_ _

CHUYÊN ĐỀ 1: HẲNG ĐẲNG THỨC

A. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Bài 1:

a) Tính

b) Tính

_Lời giải_

a) Ta có: b) Ta xét hai trường hợp

- TH1: Nếu n chẵn thì

- TH1: Nếu n lẻ thì
Hai kết quả trên có thể dùng công thức:

Bài 2: So sánh và

_Lời giải_

Ta có:

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau

a.

b.

c.

_Lời giải_

a.

b.

c. Ta có: Bài 4: Chứng minh rằng

a.

b.

_Lời giải_

a. Ta có: VT =
b. VT =
Nhận xét: Đây là bất đẳng thức Bunhicopski.

Bài 5: Cho Chứng minh rằng:

_Lời giải_

VT =

Mà:

Bài 6: Cho . Chứng minh rằng: ad = bc

_Lời giải_

VT =

VP =

VT = VP

Bài 7: Chứng minh rằng, nếu:

a. a + b + c = 0 thì

b. thì x = y = z

_Lời giải_

a. Ta có : b. Đặt : và

Từ giả thiết ta có :

Bài 8: Chứng minh rằng không tồn tại các số thực x, y, z thỏa mãn:

a. b.

_Lời giải_

a.

b.

Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn

a.

b.

c.

_Lời giải_

a. Ta có:

b. Ta có:
c. Ta có:
Bài 10: Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức:

_Lời giải_

Ta có:

Bài 11: Cho . Tính theo a giá trị của biểu thức

_Lời giải_

Ta có:
Bài 12: Chứng minh là bình phương của một đa thức

_Lời giải_

Ta có:

Đặt

Bài 13:

a) Cho a, b, c thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức sau

b) Cho thỏa mãn Chứng minh rằng luôn là tổng của ba số chính phương

c) Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố thỏa mãn thì cũng là số nguyên tố

_Lời giải_

a) Ta có: Vậy

b) Ta có:

c) Ta có: mà ( p nguyên tố ); (q nguyên tố ). Do đó

Ta có: lẻ, do đó p chẵn là số nguyên tố

Bài 14: [ HSG – năm 2015 ]

Cho a, b, c thỏa mãn: viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức

_Lời giải:_

Cách 1:
Có:

Có:

Cách 2: Ta có:

HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA

1.

2.

Bài 1: Cho . Tính

_Lời giải_
Bài 2: Tính

_Lời giải_

Ta có:

Cho k chạy từ 2 đến 100, ta thu được:

Bài 3: Cho . Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y.
_Lời giải_

Ta có:

Bài 4: Cho . Tính

_Lời giải_

Ta có:

Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

_Lời giải_
Bài 6: Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng:

Áp dụng tính

_Lời giải_

Từ giả thiết

+)

Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn: Chứng minh rằng:

_Lời giải_

Ta có:

Bài 8: Cho a, b, c thỏa mãn: . Tính

_Lời giải_

Đặt
Bài 9: Cho Chứng minh rằng

_Lời giải_

Ta có:

Do

Thay các kết quả vào ta được:

Bài 10: Cho Tính theo m và n

_Lời giải_

Cách 1: Từ
Cách 2: Ta có:

Lại có:

Bài 11: Cho Tính giá trị biểu thức sau theo m

_Lời giải_

Ta có:

Đặt

HẰNG ĐẲNG THỨC: (a + b + c)3

Ta có:
Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 . Tính:

_Lời giải_

Đặt

Bài 2: Phân tích thành nhân tử

a.

b.

_Lời giải_

a. Đặt

b. Ta có:

Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a3 + b3 + c3 = 1

Tính ( n là số tự nhiên lẻ )

_Lời giải_

Ta có:

+) TH1:

+) Tương tự ta có: A = 1.

Bài 4: Giải các phương trình sau

a. b.

c. d.

