BUỔI 11: SỰ ĐỒNG QUY CỦA CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
Trung tuyến (1). Phân giác (1). Trung trực và đường cao (1)

Dạng 1: Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến và vị trí trọng tâm của tam giác.
Bài 1: Cho hình vẽ bên. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:



Bài 2: Cho tam giác có hai đường trung tuyến cắt nhau tại Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho Chứng minh rằng:
a)
b) và
Bài 3: Cho tam giác , đường trung tuyến . Gọi là trung điểm của . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho.
a) Điểm là trọng tâm của tam giác nào?
b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng 3 điểm thẳng hàng
Bài 4: Cho tam giác , các đường trung tuyến và cắt nhau ở . Cho biết , hãy sánh và
Dạng 2: Đường trung tuyến đối với các tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông)
Bài 1: Tam giác có các đường trung tuyến và bằng nhau. Chứng minh rằng là tam giác cân.
Bài 2: Cho có 3 đường trung tuyến đồng quy tại .
a) Nếu đều hãy chứng minh: .
b) Đảo lại, nếu có khi đó hãy chứng minh tam đều.
Bài 3: Cho cân ở , , và 3 trung tuyến đồng quy tại trọng tâm .
a) Chứng minh
b) Tính độ dài . (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài 4: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Dạng 1: Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường phân giác để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau.
Bài 1: Cho tam giác vuông tại . Các tia phân giác của góc và cắt nhau ở . Kẻ vuông góc với . Biết . Tính chu vi tam giác .
Bài 2: Cho hình vẽ sau:

a) Tính góc .
b) Kẻ tia , hãy tính góc .
c) Điểm có cách đều ba cạnh của tam giác không? Tại sao?
Bài 3: Cho tam giác. Các tia phân giác của các góc và cắt nhau ở . Qua kẻ đường thẳng song song với. Gọi giao điểm của đường thẳng này với theo thứ tự là.
Chứng minh rằng:
Dạng 2: Đường phân giác đối với các tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)
Bài 1: Cho tam giác cân tại là các tia phân giác trong của (). Gọi là giao điểm của và
a) Chứng minh tam giác là tam giác cân.
b) Chứng minh điểm cách đều ba cạnh và
Bài 2: Tam giác cân tại . Tia phân giác của góc cắt đường trung tuyến tại . Gọi là trung điểm của. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 3: Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?
Dạng 1: Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trung trực để làm bài tập.
Bài 1: Cho tam giác cân tại Trên cạnh MN lấy điểm trên cạnh lấy điểm sao cho Đường trung trực của cắt đường trung trực của tại
a) Chứng minh
b) Chứng minh thuộc đường trung trực của
Bài 2: Cho tam giác cân tại, . Các đường trung trực của và của cắt nhau tại và cắt tại và . Chứng minh rằng:
a) là đường trung trực của .
b)
c) là tam giác cân.
Bài 3: Cho vuông tại Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng cắt tại và cắt tại Nối và
a) Chứng minh đều.
b) Kẻ phân giác góc cắt tại cắt kéo dài tại Chứng minh là tâm đường trong đi qua ba đỉnh của tam giác
c) Gọi là hình chiếu vuông góc của xuống các đường thẳng Chứng minh
d) Tính số đo góc
Bài 4: Tam giác cân tại có. Đường trung trực của cắt ở . Biết chu vi tam giác bằng . Tính độ dài.
Dạng 2: Sử dụng tính chất đồng quy của ba cao để làm bài tập.
Bài 1: Cho tam giác có đường cao. Với và lần lượt là trung tuyến của tam giác và tam giác. Kẻ sao cho cắt tại .
a) Chứng minh: .
b) Chứng minh: .
Bài 2: Cho tam giác . Qua mỗi đỉnh vẽ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác . Chứng minh nếu là điểm cách đều thì là trực tâm của tam giác .
Bài 3: Cho tam giác có các đường cao cắt nhau tại Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh Chứng minh
Bài 4: Cho tam giác đường cao .Ở phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân tại và tam giác vuông cân tại.
a) Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho. Chứng minh rằng vuông tại
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy.
BÀI TẬP GIAO VỀ NHÀ
Bài 1: Cho tam giác cân tại có đường trung tuyến .
a) Chứng minh :.
b) Các góc và góc là góc gì ?
Bài 2: Cho tam giác vuông tại , đường trung tuyến . Trên tia đối của lấy điểm sao cho .
a) Tính số đo góc
b) Chứng minh :.
c)  So sánh độ dài và .
Bài 3: Cho tam giác , có trung tuyến cũng là đường phân giác kẻ  ở và ở .
a) So sánh và .
b) Chứng minh:
c) Tam giác là tam giác gì?
Bài 4: Cho tam giác cân tại có là đường trung tuyến.
a) So sánh góc và góc .
b) Lấy điểm trên . Kẻ  ở và  ở . Chứng minh: ΔDHK cân.
Bài 5: Cho tam giác đều , tại ba cạnh và lấy các điểm theo thứ tự sao cho, là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác.
Bài 6: Cho có, tại lấy điểm sao cho là giao điểm của các đường trung trực của và . Chứng minh
Bài 7: Cho nhọn, hai đường cao và . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho. Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho. là tam giác gì?
Bài 8: Cho  vuông cân tại . Trên cạnh lấy điểm , trên tia đối của tia lấy điểm sao cho. Chứng minh rằng:
a)
b)