BM c¾t nhau t¹i S.
a. Chøng minh tam gi¸c ABS c©n.Tõ ®ã chøng minh S n»m trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh.
b. Chøng minh KS lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (B, BA)
c. §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BIS c¾t ®êng trßn (B, BA) t¹i N. Chøng minh r»ng M,
N, A th¼ng hµng.
Bµi 5 :
Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) víi trùc t©m H, AH kÐo dµi c¾t ®êng trßn ë E.
KÎ ®êng kÝnh AOF.
a. Chøng minh tam gi¸c BCEF lµ h×nh thang c©n
b. Chøng minh BAE = CAF
c. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. chøng minh H, I, F th¼ng hµng.

VI. ph¬ng ph¸p chøng minh ba ®êng th¼ng ®ång quy
Bµi 1:
Hai ®êng trßn (O) ; (O') c¾t nhau t¹i A vµ B. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i B c¾t c¸c
®êng trßn (O) vµ (O') lÇn lît t¹i C, D. C¸c ®êng th¼ng CA, DA c¾t (O'), (O) theo thø tù
t¹i E, F. Chøng minh
a) Tø gi¸c CFED néi tiÕp
b) AB lµ ph©n gi¸c gãc FBE
c) C¸c ®êng th¼ng CF, DE, AB néi tiÕp.
Bµi 2:
Tõ mét ®iÓm C ë ngoµi ®êng trßn (O) kÎ c¸t tuyÕn CBA. Gäi IJ lµ ®êng kÝnh vu«ng gãc
víi AB. C¸c ®êng th¼ng CI, CJ theo thø tù c¾t ®êng trßn (O) t¹i M vµ N.
a) Chøng minh r»ng IN, IM vµ AB ®ång quy t¹i mét ®iÓm D.
b) Chøng minh r»ng c¸c tiÕp tuyÕn t¹i M vµ N ®i qua trung ®iÓm E cña CD

Bµi 3: Cho hai ®êng trßn (O, R) vµ (O' , R') tiÕp xóc ngoµi t¹i A(R>R'). §êng nèi t©m
OO' c¾t ®êng trßn (O) vµ (O') theo thø tù t¹i B vµ C(B vµ C kh¸c A). EF lµ d©y cung cña
®êng trßn (O) vu«ng gãc víi BC t¹i trung ®iÓm I cña BC, BC c¾t ®êng trßn (O') t¹i D.
VII. to¸n tæng hîp vµ to¸n kh¸c
Bµi 1: cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh 4 cm. ®iÓm M thuéc c¹nh AD sao cho AM = 3
cm . vÏ ®êng trßn t©m O cã ®êng kÝnh BM ®êng trßn nay c¾t AC ë E ( kh¸c A )
1. tÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O)
2. CMR: DC lµ tiÒp tuyÕn cña ®êng trßn (O)
3. CMR: tam gi¸c BEM lµ tam gi¸c vu«ng c©n
4. tiÕp tuyÕn Bx cña ®êng trßn (O) c¾t DC ë K . CMR: M,E,K lµ ba ®iÓm th¼ng hµng
Bµi 2: cho hai ®êng trßn b»ng nhau (O) vµ(O') c¾t nhau t¹i hia ®iÓm Avµ B . ®êng th¼ng
vu«ng gãc víi AB kÎ qua B c¾t ®êng trßn (O) vµ (O') lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm thø hai C vµ D
LÊy ®iÓm M trªn xung nhá CB víi ®êng trßn t©m (O) . Gäi giao ®iÓm thø hai cña 2 ®êng
th¼ng CMvíi ®êng trßn t©m (O') lµ N vµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng CM vµ DN lµ P
a. tam giµc AMN lµ tam gi¸c g× ? t¹i sao?
b. CMR: tø gi¸c ACPD néi tiÕp . tõ dã suy ra P lu«n thuéc ®êng trßn
c. Gäi giao ®iÓm thø hai cña AP víi ®êng trßn (O') lµ Q tø gi¸c BCPQ lµ h×nh g×? t¹i
sao ?
d. Gäi giao ®iÓm cña AP vµ CD lµ E CMR: khi M di ®éng trªn cung nhá BC th× t©m
®êng trßn ngo¹i tiÒp tam gi¸c CED lu«n thuéc 1 ®êng th¼ng cè ®Þnh
Bµi 3: cho nöa ®êng trßn t©m (O) ®êng kÝnh AB. K lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB. M
lµ ®iÓm bÊt k× trªn cung AK. Trªn tia BM lÊy ®iÓm N sao cho BN =AM
a. chøng minh r»ng: tam gi¸c AMK = tam gi¸c BNK
b. tam giac MNK vu«ng c©n vµ MK lµ tia ph©n gi¸c gãc AMN
c. khi M chuyÓn ®éng trªn cung AK th× ®êng vu«ng gãc víi BM kÎ tõ N lu«n
®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh
Bµi 4: cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. I vµ K thuéc AB sao cho OI= OK M thuéc (O).
MO,MI ,MK c¾t (O) lÇn lît t¹i E,C,D . ®êng th¼ng CD c¾ AB t¹i F . EI c¾t DE t¹i N. MI
c¾t EF t¹i H
a. CMR: FA.FB = FC.FD
b. M? th× MI =IH
c. CM: tø gi¸c ENCH néi tiÕp
d. CMR: EF lµ tiÕp tuyÕn cña t©m (O)
Bµi 5.Cho ®êng trßn t©m O ,d©y AB , C n»m ngoµi (O) , C thuéc tia AB . P lµ ®iÓm n»m
chÝnh gi÷a cung lín AB , kÎ ®êng kÝnh PQ c¾t d©y AB t¹i D ,tia CP c¾t ®êng rßn t¹i I ,
AB c¾t QI t¹i K.
1. Chøng minh r»ng tø gi¸c PDKI néi tiÕp .
2. Chøng minh QB2 = QK.QI
3. Chøng minh CI.CP = CK.CD
4. Chøng minh IC lµ ph©n gi¸c gãc ngoµi ®Ønh I cña tam gi¸c AIB.
5. chøng minh CK.CD = CA.CB.
Bµi 6. Cho (O;R) tiÕp xóc ngoµi (O'; r) (R > r) t¹i C. AC,BC lµ hai ®êng kÝnh cña (O) vµ
(O'). DE lµ d©y cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB; ®êng th¼ng DC c¾t
(O') t¹i F .Chøng minh r»ng:
1. Tø gi¸c AEBD lµ h×nh g×?
2 . 3 ®iÓm B,E,F th¼ng hµng .
3. Tø gi¸c MDBF néi tiÕp .