Giải phương trình
Giải phương trình : .
Giả sử hàm số
xác định trên D, kiểm tra tính liên tục, khả vi của
trên D.
Khảo sát hàm số
để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến các cực trị bằng công cụ đạo hàm.
Dựa vào khảo sát hàm
để kết luận số nghiệm.
Chỉ ra sự tồn tại các
mà
là nghiệm của phương trình

Kết luận nghiệm của phương trình
.
Đồng thời sử dụng các tính chất sau :
Tính chất 1 : Nếu
tăng (giảm) trên (a;b) thì phương trình
nếu có nghiệm sẽ có không quá 1 nghiệm.
Chứng minh :
Giả sử phương trình có 2 nghiệm
Do là hàm số tăng mâu thuẫn giả sử sai
Vậy phưong trình nếu có nghiệm sẽ có không quá 1 nghiệm.
Tính chất 2 : Nếu tăng
(giảm) trên (a;b)

.

Tính chất 3 : Nếu
là hàm số tăng còn là
hàm số giảm trên (a;b) thì phương trình
có nhiều nhất là 1 nghiệm.
Hoặc ta có khi sử dụng định lý Lagrang.
Ví dụ 1 : Giải phương trình sau :

.
( TH & TT )
Giải :
Điều kiện :

Đặt

Ta có

Xét hàm số
trên
. Có

Nên hàm số
là hàm số đồng biến trên

Khi đó

Đặt

Mà


là hàm đồng biến và có đổi dấu vì :



có nghiệm duy nhất

Ta có bảng biến thiên



0
2




 - 0 +











Từ bảng trên
nếu
có nghiệm thì nhiều nhất là 2 nghiệm
Mặt khác

Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
.
Ví dụ 2 : Giải phương trình

.
Giải :
Điều kiện :
luôn đúng

Vậy :

Viết lại phương trình dưới dạng


Xét hàm số

Ta có

Mặt khác

Vậy

hàm số
luôn đồng biến trên

Khi đó
( vô nghiệm )
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Giải phương trình

.
Giải :
Điều kiện :

Xét hàm số
trên

Ta có :

Hàm số
đồng biến trên

Có

Phương trình trên có nghiệm duy nhất là
.
Ví dụ 4 : Giải phương trình

.
Giải :
Đặt
.
Do đó ta có hệ phương trình

Cộng vế với vế ta được phương trình :

Xét hàm số
Có

Hàm số
là hàm đồng biến trên



Xét hàm

Ta có :

Mà

Nên hàm số
nghịch biến trên
, đồng biến trên

Phương trình có
không quá 2 nghiệm trên

Mà

Giá trị
( loại do không thuộc tập xác định )
Do vậy
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Nhận xét : Đối với phương trình có dạng
trong đó
đồng biến ( nghịch biến ) trên tập xác định D.
Cách giải : Đặt

Ta có hệ phương trình

Cộng vế với vế ta được phương trình

Xét hàm số
thì
đồng biến trên D
Khi đó

Do đó để giải (1) ta đi giải phương trình

Tương tự ta cũng có cách giải đối với phương trình có dạng :

với

Đặt

Từ

Trừ vế theo vế của 2 phương trình trên ta được :


Mà theo giả thiết ta có :





Xét hàm số
là hàm số đồng biến trên R


Ví dụ 5 : Giải phương trình

.
Giải :
Điều kiên :

Đặt


. Trừ vế theo vế (1) và (2) ta có :


Xét hàm số
. Có


là hàm số đồng biến trên



Xét hàm số

Ta có


đồng biến trên
. Mà


có duy nhất 1 nghiệm

Ta có bảng biến thiên



0
2




 - 0 +











Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình
nếu có nghiệm thì nhiều nhất là 2 nghiệm .
Mà

Do đó phương trình có 2 nghiệm
.
Ví dụ 6: Giải phương trình


Giải :
Ta có

Điều kiện cần : Giả sử
là 1 nghiệm của (2)
Xét hàm số
. Khi đó

Theo định lý Lagrang
sao cho



Điều kiện đủ : Dễ thấy
và
là nghiệm của phương trình đã cho
Kết luận : Phương trình đã cho có 2 nghiệm là
.
Bài toán tổng quát của ví dụ trên là
Cho a, b, c là 3 số dương và b > a,