_Lời giải_

a. Ta có:

b.
Đặt
c.
Bài 5: Cho . Tính

_Lời giải_
Cách 1: Nếu

Cách 2: Bài 6: Giải các phương trình sau:

_Lời giải_
Bài 7: Rút gọn

_Lời giải_

Đặt
HẰNG ĐẲNG THỨC: a3 + b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca)

Nhận xét

- Nếu

- Nếu

Áp dụng:

Bài 1: Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn: . Tính giá trị của biểu thức
_Lời giải_

Vì:

+) Nếu

+) Nếu

Bài 2: Giải hệ phương trình sau:

_Lời giải_

Ta có:

+) Nếu

+) Nếu ( khôn thỏa mãn )

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -5)

Bài 3: Giải phương trình sau:

_Lời giải_
Ta có:

Từ (1), (2) suy ra:

Bài 4: Cho các số thực phân biệt a, b, c khác 0 và thỏa mãn: .

Tính giá trị của biểu thức:

_Lời giải_

Ta đặt Tương tự ta có:
Bài 5*: Giả sử bộ ba số là nghiệm của phương trình . Chứng minh rằng bộ ba số cũng là nghiệm của phương trình đó

_Lời giải_

Ta có:

Vì nghiệm của phương trình là bộ ba số khác 0 nên các số a, b, c là ba số khác nhau và khác 0

+) Nếu:

Từ:

+) Nếu:

Tương tự ta có:

Từ (1), (2), (3) suy ra:

Đặt

Vậy bộ ba số cũng là nghiệm của phương trình đã cho.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức

a) với a, b, c là các số thực thỏa mãn:

b) với a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn:

Bài 2: Cho Tính giá trị của biểu thức

Bài 3: Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn Chứng minh rằng chia hết cho 81

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau

a) b)
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG HAY SỬ DỤNG

1.

2.

3.

Áp dụng:

Bài 1: Chứng minh rằng:

_Lời giải_

Ta có:

Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta được:
Bài toán được chứng minh.

Bài 2: Cho a, b, c, d thỏa mãn: a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Tính giá trị của biểu thức
_Lời giải_

Ta có

Áp dụng ta được:

Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a.

b.

c.

_Lời giải_

a.

b.
c.

Bài 4: Tìm x, y, z thỏa mãn

a.

b.

c.

d.

e.

_Lời giải_

a.
b. c.

d. e.

Bài 5: Chứng minh rằng không tồn tại số thực x, y, z thỏa mãn:

a. b.

_Lời giải_

a. Ta có:
b.

Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2. Tính a4 + b4 + c4

_Lời giải_

Ta có: Có:

Từ (1) suy ra:

Thay vào (2) ta được:

Bài 7: Chứng minh rằng, nếu: thì

_Lời giải_

Từ (1) suy ra:
HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG ( tiếp )

1.

2.

3.

4.

5. ( với n lẻ )

Áp dụng:

Bài 1: Giải hệ phương trình sau

a. b.

c.

_Lời giải_

a. Ta có: b. Ta có: c. Ta có:

Bài 2: Chứng minh rằng :

_Lời giải_

Ta có: Bài 3: Chứng minh rằng: Ta có: , n chẵn

_Lời giải_

Vì n chẵn, đặt n = 2k ( k thuộc N* ), ta có: 323 = 17.19
Từ (1) và (2)

Bài 4: Tìm n thuộc N* để là số nguyên tố

_Lời giải_

Ta có
+) Nếu n > 1 thì A > n2 + n + 1 suy ra A là hợp số

+) Nếu n = 1 thì A = 3 ( thỏa mãn ). Vậy n = 1

Bài 5: Chứng minh rằng số

a. là hợp số b. là hợp số

_Lời giải_

a. Ta có:
Là hợp sô

b.

và B > nên B là hợp số.

Bài 6: Chứng minh rằng

_Lời giải_

Ta có 111 = 37 . 3 = 102 + 10 + 1

Bài 7: Chứng minh rằng

_Lời giải_

Ta có:
Vậy A chia hết cho 7. 271 = 1897.

Bài 8: Chứng minh rằng

_Lời giải_

Ta có 133 = 112 + 11 +1

Vậy

Bài 9: Cho a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tính giá trị của biểu thức

_Lời giải_

Khai triển và rút gọn ta được:

Bài 10: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức

_Lời giải_

Ta có:

Bài 11: Tìm x, y, z thỏa mãn

a.

b.

_Lời giải_

a.

b.
Tài liệu toán học